专题02 指数函数十六大常考题型（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题02 指数函数图象与性质十六大常考题型 题型一 指数函数的概念理解与判断 题型二 求指数函数的解析式或函数值 题型三 指数（型）函数的定义域问题 题型四 指数（型）函数的值域问题 题型五 指数（型）函数的过定点问题 题型六 指数（型）函数图象的识别 题型七 指数函数图象的应用问题 题型八 指数（型）函数的单调性与单调区间 题型九 利用指数函数的单调性求参数问题 题型十 利用指数函数的单调性求最值问题 题型十一 利用指数函数的单调性比较大小问题 题型十二 指数（型）函数的奇偶性问题 题型十三 利用指数（型）函数的单调性和奇偶性解不等式问题 题型十四 指数（型）函数的恒成立与存在性问题 题型十五 指数函数模型的实际应用问题 题型十六 指数（型）函数性质的综合应用问题 题型一：指数函数的概念理解与判断 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】/0.5 7．【答案】 题型二：求指数函数的解析式或函数值 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】 6．【答案】（答案不唯一，满足题意即可） 7．【答案】， 8．【答案】(1)2;(2). 题型三：指数（型）函数的定义域问题 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】 题型四：指数（型）函数的值域问题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】0（答案不唯一） 7．【答案】 8．【答案】(1)(2) 题型五：指数（型）函数的过定点问题 1．【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】 6.【答案】 题型六：指数（型）函数图象的识别 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】A 5．【答案】B 题型七：指数函数图象的应用问题 1.【答案】B. 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】D 6．【答案】 7.【答案】 题型八：指数（型）函数的单调性与单调区间 1．【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】 5.【答案】(1)定义域为，值域为(2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增 题型九：利用指数函数的单调性求参数问题 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】 6.【答案】(1)(2) 题型十：利用指数函数的单调性求最值问题 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】 5.【答案】4 6.【答案】(1)62 (2)当时，；当时，. 题型十一：利用指数函数的单调性比较大小问题 1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】 题型十二：指数（型）函数的奇偶性问题 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】D 4.【答案】C 5.【答案】1 6.【答案】 题型十三：利用指数（型）函数的单调性和奇偶性解不等式问题 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】(1)； (2)函数为减函数. 对于任意实数,令,则, , 又, ,即,故为减函数. (3) 题型十四：指数（型）函数的恒成立与存在性问题 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】(1)3 (2) 题型十五：指数函数模型的实际应用问题 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】6 4.【答案】20 5.【答案】(1) (2) (3) 题型十六：指数（型）函数性质的综合应用问题 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】(1) (2) 因 故. (3) 7.【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 (3) 8.【答案】(1)奇函数，减函数 (2) (3)2 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指数函数图象与性质十六大常考题型 题型一 指数函数的概念理解与判断 题型二 求指数函数的解析式或函数值 题型三 指数（型）函数的定义域问题 题型四 指数（型）函数的值域问题 题型五 指数（型）函数的过定点问题 题型六 指数（型）函数图象的识别 题型七 指数函数图象的应用问题 题型八 指数（型）函数的单调性与单调区间 题型九 利用指数函数的单调性求参数问题 题型十 利用指数函数的单调性求最值问题 题型十一 利用指数函数的单调性比较大小问题 题型十二 指数（型）函数的奇偶性问题 题型十三 利用指数（型）函数的单调性和奇偶性解不等式问题 题型十四 指数（型）函数的恒成立与存在性问题 题型十五 指数函数模型的实际应用问题 题型十六 指数（型）函数性质的综合应用问题 题型一：指数函数的概念理解与判断 1．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 2．判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【详解】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D 3．“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义及充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】当时，为指数函数； 当为指数函数时，即，只需； 所以“”是“为指数函数”的充分不必要条件. 故选：C 4．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义，即可证明. 【详解】由已知得，即得. 故选：C 5．函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 6．若函数是指数函数，则实数___________． 【答案】/0.5 【分析】根据指数函数定义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或1（舍去）. 故答案为：. 7．若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型二：求指数函数的解析式或函数值 1．已知函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的图象过点，求出a的值，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：C. 2．已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数值求出，再求函数值即可. 【详解】， 故选：A. 3．函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 4．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. 5．若指数函数的图象经过点，则______，______． 【答案】 【分析】答题空1：由指数函数过点，先求出底数，进而求出指数函数表达式；答题空2：由指数函数表达式，分别求出，从而求出的值. 【详解】由题知，即，，，. 6．已知函数满足：①的定义域为；②对任意实数，均有；③不为常值函数，试写出一个符合条件的的解析式：_________． 【答案】（答案不唯一，满足题意即可） 【分析】根据抽象函数的解析式判断即可. 【详解】当时，，，符合条件． 故答案为（答案不唯一）． 7．若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值． 【答案】， 【分析】设，由可求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【详解】解：设指数函数，则，解得， 所以，， 故 8．已知指数函数 (1)当时，求的值； (2)若是指数函数，求解析式. 【答案】(1)2; (2). 【分析】（1）当时，求出的解析式，进而求解; （2）根据为指数函数，求解出的值，进而求出解析式. 【详解】（1）当时，, 所以. （2）因为是指数函数， 所以, 解得；或且且， 即, 所以. 题型三：指数（型）函数的定义域问题 1．函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 2．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得. 所以该函数的定义域为. 故选：B. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______ 【答案】 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域求法，即可求解. 【详解】由条件可知，函数的定义域需满足，解得：， 所以函数的定义域是. 故答案为： 5．已知函数的定义域为，则_________． 【答案】 【分析】由已知可得不等式的解集为，可知为方程的根，即可求得实数的值. 【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得， 当时，由，可得，解得，合乎题意. 故答案为：. 6．函数若函数的定义域是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合指数函数性质可得． 【详解】∵，∴，∴当时，．故函数定义域为时，． 故答案为：． 题型四：指数（型）函数的值域问题 1．当时，函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为指数函数为增函数，所以函数在区间上单调递增， 则当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以函数在区间上的取值范围为 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 4．函数的值域为______． 【答案】 【分析】根据指数复合函数值域计算求解. 【详解】因为， ，当时取最小值0． 所以值域为. 故答案为：. 5．记表示不超过的最大整数，如.已知函数，则__________，函数的值域为__________. 【答案】 【分析】求出，即可求出，首先求出的值域，即可求出的值域. 【详解】因为，所以，所以； 因为，所以，则， 所以，则，则， 所以的值域为. 故答案为：； 6．函数的值域为，能使成立的一个值为________． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】首先求出函数的值域为，再利用集合间的包含关系即可求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】函数的值域为，因为，所以. 故答案为：0 7．已知函数的值域为，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据题意可先确定时的值域，再利用函数的值域为，得到时，函数的单调性及端点函数值的范围即可求. 【详解】因为时，，所以， 又的值域为，所以时，的值域至少要取到， 则. 故答案为：. 8．已知函数的图象过点，． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式可得，进而求解即可； （2）令，，可得，进而结合二次函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由题意得，，即，则， 所以． （2）令，因为，则， 则，所以在上单调递减， 因为，，所以，即的值域为． 题型五：指数（型）函数的过定点问题 1．函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，令，可得，则， 所以函数（且）的图象恒过定点坐标为. 2.函数，且的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质求解. 【详解】由函数，且，令，解得，此时， 所以函数的图象恒过定点. 故选：B. 3.幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数定义求得，然后由指数函数的性质求得定点坐标. 【详解】由题意可知，∴， ∴，令，即，， ∴函数图象过定点. 故选：C. 4.已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】先根据指数函数的性质求出定点的坐标，再将其代入直线方程得到与的关系式，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】过定点，所以， 因为点在函数的图象上，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为4. 5.已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为______. 【答案】 【分析】令，得到定点的横坐标，代入求出纵坐标即可. 【详解】令，得到；当时，， 所以函数的图像恒经过定点. 6.函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 【答案】 【分析】先得到，进而由幂函数定义得到，代入求解 【详解】中，令得，此时， 所以，又A在幂函数上， 所以，解得，所以， 故，解得. 题型六：指数（型）函数图象的识别 1.指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．  B．C． D．   【答案】A 【分析】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 【详解】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 故选：A 2.如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据函数图象可判断②不过点，又指数函数恒过定点即可判断. 【详解】已知其中的三个函数都是指数函数， 指数函数的图象一定过点，图象②不过点. 故选：B 3.函数的图象大致为（   ） A．B．C． D．   【答案】B 【分析】根据函数图象的变换确定函数的图象. 【详解】先做出函数的图象，保留轴右边的图象不变，并将轴右边的图象对称到轴左边，可得的图象，再将的图象向左平移1个单位，可得的图象，如下图：   . 故选：B 4.函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查对函数图象的判断，其方法一般是结合函数的性质：定义域、值域、单调性与奇偶性或一些特殊点来作出正确判断； 【详解】设， 的定义域为， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， 又， 当时，，，，，即，排除C， 在上单调递减，排除B． 5．当时，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，因为，由可得且， 故函数的定义域为，排除AC， 当时，，排除D. 题型七：指数函数图象的应用问题 1.为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 2.已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系下画出和的图像，然后在坐标系中作水平直线即可得解. 【详解】 在同一坐标系下画出和的图像， 从上到下的三条虚线分别可以推出，，， 则ACD选项有可能，B选项不可能. 故选：B 3.已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据以及指数函数的性质得出，代入计算即可. 【详解】由题意可知，，，则， 则. 故选：A 4.函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值. 【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，， 令，则，即，则， 5.若实数满足，则的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出关于的函数并在同一坐标系内作出图象，数形结合比较大小即得. 【详解】令，则， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 当时，；当时，；当时，，选项ABC可能，D不可能. 故选：D 6.若曲线与直线没有公共点，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据函数解析式易得函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，进而求解即可. 【详解】由， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，， 要使曲线与直线没有公共点，则， 即的取值范围为. 故答案为：. 7.已知函数，若函数的图象与直线有三个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】作出的图象，结合图象即可得结果. 【详解】作出的图象，如图所示： 因为直线与函数的图象有3个交点，可得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 题型八：指数（型）函数的单调性与单调区间 1．下列函数中，在定义域上单调递减的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据常见函数的单调性依次判断即可. 【详解】根据指数函数的性质，易知函数在定义域内单调递减，A正确； 因为的定义域为，且在区间，内分别单调递减， 但时，，当时，，所以该函数在定义域上不是单调递减的函数，故B错误； 根据指数函数的性质，易知在定义域内单调递增，C错误； 根据一元二次函数的性质，易知在定义域内先增后减，D错误. 故选：A. 2.已知函数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由复合函数的单调性可得在上单调递增，所以“”是“”的充要条件. 3.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 4.函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】先求出的定义域，根据复合函数单调性的法则：同增异减，即可求出答案. 【详解】令，解得或，所以函数的定义域为， 令，，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数单调性得在上单调递减， 又在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性得在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 5.已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增 【分析】（1）根据函数解析式直接求解定义域和值域； （2）结合指数函数的性质，利用定义法直接判断函数单调性即可. 【详解】（1）由，， 所以的定义域为， 又， 因为，所以，， 所以，， 即函数的值域为. （2）由（1）知，， ，则 ， 当时，单调递减，， 当时，单调递增，， 又因为， 所以当时，，即， 此时在上单调递减； 当时，，即， 此时在上单调递增. 题型九：利用指数函数的单调性求参数问题 1.如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 2.已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据不等式恒成立判断函数的单调性，然后结合分段函数中各段的单调性要求、分段点处的衔接要求，即可求得参数取值范围， 【详解】因为对任意，都有恒成立， 所以函数在定义域上单调递增． 因为函数， 所以，解得，即实数的取值范围是． 3.已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 4.已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的性质判断为常数，求出该常数得到的解析式后计算即可. 【详解】因为是上的单调函数，且对任意都有， 因此存在唯一的常数，使得，即,则可得. 令，由于与均在上单调递增，因此在上单调递增， 又，故方程有唯一实数解, 因此，. 5.已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】从定义域与复合函数单调性两个方面分析可得答案. 【详解】函数 （ 且 ）在区间 上单调递增，需满足以下条件： （1）对于任意 ，需有 ， 由于 ，函数 在上单调递减， 因此，即 ； （2）令 ，则 ，由于 且 ，分两种情况： 若 ，则外层函数 递增，而内层函数 递减， 故复合函数 递减，不符合题意， 若 ，则外层函数 递减，内层函数 递减， 故复合函数 递增，符合题意， 故； 综上， 的取值范围是 . 故答案为： 6.已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，，结合二次函数及指数函数的性质求解即可； （2）令，结合指数型复合函数的单调性分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 令，， 由二次函数的图象和性质，当时，取得最小值， 当时，，则， 所以，即在上的值域为. （2）令，其图象的对称轴为直线，开口向上， 当时，为减函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递减，即， 解得，则； 当时，为增函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递增，即， 解得，则. 综上，实数的取值范围是. 题型十：利用指数函数的单调性求最值问题 1.函数的最小值是（    ） A．不存在 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】令，则，利用函数的单调性即可. 【详解】令，则，. 因为，所以. 因为函数在区间上单调递增，所以. 所以函数没有最小值. 2.函数（   ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【分析】设，将转化为关于的二次函数，即可判断有无最值. 【详解】设，则， 当时函数单调递增，当时函数单调递减，故有最大值，无最小值. 3.已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 4.定义在上的函数，则的最大值是________. 【答案】 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，求出函数的最值即可． 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减， ∴． 5.若，分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则________. 【答案】4 【分析】根据题意结合二次函数求得，再结合指数函数性质运算求解. 【详解】因为 因为，，所以. 故答案为：4. 6.已知函数. (1)若，求的值； (2)若函数，，讨论在上的最小值， 【答案】(1)62 (2)当时，；当时，. 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，结合完全平方公式进行求解即可； （2）根据所给函数解析式的形式进行换元，利用基本不等式，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，即有， 则； （2）函数， 令，因为， 所以，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 则， ①当时，即，，即， ②当时，即，，即. 综上所述：当时，；当时，. 题型十一：利用指数函数的单调性比较大小问题 1.已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又函数在实数范围内单调递增，故； 由得，所以． 因为，，且，所以，因此． 2.若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质结合指数函数的单调性即可判断 【详解】由，得， ． ． 3.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 4.已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】假设，则，即，而在上单调递减，则，同理，从而得出矛盾. 【详解】假设，则，即， 而在上单调递减，又，故， 同理，即， 而在上单调递减，又，故． 综上，假设不成立，故. 5.若，，，则a，b，c大小关系_____.（按从大到小顺序排列） 【答案】 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】对于和， 因为在上单调递增，且， 所以，即； 对于和， 因为在上单调递增，且， 所以，即； 综上，. 故答案为：. 6.已知，，，则的大小关系是___________ 【答案】 【分析】利用幂函数和指数函数的单调性进行比较即可. 【详解】因为，化简得， 又，令，因为，所以幂函数在上单调递增， 又，所以，即； 又，，指数函数在上单调递减，且， 所以； 又，，指数函数在上单调递减，且， 所以； 综上所述，的大小关系是. 故答案为： 7.已知，若将、、按从小到大的顺序排列，应当是_____． 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为，则函数在上为减函数，所以， 故，则， 因为，故，故， 综上所述，. 故答案为：. 题型十二：指数（型）函数的奇偶性问题 1.函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】解：函数的定义域为R， 因为， 所以函数是偶函数， 故选：B. 2.已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【分析】先确定定义域为且关于原点对称,求出判定为奇函数,再将函数变形为,由在上递增推出在上递减,从而选出答案D. 【详解】已知函数，定义域为，关于原点对称. .满足，故是奇函数. .因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 3.若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解. 【详解】的定义域为，由于为偶函数，故， 即， 整理可得，故，则， 所以. 4.设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据选项构造函数，利用判断A、B、D，根据奇函数的定义判断C. 【详解】对于A：令，则定义域为，因为， 所以不是奇函数，A错误； 对于B：令，则定义域为，因为， 所以不是奇函数，B错误； 对于C：令，则定义域为， 因为 ，即所以是奇函数，C正确； 对于D：令，则定义域为， 因为，所以不是奇函数，D错误. 5.已知函数为奇函数，则实数______． 【答案】1 【分析】根据奇函数的定义可将问题转化为对定义域内的任意恒成立，即可求解. 【详解】由题意可得对定义域内的任意恒成立，故，因此， 化简可得：对定义域内的任意恒成立， 由于是变化的，因此，故. 6.若函数 是 上的奇函数，则 __________. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质解出，再利用奇函数定义检验即可. 【详解】因为 是上的奇函数， 所以，解得， 当时，， 满足，是奇函数， 故答案为： 题型十三：利用指数（型）函数的单调性和奇偶性解不等式问题 1.已知函数为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是奇函数求出参数的值，求解不等式. 【详解】函数定义域为，又为奇函数，所以，故，经检验符合题意； 不等式，即，，，，所以. 故选：D. 2.已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先由奇偶性求得在上的解析式，把不等式转化为等价不等式组，结合指数函数单调性，求解不等式组的解集即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，且当时，， 当时，，可得，所以， 又因为为上的奇函数，则， 则可转化为或，解得或， 故不等式的解集为. 故选：C. 3.已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数奇偶性的定义可得出、的方程组，解出函数的解析式，分析函数的单调性，结合可得出关于的不等式，即可得出原不等式解集. 【详解】因为①，且是奇函数，是偶函数， 则，即②， 由①②可得， 因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数， 由，可得，解得. 因此，不等式的解集是. 故选：A. 4.已知定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】由题意可得在上单调递增，从而可得，求解即可. 【详解】由题意可得在上单调递增，因为，所以， 则，又因为，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 5.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是______________． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为，利用函数的单调性建立条件关系即可 【详解】由函数性质知， ， ∴， 即，解得，∴， 故答案为：. 6.已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2) 函数为减函数. 对于任意实数,令,则, , 又, ,即,故为减函数. (3) 【分析】（1）利用定义域为的奇函数这一性质解出,再代入验证是否成立； （2）根据函数单调性的定义进行证明； （3）结合函数的单调性对不等式进行转化后求解. 【详解】（1）为定义域内的奇函数，, 即, 解得. 验证若,, ,可知为奇函数，符合题意， ∴. （2）略 （3）是上的减函数， , 解得, 不等式的解集为. 题型十四：指数（型）函数的恒成立与存在性问题 1.当且时，若，成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，可得出，将问题转化为对任意恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】令，则当且时，， 当且仅当时，等号成立， 且，则， 原不等式可化为对任意恒成立．所以恒成立， 又在上单调递减，所以． 故选：C. 2.已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可. 【详解】因为为偶函数，为奇函数，且①， 所以，②， ①②两式联立可得，. 由可得， 可得， 令，其中， 任取、且，则， 所以， ， 当时，则，则，则， 当时，则，则，则， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数，则， 故，即，故的最大值为. 故选：C. 3.已知函数，对，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，根据条件求出两个函数最值之间的关系，结合数形结合即可得到结论． 【详解】解：作出函数的图象如图： 则当，，的最大值为，最小值， 若，，此时满足，，，，使成立， 若，则直线过定点， 若，要使对，，，，使成立， 则满足，且， 即且， 即且， 此时满足， 若，要使对，，，，使成立， 则满足，且， 即且， 即且， 此时满足， 综上， 故选：A 4.设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据在上恒成立，故，分时，满足要求，当时，变形为在上恒成立，构造，，根据函数单调性得到，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得在上有意义，故在上恒成立， 故， 当时，，而，满足，符合题意， 当时，，在上恒成立， 令，， 其中在上单调递减， 故， 故， 综上，t的取值范围是， 故答案为： 5.若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】依题意化为对任意恒成立，求出不等式右边的最小值后，代入不等式可得结果. 【详解】由，得， 令，因为，所以， 所以对任意恒成立， 因为在上单调递增， 所以当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以，所以. 故答案为： 6.已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）应用指数运算法则计算求解； （2）先根据指数复合函数单调性及函数的中心对称性得，再代入求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）解：，. （2）解：对任意的，且，不等式恒成立， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以，由复合函数同增异减的性质可得函数在上单调递减，， 因为函数在上单调递减，， 所以可得函数在上单调递增， 因为，即，所以， 由（1）可知，即 因为不等式恒成立， 所以，即，解得， 所以，实数的取值范围为. 题型十五：指数函数模型的实际应用问题 1.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时 【答案】B 【分析】根据保鲜时间与储藏温度满足函数关系：，并结合食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，可求出，然后再将代入，即可得出答案. 【详解】解：由题可知，保鲜时间与储藏温度满足函数关系：， 则，即，所以， 于是当时，＝18(小时). 故选：B. 2.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为（单位：天）.现有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为、，开始记录时，这两种物质的质量相等，天后测量发现甲的质量是乙的质量的倍，则、应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这两种物质的初始质量都为，求出天后甲、乙两种物质的质量，结合题意与指数运算可得出、所满足的关系式. 【详解】不妨设这两种物质的初始质量都为， 则天后甲、乙两种物质的质量分别为、， 由题意知，即，即， 故选：D. 3.如图，将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”_________次．（参考数据：取） 【答案】6 【分析】根据题意求出第次“打水漂”的速率，建立不等式，解出即可. 【详解】根据题意可知， 设石片第n次“打水漂”时的速率为，则， 由， 得，则， 即，则， 故至少需要“打水漂”的次数为6． 故答案为：6. 4.当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水，放在的房间中，如果水温降到需要分钟．那么在16环境下，水温从降到时，需要_______分钟． 【答案】20 【分析】根据所给函数模型，由已知数据求得，然后令求得． 【详解】由已知可得， 由题意知，即， 解得， 当时， 由，得． 解得， 故答案为：. 5.一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年； (3)今后最多还能砍伐多少年. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意列出即可求解； （2）列式，将的值代入即可求解； （3）列式，再将的值代入即可求解. 【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为， 则，即，解得， 所以每年砍伐面积的百分比为； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年， 则，即，化简得， 所以，解得， 故到今年为止，该森林已砍伐了年； （3）设从今年开始，以后砍伐了年，则年后剩余面积为， 令，即，即， 所以，解得， 故今后最多还能砍伐年. 题型十六：指数（型）函数性质的综合应用问题 1.对于函数，若在定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．若存在实数使得是定义在上的伪偶函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意转化为有非零解，分类讨论，分离参数后由基本不等式可得解. 【详解】当是定义在上的伪偶函数时， 则存在非零实数满足，即有解， 当时，，与题意不符，舍去； 当时，，其中． 又因为，所以，即. 故选：B 2.定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性得到，，从而得到，换元得到在上的最小值为，根据对称轴，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】①，故， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 故，所以②， 式子①和②联立得，， ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的最小值为， 由于的对称轴为， 故当时，在上单调递增， 故，解得，不合要求，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，负值舍去； 故选：C 3.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解. 【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 因为，① 所以， 所以，② ①②得，， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，又， 若恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以只需， 因为，，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以（当且仅当时，取等号）， 所以， 所以的取值范围为. 故选：B． 4.已知函数 ，其中为实常数. 若，则__________;若存在直线与的图象有无穷多个交点，则__________. 【答案】 【分析】①根据题意，由分段函数的表达式即可求解；②分析分段函数的图像，寻找无穷交点的条件即可. 【详解】①已知，所以当时，，所以， 当时，，因此； ②根据题意，函数 的图像如图所示（）， 要使直线与的图象有无穷多个交点，则方程有无穷多个解， 由于时，，而直线在时趋于，所以在时直线与最多有有限个交点， 因此，无穷交点必须出现在的区间， 在时，是由上的图像不断向右平移单位，向上平移单位得到周期性结构， 若，的图像是周期为的周期函数，有界，此时直线与只有有限个交点； 若，的图像呈阶梯状上升（）或下降（）， 直线的斜率为，即每向右单位，增加， 为了让直线与函数每个周期的图像都有交点（从而有无穷多个交点），则在每个周期结束时的增量必须等于直线在周期长度上的增量， 即时，， 令，则，所以是一个周期为的函数， 方程等价于， 因为在时是周期函数，所以只要在的值域内，就会有无穷多个交点， 因此，当时，存在直线与的图象有无穷多个交点. 5.已知函数在上的值域为，若在区间存在实数，满足，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据条件分析出的值，画出分段函数的图象，即可得到取值范围. 【详解】当时，在内单调递减，则，且； 若在上的值域为，则在上的最值点在内， 可知的图象对称轴为， 当，即时，则在内最大值小于0，不成立； 当，即时，的最大值为，可得（负值舍去）， 令，解得或， 又， 结合的图像可知的取值范围是． 当，即时，此时在内没有最大值. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 6.已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 因 故. (3) 【分析】（1）先将函数解析式分离常数化为，再根据指数函数，取倒函数的单调性 即可求得 的值域； （2）将代入右式化简计算即可证得左式； （3）先证明函数是奇函数，将代入化简，通过，换元，整理后再由换元，构造函数，由在上的单调性求得最小值即得参数范围. 【详解】（1）， 当时，，则，得， 则有， 故函数在区间上的值域为 （2）略 （3），则函数是奇函数， 将（2）代入不等式得， 令，不等式转化为， 整理得恒成立， 令，则在上单调递减，可得． 所以，即实数的取值范围为． 7.已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）将代入中，得出函数的解析式，然后结合二次函数和指数型复合函数性质求解即可； （3）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）当时，， 此时函数， 由函数的对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由在上单调递减，根据复合函数单调性得： 在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是. 8.设函数. (1)若，判断的奇偶性和单调性； (2)若，求使不等式恒成立时，实数的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)奇函数，减函数 (2) (3)2 【分析】（1）由定义域结合奇偶函数定义可判断的奇偶性，然后由指数函数的单调性可直接判断的单调性； （2）由（1）可得在上单调递减，据此可将不等式化为，据此可得答案； （3）由，可得，，令，则得，分，两种情况讨论可得答案. 【详解】（1）∵的定义域为，关于原点对称， 因，则为奇函数. ∵，∴函数在R上单调递减，函数在R上单调递减， 故是R上的减函数； （2）∵，∴， 又，且，∴，故在上单调递减. 不等式可化为， 则得，即在上恒成立， ∴，解得. （3）∵，∴，即，解得或（舍去）， ∴. 令，因均在R上递增，故为R上的增函数， ∵，∴. 令. 若，则，∴； 若时，，解得，不合题意. 综上，. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指数函数图象与性质十六大常考题型 题型一 指数函数的概念理解与判断 题型二 求指数函数的解析式或函数值 题型三 指数（型）函数的定义域问题 题型四 指数（型）函数的值域问题 题型五 指数（型）函数的过定点问题 题型六 指数（型）函数图象的识别 题型七 指数函数图象的应用问题 题型八 指数（型）函数的单调性与单调区间 题型九 利用指数函数的单调性求参数问题 题型十 利用指数函数的单调性求最值问题 题型十一 利用指数函数的单调性比较大小问题 题型十二 指数（型）函数的奇偶性问题 题型十三 利用指数（型）函数的单调性和奇偶性解不等式问题 题型十四 指数（型）函数的恒成立与存在性问题 题型十五 指数函数模型的实际应用问题 题型十六 指数（型）函数性质的综合应用问题 题型一：指数函数的概念理解与判断 1．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 3．“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 5．函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 6．若函数是指数函数，则实数___________． 7．若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 题型二：求指数函数的解析式或函数值 1．已知函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 3．函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 4．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 5．若指数函数的图象经过点，则______，______． 6．已知函数满足：①的定义域为；②对任意实数，均有；③不为常值函数，试写出一个符合条件的的解析式：_________． 7．若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值． 8．已知指数函数 (1)当时，求的值； (2)若是指数函数，求解析式. 题型三：指数（型）函数的定义域问题 1．函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 2．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______ 5．已知函数的定义域为，则_________． 6．函数若函数的定义域是，则的取值范围是________． 题型四：指数（型）函数的值域问题 1．当时，函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域为______． 5．记表示不超过的最大整数，如.已知函数，则__________，函数的值域为__________. 6．函数的值域为，能使成立的一个值为________． 7．已知函数的值域为，则的取值范围是_____. 8．已知函数的图象过点，． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，求的值域． 题型五：指数（型）函数的过定点问题 1．函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 2.函数，且的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 3.幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 4.已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（    ） A． B．8 C．4 D． 5.已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为______. 6.函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 题型六：指数（型）函数图象的识别 1.指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．  B．C． D．   2.如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 3.函数的图象大致为（   ） A．B．C． D．   4.函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   5．当时，函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 题型七：指数函数图象的应用问题 1.为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 2.已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 3.已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 4.函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 5.若实数满足，则的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 6.若曲线与直线没有公共点，则的取值范围为________． 7.已知函数，若函数的图象与直线有三个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 题型八：指数（型）函数的单调性与单调区间 1．下列函数中，在定义域上单调递减的函数为（   ） A． B． C． D． 2.已知函数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4.函数的单调递增区间是__________. 5.已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 题型九：利用指数函数的单调性求参数问题 1.如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 2.已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4.已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值为（     ） A． B． C． D． 5.已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是______． 6.已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 题型十：利用指数函数的单调性求最值问题 1.函数的最小值是（    ） A．不存在 B．2 C．1 D．0 2.函数（   ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 3.已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 4.定义在上的函数，则的最大值是________. 5.若，分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则________. 6.已知函数. (1)若，求的值； (2)若函数，，讨论在上的最小值， 题型十一：利用指数函数的单调性比较大小问题 1.已知，则（     ） A． B． C． D． 2.若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 5.若，，，则a，b，c大小关系_____.（按从大到小顺序排列） 6.已知，，，则的大小关系是___________ 7.已知，若将、、按从小到大的顺序排列，应当是_____． 题型十二：指数（型）函数的奇偶性问题 1.函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 2.已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 3.若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 4.设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5.已知函数为奇函数，则实数______． 6.若函数 是 上的奇函数，则 __________. 题型十三：利用指数（型）函数的单调性和奇偶性解不等式问题 1.已知函数为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3.已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4.已知定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为______. 5.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是______________． 6.已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)求不等式的解集． 题型十四：指数（型）函数的恒成立与存在性问题 1.当且时，若，成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，对，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为______． 5.若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 6.已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型十五：指数函数模型的实际应用问题 1.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时 2.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为（单位：天）.现有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为、，开始记录时，这两种物质的质量相等，天后测量发现甲的质量是乙的质量的倍，则、应满足（    ） A． B． C． D． 3.如图，将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”_________次．（参考数据：取） 4.当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水，放在的房间中，如果水温降到需要分钟．那么在16环境下，水温从降到时，需要_______分钟． 5.一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年； (3)今后最多还能砍伐多少年. 题型十六：指数（型）函数性质的综合应用问题 1.对于函数，若在定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．若存在实数使得是定义在上的伪偶函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 3.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.已知函数 ，其中为实常数. 若，则__________;若存在直线与的图象有无穷多个交点，则__________. 5.已知函数在上的值域为，若在区间存在实数，满足，且，则的取值范围是__________． 6.已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 7.已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 8.设函数. (1)若，判断的奇偶性和单调性； (2)若，求使不等式恒成立时，实数的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求实数的值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $