江苏省苏州高新区2026-2027学年八年级上学期数学期中自编练习卷

八年级（上）数学期中自编练习卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若三角形两边、的长分别为和，则第三边的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.代数式，，，，，，中，是分式的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.分解因式的结果为  (    ) A. B. C. D. 4.如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    ) A. 不变 B. 扩大倍 C. 扩大倍 D. 缩小为原来的 5.若，的值均扩大为原来的倍，则分式的值． A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 6.利用因式分解可以知道，能够被________整除  (    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，分别是边的中线、高线，过点作于点若，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.把分解因式，所得的结果是        ． 10.若分式的值为，则的值为          ． 11.若，则          ． 12.数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为均为自然数”的问题． 指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下为正整数 奇数 的倍数 表示结果 一般结论            按上表规律，完成下列问题：                                 兴趣小组还猜测：像，，，，这些形如为正整数的正整数不能表示为均为自然数师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中，均为自然数． 分下列三种情形分析： 若，均为偶数，设，，其中，均为自然数，则为的倍数而不是的倍数，矛盾故，不可能均为偶数． 若，均为奇数，设，，其中，均为自然数，则          为的倍数而不是的倍数，矛盾故，不可能均为奇数． 若，一个是奇数一个是偶数，则为奇数而是偶数，矛盾故，不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．            13.如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是          ． 14.如图，在中，，平分，交于点，且若，则      ． 15.一个三角形的三边长分别为，另一个三角形的三边长分别为，，，如果这两个三角形全等，那么          ． 16.如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为         ． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.分解因式： ． 18.化简下列各式： ． 四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 先化简，再求值：其中，满足． 20.本小题分 如图，在中，． 尺规作图不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母： 作边的垂直平分线，交边于点，交边于点； 作的平分线，交边于点． 连接，若，则           用含的代数式表示． 21.本小题分 已知，，求下列式子的值： ； ． 22.本小题分 如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，． 求证：； 当时，求的度数； 当的度数为          时，． 23.本小题分 计算： ； ； 化简： ； ． 24.本小题分 阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． 已知分式，，判断是否为的“雅中式”若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”． 已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 25.本小题分 如图，在中，，是边上的中线，于点，交于点。求证：。 26.本小题分 我们定义：如图，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 在图，图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． 如图，当为等边三角形时，与的数量关系为________． 如图，当，时，则长为________． 【猜想论证】 在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明； 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：根据三角形的三边关系可得：， 解得：， 故选： 根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围． 本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键． 2.【答案】  【解析】判断分式的两个条件：分子、分母都是整式分母中含有字母． ，分母中不含字母，故不是分式 ，符合分式的两个条件，故是分式 ，是整式，故不是分式 ，是常数，故不是分式 ，是分数，故不是分式 ，符合分式的两个条件，故是分式 ，符合分式的两个条件，故是分式 3.【答案】  4.【答案】  【解析】解：，都扩大为原来倍， 分子扩大倍，得到，分母扩大倍，得到， ， 分式的值不变． 故选：． 首先根据，都扩大倍，分别求出分子、分母扩大倍后的式子；然后约分，即可得出结论． 本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 5.【答案】  6.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了平方差公式以及因式分解的应用，根据题意分别进行因式分解是解决问题的关键．根据平方差公式，进行多次分解，即可得出答案． 【解答】 解： ， 故能够被整除． 故选D． 7.【答案】  【解析】根据等腰三角形底边三线合一的性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：，平分，， ，， 点为的中点， ， 的周长． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：是的中线， ， ，即， 将代入得， 变形得， 又，即， 代入得， 故选C． 9.【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 将原式提取公因式即可． 本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：， 解得 的值为， 故答案为：． 本题主要考查了分式值为的条件；根据分式的值为，则分母不为，分子为进行计算即可． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了比例的性质．利用比例的性质可设，，然后把，代入中计算即可． 【解答】 解：， 设，， ． 12.【答案】【小题】 【小题】   【解析】  【解】，， ，，，． 故答案为，． 由推导的规律可知． 故答案为．   ． 故答案为． 13.【答案】  14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 过点作于，根据三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】 解：如图，过点作于， 平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 15.【答案】或  【解析】两个三角形全等， 或解得或 当，时， 当，时，． 易错警示 当题目中没有明确给出两个全等三角形的对应边时，需要分类讨论． 16.【答案】  【解析】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ≌， ， 的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， 点的坐标是， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，，即的长为， 所以在运动过程中，的最小值为， 故答案为：． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明≌，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，垂线段最短，旋转的性质，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 17.【答案】【小题】 解：原式． 【小题】 原式． 18.【答案】【小题】 解：原式． 【小题】 解：原式． 【小题】 解：原式． 【小题】 解：原式．   19.【答案】解：原式，，，，，原式．  20.【答案】【小题】 解：图形如图所示： 【小题】   【解析】  本题考查作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据要求作出图形即可；   根据垂直平分线的性质得出，求出，进而得出，然后根据角平分线的定义得出，即可得出答案． 垂直平分线段， ， ， ，， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 21.【答案】【小题】 【小题】   22.【答案】【小题】 解：证明：，，  在和中， ≌． 【小题】 ，≌，． 【小题】   23.【答案】【小题】原式 ； 【小题】原式 ； 【小题】原式 ； 【小题】原式 ．   【解析】解：原式 ； 原式 ； 原式 ； 原式 ． 先根据二次根式的乘法法则、绝对值和负整数指数幂的意义计算，然后合并即可； 先把化简，再利用多项式乘法展开，然后合并即可； 先通分母，把分母都化为，然后进行同分母的加法运算，最后化简分式即可； 先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可． 本题考查了分式的混合运算：一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算；注意运算的结果要化成最简分式或整式． 24.【答案】【小题】不是的“雅中式” 理由如下：，， ， 不是的“雅中式”； 【小题】是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是， ， ， ， ， ， ． 的值也为整数，且分式有意义， 故或， 的值为：，，，．   【解析】本题考查了分式的加减法，新定义，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键． 先算，再根据新定义即判断． 根据新定义，计算出的代数式，然后分析，即可找到所有的的值，即可求值． 25.【答案】证明：在中，，是边上的中线， ， ． 于点， ， ， ， ．  26.【答案】解：如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； 理由：是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为． 如图，当，时，则长为． 理由：，， ， ，， ≌， ， ， ， 故答案为． 猜想． 证明：如图，延长至点，使得，连接，，则≌， ，， ， ， ， 又由题意得到，， ≌， ， 即．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $