专题14 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型二、利用单项式乘多项式求字母的值 题型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型四、完全平方式中的字母参数问题 题型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 题型六、整式的运算中的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 ·题型特征：整式乘除或公式中含字母参数，或现场定义新运算新概念，求参数值或化简结果。 ·解题方法：展开后比较对应项系数（恒等式思想）；利用公式结构匹配参数：新定义严格按规则转化为 整式运算，再合并或比较。 ·易错提醒：比较系数时遗漏常数项；新定义中运算顺序或括号处理错误；参数讨论遗漏限制条件（如整 式次数、系数非零)。 ◆◆ 夙题型归纳一精讲典型题法，本失解题极基 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 典例1(25-26七年级下·江苏徐州阶段检测)若 xy3(-2x2y）=-6xy ,则a、b的值为() A.a=3,b=4 B.a=2,b=4 C.a=3,b=3 D.a=2,b=3 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：已知单项式乘积的等式或条件，求其中字母或代数式的值，需用单项式乘法法则。 2方法：按单项式乘法法则展开（系数相乘、同底数幂指数相加），对比系数与指数列方程，解出字母值。 2x3y2.4xy°=bxy3 变式1-1(25-26七年级下·甘肃白银期中)若 则4+b= 变式12(25-26八年级上四川巴中阶段检测)如果y与2 2x3y 与 相乘的结果是 ，那么m n= 4m+5n=- 变式1-3(25-26六年级下山东烟台期中)若单项式-8xy和4y的积为-2xy,则(ab)°·(ab)÷(ab) 的值为 题型二、利用单项式乘多项式求字母的值 典圆2(25-26八年级上全国周测)一个多项式4-M因式分解得到的结果是4g(:-+), 则M 表示的式子是 题型模版 1特征：已知含字母的单项式与多项式乘积的等式，求字母值或代数式值。 2方法：按单项式乘多项式法则展开（逐项相乘），合并同类项后对比系数或指数，列方程求解。 变式21(2526七年级下f西南宁阶段检测)若++1(-6x 的乘积中不含。项，则a的值为一. 变式22(25-26七年级下安微准北期中)如果-小r+(r-2 的展开式中不含有x这一项，那么“的 值为 变式2-3(25-26七年级下河北衡水期中)若关于x的多项 2x-4+6-2x(-)的结果与x的取值 无关，则a的值是 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 典圆3(25-26七年级下江苏泰州期中)已知+2mr-x+2”的乘积中不含x项和x2项 (I)求m、n的值。 (2)求代数式m26n”的值. 题型模版 1特征：多项式相乘展开后，已知结果中不含某一项，求字母参数的值。 2方法：先按多项式乘法展开并合并同类项，令该项系数为0，列方程解出参数，注意验证其他项。 变式3-1(25-26七年级下·江苏泰州期中)关于x的代数式 ax+3)(2x-4)+4x2+ 化简后不含有项和 常数项， (1)求a和m的值. (2)若an-mn=28,求代数式4n2+3m的值. 变式3-2(25-26七年级下四川期中)若关于x的多项式2x+a与x2-bx-2的乘积展开式中不含x2项，且 常数项为8， (1)求a与b的值： (2化简a+ba-ab+b) 并求值 变式3-3(25-26七年级下河南郑州期中)现定义了一种新运算“⑧”，对于任意有理数a,b,c,d, a,b)⑧(c,d)=ad-bc (1,3)⑧(2,4)=1×4-2×3=-2 规定 等号右边是通常的减法和乘法运算.例如： 请解答下列问题 (1)填空： (-2,3)8(4,5)= 2若(2r+l,r-)@(5,x-2 的代数式中不含x的一次项时，求”的值： 6)求3x+lx-2)©(x+2x-3)的值，其中-4x+1=0. 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、完全平方式中的字母参数问题 4x2+(k+1)x+9 典例4(26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测)已知关于x的整式 是某个关于x的整式的 平方，那么k的值是 题型模版 二次项系数含参数，给定条件判断是一元二次或一元一次方程，求参数取值 为一元二次方程：只需要二次项系数a≠0，无其他限制. 1特征：多项式可配成完全平方式，求其中字母参数，需满足中间项等于两平方项积的2倍。 2.方法：设a2.2ab+b形式，令中间项系数等于 2ab,列方程求参数，注意正负两解。 变式41(2627七年级上上海阶段检测)已知号c+0b+是某个整式的平方，则p 变式42(26-27八年级上四川遂宁阶段检测若4-(a-1r+9 一个完全平方式，则a 变式43(26-27七年级上·上海宝山阶段检测)关于x的整式 2+(m-2)x+2 是一个完全平方式，则m= 题型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 典例5(25-26八年级上四川资阳·期末)如图，某学校的广场上有一块长为 3+)米，宽为2a+b)米的 长方形地块.中间有一块边长为2米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下 问题： 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2a 2a+b 2a 3a+b (1)绿化的面积S是多少？ (2若a,b使代数式 (ar-6(x+b)-3x2 的值与的取值无关，求绿化面积S的值 题型模版 1特征：多项式乘法展开后，某项或整体与某字母无关，或图形面积表达式中字母系数为零。 2方法：展开合并同类项，令含该字母的项系数为0，列方程求参数：面积问题则先列式再同样处理。 变式5-1(26-27八年级上海南海口·阶段检测)解决下列问题 (1)已 A=2x-(1-3m)x,B=-+x-1,且3A+6B的值与产的取值无关，求”的值. (2)有7张如图(1)所示的小长方形纸片，长为a,宽为b,按照如图(2)所示的方式不重叠地放在大长 方形ABCD 内，大长方形中未被楼盖的两个部分（图中明影部分）的面积分别为，8.设4B=,当 a AB的长变化时，3S,-4S,的值始终保持不变，请求出6的值. S S2 D 图(1) 图(2) 变式5-2(25-26八年级上福建厦门期中)如图1，有足够多的边长为a的小正方形(A类)，长为b、宽 为a的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类)卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼 出一些长方形来解释某些等式. 例如图2可以解释的等式为a+2b)a+)=a2+3ab+26 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB B B B a" 图1 图2 图3 图4 (1)图3可以解释的等式为-： ②要拼成一个长为a+90),宽为5a+b) +0的长方形，那么需用A类卡片张，B类卡片_张，C类卡片张： (3)用5张B类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设 右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S,AB=x,若S的值与x无关，试探究a与b的数量关系，并说 明理由， 变式5-3(25-26七年级下四川成都期中)我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式 心+y-3x+5的值与x的取值无关，求a的值.通常的解题思路是把x看作字母，a看作系数，合并同类项 因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为O: 具体解题过程：原式(a-3x+y+5 因为代数式的值与x的取值无关. 所以a-3=0,解得a=3, 【理解应用】 S 图1 图2 (1)若关于x的代数式mr-2x-1的值与x的取值无关，则m的值为 (2)已知 =(x+(x-2),B=x(m-),且4+3B的值与的取值无关，求”+3m的值. 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a,宽为b,按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未 被程益的两个部分都是长方形.设右上角的面积为8，左下角的面积为，当4B的长度变化时， S S1-S2 的值始终保持不变，求a与b的等量关系. 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六、整式的运算中的新定义型问题 典例6(25-26七年级下·江苏常州期末)定义：若一个整式能表示成42+B2(A,B为整式)的形式，则 称这个整式为“平方和式”.例如， -2x+5=(-2x+小+4=(x-+2,且x-1,2均为整式，所以 x2-2x+5是“平方和式”. (1)在3x+2,x2+4,x2+2x中，是“平方和式”的是_： (2)根据定义，说明a2+b2+2a-4b+5是“平方和式”： (3)如果M,N是“平方和式”，那么它们的乘积是否也是“平方和式”？如果是，请说明理由；如果不 是，请举出反例. 题型模版 二次项系数含参数，给定条件判断是一元二次或一元一次方程，求参数取值， 为一元二次方程：只需要二次项系数≠0，无其他限制. 1.特征：定义新运算（如b※），按规则列整式运算式并化简求值，重理解迁移。 2方法：将新定义转化为整式乘除或加减运算，代入字母或数值，按法则展开合并同类项求结果。 变式6-1(26-27八年级上·山西临汾阶段检测)代数推理. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”· 观察等式：32-1P=8×1,52-32=8×2,7-52=8×3,92-72=8×4,…可以看到，等式左边均为两个 连续正奇数的平方差，计算得到的等式右边的数均为8的倍数，我们把这样的正整数称为“和谐数”， 问题解决： (1)探索发现：192-17=8× (2)推理说明：能表示为两个连续正奇数的平方差的正整数（即和谐数），一定是8的倍数： (3)已知m-n=11,求代数式 m+7)(m-7)+n2-2mn 的值，并直接判断该代数式的计算结果是不是和谐数. 变式6-2(25-26七年级下广东佛山期中)定义：对于任意有理数a,b,c,d规定一种运算，记作： 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a e d =ad-bc 1 =1×4-2×3=-2 例如：34 【基础应用】 2-5 (1)求3-4的值； 【转化求解】 2x2x-3引 =9 (2)若x+1x-2,求x的值： 【拓展延伸】 我们学过的乘法公式（如完全平方公式）既可以“从左到右”正向使用，也可以“从右到左”逆向使用. 例如： (a+b)2=a2+2ab+b 正向使用， a2+2ab+b2=(a+b)2 逆向使用. 在解决某些问题时，逆向使用公式常常能帮助我们简化问题. a+1-b-1 =-13 3)若b-5a-3,求(a+16+0(62+b+6++2的个位数. 变式6-3(25-26七年级下·安徽合肥期中)对于两个正数 ,b(a≠1 ,定义一种新的运算，记作a),即。 如果=b,那么ab)=C.如：=81，则B,8)-4 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D...N G 图1 图2 (2,4)= (2,8)= (2,32)= (1)根据上述运算填空： 观察 (2,4),(2,8)(2,32） 的结果之间的关系，再观察三个数4,8,32之间的关系，试着归纳： (a,m)+(a,n)= ②如图1，正方形4BCD的边长为”，小正方形CGFE的边长为”，若a,m+(a)=(a）,求 (2,m+n)=5,(2,p)=4 ,图中阴影部分的面积 (3)如图2，四边形ABED,四边形CGHD是长方形纸条，AD=CD=m,CG=FG=n,按如图所示叠放在 起，将重叠的部分长方形HFED沿若DE翻折得到长方形DEMW.若a,m)=(6,m)=2 长方形ABMN 的面积是2L,AN=7,直接写出a和b的值. ◆ 同压轴挑战一支克高难压轴，突破思袋上限 一、单选题 1.(2425八年级上河南南阳月考)已知单项式6ry与2r少的积为mry,则n的值为(） A.12 B.9 C.6 D.3 之.(2526八年级上河南周口期中)要使←-m+2)的展开式中不含的项，则m的值是〈) A.0 B.2 C.-2 D.±2 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26七年级下全国单元测试)若5x3x+mr-6x1-2)的计算结果中不含项，则m的值为 () 1 A.3 B.-3 c.2 D.0 x2-2(k+1)x+16 4.(25-26八年级上重庆月考)若关于x的多项式 是完全平方式，则的值为() A.±11 B.23或-25 C.5或-7 D.11或-13 5.(2425七年级下山西太原月考)对于任意有理数a,b,现用“☆”定义一种运算：a☆b=a2-b2, 根据这个定义，代数式x+2)女x-2 可以化简为() A83 B.2r2+8y2 二、填空题 6(2s6t年下全得周期若“=3.y=2,则行少y 7.(2425八年级上湖南月考》若-+4()的展开式中不含广项，则水的值是 A=2x2+ax-b,B=-x+1,C=2x3+3x2+5 8.(25-26七年级上重庆期末)己知 5.若4：B+C的值与x的 取值无关，则当x=-2时，A的值为一 9.(25-26八年级上四川眉山月考)已知4x+x+9是一个完全平方式，那么k的值为 已知M是含字母x的单项式，要使多项式16x2+M+1是某个多项式的平方，则M为 10.(25-26八年级上天津·月考)小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多 项式：2-2x+3,由于-2x+3=(x-少旷+2，所以当-1取任意一对互为相反数的数时，多项式 10/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-2x+3 的值是相等的例如，当-1=1.即x=2 x2-2x+3 ，即或0时， 的值均为3，当-1=2 ,即 x=3-1 x2-2x+3 x-t 或时， 的值均为6.于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对 互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=t对称，例如：x2-2x+3关于x=1对称. 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式x2-4x+6关于x= _对称： (2)若关于x的多项式x+2bx+3关于x=3对称，则b= 三、解答题 11.(2425七年级下·全国课后作业)小明计算一道整式乘法题 xy(-2ry时，由于将第一个 -3-”抄成了3-”，将第二个单项式中的3m+1抄成了2m+1,结果得到 14x0y4 单项式中的 (I)根据上述信息，分别计算出m,n的值. (2)在(1)的条件下，请你计算出这道题的正确答案. 一题多解法(2)由(1)知，m=5,n=1, =7xy4.(-2x6y2) 所以原式 =-14x15y2 。 12.(25-26八年级上·全国假期作业)定义：一个多项式A乘一个多项式B,运算结果化简后得到多项式 C,若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A 的“特别友好多项式”. (1)若A=x+3,B=2x-1,请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由. (2)若A=x-3,B=x2+ax+9均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值. 13.(24-25七年级下·江苏扬州期中)我们定义：如果两个多项式M-N的差为常数，则称M与N互为 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 恒定差多项式，这个常数称为它们的恒定差值，如M=2x2+2x+1与N=2x2+2x+5互为恒定差多项式， 它们的恒定差值为4. ()下列各组多项式互为“恒定差多项式”的是 (填序号)： ox-1少与x-1少②26x-1)与x-0x+0③6c-与x-3x+0 ②多顶式-a与多项式-2x2+2x+b(a,b为常数)互为恒定差多项式，求0，b的值，并写出恒定 差值. 14.(25-26八年级上·全国月考)对于任意四个有理数a,b,c,d,可以组成两个有理数 a,b)与（cd) (a,b)8(c,d)=a2+d2-bc .例如： (1,2)⑧(3,4)=12+42-2×3=11 我们规定： D E C G ①若2)®(-”是一个完全平方式，求常数k的值： ②若2+y=l2,且Bx+2+3r)8(x-3)=104.求的值： (3)在(2)的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、 BC上，连接BD、BF、DF、EG.若AB=2x,BC=8x,CE=y,CG=4y,求图中阴影部分的面积. 12/12 专题14 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型二、利用单项式乘多项式求字母的值 题型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型四、完全平方式中的字母参数问题 题型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 题型六、整式的运算中的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：整式乘除或公式中含字母参数，或现场定义新运算/新概念，求参数值或化简结果。 - 解题方法：展开后比较对应项系数（恒等式思想）；利用公式结构匹配参数；新定义严格按规则转化为整式运算，再合并或比较。 - 易错提醒：比较系数时遗漏常数项；新定义中运算顺序或括号处理错误；参数讨论遗漏限制条件（如整式次数、系数非零）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 典例1（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 题型模版 1.特征：已知单项式乘积的等式或条件，求其中字母或代数式的值，需用单项式乘法法则。 2.方法：按单项式乘法法则展开（系数相乘、同底数幂指数相加），对比系数与指数列方程，解出字母值。 变式1-1（25-26七年级下·甘肃白银·期中）若，则________． 【答案】 【分析】计算出的结果，可确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1-2（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 变式1-3（25-26六年级下·山东烟台·期中）若单项式和的积为，则的值为________． 【答案】625 【分析】首先根据得到，，然后将化简为后代入求解即可． 【详解】解：∵单项式和的积为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 题型二、利用单项式乘多项式求字母的值 典例2（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 题型模版 1.特征：已知含字母的单项式与多项式乘积的等式，求字母值或代数式值。 2.方法：按单项式乘多项式法则展开（逐项相乘），合并同类项后对比系数或指数，列方程求解。 变式2-1（25-26七年级下·广西南宁·阶段检测）若的乘积中不含项，则a的值为____． 【答案】0 【分析】根据乘积中不含某一项，即该项的系数为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：， 乘积中不含项， 项的系数为， 即， 解得． 变式2-2（25-26七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 变式2-3（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 题型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 典例3（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 题型模版 1.特征：多项式相乘展开后，已知结果中不含某一项，求字母参数的值。 2.方法：先按多项式乘法展开并合并同类项，令该项系数为0，列方程解出参数，注意验证其他项。 变式3-1（25-26七年级下·江苏泰州·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）先将已知代数式整理后，根据题意求得的值； （2）根据，求得的值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ， ． （2）解：∵， ， ， 解得：， ． 变式3-2（25-26七年级下·四川·期中）若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， (1)求与的值； (2)化简，并求值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，令含项的系数为0，常数项为8，从而建立关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∵关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴原式． 变式3-3（25-26七年级下·河南郑州·期中）现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)求的值，其中． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含的一次项，令含的一次项的系数为 0 进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解： ， ∵代数式中不含的一次项， ， ． （3）解：， ， ， 原式． 题型四、完全平方式中的字母参数问题 典例4（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么k的值是______． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的结构特征，对比对应项系数即可求解的值． 【详解】解：由题意得，是关于的完全平方式， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 题型模版 二次项系数含参数，给定条件判断是一元二次或一元一次方程，求参数取值. 为一元二次方程：只需要二次项系数a≠0，无其他限制. 1.特征：多项式可配成完全平方式，求其中字母参数，需满足中间项等于两平方项积的2倍。 2.方法：设a22ab+b2形式，令中间项系数等于，列方程求参数，注意正负两解。 变式4-1（26-27七年级上·上海·阶段检测）已知是某个整式的平方，则__________． 【答案】 【分析】将原式对应完全平方公式结构，展开后对比系数即可得到的值. 【详解】解： 完全平方公式为， 原式中， 展开得： ， 将结果与对比系数， . 变式4-2（26-27八年级上·四川遂宁·阶段检测）若是一个完全平方式，则_________． 【答案】或 【详解】解：是完全平方式， ，， 中间项满足 ， ， 解得或． 变式4-3（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）关于x的整式是一个完全平方式，则________． 【答案】或 【分析】根据平方项确定完全平方式的两个底数，再根据完全平方公式的乘积二倍项计算的值． 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得，． 题型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 典例5（25-26八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 【答案】(1)（平方米） (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积； （2）根据题意求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：原式 ， 代数式的值与的取值无关， ，， ， （平方米）， 绿化面积的值为． 题型模版 1.特征：多项式乘法展开后，某项或整体与某字母无关，或图形面积表达式中字母系数为零。 2.方法：展开合并同类项，令含该字母的项系数为0，列方程求参数；面积问题则先列式再同样处理。 变式5-1（26-27八年级上·海南海口·阶段检测）解决下列问题 (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图（1）所示的小长方形纸片，长为，宽为，按照如图（2）所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分）的面积分别为，．设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算，再根据的值与的取值无关建立方程求解即可； （2）先计算，再根据的值与的取值无关建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 的值与的取值无关， ， ． （2）解：∵， ∴，， ． 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的取值无关， ， ， ． 变式5-2（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)5，46，9 (3) 解：，理由如下： 设， 由题意可得 由于S的值与无关，则，即． 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）设，由图可知，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答． 【详解】（1）解：由． 故答案为：． （2）解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9． （3）略 变式5-3（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】(1)2 (2)8 (3) 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，由图可知： ， ∴， ∵的长度变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 题型六、整式的运算中的新定义型问题 典例6（25-26七年级下·江苏常州·期末）定义：若一个整式能表示成（，为整式）的形式，则称这个整式为“平方和式”．例如，，且，均为整式，所以是“平方和式”． (1)在，，中，是“平方和式”的是 ： (2)根据定义，说明是“平方和式”； (3)如果，是“平方和式”，那么它们的乘积是否也是“平方和式”？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 【答案】(1) (2)证明：，且和都是整式，符合“平方和式”定义， 是“平方和式”； (3)是，乘积仍是“平方和式”， 理由如下： ，是“平方和式”， 可设，，其中、、、都是整式， 则 、、、都是整式， 和均为整式， 因此和的乘积可以表示为两个整式的平方和，是“平方和式”． 【分析】（1）逐一判断三个整式能否写成两个整式的平方和； （2）通过分组配方将原式变形为两个整式的平方和； （3）设出，的平方和形式，展开后重新配方即可证明乘积仍符合定义． 【详解】（1）解：逐个验证三个整式： 为一次整式，无法写成两个整式的平方和，不是“平方和式”， ，和均为整式，符合“平方和式”定义，是“平方和式”， ，无法写成两个整式的平方和，不是“平方和式”， 故符合要求的是； （2）略 （3）略 题型模版 二次项系数含参数，给定条件判断是一元二次或一元一次方程，求参数取值. 为一元二次方程：只需要二次项系数a≠0，无其他限制. 1.特征：定义新运算（如ab※），按规则列整式运算式并化简求值，重理解迁移。 2.方法：将新定义转化为整式乘除或加减运算，代入字母或数值，按法则展开合并同类项求结果。 变式6-1（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）代数推理． 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 观察等式：，，，，可以看到，等式左边均为两个连续正奇数的平方差，计算得到的等式右边的数均为8的倍数，我们把这样的正整数称为“和谐数”． 问题解决： (1)探索发现：___________； (2)推理说明：能表示为两个连续正奇数的平方差的正整数（即和谐数），一定是8的倍数； (3)已知，求代数式的值，并直接判断该代数式的计算结果是不是和谐数． 【答案】(1)9 (2)证明：设两个连续正奇数分别为和（为正整数） ， ∵为正整数， ∴是的倍数，即能表示为两个连续正奇数的平方差的正整数一定是的倍数． (3)代数式的值为，该计算结果是和谐数． 【分析】（1）根据题干中等式的规律求解； （2）设两个连续正奇数分别为和（为正整数），然后化简求解即可； （3）将原式利用平方差公式和完全平方公式化简，然后整体代入求解，然后利用“和谐数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）略； （3）解：∵ ∴ ∵， ∴该计算结果是和谐数． 变式6-2（25-26七年级下·广东佛山·期中）定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：． 例如：． 【基础应用】 (1)求的值； 【转化求解】 (2)若，求x的值； 【拓展延伸】 我们学过的乘法公式（如完全平方公式）既可以“从左到右”正向使用，也可以“从右到左”逆向使用．例如：   正向使用，   逆向使用． 在解决某些问题时，逆向使用公式常常能帮助我们简化问题． (3)若，求的个位数． 【答案】(1)7 (2) (3)2 【分析】（1）根据新定义，进行有理数的混合运算； （2）根据新定义，得到一元一次方程，求解即可； （3）根据新定义，进行整式的混合运算，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由得：， 化简得：， 解得：； （3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 将代入，得 ， 计算2的幂次的个位数规律： ，个位数是2； ，个位数是4； ，个位数是8； ，个位数是6； ，个位数是2； ，个位数是4； 可以发现2的幂次的个位数是以2，4，8，6为周期循环的， ∵，其中1是余数， ∴的个位数与的个位数相同，即为2， ∴的个位数为2． 变式6-3（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．如：，则 ． (1)根据上述运算填空：___________；___________；___________．观察与的结果之间的关系，再观察三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：___________． (2)如图1，正方形的边长为，小正方形的边长为，若，求，图中阴影部分的面积． (3)如图2，四边形，四边形是长方形纸条，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形．若，长方形的面积是，直接写出和的值． 【答案】(1)2；3；5； (2)496 (3) 【分析】（1）根据如果，那么，再由得； （2）由得到，由得到，由得到，最后根据图中阴影部分的面积为计算即可； （3）由得到，，由图可得：矩形的面积是，，可求出m，n的值，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴由（2）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为； （3）解：∵， ∴，， 由图可得：矩形的面积是，， ∴，解得， ∴，， ∴，（负值舍去）． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南南阳·月考）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，掌握不含某一项即该项的系数为的原则，以及准确找出所有生成目标项的项是解题的关键． 展开多项式乘积，找出所有产生项的项，令其系数之和为零，解出的值． 【详解】解：∵原式为， 项来源于： ∴项系数为， ∵计算结果不含项， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于的多项式是完全平方式，则的值为（    ） A． B．23或 C．5或 D．11或 【答案】D 【分析】根据完全平方式的特点，先确定出平方项，再结合比较系数求解即可．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ， ∴， ∴或， 解得或； 故选：D． 5．（24-25七年级下·山西太原·月考）对于任意有理数，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法，掌握平方差公式的结构特征是解题关键．根据已知新定义运算法则列式，再结合平方差公式计算即可． 【详解】解：☆ ， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·湖南·月考）若的展开式中不含项，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 9．（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·天津·月考）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式：，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的.例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于 对称； （2）若关于的多项式关于对称，则 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）已知多项式进行配方，然后根据新定义判断即可； （2）把关于x的多项式进行配方，得出其关于对称，从而列出关于b的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴多项式关于对称， 故答案为：2； （2）∵， ∴关于x的多项式关于对称， 又∵关于x的多项式关于对称， ∴，则． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 12．（25-26八年级上·全国·假期作业）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据B是A的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解： B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我们定义：如果两个多项式的差为常数，则称与互为恒定差多项式，这个常数称为它们的恒定差值，如与互为恒定差多项式，它们的恒定差值为-4． (1)下列各组多项式互为“恒定差多项式”的是__________（填序号）； ①与②与③与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为恒定差多项式，求，的值，并写出恒定差值． 【答案】(1)③ (2)，，恒定差值为． 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的加减运算，解题的关键是正确理解题意． （1）两个多项式相减，判断差是否为常数即可； （2）两个多项式作差，令二次项系数和一次项系数为零，求出和的值，代入常数项，计算即可． 【详解】（1）解：∵，不是常数， ∴与不互为“恒定差多项式”， ∴①不符合题意， ∵，不是常数， ∴与不互为“恒定差多项式”， ∴②不符合题意， ∵，是常数， ∴与互为“恒定差多项式”， ∴③符合题意， 故答案为：③． （2）解：∵多项式与多项式（，，为常数）互为恒定差多项式， ， ∴为常数， ∴， 解得，，， ∴， ∴恒定差值为． 答：，，恒定差值为． 14．（25-26八年级上·全国·月考）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公式变形应用，整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴； （2）解： ， 去括号得：， 合并同类项得：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，， 阴影部分的面积为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $