期中复习压轴专题01 选填题分类训练（13种类型65道）（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

期中复习压轴专题01 选填题分类训练 （新苏科版八年级，13种类型65道） 范围：第1章—第3章 知识点一 与三角形中线有关的计算 1．如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由题意得，，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ∴，，， ∴． 2．如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 【答案】D 【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，逐步推导各部分三角形面积之间的关系，进行求解． 【详解】解：连接、，如图所示，    ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴． 3．如图，面积为1，第一次操作：分别延长至点，使，，，顺次连接，得到．第二次操作：分别延长至点，使，，，顺次连接，得到按此规律，要使得到的三角形的面积超过2026，最少经过（    ）次操作． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出及 的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可． 【详解】解：连接，如图： ， 与的面积相等， 面积为， ， ， ， 同理可得，，， ， 同理，得 的面积的面积， 第三次操作后的面积为， 第四次操作后的面积为， ∴按此规律，要使得到的三角形的面积超过，最少经过次操作． 4．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 【答案】10 【分析】连接，设、，根据四边形的面积得到，利用和等高求出，同理求出和利用的面积列出方程，求出的面积，从而求出边上的高即可． 【详解】解：连接， 、， ， 解得：， ， ， ， 设、， 四边形的面积为7， ，即， 、和等高， ， ， 和同高、， ， ， ， 和同高、， ， 和同高、， ， ， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， 中边上的高为：． 5．如图，的面积为1．第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到．第二次操作：分别延长，至点，使，顺次连接，得到，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026． 【答案】4 【分析】首先分析第一次操作后新三角形与原三角形的面积关系，利用等底同高的三角形面积相等，计算每次延长后新增的3个小三角形的面积，结合原三角形面积得到第一次操作后的总面积．同样得到第二次操作后的总面积．因为每次操作的延长规则相同，所以相邻两次操作后的三角形面积是固定的倍数关系，据此推导n次操作后三角形面积的公式．令规律表达式的结果大于2026，解指数不等式得到最小的正整数n． 【详解】解：连接，过点C作于点D，过点作于点E， ∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 同理可得，， ∴第一次操作后，​的面积． 连接，同理，， ∴， 同理， ∴第二次操作后，​的面积． 按操作规律，每次操作后新三角形面积都是上一次的倍， ∴次操作后三角形面积为． ∵，，，， ∴最少经过次操作． 知识点二 与三角形的高有关的计算 6．如图，是正方形的边上任意一点，且，则的面积是正方形面积的（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的面积，三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 连接，过点作于点，根据得，由三角形面积的公式得，，由此得，再根据得，则，据此即可得出答案． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示： 四边形是正方形， ，正方形面积为， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的面积是正方形面积的． 故选：A． 7．如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线和角平分线、三角形的内角和定理及外角的性质、同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高线、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键． ①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故①符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故②符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴．故③符合题意； ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴．故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 8．如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长，，至点，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为；……按此规律继续下去，可得到，则其面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解题关键． 根据等高的三角形推出，，推出，可得，依此类推可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作，交延长线于点， ，， ，， ，， ，， ， ， 同理可得：， ， 同理可得， 依此类推：． 故选：A． 9．如图，在中，于点D，，于点F，，则线段与的比值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高的定义，求线段的比，利用三角形的面积作桥求解是解的关键．设，则，令，根据求出，即可求解比值． 【详解】解：， 设，则， ， ， 令， 于点D，于点F， ， ， ，即， ． 故答案为：． 10．如图，在中，过点A作于点H，，，点D是边上靠近点C的三等分点，连接，在上取中点F，连接并延长交于点E，取中点G，连接，则△的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，中线等分面积，熟练掌握共高三角形面积比等于底之比是解题的关键． 连接，由三角形中线等分面积，设，，由点D是边上靠近点C的三等分点，得到，则，,那么，解得，，再求出的面积即可． 【详解】解：连接， ∵点为中点， ∴，， 设，， ∵点D是边上靠近点C的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴，, ∴， 解得：， ∴， ∵于点H，，， ∴， ∴ ∵中点G， ∴， 故答案为：． 知识点三 全等三角形的性质 11．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，则点的运动速度为（   ），使得、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用．设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可． 【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为， ， A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则，， 解得：， ； ②，， 则，， 解得：，， 故选：D． 12．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2或． 13．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 连接，则，设，由题意得：，则故，则，解得：，在中，由勾股定理得， 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设， 由题意得：， ∴ ∴， ∵的面积为4， ∴， 解得：， ∴在中，由勾股定理得，， ∴正方形的面积为30， 故选：B． 14．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或 【分析】根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即， ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图2， ， ． 综上所述，点运动时间为2或，与全等． 15．如图，在中，，，．点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发．分别过，两点作于点，于点，当与全等时，的长为________． 【答案】7或3.5 【分析】设运动时间为秒，用含的代数式表示和的长，分点在上和点在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， 当点在上时，， 即， 此时，， ，、、在同一直线上， ， ，， ， ， ， 若与全等，则， ， 解得， 此时； 当点在上时，， 即， 此时已越过点，， 若与全等，由于、均在上，则、重合， 即， ， 解得， 此时； 综上所述，的长为7或3.5． 知识点四 全等三角形的判定 16．如图，正方形的边长为，为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则点到点距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、点到直线的距离垂线段最短以及勾股定理．根据条件推得，，，从而证得，进而得到，为等腰直角三角形，故点在的平分线上，当时，最小． 【详解】如图，过点作交的延长线于点， 则， ， 由线段绕点顺时针旋转得到线段可知， ， ， 又， ， ，， ， 即， ， 为等腰直角三角形， ， 即点在的平分线上， 当时，最小， 此时， 解得， 故选：． 17．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形．连结，，若的面积为2.5，则阴影部分面积为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和三角形的面积公式，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．因为求的阴影部分面积其实是两个三角形的面积和，转化为两个三角形的面积问题，然后作出对应三角形的高，并合理转化高，发现每个三角形都与等底等高，验证即可求解． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点P，过点C作交的延长线于点Q，过点G作交的延长线于点S，过点C作交的延长线于点T，作交于点H， ∴，， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴，同理可证， ∴，， ∴， 故选：B． 18．如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 【答案】 【分析】过点作的延长线于点，可证，得，，再证，得，，即得，设，则，进而利用列出方程求出的值即可求解． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． 19．如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 【答案】 【分析】先证明，，求解，可得，可得，进一步求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ∵，， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图，与中，，，，连接，．P为的中点，连接，把绕点在平面内自由旋转，若，，则旋转过程中线段长度的最大值为______． 【答案】6 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质：延长至，使，连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，当取最大值时，有最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ， 如图，延长至，使，连接， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ∵，当且仅当点在线段的延长线上时，等号成立， ∴当三点共线时，有最大值为12， ∴有最大值为6， 故答案为：6． 知识点五 线段垂直平分线的性质 21．如图，在中，直线垂直平分，是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质、求最短距离问题等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 由垂直平分线的性质可得，进而得到周长的最小值是，最后代入数据求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵直线m是中边的垂直平分线，是直线上的一个动点． ∴， ∴， ∴最小为， ∵，， ∴周长的最小值是． 故选：B． 22．在中，，，，的中垂线交于，交于点，交直线于点．若点为直线上一动点，点为直线上一动点，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，连接，，在上截取，由垂直平分，则，，证明，所以，从而证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，即的长，设，则，由勾股定理求出，则，最后通过等面积法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，在上截取， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，即的长，如图， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴的值最小为， 故选：． 23．如图，的外角的平分线，交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容，解题的关键是掌握以上性质，并且巧妙构造辅助线． 利用角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容逐项进行判断即可． 【详解】解：①如图所示，过点作，交于于点， 平分，， ， 又∵， ∴， 同理，，， 综上，， ∴， 平分， ∵，，，， ∴， ∴， ∴周长为:， 故①正确，符合题意； ②由和得， ， ∴， 故②正确，符合题意； ③如图所示，连接， 由和得， 垂直平分线段，而非垂直平分线段， 故③错误，不符合题意； ④由和得， 的面积为与的面积和， 故④正确，符合题意； ⑤如图，在上靠近点侧，截取，交于点， ， ∴， ， ， 又， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， 又 ∴， ∵和， ， ∴， ∴， 即， 故⑤正确，符合题意； 综上，①②④⑤正确，符合题意， 故选：B． 24．如图，在中，，，，将沿折叠，使得点 B恰好落在边上的点E处，折痕为，若点F为上一动点，则的周长最小值为____________ 【答案】8 【分析】根据折叠的性质可知，垂直平分，进而得到，，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知，当B、F、C三点共线时周长最小，进而求解 ． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， 垂直平分， ， ， ， 的周长为， 当点B、F、C在同一条直线上时，的值最小，最小值为 ， ， 的周长最小值为． 25．如图，在中 ， 为 边上的中线，已知，，，将 沿着 翻折得到，连接，，则 的面积为______． 【答案】 【分析】延长交于点，由折叠可知垂直平分线段，，，利用勾股定理解和可求出，进而求出，再证是直角三角形，利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵为边上的中线，， ∴， ∵沿着翻折得到， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离等于的长， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定与性质，平行线间的距离，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 知识点六 角平分线的性质 26．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用角平分线的判定定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误． 【详解】解：∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ， ，故①正确； ∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等， ∴现有条件不能够证明，故③错误； 综上，正确的是①②． 27．如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 28．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 29．如图，已知，平分，平分，则下列结论：①；②；③；④中一定正确的是_______．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】由，即可判断结论①；结合平分，，得出角相等，可判断结论②；由平分，平分，且，可证得，故可判断结论③；由，可得，判断出当平分时，结论④才正确；综合以上结论，得出正确答案． 【详解】解：∵， ∴，故结论①正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 即， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， 当平分时，才有，故结论④不一定正确； 综上，一定正确的结论是①②③． 30．如图，在四边形中，对角线平分，，四边形的面积为16， ① 若，那么的面积为_______． ② 若与在不发生变化的情况下，当取最小时，的面积为______． 【答案】 12 8 【分析】①，则，，求得，设，则，利用四边形的面积为16，即可求解； ②延长至点P，使得，连接，过P作平行，并且使得，证明，得到，，推出当A，B，Q共线时，最小，即最小，再证明，求得与面积相等，据此求解即可． 【详解】解：①∵对角线平分， ∴点到和的距离相等， 设这个距离为，再设，则，， ∴，， ∴， 设，则， ∵四边形的面积为16，∴， 解得， ∴； ②延长至点P，使得，连接，过P作平行，并且使得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴当A，B，Q共线时，最小，即最小， ∵平行， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与面积相等， ∴的面积为． 知识点七 等腰三角形 31．如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（   ） A．27.9 B．28.7 C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到，推出，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵等腰直角和等腰直角，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为. 32．如图，等腰中，，在右侧有一点D，过点D作分别交于点P、E，若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，判断是解题的关键．先证明是等边三角形，得出，根据即可求解． 【详解】解：等腰中，， ， ， ， ， ，是等边三角形， ， ， 故选：C． 33．如图，在等腰中，为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点处，绕点任意旋转三角板，使两直角边分别交于点（点，与点不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．上述结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 连接，先证明≌，根据全等三角形的性质得到，，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在等腰中，为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，，故①正确； ∴的周长， ∵的周长， ∵、不一定相等， ∴的周长不一定等于的周长的一半，故③错误； ∵ ∴是直角三角形， ∵，点，与点不重合， ∴， ∴当时，是等腰直角三角形，此时， 又∵也为等腰直角三角形，，， ∴， 而， ∴也为等腰直角三角形， 同理可证， 在与中， ∴≌，故②正确； ∵≌， ∴， ∴． 综上所述，其中正确的结论是①②④． 故选：C ． 34．如图，等腰中，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至．当点在射线上运动时，连接与射线交于点，，则___________． 【答案】或 【分析】过点F作或，交线段于点H（交射线于点G），构造全等三角形（或）和，根据全等三角形的性质，对应边、对应角相等，再结合条件以及，转换线段，从而得到的值． 【详解】当点E在线段上时， 过点F作，垂足为点H， ∵将绕点逆时针旋转至， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 设，，则， ， ， ． 当点E在射线上时， 过点F作，垂足为点G， 将绕点逆时针旋转至， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 设，，则， ， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、全等三角形辅助线的构造、等腰三角形性质、线段和差关系，解决本题的关键是根据点E的位置分类讨论． 35．如图，在中，，，分别以，为直角边，为直角顶点向外作等腰和等腰，连接，．在的边变化的过程中，当最大时，的长是_______ ． 【答案】 【分析】先证明，再根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，结合三角形三边关系，得三点共线时，最大，画出图形，由勾股定理即可求得． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线，即点在上时，最大，如图所示： ， 的最大值， 过点作于，如图所示： 由等腰三角形“三线合一”得， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、勾股定理，证明以及由三角形三边关系得三点共线时，最大，是解题的关键． 知识点八 等边三角形 36．如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的应用，最短路径，理解轴对称的性质是解题的关键．连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值，据此回答即可． 【详解】解：连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值， 在等边中，于点D， ， ， ， E是边的中点， ， ， ． 故选：B． 37．如图，在等边中，，为上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论个数是（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由折叠的性质可得，易得是线段的垂直平分线，即可判断①； 由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，进而，即可判断②；先说明，再运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据角的和差可判断③；先证明可得，再说明，即边上的高为，如图：过F作，则四边形是矩形，即，易得边上的高为，无法得到，据此可判断④． 【详解】解：∵将沿折叠，使点落在点处，连接． ∴， ∴是线段的垂直平分线，即，故①正确； ∵在等边中，， ∴是线段的垂直平分线，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， 在和中， ， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，即③正确； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴边上的高为， 如图：过F作，则四边形是矩形，即， ∴边上的高为， ∵无法得到， ∴无法得到，即无法得到，故④错误． 综上，正确的有3个. 故选B． 38．如图，在等边和等边中，，，三点共线，与，与与分别交于点，点，点，下列四个结论中：①；②平分；③；④．所有正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形的面积等知识，本题综合性较强，难度较大． 根据等边三角形的性质，利用可证明，可判断①；过点C作于点G，于点H，根据全等三角形的性质可得，即可判断②；证明，得出，证明为等边三角形，得出，得出，可判断③；在上截取，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，可判断④． 【详解】解：在等边中，，， 在等边中，，， ∵B、C、D共线， ∴，， 即， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； 过点C作于点N，于点M，如图所示： ∵， ∴，， 即， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，B、C、D共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，故③正确； 在上截取，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D． 39．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】求解，在下方以为边作等边，连接，过作于，证明，得出，说明点Q在上运动，根据垂线段最短，得出当重合时，最小，求出其最小值即可． 【详解】解：∵，，点是的中点， ∴， ∵以为边在的下方作等边， ∴，， 在下方以为边作等边，连接，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当重合时，最小，且最小值为． 40．如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为______． 【答案】6 【分析】连接，利用等边三角形的性质得到，，，进而证明，得到，再求出线段的最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴线段的最小值，即为线段的最小值， 又∵F为线段上一动点，， ∴点F与点D重合时，最小， ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为，即线段的最小值为． 知识点九 与实数有关的计算 41．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出的长并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 根据A、B、C、D为的方格各边中点可得正方形的面积等于的方格面积的一半，即可求出的长，点在原点右侧且到原点的距离为1个单位可得点A表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求出点E表示的数． 【详解】解：∵A、B、C、D为的方格各边中点， ∴正方形的面积等于的方格面积的一半， ∴， ∴， ∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位， ∴点A表示的数为1， ∵， ∴， ∵点E在点A左侧， ∴点E表示的数为， 故选：B． 42．如图，三角板中，，，A、C在数轴上对应的数分别是1和，现将三角板先绕点A顺时针旋转，使边与数轴重合，再将三角板绕点B顺时针旋转，使与数轴重合，最后一直到边与数轴重合，我们称完成了一次“华丽翻转”．依次操作，则三角板从原始位置开始完成2027次“华丽翻转”时，顶点A在数轴上对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出三角板的三边，再画出完成了一次“华丽翻转”的图形，可以发现完成了一次“华丽翻转”点A在数轴上对应的数相当于加上三角板的周长，据此计算即可． 【详解】解：由题意知，，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 完成了一次“华丽翻转”后的图形如下： ∴完成了一次“华丽翻转”后，点在数轴上对应的数将加上三角板的周长，即， ∴三角板从原始位置开始完成2027次“华丽翻转”时，点在数轴上对应的数为：． 43．如图，通过画边长为的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为_____．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据勾股定理可得，经过逐步推理计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 且右侧最近的整数点为， 表示的数是， ， 表示的数是． 且右侧最近的整数点为， 表示的数是， ， 表示的数是． 故答案为：． 44．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号_____． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，其中一个解介于和之间；④对于任意的，恒有． 【答案】 【分析】逐个判断命题，利用奇次幂、偶次幂的实数解性质判断，讨论时和时，的值，即可判断的解的范围，举特殊值反例判断． 【详解】解：对于，是奇数，任意正数在实数范围内都存在奇数次方根，因此方程在实数范围内有解，故正确． 由方程得，是正偶数，在实数范围内有两个解，因此解不止一个，故正确． 当时，， 当时，， ∴在之间，存在实数，使得成立， ∴在实数范围内有解，其中一个解介于和之间，故正确． 举反例：当时，，，此时，不满足，因此错误． 综上，正确命题的序号为． 45．已知四个数满足，则之间的大小关系是____________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了用字母表示数，比较数的大小，熟练掌握相关知识点是解题关键．设，得的表达式，通过比较常数项与的关系即可确定大小． 【详解】解：设，则 ，，，。 比较差值： ，故 ； ，故 ； ，故 。 因此，大小关系为 ； 故答案为： ． 知识点十 用勾股定理理解三角形 46．如图①，在中，，，，以这个直角三角形三边为边向三角形外部分别作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（     ） A．225 B．250 C．275 D．300 【答案】D 【分析】根据勾股定理可求解，再由勾股定理计算得出规律，根据规律解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴由勾股定理可得， 第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：； 第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：； 第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：； ， 第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ． 47．如图，等边△ABC中，，是上一点，且，点为边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理全等三角形的判定与性质、轴对称的性质以及矩形的判定与性质．通过等边三角形性质得出，再利用则当、、三点共线时，的周长最小，结合为矩形即可求解． 【详解】解：如图，作于点，作于点，则， ， 是等边三角形，， ，，， ， ， 由勾股定理得， 线段绕点按顺时针方向旋转至， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在到直线的距离为的一条直线上运动，设这条直线与的交点为，则，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则当、、三点共线时，的周长最小，如图： ，， ， 由轴对称的性质得，， 四边形是矩形 ，，即， ， 的周长． 48．在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值________________ ． 【答案】 【分析】过点作直线，在上截取（点在点的左侧），过点作于点，连接，推出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，证明得，则，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作直线，在上截取（点在点的左侧），过点作于点，连接， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长即， ∴的最小值为． 49．如图，在中，，平分交于点，过点作的垂线，与，的延长线分别交于点，．若，，则的长为_____ ． 【答案】 【分析】根据已知条件先证明，得出的长度和，再由勾股定理得出的长度，设，则，利用勾股定理列出方程求解的值，得出的长度，最终利用勾股定理求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，． 50．已知是直角边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第一个等腰，再以的斜边为直角边，画第二个等腰，……，依此类推，第2026个等腰直角三角形的面积是_____________． 【答案】 【分析】解题的关键是掌握从特殊到一般探究规律题目的方法，利用规律解决问题．根据是边长为1的等腰直角三角形分别求出、、的面积，找出规律 即可． 【详解】解：∵是边长为1的等腰直角三角形， ∴第1个等腰三角形的面积：， ∴，； ∴第2个等腰三角形的面积：， 第3个等腰三角形的面积：， 以此类推，第n个等腰直角三角形的面积：， ∴第2026个等腰直角三角形的面积是． 知识点十一 勾股定理的逆定理 51．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 52．将边长为a的等边随意放在边长为b的等边所在的平面内，且，将绕点A顺时针旋转，，，分别是，，的中点，以下说法中正确的是（     ） ①可能是直角三角形；②一定是等边三角形； ③可能与全等；④． A．①③ B．①③④ C．②③④ D．②④ 【答案】D 【分析】连接和，取的中点M和的中点N，连接，，，，根据三角形中位线定理，证明，以及等边三角形的判定方法一定是等边三角形，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：如图，连接和，取的中点M和的中点N，连接，，，， ∵是的中点，是的中点， ∴根据中位线定理：且，且， 同理，且，且， ∵和都是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，且， ∴是等边三角形， ∴， ∵绕点A旋转， 根据旋转的对称性可知，设与的夹角为，则与的夹角也为， ∵，， ∴， 同理，，，故， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴一定是等边三角形，故说法②正确，说法①可能是直角三角形错误； ∵的边长为b，若与它全等，则， 由中位线的性质可知，的长度取决于和的位置关系， 当旋转至且方向相同时，， 若，则， ∵， ∴最大为，即两个三角形无法全等，故③错误； 根据三角形三边关系，对于，有，， ∴，即，故④正确； 综上所述，说法正确的有②④． 53．如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，由旋转的性质可知点的对应点与点关于点对称，即为的中点，即得，可知当 时最短，即最小，再利用等面积法求出的长即可求解． 【详解】解：， ，， ， 是直角三角形，且， 设旋转后点落在上的点为，如图， 由旋转的性质可知，与关于点中心对称， ∴点与点关于点对称， 为线段的中点， ， 要使最小，则需最小， ∵点在边上 ， ∴当 时，的值最小，此时， 即， 解得 ， 的最小值为． 54．如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______．    【答案】 【分析】如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，先证明，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，证明直线是线段的垂直平分线，利用勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线性质，三角形面积性质，解答即可． 【详解】：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， 且， ∴， 直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 55．如图，点是以为斜边的等腰内一点，若，则的面积为_____． 【答案】/ 【分析】如图：将绕点C顺时针旋转得到，根据旋转的性质得，，，，则可判断为等腰直角三角形，所以，，然后根据勾股定理的逆定理可判断为直角三角形，；则，所以，可以判断点共线，得到为直角三角形，然后利用的面积求解即可． 【详解】解：如图：将绕点C顺时针旋转得到， ∴ ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 在中，，，，， ， ∴为直角三角形，； ∴， ∴， ， ∴点共线， ∴为直角三角形， ∴的面积 ． 知识点十二 勾股定理与折叠 56．如图，折叠三角形纸片，使得点落在边上的，处，得到折痕．已知，，．则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理、含有角的直角三角形的性质、轴对称图形的性质等，可求得，进而求得的长度，设，结合，即可求得答案． 【详解】解：因为，，， 所以， 所以． 设，则． 根据图形翻折的性质可知，，， 所以，． 在中， ，即 ． 解得 ． 所以． 57．如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（    ） A．22 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和“”，易得，从而，再根据角之间的关系，可得，设，由线段之间的关系易求，，，，最后根据勾股定理，可得，，进而列出方程，求解即可． 【详解】解：由折叠知，，，，，，，，， 长方形，， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， ，即， 设，则， 点恰好为线段的中点， ，， ， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ，解得（负值已舍去）， ． 58．如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理求得，由翻折后，点A始终落在边上，可得即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴． 59．如图，在长方形中，，，点N在边上，沿着折叠长方形，使点C落在点F处，连接．当线段的值最小时，_______． 【答案】 【分析】由题意可知当时，，即三点共线时，线段的值最小，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 根据折叠可得， 当时，，即三点共线时，线段的值最小，此时， ， ∴， ， ， 解得． 60．如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则 (1)请试着判断的形状，是__________三角形； (2)线段的长为__________． 【答案】(1)等腰直角 (2)/ 【分析】（1）根据折叠可得，，，，，然后推导出是等腰直角三角形； （2）求得，，，从而求得，． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 知识点十三 勾股定理的应用 61．如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算到的距离，需分三种情况讨论：一是将前面和右面展开在同一平面；二是将前面和顶面展开在同一平面，三是将长方体的底面和右面展开在同一平面内，比较三种情况下的路径长度即可得出答案． 【详解】解：分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，如图1， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况二：将长方体的前面和顶面展开在同一平面内，如图2， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况三：将长方体的底面和右面展开在同一平面内，如图3， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ， 需要爬行的最短路程是． 62．如图，圆柱形水桶的桶高为，底面周长为，在桶内壁离桶底的点A处有一滴污渍，此时，一只小虫正好在桶外壁上，它在离桶上沿，且与污渍A在同一轴截面相对的点B处，则小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（桶壁厚度不计）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将水桶侧面展开，作B关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 将水桶侧面展开，作B关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 由题意得：，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴， 所以，小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为． 63．如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【答案】 【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算的长度，再比较即可求解． 【详解】解：情况一：米，米， 米； 情况二：米，米， 米； 情况三：米，米， 米； ， 这根软管的最短长度是米． 64．如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 【答案】19 【分析】本题主要考查了运用路径最值问题以及运用勾股定理求线段的长度．将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q．即．随后，结合已知条件，在中，运用勾股定理求出的长，最后求得的最小值． 【详解】解：如图，将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q． ∵将沿着竖直方向平移4米，即平移到， ∴， ∴， 即 ∵河宽4米， ∴（米）， ∴． ∵A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米， ∴（米）， ∴（米）， ∵A，B两点之间的水平距离为12米， ∴（米）， ∵交延长线于点Q， ∴． 在中， （米）， ∴（米）， 即的最小值是19米． 65．如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 【答案】 【分析】将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点．则，从而将的长度转化成求的长度，进而得出当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点． 则， 由平移作图易得，，， 当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为． 由题意得，米，米， 米，米， 米， 的最短距离为米． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中复习压轴专题01选填题分类训练 (新苏科版八年级，13种类型65道) 范围：第1章一第3章 知识点一 与三角形中线有关的计算 1.如图，把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍，将得到的点A、B、C'顺次连接成 △A'B'C' AABC 0cm2△AB'C ,若 的面积是 ,则 的面积是() B C B A.30cm2 B.40cm2 C.60cm2 D.70cm2 2.如图，在△ABC中，己知点D,'E,F,G分别是线段AC,CF,BG,DE的中点.若△EFG的面积 为3，则△ABC的面积为(). D G A.18 B.21 C.36 D.42 3.如图，△ABC 面积为1，第一次操作：分别延长 AB,BC,CAAB.CAB=AB BC=BC 至点 ,使 1123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CA=CA AB,BC CA ，顺次连接 A,B,C 到△4BG.第二次操作：分别延长 ,得 ,B,C,使 至点 AB=AB BC=BC C2A=CA ，顺次连接 ,C,得到人4B,G 2,B2,C2 按此规律，要使得到的三角 形的面积超过2026，最少经过()次操作. B C B B A.7 B.6 C.5 D.4 4.如图，△ABC中，BC=6,点D、E分别是CB、AB上的点，CD=2BD,AE=BE,连接AD、CE 交于点F,当四边形BEFD的面积为7时，则△ABC中BC边上的高为 A E B D 5.如图，△AB 的面积为1，第一次操作：分别延长4极BCC1至点小？G,使 AB=AB,BC=BC,CA=CA A B C ABC ，顺次连接 ,得到 .第二次操作：分别延长 4,BAGC4,全点4，G,食4码=4，BG=BCG4-GA,厦次连接 BC,得到 △AB2C2 ,…按此规律，最少经过 次操作，得到的三角形面积超过2026， 2123 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B, C A C B A A 知识点三 与三角形的高有关的计算 6.如图，E是正方形ABCD的边AD上任意一点，且EF=2FC,则△BCF的面积是正方形ABCD面积的 (). 1 1 1 A.6 B.5 C.4 1 D. 7.如图，在△ABC中，BD、BE分别是高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G, 交BC于H:下列结论：①∠D6E=∠F:@2∠Br=∠BMF+∠C:③∠F-RAC-∠C,④ ∠BGH=∠ABE+∠C,正确的是() F D A.1 B.2 C.3 D.4 3/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8,如图，对面积为1的△18C逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、8C、C1至点4，B, A B 使利48-28.8=2C,G1=2.顺次在拉4.月.G.行A C △4BC S ,记其面积为；第二 次操作，分别延长 ,BG,C4至点人，B,G,使得48=248.8G=28G,C4=2CA,顺次 连接，及，G,得到 人4，B,G,记其面积为3；…按此规律维续下去，可得到 S2 AB,C 6,则其面积 为() C B A.196 B.193+1 C.206 D.206-1 9.如图，在4BC中，BD1C于点D,DE=24D=2Cg,E1BE于点R,BD名P,则线段阳 与AC的比值为一 10,如图，在6ABC中，过点4作AH⊥BC于点以，A=3,Bc-号，点D是边BC上靠运点C的三等 分点，连接AD,在AD上取中点F,连接BF并延长交AC于点E,取AB中点G,连接EG，,则△AGE的 面积为一 4123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B H 知识点目 全等三角形的性质 1L.如图，AB=8cm,AC=BD=5cm,∠CAB=∠DBA=60°，点E在线段AB上以0.5cm/s的速度由点A 向点B运动，同时，点F在线段BD上由点B向点D运动，则点F的运动速度为()Cm/s,使得A、C、 E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等， 5 A c政好 D.或 12.如图，在长方形ABCD中，AB=8,BC=14,点P从点B出发，以2个单位/秒的速度沿BC向点C 运动，同时，点Q从点C出发，以V个单位/秒的速度沿CD向点D运动，设运动时间为秒，在运动过程中， 当△ABP与aPCQ全等时v的值为() Q C 6 716 A.3或2 B.2或3 C.2或7 D.2或7 5123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D(O BP=CP BC=14 1 BP=CP=BC=7, 2 =72间， 716 v=8÷ 27； 16 综上所述，v的值为2或7· 13.如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD,连结AC,交 DH于点P,若AH=HE,且△CPG的面积为4，则正方形ABCD的面积为() D H E B A.20 B.30 C.40 D.50 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm,BC=18cm.动点P从点A出发沿A→C的路径向终 点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动.点P和点9分别以每秒2cm和6cm的 运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动.在某时刻，过点P和点Q分别作 PE⊥MN OF⊥MN △PEC,△QFC 于点E, 于点F,则点P的运动时间为s时， 与 全等 B -M 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=10.点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长 度的速度向终点C运动，点Q从点B出发沿折线BC-CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P, 6/23 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两点同时出发.分别过P,0两点作PE1于点，0F1于点F,当AP8C与0r CO 与 全等时， 的 长为 B 知识点四 全等三角形的判定 16.如图，正方形ABCD的边长为2，E为边BC上一动点，连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°得 到线段EF,连接AF,则点D到点F距离的最小值为() A V5 B.5-1 c.v2 D.3-2 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形.连结GM,DN,若△ABC的面积 为2.5，则阴影部分面积为() A.2.5 B.5 C.7.5 D.8 l8.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=9O°，点D为BC边上一点，AD⊥DE且AD=DE,连接EB交 AC延长线于F,且B为线段EF的中点，若BD=2,AF=14,则△ABC面积为一· 7/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 19.如图，在△ABC和△AED中，∠ACB=∠ADE=90°，∠BAC=∠EAD,AB=AE,线段ED的延长线交 BC于点，适接A仁·若S=12,AC=4,F-系则线段F的长度为 F 20.如图，Rt△ABC与Rt△ADE中，∠BAC=∠EAD=90°，AB=AC,AE=AD,连接BE,DC.P为 DC 的中点，连接1”，把△1D绕点在平面内自由旋转，若DB=45,BC=82 则旋转过程中线段 AP长度的最大值为 E 知识点五 线段垂直平分线的性质 2L.如图，在△ABC中，直线m垂直平分BC,P是直线m上的一动点.若AB=6,AC=4,BC=8,则 △APC周长的最小值是() 8/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m B A.8 B.10 C.12 D.14 22.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=4,AC的中垂线DE交AC于D,交BC于点E,交直 线AB于点F.若点P为直线DE上一动点，点为直线AB上一动点，则BP+P的最小值为()· D 8 9 A.5 B.5 e号 23.如图，△ABC的外角∠ACN,∠MAC的平分线CP,AP交于点P,PE⊥BM于点E,PF⊥BN于点F, 下列结论中：①△ABC周长为2BE;②∠EPF=2∠APC;③连接EF,则EF垂直平分线段BP;④ △PAC的面积为△EAP与△FCP的面积和；⑤2∠CPB=∠BAC.其中正确的是() M E C N A.②③④⑤ B.①②④⑤ C.①③④⑤ D.①②③④⑤ 24.如图，在△ABC中，AB=5,BC=6,AC=7,将△ABD沿AD折叠，使得点B恰好落在AC边上的 点E处，折痕为AD,若点F为AD上一动点，则△EFC的周长最小值为 9/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 25.图，在aBC中，D为BC边上的中线，已知BC=5,D多 2,AB=4,将AABD沿着AD 翻折得到△ADE,连接CE，BE,则△ACE的面积为一· 知识点六 角平分线的性质 26.如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,∠CAP=∠APO, PR=PS 下面的结论：OS=AR,。QP∥R △BRP≌△CSP :② ；③ .其中正确的是() B R D A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 27.如图，∠ABC∠EAC的平分线BPAP交于点P,PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论中正确的个数 是() 10/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E M 平分 CN FOCP ∠ACF ②∠ABC+2∠APC=180° ③∠ACB=2∠APB ④SPMc=S,PaM+S.PCN A.1 B.2 C.3 D.4 28.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,点E,G分别在边AB,AC上，连接DE,DG, 过D作DF1B于R,已知DE=DG,Sc=24.Sm=16 ，则4DEF 的面积为() E D A.4 B.6 C.8 D.10 29.如图，己知BCIIDE,BF平分∠ABC,DC平分∠ADE,则下列结论：①∠ACB=∠E;② ∠BDC=∠CD.WFICD,DiDr=Br :③ 中一定正确的是 一·（只填序号） B 30.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DCB,BC+CD=AC,四边形的面积为16， ①若AC=4CD,那么△ABC的面积为 ②若AC与∠DCB在不发生变化的情况下，当AD+AB取最小时，△ABC的面积为一： 11/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点七 等腰三角形 31.如图，把等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE放在一起，AC、D三点在一条直线上，其中 ∠ACB=∠DCE=90°，点E在CB上，连接AE交BD于点F.若AE=18,AF=21.1,则△BDE的面积为 () A.27.9 B.28.7 C.26.9 D.27.4 32.如图，等腰△ABC中AB=AC,∠B=60°，在AC右侧有一点D,过点D作DEI‖AB分别交AC、BC 于点P、E,若DE=8,CE=5,则PD的长为() B A.5 B.4 C.3 D.2 33.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在 点D处，绕点D任意旋转三角板，使两直角边分别交AC,BC于点E,F(点E,F与点AB,C不重 合)，连接EF,下列结论：①DE=DF,②△ADE与△EFC有可能全等，③△CEF的周长等于△ABC的 12/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 周长的一半，④四边形CEDF的面积等于△ABC的面积的一半.上述结论正确的有() B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 34.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,E点为射线CB上一动点，连接AE,将AE绕点A CE 6 CD 逆时针旋转90°至AF,当E点在射线CB上运动时，连接BF与射线AC交于D点，BE5,则AD 35.如图，在△ABC中，AC=2,AB=4V2,分别以AC,BC为直角边，C为直角顶点向外作等腰 RtAACD和等腰RtABCE,连接BD,AE.在△ABC的边BC变化的过程中，当AE最大时，BC的长是 知识点八 等边三角形 36.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D,AD=12,点P是AD上一个动点，E是边AB的中点，在 点P运动的过程中，PE+PB的最小值是() 13/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6 B.12 C.18 D.24 37.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC,E为AD上一点，连接BE,CE,∠ABE=15°，将△ABE沿BE折叠， 使点A落在点F处，连接AF,BF,CF.下列结论：①BE⊥AF;②△AEC≌△FEB;③∠ACF=15°；④ SAABF =2SAEFC ,其中，正确的结论个数是()· E ◇ B D A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 38.如图，在等边△ABC和等边△ECD中，B,C,D三点共线，AC与BE,AD与BE,AD与CE分别交 于点F,点H,点G,下列四个结论中：①AD=BE;②CH平分∠BHD;③FG∥BD;④ EH+CH=DH.所有正确的结论是() B D A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 39.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5,点D是边BC的中点，点P是AC边上一个动点，连 接PD,以PD为边在PD的下方作等边 0,连接C0,则C”的最小值为 PD 14/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 40.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D,F是线段AD上一动点，连接BF,以BF为边在其上方作等 边△BFE,连接AE,若BC=12,则线段AE的最小值为 B 由题意可得： B ∠EBF=∠ABC=6O°BE=BFAB=BC .∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF,即∠ABE=∠CBF, BE=BF ∠ABE=∠CBF 在 和 中， △ABE△CBF BA=BC △ABE≌ACBF(SAS) .AE=CF, ∴线段AE的最小值，即为线段CF的最小值， 知识点九 与实数有关的计算 41.如图，在数轴上方作一个4×4的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A,B, C,D得到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A的左侧的数轴上取点E,使AE=AB,若点A在 原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点E表示的数是() 15/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Av⑧ B.1-v⑧ C.v6 D.1-V6 42.如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，A、C在数轴上对应的数分别是1和-1，现将三 角板先绕点A顺时针旋转，使边AB与数轴重合，再将三角板绕点B顺时针旋转，使BC与数轴重合，最后 一直到边CA与数轴重合，我们称完成了一次“华丽翻转”.依次操作，则三角板ABC从原始位置开始完 成2027次“华丽翻转”时，项点A在数轴上对应的数为() B -10123456→ 4055+4054v3 A. B.10121+40485 C.10120+40485 D.4053+40525 43.如图，通过画边长为'的正方形，就能准确地把V2 A A B 示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为， 以点8为圆心， AB B2 为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点B为圆心， A, B. AB2 A A 为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为一 (结果保留根号) 0 1 A1 B1 A2 B2 A3 4.我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性.若（α≥0） 不是某个有理数的平方，则 方程x=a在有理数范围内无解；若b不是某个有理数的立方，则方程x=b在有理数范围无解.而在实数 范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处，根据你对实数的理解，选出正确命题的序号 16/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①x=3在实数范围内有解；②x22w-5=0在实数范围内的解不止一个；③x+x2=5在实数范围内有解， 其中一个解介于和2之间：④对于任意的 ,恒有va≥a (a≥0) 1 1 45.己知a,bGd四个数满足a-2023b+2024c-2025=d+2026,则a,b,6d之间的大小关系 是 (用“>”连接) 知识点十 用勾股定理理解三角形 46.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,以这个直角三角形三边为边向三角形外部分 别作正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所 得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形.图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形. 那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为() 图① 图② 图③ A.225 B.250 C.275 D.300 4.如图，等边△Bc中，AB8:O是BC上一点，且80=C,点M为AB边L动点，连接OM 将线段OM绕点O按顺时针方向旋转60°至ON,连接BN,CN则△BCN周长的最小值为()· 8 B.2V19 C.8+2V19 D.8+9 17/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 48,在A4C中，∠ABC=45”,BC=4,4C=45,点D、E在4B、4C边上.且MD=CE,则 CD+BE的最小值 E D 49.如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,过点A作BD的垂线，与BD, BC的延长线分别交于点M,N.若AM=5,CN=6,则BM的长为 50.己知△ABC是直角边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第一个等腰 RUAACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第二个等腰Rt△ADE,…,依此类推，第2026个等腰 直角三角形的面积是 知识点十一 勾股定理的逆定理 51.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D,E为线段BD上一动点，F为边AB上一动点，若 AB=5,BD=4,AD=DC=3,则AE+EF的最小值为() B 18123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24 A.4 B.27 C.10 D.5 52.将边长为a的等边△ABC随意放在边长为b的等边△ABC所在的平面内，且a<b,将△ABC绕点A顺 AA BB CC 时针旋转“，A,B,C分别是MM, 的中点，以下说法中正确的是() ①△AB'C'可能是直角三角形；②△AB'C”一定是等边三角形： nb-a≤AB'≤b+a ③△4A'B'C可能与△4B,G全等；④2 2 A.①③ B.①③④ C.②③④ D.②④ 53.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,E,F分别为AB,AC上的动点，M为EF的中点， 将△AEF绕点M旋转I8O°，点A刚好落在边BC上，则AM的最小值为 B 54.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D,E为线段BD上一动点，F为边AB上一动点，若 AB=5,BD=4,AD=DC=3,则AE+EF的最小值为 D 55.如图，点D是以AB为斜边的等腰Rt△ABC内一点，若BD=2,CD=4,AD=6,则△ABC的面积为 19/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 知识点十二下 勾股定理与折叠 56.如图，折叠三角形纸片ABC,使得点C落在AB边上的C,处，得到折痕AD.已知∠C=90°， ∠BAC=30°，BC=2.则BD的长为() A.1 B.3-V5 c.5-25 D.8-4V5 57.如图，在长方形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E,连接AE,ED,将△ABE沿AE翻折，使点 B落在点B处，线段EB交AD于点F,将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB上.若点 C恰好为线段EB的中点，则线段EF的值为(） B B E √42 3v2 A.22 B.V62 C.6 D.4 58.如图，△ABC为等边三角形，且AB=BC=AC=4,点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点， 若△ADE沿着直线DP翻折后，点A始终落在边BC上.若AD=a,则满足条件的a的取值范围是() 20123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 85-12≤a<4 4V3-4≤a<8 c.16v5-24sa<8 D.12W5-10sa<8 59.如图，在长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点N在边CD上，沿着BN折叠长方形ABCD,使点C 落在点F处，连接DF.当线段DF+BF的值最小时，CN= 60.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点 D处：再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、 F,则 B =-B (I)请试着判断△CEF的形状，△CEF是 三角形 (2)线段DF的长为 知识点十三 勾股定理的应用 C 61.如图，长方体的长BE=20cm,宽AB=10cm,高AD=15cm,点M在CH上，且CM=5cm.如果一 只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点M,那么它爬行的最短路程是() 21/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G H M E A B A.15v2cm B.10v5cm C.30cm D.(5+5i3cm 62.如图，圆柱形水桶的桶高为l6cm,底面周长为l2cm,在桶内壁离桶底4cm的点A处有一滴污渍，此 时，一只小虫正好在桶外壁上，它在离桶上沿3m,且与污渍A在同一轴截面相对的点B处，则小虫从外 壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（桶壁厚度不计）() B A.13cm 5v10cm B. C.15cm D.329cm 63.如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长AB=4米，宽BC=1米，高BB=2米.工作人员 要从箱底的A点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的C”点，用来输送冷气.则这根软管的最短长度是 米. D' 2 D 4 4.如图，河的两岸有A,B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥MN(河的两岸互相平 行，MW垂直于河岸)，现测得A,B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A,B两点之间 的水平距离为12米，则AM+MN+NB的最小值是米. 22/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 65.如图，某公园内有一条“L型”景观水道，∠C=90°，水道的宽度为2米，水道分为东西方向和南北 方向两段.两个凉亭分别位于A,B两点，其中A位于南北方向水道的西侧，B位于东西方向水道的南侧， 已知A,B两点在东西方向上的水平距离为17米，在南北方向上的竖直距离为0米.现要建造两座与水道 垂直的景观桥DD和EE'(桥长均为米)，使得从A处到B处的游览路径 D+DD'+DE'+E'E+EB)最 短，则最短路径的长为米 北 东 E B 23/23