第六章 概率的进一步认识（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北师大版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第六章 概率的进一步认识·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在分别写有、、、的四张卡片中，随机抽取一张，这张卡片上的数为正数的概率是（     ） A． B． C． D． 2．在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有个，除颜色外其他完全相同，一名同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率分别稳定在和，盒子中白色球的个数可能是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．投壶是我国古代的一种投掷游戏．某调查小组统计了游戏参与者小颖在同一条件下投中的次数，并绘制了如图所示的折线统计图，由此可以估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为（     ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 4．内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 5．用图中两个可自由转动的转盘做“配橙色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出黄色即可配成橙色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是（   ） A． B． C． D． 6．从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 7．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满元就有两次转动转盘的机会，规则如下：如图，转盘被等分成三个扇形区域，三个扇形上分别写有元、元、元，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的返利金（若指针指在边界上，则重转）．刘阿姨购物满元，则她转得最大返利金的概率为（     ） A． B． C． D． 8．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 9．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 10．在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是________． 12．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 13．下表记录了学校篮球队一名球员在罚球线上投篮的结果：根据表中的数据和频率的稳定性，估计这名球员在罚球线上投篮30次，他投中___________次． 投篮总次数 50 100 150 200 300 400 500 投中的次数 35 71 106 141 213 278 351 投中的频率 0.700 0.710 0.707 0.705 0.710 0.695 0.702 14．从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 15．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 16．如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． (1)抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； (2)同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 18．《测圆海镜》《四元玉鉴》《几何原本》均为世界数学宝库中不可多得的瑰宝．将上述三本数学典籍依次记为、、，将2个写有字母，6个写有字母，4个写有字母的形状大小完全相同的小球放入一个不透明的布袋中，将袋中的小球摇匀后，从中随机摸出一个小球，记下小球上的字母后放回，记为随机摸球1次． (1)随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是________； (2)已知《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国著作，《几何原本》是外国著作，小美和小乐玩摸球游戏，随机摸球1次，若摸出的小球上字母所对应的典籍是我国著作，则小美赢；若摸出的小球上字母所对应的典籍是外国著作，则小乐赢．请分别计算出小美赢的概率和小乐赢的概率，并说明谁赢的概率大． 19．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 20．小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 21．某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． (1)估计摸到黄球的概率； (2)求袋子中白球的数量； (3)若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 22．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 a 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 b 0.948 (1)补全表格中的数据，__________，__________，并估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 23．小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率    (1)向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少？（保留两位小数） (2)小亮获胜的机会约为多大？ (3)若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 24．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 25．为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第六章 概率的进一步认识·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在分别写有、、、的四张卡片中，随机抽取一张，这张卡片上的数为正数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正确识别正数，统计符合条件的卡片数与总卡片数，计算概率． 【详解】解：四张卡片上的数分别为、、、随机抽取一张共有种等可能的结果，其中正数为，，共种结果，所求概率为． 2．在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有个，除颜色外其他完全相同，一名同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率分别稳定在和，盒子中白色球的个数可能是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：由题意可得，盒子中白色球有：（个）． 3．投壶是我国古代的一种投掷游戏．某调查小组统计了游戏参与者小颖在同一条件下投中的次数，并绘制了如图所示的折线统计图，由此可以估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为（     ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 【答案】C 【分析】观察折线统计图，分析随着试验次数（投壶次数）的增加，事件发生的频率（投中频率）的变化趋势．当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为概率的估计值． 【详解】观察折线统计图，横轴代表投壶次数，纵轴代表投中频率．随着投壶次数的不断增加，投中频率的折线波动幅度逐渐减小，呈现出逐渐稳定的趋势． 观察折线在试验次数较多时（如400次至500次）的位置，可以看出频率数值始终在0.40附近波动． 因此，估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为0.4． 4．内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得点落在投影的概率，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右， ∴点落在投影的概率约为， ∴估计玉龙投影的面积为． 5．用图中两个可自由转动的转盘做“配橙色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出黄色即可配成橙色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成橙色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是， 故选：D． 6．从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到方程有实数根的条件，再列举出所有等可能的选取结果，统计满足条件的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，若方程有实数根，则判别式 ，化简得 从1，2，3中随机选取两个不同的数记为，所有等可能的结果为：，共6种， 其中满足的结果有，共4种， 所求概率． 7．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满元就有两次转动转盘的机会，规则如下：如图，转盘被等分成三个扇形区域，三个扇形上分别写有元、元、元，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的返利金（若指针指在边界上，则重转）．刘阿姨购物满元，则她转得最大返利金的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中最大，且出现了次，故刘阿姨转得最大返利金的概率为． 8．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆和正方形的面积，然后求出几何概率． 【详解】解：铜钱圆的面积为， 正方形的面积为， ∴油恰好落入孔中的概率是． 9．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 【答案】B 【详解】解：A、成活数不一定为90棵，频率具有随机性，说法错误，不符合题意； B、从统计数据看，当移植总数较大时（如1500、3500、7000、14000），成活频率分别为 ，均在左右摆动，显示出稳定性，可以用频率估计该幼树移植成活的概率为，说法正确，符合题意； C、随着移植的幼树总数的增加，成活率逐渐趋于并稳定于一个数值，说法错误，不符合题意； D、基于概率估计，移植270棵时成活数可能超过235棵（如 ），说法错误，不符合题意． 10．在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 【答案】D 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 计算四人依次不放回摸球时每人摸到红球的概率，据此解答即可． 【详解】解：总球数4个，红球1个， 则小丁摸到红球的概率为， 小王摸到红球的概率为， 小林摸到红球的概率为 小陈摸到红球的概率为 因此，每人摸到红球概率均为，小王与小丁的说法正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是________． 【答案】 【分析】利用列举法和概率计算公式求解即可． 【详解】解：随机抽取两张，等可能的结果有（美，丽），（美，山），（美，河），（丽，山），（丽，河），（山，河）， 共有种等可能的结果，其中，（丽，山）只有种， 这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是． 12．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 【答案】24 【分析】利用白球的频率和个数求出总数，即可得出黑球的个数． 【详解】解：根据题意可知白球的概率为， （个）， （个）， ∴估计游戏中黑球的个数为24个． 13．下表记录了学校篮球队一名球员在罚球线上投篮的结果：根据表中的数据和频率的稳定性，估计这名球员在罚球线上投篮30次，他投中___________次． 投篮总次数 50 100 150 200 300 400 500 投中的次数 35 71 106 141 213 278 351 投中的频率 0.700 0.710 0.707 0.705 0.710 0.695 0.702 【答案】21 【分析】观察表格中频率的稳定值，得到单次投篮投中的概率，再计算投篮30次的投中估计次数即可． 【详解】解：由表格数据可知，随着投篮总次数的增加，投中频率在至之间波动，且逐渐稳定在附近，因此估计这名球员投篮一次投中的概率约为， 所以投篮次时，投中次数约为． 14．从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 【答案】 【分析】先计算所有等可能的结果总数，再逐个验证点是否在二次函数图象上，统计符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：点用列表表示如下： 由表格可知，所有等可能的结果总数为9． 分别代入不同的计算二次函数对应的值， 当时，，可选值中没有，不符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求， ∴符合条件的点共有个， ∴所求概率为． 15．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【分析】设七巧板拼成的正方形总面积为，根据七巧板的结构特征确定各块板的面积占比，识别图2中黑色部分对应的板件，计算黑色部分面积与总面积的比值即可． 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为， 中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为， 平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ， “天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 16．如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 【答案】② 【分析】获胜概率大即为方案发生的概率大，因此需要分别计算三种方案发生的概率，这10个数字中有5个奇数，3的倍数为3，6，9，不小于5的数为5，6，7，8，9，10，据此计算概率即可． 【详解】解：分别计算三种方案发生的概率： ①奇数的概率为； ②3，6，9是3的倍数，故不是3的倍数的概率为， ③大于等于5的数共有6个，故不小于5的概率为， ， 获胜概率最大的方案为方案②． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． (1)抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； (2)同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图，先得到同时抽取枚邮票的所有可能结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵共枚邮票，其中邮票“勾股定理”有枚， ∴从中抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是； （2）解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带的邮票分别记作，，，， 画树状图如图， 共有种可能的结果，其中恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的结果有种， ∴恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率为． 18．《测圆海镜》《四元玉鉴》《几何原本》均为世界数学宝库中不可多得的瑰宝．将上述三本数学典籍依次记为、、，将2个写有字母，6个写有字母，4个写有字母的形状大小完全相同的小球放入一个不透明的布袋中，将袋中的小球摇匀后，从中随机摸出一个小球，记下小球上的字母后放回，记为随机摸球1次． (1)随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是________； (2)已知《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国著作，《几何原本》是外国著作，小美和小乐玩摸球游戏，随机摸球1次，若摸出的小球上字母所对应的典籍是我国著作，则小美赢；若摸出的小球上字母所对应的典籍是外国著作，则小乐赢．请分别计算出小美赢的概率和小乐赢的概率，并说明谁赢的概率大． 【答案】(1)； (2)解：， 因为小球上字母为、所对应的典籍是我国著作，小球上字母为所对应的典籍是外国著作，写有字母、、的小球个数分别为2、6、4， 所以小美赢的概率为， 小乐赢的概率为， 因为， 所以小美赢的概率大． 【分析】（1）直接根据频率的公式计算即可； （2）由概率公式分别求出小美赢的概率和小乐赢的概率，再比较即可． 【详解】（1）解：随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是； （2）略. 19．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜，即可求解； （2）转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5，根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为； （2）解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为． 20．小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）等可能事件概率，所求区域份数÷总份数． （2）用列表列出全部等可能情况，数出符合条件的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：因为音名转盘平均分成2份，A占1份， 所以指针落在A区域的概率：． （2）解：用列表法： 音符音名 A B 所有等可能结果共6种， 满足B且的结果只有1种． 答：音名转盘指针落在B区域且音符转盘指针落在区域的概率为． 21．某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． (1)估计摸到黄球的概率； (2)求袋子中白球的数量； (3)若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 【答案】(1) (2) 6 (3) 摸出红球和黄球的可能性不相同，游戏不公平．　 理由如下： 放入2个红球后，总球数为（个）， 摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， ∵ ， ∴ 摸出两种球的可能性不同，游戏不公平． 【分析】（1）利用大量重复试验的频率稳定值估计概率，计算摸到黄球的频率即可； （2）根据黄球的概率公式列分式方程求解白球数量； （3）分别计算摸出红球和黄球的概率，比较概率大小判断可能性与游戏公平性． 【详解】（1）解：∵ 重复摸球试验200次，摸到黄球80次， ∴摸到黄球的频率为， ∴估计摸到黄球的概率为； （2）解：由（1）可知，摸到黄球的概率为， ∴袋子中总球数为（个）， ∴袋子中白球的数量为（个）． （3）略． 22．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 a 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 b 0.948 (1)补全表格中的数据，__________，__________，并估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【答案】(1)1427，0.949，0.95 (2) (3)5个 【分析】（1）根据表格数据，用频率估计概率和频率公式即可解答； （2）根据概率公式计算即可； （3）设取出x个黑球，则放入x个黄球，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：由得， ， ∵随着抽取的彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在0.95附近， ∴估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是0.95； （2）解：从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有（种），且每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有5种， ∴从袋子中摸出一个球是黄球的概率为； （3）解：设取出x个黑球，则放入x个黄球， 由题意得：， 解得． 答：取出了5个黑球． 23．小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率    (1)向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少？（保留两位小数） (2)小亮获胜的机会约为多大？ (3)若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，即可求解； （2）根据概率的意义，即可求解； （3）设阴影区域面积为S，设整个图案面积为，先求出内圆面积为，由（1）得：，再由，即可求解． 【详解】（1）解：观察表格中落在阴影区域的频率数据，随着试验次数增加，频率稳定在左右， 所以向图案内任意掷小石子，小石子落在阴影区域的概率约为； （2）解：因为掷中阴影区域小明赢，而小石子落在阴影区域的概率约为， 所以小亮获胜的机会约为； （3）解：设阴影区域面积为S，设整个图案面积为， ∵内圆半径， ∴内圆面积为， 由（1）得：小石子落在阴影区域的概率，则， 又因为，即， 解得， 所以阴影区域面积约为． 24．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 25．为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【答案】(1)500， (2)40； (3)解：此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中选甲乙的有8种结果，选丙丁的有4种结果， ∴P（选甲乙），P（选丙丁）． 又∵， 此规则不合理． 【分析】（1）利用“总数量部分数量对应百分比”，即可解答；利用“圆心角的度数”，即可得出答案； （2）根据题意先求出“B”等级的人数，据此即可补全条形统计图；进一步得出“B”等级所占百分比，即可得出m的值； （3）根据题意画出树状图，得出所有可能出现的结果，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，总人数为：（人）， “D”等级所占圆心角的度数为． （2）解：由题意得，“B”等级的人数为：（人）， ∴“B”等级所占百分比为：，   ∴； 图略． （3）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第六章 概率的进一步认识·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在分别写有、、、的四张卡片中，随机抽取一张，这张卡片上的数为正数的概率是（     ） A． B． C． D． 2．在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有个，除颜色外其他完全相同，一名同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率分别稳定在和，盒子中白色球的个数可能是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．投壶是我国古代的一种投掷游戏．某调查小组统计了游戏参与者小颖在同一条件下投中的次数，并绘制了如图所示的折线统计图，由此可以估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为（     ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 4．内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 5．用图中两个可自由转动的转盘做“配橙色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出黄色即可配成橙色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是（   ） A． B． C． D． 6．从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 7．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满元就有两次转动转盘的机会，规则如下：如图，转盘被等分成三个扇形区域，三个扇形上分别写有元、元、元，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的返利金（若指针指在边界上，则重转）．刘阿姨购物满元，则她转得最大返利金的概率为（     ） A． B． C． D． 8．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 9．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 10．在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是________． 12．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 13．下表记录了学校篮球队一名球员在罚球线上投篮的结果：根据表中的数据和频率的稳定性，估计这名球员在罚球线上投篮30次，他投中___________次． 投篮总次数 50 100 150 200 300 400 500 投中的次数 35 71 106 141 213 278 351 投中的频率 0.700 0.710 0.707 0.705 0.710 0.695 0.702 14．从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 15．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 16．如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． (1)抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； (2)同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 18．《测圆海镜》《四元玉鉴》《几何原本》均为世界数学宝库中不可多得的瑰宝．将上述三本数学典籍依次记为、、，将2个写有字母，6个写有字母，4个写有字母的形状大小完全相同的小球放入一个不透明的布袋中，将袋中的小球摇匀后，从中随机摸出一个小球，记下小球上的字母后放回，记为随机摸球1次． (1)随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是________； (2)已知《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国著作，《几何原本》是外国著作，小美和小乐玩摸球游戏，随机摸球1次，若摸出的小球上字母所对应的典籍是我国著作，则小美赢；若摸出的小球上字母所对应的典籍是外国著作，则小乐赢．请分别计算出小美赢的概率和小乐赢的概率，并说明谁赢的概率大． 19．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 20．小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 21．某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． (1)估计摸到黄球的概率； (2)求袋子中白球的数量； (3)若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 22．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 a 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 b 0.948 (1)补全表格中的数据，__________，__________，并估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 23．小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率    (1)向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少？（保留两位小数） (2)小亮获胜的机会约为多大？ (3)若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 24．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 25．为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第六章 概率的进一步认识·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D D C A C B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．24 13．21 14． 15． 16．② 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：∵共枚邮票，其中邮票“勾股定理”有枚， ∴从中抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是；.................2分 （2）解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带的邮票分别记作，，，， 画树状图如图， .................4分 共有种可能的结果，其中恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的结果有种， ∴恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率为．................6分 18． 【详解】（1）解：随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是；.................2分 (2)解：， 因为小球上字母为、所对应的典籍是我国著作，小球上字母为所对应的典籍是外国著作，写有字母、、的小球个数分别为2、6、4， 所以小美赢的概率为， 小乐赢的概率为， 因为， 所以小美赢的概率大．.................6分 19． 【详解】（1）解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为；.................2分 （2）解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： .................4分 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为．.................6分 20． 【详解】（1）解：因为音名转盘平均分成2份，A占1份， 所以指针落在A区域的概率：．.................2分 （2）解：用列表法： 音符音名 A B 所有等可能结果共6种， 满足B且的结果只有1种． 答：音名转盘指针落在B区域且音符转盘指针落在区域的概率为．.................6分 21． 【详解】（1）解：∵ 重复摸球试验200次，摸到黄球80次， ∴摸到黄球的频率为， ∴估计摸到黄球的概率为；.................2分 （2）解：由（1）可知，摸到黄球的概率为， ∴袋子中总球数为（个）， ∴袋子中白球的数量为（个）．.................5分 (3) 摸出红球和黄球的可能性不相同，游戏不公平．　 理由如下： 放入2个红球后，总球数为（个）， 摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， ∵ ， ∴ 摸出两种球的可能性不同，游戏不公平．.................8分 22． 【详解】（1）解：由得， ， ∵随着抽取的彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在0.95附近， ∴估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是0.95；.................2分 （2）解：从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有（种），且每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有5种， ∴从袋子中摸出一个球是黄球的概率为；.................5分 （3）解：设取出x个黑球，则放入x个黄球， 由题意得：， 解得． 答：取出了5个黑球．.................8分 23． 【详解】（1）解：观察表格中落在阴影区域的频率数据，随着试验次数增加，频率稳定在左右， 所以向图案内任意掷小石子，小石子落在阴影区域的概率约为；.................2分 （2）解：因为掷中阴影区域小明赢，而小石子落在阴影区域的概率约为， 所以小亮获胜的机会约为；.................4分 （3）解：设阴影区域面积为S，设整个图案面积为， ∵内圆半径， ∴内圆面积为， 由（1）得：小石子落在阴影区域的概率，则， 又因为，即， 解得， 所以阴影区域面积约为．.................8分 24． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；    .................6分 ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是；................8分 （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色．............12分 25． 【详解】（1）解：由题意得，总人数为：（人）， “D”等级所占圆心角的度数为．.................2分 （2）解：由题意得，“B”等级的人数为：（人）， ∴“B”等级所占百分比为：，   ∴；.................4分 .................6分 (3)解：此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中选甲乙的有8种结果，选丙丁的有4种结果， ∴P（选甲乙），P（选丙丁）． 又∵， 此规则不合理．.................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $