第6章 周末练11 范围：§6.1～§6.3（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦幂函数、指数对数函数，通过定义法、数形结合等方法体系，系统构建函数性质与应用的逻辑链条，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数性质|3|定义求参数、单调性与奇偶性判断|定义→性质（单调/奇偶）→应用| |指数对数函数|5|定义域不等式法、图象识别、恒成立问题数形结合|图象性质→综合比较与应用| |函数综合应用|4|反函数性质、基本不等式求最值、复合函数值域|性质综合→实际问题解决|

周末练11　范围：§6.1~§6.3 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知幂函数f(x)=xn，若函数f(x)的图象过点则n等于(　　) A.0 B. C.- D.-2 答案　C 解析　幂函数f(x)=xn的图象过点则=2，即2-2n=2，解得n=-. 2.函数y=的定义域为(　　) A.(-∞，-4)∪(-4，1) B.(-∞，-1)∪(-1，4) C.(-∞，1) D.(1，+∞) 答案　A 解析　∵⇒ ∴函数y=的定义域为(-∞，-4)∪(-4，1). 3.已知幂函数f(x)=x4-m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，+∞)上单调递增，则m等于(　　) A.1 B.2 C.1或3 D.3 答案　C 解析　因为f(x)=x4-m在(0，+∞)上单调递增， 所以4-m>0，所以m<4. 又因为m∈N*，所以m=1，2，3. 又因为f(x)=x4-m是奇函数， 所以4-m是奇数，所以m=1或m=3. 4.一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0<x<m)的函数，其关系式是(　　) A.y=a(1+p%)x(0<x<m) B.y=a(1-p%)x(0<x<m) C.y=a(p%)x(0<x<m) D.y=a-(p%)x(0<x<m) 答案　B 解析　∵产品的成本是a元，1年后，成本为a-p%·a=a(1-p%)；2年后，成本为a(1-p%)-a(1-p%)·p%=a(1-p%)2；…， ∴x年后，成本y=a(1-p%)x(0<x<m). 5.函数y=x+a与y=logax的图象只可能是下图中的(　　) 答案　C 解析　由A选项中y=x+a的图象知a>1，而y=logax为减函数，故A错误；由B选项中y=x+a的图象知0<a<1，而y=logax为增函数，故B错误；由C选项中y=x+a的图象知0<a<1，且y=logax为减函数，故C正确；由D选项中y=x+a的图象知a<0，而y=logax无意义，故D错误. 6.★★当x∈(1，2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2] D. 答案　C 解析　设f1(x)=(x-1)2，f2(x)=logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，只需在(1，2)上f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=logax的图象的下方. 当0<a<1时，显然不成立； 当a>1时，如图所示，要使在(1，2)上f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=logax的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2-1)2≤loga2，所以loga2≥1，即1<a≤2. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列求值正确的是(　　) A.log927= B.若log27x=-则x= C.lo81=16 D.若logx16=-4，则x=-2 答案　ABC 解析　设x=log927，则9x=27，32x=33， ∴2x=3，∴x=故A正确； ∵log27x=- ∴x=2==3-2=故B正确； 设x=lo81， 则()x=81=34， ∴=4， ∴x=16，故C正确； ∵logx16=-4， ∴x-4=16，即x4==. 又x>0，∴x=故D错误. 8.若1<m<n，下列不等式成立的是(　　) A.log3m<log3n B.4n<4m C.logm3<logn3 D.> 答案　AD 解析　因为y=log3x是(0，+∞)上的增函数，且1<m<n，所以log3m<log3n，故A正确；因为y=4x在(1，+∞)上单调递增，且1<m<n，故4m<4n，故B错误；取m=3，n=9，所以logm3=log33=1，logn3=log93=所以logm3>logn3，故C错误；y=在(1，+∞)上单调递减，且1<m<n，所以>故D正确. 9.对于函数f(x)=ex(e是自然对数的底数)，a，b∈R，以下各式正确的有(　　) A.f(a)·f(b)=f(a+b) B.af(a)+bf(b)≥af(b)+bf(a) C.f(a)≥a+1 D.f≤ 答案　ABD 解析　f(a)·f(b)=ea·eb=ea+b=f(a+b)，故A正确；af(a)+bf(b)≥af(b)+bf(a)⇔f(a)(a-b)≥f(b)(a-b)，当a=b时，显然成立；当a>b时，f(a)>f(b)；当a<b时，f(a)<f(b)，综上可得f(a)(a-b)≥f(b)(a-b)，故B正确；取a=f =≥不成立，故C错误；≥=⇒f≤故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知函数y=xα的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m>0，n>0，则+的最小值为　　　　　　.  答案　4 解析　函数y=xα的图象恒过定点A(1，1)，所以m+n=1 ， 因为m>0，n>0， 所以+=(m+n) =2++≥2+2=4， 当且仅当m=n=时等号成立， 所以+的最小值为4. 11.函数y=log2(-x2+4x)的值域是　　　　.  答案　(-∞，2] 解析　由题意得-x2+4x>0，解得0<x<4， 即函数y=log2(-x2+4x)的定义域为(0，4). 令t=-x2+4x， 又x∈(0，4)时，0<t=-x2+4x≤-22+8=4， 即t∈(0，4]， 所以y=log2(-x2+4x)=log2t∈(-∞，2]，即值域为(-∞，2]. 12.★★已知函数y=f(x)存在反函数y=g(x)，若函数y=f(x)+2x的图象经过点(1，6)，则函数y=g(x)+log2x的图象必经过点　　　　　　.  答案　(4，3) 解析　由y=f(x)+2x的图象经过点(1，6)，得6=f(1)+2，f(1)=4， 故f(x)的反函数g(x)的图象经过点(4，1)， 所以y=g(4)+log24=1+2=3，故函数y=g(x)+log2x的图象必经过点(4，3). 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知幂函数y=f(x)=(-2<m<2，且m∈Z)满足：①在区间(0，+∞)上单调递增；②对任意的x∈R，都有f(-x)+f(x)=0. (1)求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式；(7分) (2)在(1)的条件下，求当x∈[0，3]时，f(x)的值域.(6分) 解　(1)∵对任意的x∈R，都有f(-x)+f(x)=0，∴f(x)是奇函数. ∵-2<m<2且m∈Z， ∴m=-1或0或1. 当m=-1时，f(x)=x2，满足①不满足②； 当m=0时，f(x)=x3，满足①②； 当m=1时，f(x)=1(x≠0)，不满足①②. 故幂函数f(x)的解析式为f(x)=x3. (2)当x∈[0，3]时，f(x)=x3∈[0，27]， 故f(x)的值域为[0，27]. 14.(14分)已知函数f(x)=lg. (1)若f(x)为奇函数，求a的值；(7分) (2)在(1)的条件下，若f(x)在区间(m，n)上的值域为(-1，+∞)，求实数m，n的值.(7分) 解　(1)∵f(x)为奇函数，∴f(x)+f(-x)=0， ∴lg+lg=0， ∴=1， 解得a=1(a=-1舍去). 经验证当a=1时，f(x)的定义域为(-1，1)，符合题意，故a=1. (2)由(1)知f(x)=lg其定义域为(-1，1). 令t==-1+ 易知当x∈(-1，1)时，t=单调递减，而y=lg t在定义域上为增函数， ∴f(x)=lg在定义域上是减函数，则m=-1， 由题意知f(n)=lg=-1，解得n=. 故所求m的值为-1，n的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $