专题04 幂指对复合函数八大常考题型（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题04 幂指对函数的复合函数八大常考题型 题型一 幂指对复合函数的定义域问题 题型二 幂指对复合函数的单调性与单调区间 题型三 利用幂指对复合函数的单调性求参 题型四 利用幂指对复合函数的单调性求值域或最值问题 题型五 幂指对复合函数的奇偶性判断与求参 题型六 利用幂指对复合函数的单调性与奇偶性解不等式 题型七 幂指对复合函数的性质的综合应用 题型八 幂指对复合函数的恒成立与有解问题 题型一：幂指对复合函数的定义域问题 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】2 7.【答案】 题型二：幂指对复合函数的单调性与单调区间 1．【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】D 5.【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】 题型三：利用幂指对复合函数的单调性求参 1．【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】 题型四：利用幂指对复合函数的单调性求值域或最值 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】 8．【答案】 9.【答案】 10．【答案】(1)； (2)最大值与最小值分别为. 11.【答案】(1) (2)或3 12.【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 题型五：幂指对复合函数的奇偶性判断与求参 1．【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】1 5.【答案】2 6.【答案】 1 7．【答案】3 8.【答案】1 题型六：利用幂指对复合函数的单调性与奇偶性解不等式 1．【答案】(1) (2) 2．【答案】(1). (2). 3.【答案】(1) (2) 4.【答案】(1) (2) 5.【答案】(1)， (2)证明：由（1）知 任取，且， 则 因为，可得，所以， 所以，即，所以函数在上的单调递增； 6.【答案】(1)在R上是递减函数，证明： 任取、，且， ，， ∴，即，故是定义在R上的递减函数； (2) 题型七：幂指对复合函数的性质的综合应用 1．【答案】ABD 2．【答案】ABD 3．【答案】AB 4．【答案】ABD 5．【答案】BD 6．【答案】ABD 7．【答案】BC 8．【答案】ACD 9．【答案】AD 10．【答案】ABC 题型八：幂指对复合函数的恒成立与有解问题 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】(1) 因为函数是定义域在上的奇函数， 所以，解得， 所以，经检验符合题意， 在上单调递增，证明如下： 设任意的且， 则 ， 因为且，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. (2) (3) 7.【答案】(1) (2) (3) 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂指对函数的复合函数八大常考题型 题型一 幂指对复合函数的定义域问题 题型二 幂指对复合函数的单调性与单调区间 题型三 利用幂指对复合函数的单调性求参 题型四 利用幂指对复合函数的单调性求值域或最值问题 题型五 幂指对复合函数的奇偶性判断与求参 题型六 利用幂指对复合函数的单调性与奇偶性解不等式 题型七 幂指对复合函数的性质的综合应用 题型八 幂指对复合函数的恒成立与有解问题 题型一：幂指对复合函数的定义域问题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案. 【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由化简求解即可. 【详解】由，得x的取值范围为：，所以函数的定义域为. 故选：A. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 4．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 5．若函数的定义域为，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得在上恒成立，进而可得出答案. 【详解】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 所以，解得， 所以整数的最小值为. 故选：B. 6．若幂函数的定义域为，则__________． 【答案】2 【分析】应用幂函数的定义域列出一元二次不等式计算求解. 【详解】 ∵幂函数的定义域为， 解得，又，经检验，符合题意． 故答案为：2. 7.函数的定义域为，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为kx2﹣kx+1＞0恒成立求参数，再结合二次函数性质，即可求解. 【详解】由题意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，当k＝0时，1＞0恒成立， 当k≠0时，，解可得，0＜k＜4， 综上可得，k的范围[0，4）. 故答案为：. 题型二：幂指对复合函数的单调性与单调区间 1．下列函数中，在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的单调性进行判断，对四个选项逐一分析判断即可. 【详解】对选项A，因为在上单调递减，故选项A错误； 对选项B，因为在上单调递减，故选项B错误； 对选项C，因为在上单调递减，故选项C错误； 对选项D，因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：D. 2.下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，直接根据反比例函数性质判断；对于B，根据二次函数性质判断；对于C，根据复合函数单调性法则判断；对于D，转化为分段函数，再结合指数函数性质判断. 【详解】对于A，由反比例函数性质知在上单调递增，故错误； 对于B，， 由二次函数性质在上单调递减，在上单调递增，故错误； 对于C，函数在上单调递增，在单调递减， 故由复合函数单调性法则（同增异减）得在上单调递减，故正确； 对于D，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，故错误； 3.函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 4.函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 5.函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用复合函数的单调性判断结论求解. 【详解】由得， 所以函数的定义域为， 因为函数在上单调递增，为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上单调递减， 所以函数的单调递减区间为． 6．函数的单调性为（   ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】B 【分析】根据题意，求得函数的定义域为，结合二次函数的单调性与复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由函数，则满足， 即，解得，即函数的定义域为， 又由函数的图象开口向下，且对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为在定义域上为单调递减函数， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得在上单调递减，在上单调递增. 故选：B. 7．函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为， 令，则原函数为， 在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 题型三：利用幂指对复合函数的单调性求参 1．已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先依据幂函数的定义求出的可能取值，再结合函数在上单调递减的性质筛选得到正确结果. 【详解】根据幂函数的定义可得 ，即，解得或， 又在上单调递减，可得，即， 所以. 2.若幂函数在上为减函数,则m的值为（　  　） A．1或3 B．1 C．3 D．2 【答案】C 【解析】由幂函数在区间上为减函数，可得，．解出即可． 【详解】函数是幂函数， 则，解得：或 又函数在区间上为减函数， 则，所以， 故选：C. 3.设，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先需要求出函数在上单调递增时的取值范围，然后判断“”与该取值范围的逻辑关系. 【详解】函数是复合函数，外层函数是上的增函数， 根据同增异减，在上单调递增等价于内层函数在上单调递增,， “”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数型函数的定义域和单调性，转化为子集问题，即可求解. 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为， 函数在上单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为， 依题意有，. 即的取值范围为. 5.已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段函数在上单调递减，需要满足两个条件：各分段内函数自身单调递减，且在分段点处左侧函数值不小于右侧函数值；分别对二次函数、指数型复合函数列出不等式，求交集得到参数范围. 【详解】当时，二次函数开口向上，对称轴为， 要使其在上单调递减，需对称轴在区间的右侧，即：. 当时，指数函数，内层函数为单调递增函数，需外层指数函数为单调递减函数， 因此底数满足：. 函数在上单调递减，需满足处左侧函数值不小于右侧函数值，即， 代入，得，解得. 联立三个约束条件：，取交集得，即的取值范围是. 6.函数在上单调递减，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用复合函数单调性法则“同增异减”，可得答案. 【详解】令，， 外层函数是减函数， 要使函数在上单调递减， 因此内层函数必须在上单调递增， 且满足恒成立， 即，解得：. 因此实数a的取值范围是. 题型四：利用幂指对复合函数的单调性求值域或最值 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 2．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【详解】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 3．若函数（且）在上的最大值与最小值的和为2，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对数函数在定义域内单调，故其在上的最大值、最小值在端点取得， ，故，即，解得． 4.函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数定义域，根据对数运算，再由函数单调性求值域. 【详解】由，解得， 则， 则为增函数，所以． 5.函数在区间上的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行换元，把原函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值． 【详解】，令，则， 原函数化为，函数开口向上，对称轴为，， 在对称轴处取得最小值，最小值为, 所以的最小值为1． 故选：D． 6.值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用换元法结合对数函数值域及二次函数分段得出函数值域. 【详解】因为， 当时，设，， 当时，单调递增，所以， 所以函数的值域为 7.函数，的值域为________ 【答案】 【详解】因为在上是增函数，故在上是增函数，所以，即函数值域为. 8．函数的值域为______. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】由于， 所以， 所以原函数的值域为 故答案为： 9.函数在上的最大值与最小值之和为，则a的值为______． 【答案】 【分析】根据函数单调性求出最大值与最小值之和，再解方程求出a的值即可. 【详解】因为和在上的单调性相同， 所以在上为单调函数， 所以，∴，． 故答案为： 10．已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值； (2)若，当时，求的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)最大值与最小值分别为. 【分析】（1）根据给定条件，利用幂函数定义以及性质求解. （2）由（1）求出，再利用二次函数求出闭区间上的最值. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以. （2）由（1）得，则， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以的最大值与最小值分别为. 11.已知幂函数在上单调递增. (1)求解析式； (2)若在上的最小值为，求m的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得，进而求解即可； （2）根据二次函数的性质讨论求解即可. 【详解】（1）由题意得，，解得， 则. （2）由，对称轴为， 当时，，则，即； 当时，， 则，即（舍去）或（舍去）； 当时，，则，即. 综上所述，或3. 12.已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）先根据已知区间上的最大值与最小值之差确定对数的底数及单调性，再利用对数函数的单调性解不等式； （2）将所求函数化为关于新变量的二次函数，在闭区间上求最值． 【详解】（1）由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以，，， 所以，所以在上单调递增， 所以，解之得，所以解集为． （2）因为在上单调递增， 所以，， 即，所以. 所以，所以. 令，因为，所以， 所以. 该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得； 比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大． 所以，. 即，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0． 题型五：幂指对复合函数的奇偶性判断与求参 1．下列函数中，是奇函数且在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性与单调性的定义判断. 【详解】对A，在定义域内是减函数，A错； 对B，在上是减函数，B错； 对C，由于，，定义域不包含，C错； 对D，在上，是增函数，是减函数，因此是增函数， 又，定义域为R，是奇函数，D正确. 2.已知函数，若函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】由函数 是奇函数可得: 对定义域内的任意x都成立, 故选：C． 3.已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求解，再利用奇函数的性质求解，最终计算. 【详解】 函数有意义需满足且，即， 由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内， 代入分子得，解得， 求参数： 将代入得： ， 由于在定义域内，奇函数满足，代入得： ，解得， 此时函数，， 则 ， 即，则是奇函数，满足题意， 故 . 4.已知函数为奇函数，则实数的值为__________. 【答案】1 【分析】分析可知函数的定义域为，根据奇函数的定义结合对数运算求解即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 即， 可得，结合x的任意性可知. 5.若幂函数是奇函数，则___________. 【答案】2 【分析】利用幂函数的定义以及奇函数的性质即可求解 【详解】由题可知，即，解得或． 当时，，其定义域为，，此时为奇函数； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数； 综上，. 故答案为： 6.若为偶函数，则_________，若为奇函数，则_________． 【答案】 1 【分析】根据求解并检验；根据求解并检验即可. 【详解】为偶函数时，，即，解得. 此时，，定义域为，满足，满足题意； 为奇函数时，，即，解得， 此时，，定义域为，满足，满足题意； 综上，若为偶函数，则，若为奇函数，则 7．已知幂函数是上的奇函数，则实数的值为_____. 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义得，解得的值，再利用常见幂函数的奇偶性逐个判断即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意； 当时，函数是奇函数，符合题意； 因此，. 故答案为：. 8.函数是奇函数，则__________. 【答案】1 【分析】根据奇函数的性质，结合对数运算，即可求解，再代入函数解析式求值. 【详解】因为，所以， 因为是奇函数，所以，即， 所以，解得， 则. 故答案为：1 题型六：利用幂指对复合函数的单调性与奇偶性解不等式 1．已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和奇偶性，可求得参数； （2）利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为是奇函数， 所以. （2）由（1）知，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以，即， 解得， 所以不等式解集为. 2．已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，确定结论； （2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）由题意，幂函数， 可得，     即，解得或，     当时，函数为奇函数，     当时，为非奇非偶函数，     因为为奇函数，所以. （2）由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以，     解得，     所以a的取值范围为. 3.已知定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质计算可得； （2）依题意可得，根据对数函数的性质及指数函数的性质解得即可. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，当时，； 设，则，所以，则； 又当时，； 综上可得. （2）当时，， 所以当时不等式，即， 即， 即， 即，即， 因为在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 4.已知函数是定义在上的奇函数，当时，， (1)当时，求函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数为奇函数求出，且，进而求出时的函数解析式； （2）先得到在上单调递增，结合函数的奇偶性，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， ，当时，则， 由时，函数， 所以， 即， 所以当时，； （2）不等式，由函数为奇函数， 化为：，即， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增，且， 由函数为奇函数，所以在上单调递增， 且， 又∵， ∴在上单调递增， 故有，解得， 综上所述：不等式的解集为. 5.已知函数为指数函数，函数为定义在上的奇函数． (1)求的解析式； (2)证明函数在上的单调性，若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 证明：由（1）知 任取，且， 则 因为，可得，所以， 所以，即，所以函数在上的单调递增； 【分析】（1）根据指数函数的定义，求得，得到，进而得到，再由，求得，得到，即可求解； （2）利用函数单调性的定义和判定方法，证得函数在上单调递增，再由为奇函数，把不等式转化为，得到，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为指数函数， 则，解得或（舍去），所以， 又由 因为为定义在上奇函数，所以，解得，所以， 经验证：当时，满足， 所以函数为上的奇函数，所以的解析式为. （2）由函数在定义域上单调递增，且为奇函数， 不等式，即为， 则满足，解得，所以的取值范围为． 6.已知定义域为R的函数是奇函数． (1)判断的单调性，并证明； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)在R上是递减函数，证明： 任取、，且， ，， ∴，即，故是定义在R上的递减函数； (2) 【分析】（1）利用奇函数性质求得，再由单调性定义判断函数单调性即可； （2）根据函数奇偶性、单调性可得，再由对数函数性质求解集即可. 【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，则， 即 ，解得， 所以，故在R上是递减函数． 证明略 （2）∵，∴， 是R上的奇函数，∴， 是R上的减函数，∴， ∴，解得， ∴不等式的解集为． 题型七：幂指对复合函数的性质的综合应用 1．（多选）已知函数（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】选项A，变形为与二次函数有关的复合函数值域求解； 选项B，利用两个减函数的和为减函数，利用单调性求值域； 选项C，平方变形与A同理可求； 选项D，变形为与分式函数有关的复合函数值域求解， 关键是根号内函数分离常数变形为反比例函数求解即可. 【详解】要使，都有意义，则有， 故， 选项A，设，， ， ， 则的值域为，故A正确； 选项B，设，， 则在单调递减， 故， ， 则的值域为，故B正确； 选项C，设， ， ， 由选项A知，的值域为，则的值域为， 又，所以的值域为，故C错误； 选项D，设，且 ， 由，则， 令，则， 则关于的函数在单调递减， 则的值域为， 即的值域为，故D正确. 故选：ABD. 2．（多选）下列关于函数，下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A；去绝对值分离常数可得函数的单调性即可判断B；根据单调性与奇偶性可判断C、D. 【详解】由题意,为偶函数，选项A正确． 当时，为单调递减函数，选项B正确． 当时，为单调递减函数，则， 因为函数为偶函数，当时，，选项D正确，C不正确． 故选：ABD． 3．（多选）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的单调增区间为 B．函数的值域为 C．函数，则为偶函数 D． 【答案】AB 【分析】A：求出函数定义域，根据复合函数单调性即可判断；B：根据二次函数值域即可求解；C：根据奇偶性定义即可判断；D：解二次不等式即可判断答案． 【详解】对于A：由， 设函数，则函数为和函数的复合函数， 函数的单调增区间为定义域与内层函数的单调减区间的交集，即，故A错误； 对于B：因为，所以，所以， 函数的值域为，值域为集合，故B表述错误； 对于C：因为，所以， 由，∴定义域关于原点对称， 又， ∴为偶函数，故C正确； 对于D：. 当时，， 所以，所以，所以， 所以，故D正确． 故选：AB． 4．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：函数定义域为R，，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为减函数， 则为增函数，则在上单调递减，故D正确. 5．（多选）已知函数，，下列命题正确的有（    ） A．的图象关于原点对称 B．对于任意实数a，有 C．任意的，，有成立 D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 【答案】BD 【分析】根据给定的函数，利用函数奇偶性定义判断A；确定单调性判断BC；利用单调性及奇偶性求出不等式解集判断D. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又不恒为0，因此的图象关于原点不对称，A错误； 对于B，当时，，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，，则，B正确； 对于C，由函数在上单调递增，得任意的，， 有成立，C错误； 对于D，当时，，不等式， 解得或，因此所求解集为，D正确. 6．（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的单调递增区间为 C．当时， D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】确定函数定义域，利用定义判断奇偶性，结合复合函数单调性逐项判断即可． 【详解】定义域为， ，则为偶函数，故A正确； 当时，，令， 为增函数，在单调递减，在单调递增， 时，的单调递增区间为， 又为偶函数， 则函数在和单调递减，在和单调递增， 所以的单调递增区间为，故B正确； 当时，，且函数在单调递减， ，故C错误； 函数在和单调递减，在和单调递增， ，故D正确． 7．（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．， D．函数的最小值为2 【答案】BC 【分析】先把化简为，由判断奇偶性，再用基本不等式求出的范围，从而判断的符号与最小值. 【详解】. 对于A、B，因为， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，A错误、B正确. 对于C，当时，由基本不等式得（等号只在时成立）， 所以，C正确. 对于D，因为（当且仅当时取等号）， 所以，即的最小值为，而不是，D错误. 8．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 【答案】ACD 【分析】由对数型复合函数的性质，结合二次函数性质、复合函数“同增异减”规则、函数对称性判定方法逐一分析选项即可. 【详解】选项A：当时，对数真数需满足，因式分解得， 解得或，即定义域为，A正确； 选项B：当时，真数，为增函数， 故，值域为，不是，B错误； 选项C：， ， 即，故图象关于直线对称，C正确； 选项D：当时，定义域为， 内层函数在上单调递减，外层单调递增， 由复合函数“同增异减”规则，得的单调递减区间为，D正确. 9．（多选）已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】AD 【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立， 所以判别式，即， 所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确； 对于B，若，即， 化简， 故解得，故B错误； 对于C，，因为与无关，所以， ，故不恒过定点，故C错误； 对于D，若在上单调递减，只需要在上单调递减， 且，即，解得，故,故D正确. 10．（多选）已知函数，，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于轴对称 C． D．对任意的，的最大值与最小值之和为4 【答案】ABC 【分析】由可判断A；由可判断B；计算可得判断C；由结合对称性可判断D. 【详解】对于A，定义域为， 因为， 即 ， 故不是奇函数，图象不关于原点对称，故A错误； 对于B，因为，显然， 故不是偶函数，图象不关于轴对称，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，由前面推导得 ， 即图象关于点成中心对称， 在对称区间上，设最大值为 ，则最小值为 ， 故最大值与最小值之和为，D正确. 题型八：幂指对复合函数的恒成立与有解问题 1．已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数的奇偶性及单调性即可解得. 【详解】易知是奇函数且单调递增， 故原不等式等价于 即 所以， 所以在任意的上恒成立，故. 故选：D 2．已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，原不等式可转化为，根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解. 【详解】令，则， 所以不等式可化为， 即，因为是奇函数且在上单调递增， 所以，则， 所以在上恒成立，则， 即实数的取值范围是. 故选：A 3．已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是______. 【答案】 【分析】先根据偶函数定义得是偶函数，再根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，从而利用单调性将不等式转化为，根据和分别求解a的范围，最后求交集即可. 【详解】对于函数，因为， 所以恒成立，其定义域为R， 又， 且， 所以为R上的偶函数. 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以等价于，即，即. 当时，恒成立，所以； 当时，恒成立，所以. 综上，. 故答案为： 4．已知函数，．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为____． 【答案】 【分析】将问题可转化为．，易知函数在上的最大值为，分类讨论求解的最小值求解即可. 【详解】问题可转化为． 由，所以函数在上单调递增， 所以． 当时，函数在上为增函数，则，符合题意； 当时，函数在上为减函数， 则，解得； 当时，，符合题意． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：. 5．已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据，，，由求解. 【详解】因为对，，， 所以只需即可， 因为，， 所以，， 由， 解得 故答案为：. 6．已知函数是定义域在上的奇函数. (1)求实数的值，判断函数的单调性并证明； (2)若不等式恒成立，求实数取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】(1) 因为函数是定义域在上的奇函数， 所以，解得， 所以，经检验符合题意， 在上单调递增，证明如下： 设任意的且， 则 ， 因为且，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出的值，再检验即可，最后由单调性的定义证明即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【详解】（1）略 （2）因为在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立， 设，则，， 当且仅当，即，时等号成立，所以， 故实数的取值范围是； （3）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是. 7.已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂指对函数的复合函数八大常考题型 题型一 幂指对复合函数的定义域问题 题型二 幂指对复合函数的单调性与单调区间 题型三 利用幂指对复合函数的单调性求参 题型四 利用幂指对复合函数的单调性求值域或最值问题 题型五 幂指对复合函数的奇偶性判断与求参 题型六 利用幂指对复合函数的单调性与奇偶性解不等式 题型七 幂指对复合函数的性质的综合应用 题型八 幂指对复合函数的恒成立与有解问题 题型一：幂指对复合函数的定义域问题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若函数的定义域为，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若幂函数的定义域为，则__________． 7.函数的定义域为，则实数的取值范围是______ 题型二：幂指对复合函数的单调性与单调区间 1．下列函数中，在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2.下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3.函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 4.函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 5.函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 6．函数的单调性为（   ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 7．函数的单调递增区间是_____． 题型三：利用幂指对复合函数的单调性求参 1．已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 2.若幂函数在上为减函数,则m的值为（　  　） A．1或3 B．1 C．3 D．2 3.设，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.函数在上单调递减，则实数的取值范围是________. 题型四：利用幂指对复合函数的单调性求值域或最值 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数（且）在上的最大值与最小值的和为2，则（     ） A． B． C． D． 4.函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5.函数在区间上的最小值为（      ） A． B． C． D． 6.值域为（   ） A． B． C． D． 7.函数，的值域为________ 8．函数的值域为______. 9.函数在上的最大值与最小值之和为，则a的值为______． 10．已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值； (2)若，当时，求的最大值与最小值． 11.已知幂函数在上单调递增. (1)求解析式； (2)若在上的最小值为，求m的值. 12.已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 题型五：幂指对复合函数的奇偶性判断与求参 1．下列函数中，是奇函数且在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，若函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 3.已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 4.已知函数为奇函数，则实数的值为__________. 5.若幂函数是奇函数，则___________. 6.若为偶函数，则_________，若为奇函数，则_________． 7．已知幂函数是上的奇函数，则实数的值为_____. 8.函数是奇函数，则__________. 题型六：利用幂指对复合函数的单调性与奇偶性解不等式 1．已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 2．已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 3.已知定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，解不等式． 4.已知函数是定义在上的奇函数，当时，， (1)当时，求函数的解析式； (2)求不等式的解集． 5.已知函数为指数函数，函数为定义在上的奇函数． (1)求的解析式； (2)证明函数在上的单调性，若，求的取值范围． 6.已知定义域为R的函数是奇函数． (1)判断的单调性，并证明； (2)解关于的不等式． 题型七：幂指对复合函数的性质的综合应用 1．（多选）已知函数（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 2．（多选）下列关于函数，下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．的值域为 3．（多选）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的单调增区间为 B．函数的值域为 C．函数，则为偶函数 D． 4．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 5．（多选）已知函数，，下列命题正确的有（    ） A．的图象关于原点对称 B．对于任意实数a，有 C．任意的，，有成立 D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 6．（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的单调递增区间为 C．当时， D．的最小值为 7．（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．， D．函数的最小值为2 8．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 9．（多选）已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 10．（多选）已知函数，，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于轴对称 C． D．对任意的，的最大值与最小值之和为4 题型八：幂指对复合函数的恒成立与有解问题 1．已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是______. 4．已知函数，．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为____． 5．已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________. 6．已知函数是定义域在上的奇函数. (1)求实数的值，判断函数的单调性并证明； (2)若不等式恒成立，求实数取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 7.已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $