突破01 数轴上的动点、两点距离问题（期中训练）2026-2027学年人教版七年级数学上册

突破01 数轴上的动点、两点距离问题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 数轴上两点之间的距离（常考点） 题型02 数轴上点的移动（重点） 题型03 关于数轴的说法正误问题（重点） 题型04 单动点运动问题（常考点） 题型05 双动点运动问题（重点） 题型06 多动点运动问题 题型07 数轴上单点左右运动规律探究 题型08 数轴上三角形运动规律探究 题型09 数轴上正方形运动规律探究 题型10 数轴上圆形运动规律探究 题型11 数轴上的翻折问题（重点） 题型12 有关数轴的新定义问题 题型13 有关数轴的新定义问题 题型14 数轴上定值不变问题（重点） 题型15 数轴的应用问题（重点） A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：数轴 1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 2、数轴上常见模型 模型 图形 关系 两点间的距离 动点P到两点的距离之和的最小值 ， 最小值为 点的左右平移 左减右加 数轴上翻转 找出循环规律，等边三角形的循环次数是3，正方形的循环次数是4， 数轴折叠 若点是折叠后的重合点，对折点为，则，或者： 【针对训练】 【典例1】【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由： 解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点． 【变式1-1】一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 【典例2】已知点，，，…，（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点与所表示的数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的应用和数字的变化规律，利用已知条件找到规律是解题的关键．根据题意得出规律：当为奇数时，表示的数为，当为偶数时，表示的数为，把，分别代入即可求解． 【详解】解：由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为，…… 当为奇数时，表示的数为，当为偶数时，表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， 故选：C． 【变式2-1】如图，过数轴上表示1的点作数轴的垂线，过数轴上表示2的点作数轴的垂线，过数轴上表示3的点作数轴的垂线，…．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，…，则表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，数字类规律探究，根据已知条件，分别求出点，，，，，表示的数，然后得到规律：当n为奇数时，表示的数是；当n为偶数时，表示的数是，从而进行计算即可． 【详解】解：点表示的数为，点 表示的数是3，点表示的数是1，点表示的数是5，点表示的数是3，点表示的数是7，， 当n为奇数时，表示的数是；当n为偶数时，表示的数是， 表示的数是：， 故答案为： 典例精析 题型一 数轴上两点之间的距离 【例1】如图，点A对应的数为，点B对应的数为3，点C对应的数为5，规定：点A与点B之间的距离表示为．例如：，．已知点P为数轴上的动点，其对应的数为x，请解答下列问题： (1)填空：______； (2)当时，求的值． 【答案】(1)6 (2)6或22 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴上两点的距离公式是解题的关键． （1）根据题中的方法求解； （2）先根据题中的方法求出x，再求解． 【详解】（1）解：∵点A对应的数为，点C对应的数为5， ∴， 故答案为：6． （2）解：∵点P为数轴上的动点，其对应的数为x，点C对应的数为5， ∴或， 解得：或， 当时，， 当时，． 综上，当时，的值为6或22． 题型二 数轴上点的移动 【例2】如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 题型三 关于数轴的说法正误问题 【例3】下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴的相关概念，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数，说法错误； ③有理数在数轴上无法表示出来，说法错误，可以表示； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确； 故选：D． 题型四 单动点运动问题 【例4】数轴上点 对应的数为 6，点 是数轴上一点，且 ，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向匀速运动，当 运动至 中点时，运动时间为 s． 【答案】2 或 10 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离等于两点所表示的差的绝对值，也等于两点之间的线段长度，进行解答即可． 【详解】解：∵点对应的数为6，， ∴点对应的数为或， ∴当运动至中点时，点对应的数为2或者10， ∴运动时间为2秒或10秒． 故答案为：2或10． 题型五 双动点运动问题 【例5】如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，熟练掌握以上知识点，正确表示出点、表示的数是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求得点表示的数； （2）①根据数轴上两点之间的距离公式用表示出点、分别为、，当、相遇时，有，解之即可；②先求得，然后求得点，再算得的距离即可． 【详解】（1）解：点表示的数为1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4， 点表示的数为， 故答案为：5． （2）解：①点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动， 点表示的数为， 点表示的数为1，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 点表示的数为， 点、在数轴上表示的数分别是，1， 当、相遇时，有， 解得， 故当时，、两点相遇； ②由①可知，当点表示的数为2时，即， 解得， 此时点表示的数为， 点表示的数为5， 点、两点间的距离， 故当点表示的数为2时，点、两点间的距离为． 题型六 多动点运动问题 【例6】已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达点，再从点向右移动12个单位长度到达点．点是线段的中点． (1)点表示的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点分别从点出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)①的值为0；②的值不随着时间的变化而改变．理由见解析 【分析】本题考查列代数式，数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以求得点表示的数； （2）①根据题意可以用代数式表示点运动时间时表示的数；根据题意可以求得当秒时，的值；②先判断是否变化，然后求出的值即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，A点表示的数为：，B点表示的数为：，, 由， 故点表示的数为：． 故答案为：； （2） 解：①由题意可得，点移动秒时表示的数为，点P移动t秒时表示的数为，点M移动t秒时表示的数为， 当时， ； ②的值不随着时间的变化而改变， ， 的值不随着时间的变化而改变，的值为0． 题型七 数轴上单点左右运动规律探究 【例7】如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离， 先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2023次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为， 点A2表示的数为， 点A3表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 题型八 数轴上三角形运动规律探究 【例8】三边都相等的三角形叫做等边三角形．如图，将数轴从点开始向右折出一个等边三角形，点，，表示的数分别为，，．现将等边三角形向右滚动，则与表示数2024的点重合的点（    ） A．是点 B．是点 C．是点 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离、图形找规律、根据三角形为等边三角形，，建立方程，求出的值，得到点，，表示的数，再根据图形的运动情况找出点的变化规律，即可求解． 【详解】解：等边三角形，点，，表示的数分别为，，． ，即， 点，，表示的数分别为、、，即等边三角形边长为， 将等边三角形继续向右滚动，则从即点开始3个为一循环，且循环为，，， ， 与表示数2024的点重合的点为， 故选：A． 题型九 数轴上正方形运动规律探究 【例9】如图1，边长为1个单位长度的正方形纸片的点与原点重合，顶点与数轴上表示1的点重合．第一次将正方形纸片从图1的位置开始沿数轴向右滚动1周、顶点，分别与表示4，5的点重合．点记为，如图2； 第二次将正方形纸片从图2的位置开始沿数轴向左滚动2周，顶点，分别与表示，的点重合，点记为，如图3； 第三次将正方形纸片从图3的位置开始沿数轴向右滚动3周，顶点落在数轴上的处； 第四次将正方形纸片从点在处的位置开始沿数轴向左滚动4周，顶点落在数轴上的处：．．．依此规律，不断重复操作，解答下列问题． (1)点，之间的距离为______个单位长度，数轴上点表示的数为______．点表示的数为______．点，之间的距离为______个单位长度； (2)请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A设第（为正整数）次滚动结束时，顶点落在数轴上的点处， 当为奇数时，点表示的数为_______； 当为偶数时，点表示的数为_______． B．改变图1中正方形纸片的位置．使顶点与数轴上表示的点重合，按上述规律滚动正方形纸片，设第（为正整数）次滚动结束时，顶点落在数轴上的点处．请直接写出点表示的数． 【答案】(1)8；8；；24 (2)A：，；B：当为奇数时，点表示的数是；当为偶数时，点表示的数是． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的减法的应用，数字类的规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）先分别求解，，，，，对应的数，再求解两点之间的距离即可； （2）A：根据（1）中的启示，再总结规律即可；B：先求解对应，对应，对应，对应，对应，，再总结规律即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为4，数轴上点表示的数为， ∴点，之间的距离为， ∵正方形纸片边长为1， ∴正方形纸片周长为4， ∵正方形纸片从图3的位置开始沿数轴向右滚动3周，顶点A落在数轴上的处， ∴数轴上点表示的数为8， ∵正方形纸片从点A在处的位置开始沿数轴向左滚动4周，顶点A落在数轴上的处， ∴数轴上点表示的数为， 根据规律可得数轴上点表示的数为12，数轴上点表示的数为， ∴点，之间的距离为； （2）A：由（1）总结可得， 当n为奇数时，点位于正半轴，表示的数为， 当n为偶数时，点位于负半轴，表示的数为， B．由题意可得：对应，对应，对应，对应，对应，， 总结可得：当为奇数时，点表示的数是； 当为偶数时，点表示的数是． 题型十 数轴圆形运动规律探究 【例10】如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示的点重合． (1)圆的周长为多少？ (2)若该圆在数轴上向右滚动，当点B第二次与数轴重合时，此时点B重合的点表示的数为多少？ (3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示的点与点B重合，数轴上表示的点与点C重合…），那么数轴上表示的点与圆周上哪个点重合？ 【答案】(1)4个单位长度 (2)6 (3)点D 【分析】（1）利用圆的周长公式计算； （2）滚动一周点A的对应数为3，可列式，从而可求解； （3）此题需要寻找规律：每4个数一组，计算，可得表示的点是第506个循环组的第4个数D重合． 【详解】（1）解：， 答：4个单位长度． （2）滚动2周后点B对应的数是； 答：点B重合的点表示的数为6． （3）由图可知，A点对应的数是，B点对应的数是，C点对应的数是，D点对应的数是， ∴每4个数为一个循环组依次循环， ∵， ∴表示的点是第506个循环组的第4个数D重合． 【点睛】本题考查了数轴的基础知识，关键在于观察出每4个数为一个循环组依次循环，难点在于找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 题型十一 数轴上的翻折问题 【例11】综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键． （1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题． （2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题． 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3； …， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时， ， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时， 可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知， ， 则折点所表示的数为1． 因为， 所以表示5的点与表示的点重合． 故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同， 所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013． 故答案为：，1013． ③由折叠可知， ， 因为点M、N表示的数分别是、8， 所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3， 所以． 因为，， 所以点P表示的数为． 故答案为：． 题型十二 有关数轴的新定义问题 【例12】定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数是 ； (3)若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键. （1）利用“倍分点”的定义即可求得答案； （2）设D点对应的数值为，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案； （3）利用“倍分点”的定义，结合点在点的右侧，分两种情况讨论即可求出答案. 【详解】（1），， ， ∴点是点的“倍分点”； 故答案为：； （2）解：， 设点对应的数值为， ①当时，， ， 解得：或； ②当时，， ， 解得：或； 综上所述，则点对应的数分别是,， 故答案为：； （3）解：， 当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 综上所述，点表示的数为或． 题型十三 数轴中点有关问题 【例13】一条数轴上有点、、，点在、之间，其中点、表示的数分别是，12，现在以点为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点的距离，表示点对折后的对应点）时，点表示的数是 ． 【答案】4或0 【分析】本题考查了数轴，先根据两点间的距离公式求出点对应点所表示的数，再利用中点公式求出点表示的数． 【详解】解：∵， ∴点和点的距离为4， ∴点表示的数为或， 由折叠的性质可知，，即点为线段的中点， 当表示的数为16时，点表示的数为：， 当表示的数为8时，点表示的数为：， 故答案为：4或0． 题型十四 数轴上定值不变问题 【例14】数轴上有三个点，分别代表的整数是，点在数轴上的位置如图，，满足． (1)______，______，______，点与点之间的距离是______； (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动，点同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点A对应的数为______；点对应的数为______；点对应的数为______．（用含的式子表示） ②若点A与点之间的距离记为，点与点之间的距离记为，是否存在有理数，使得代数式的值为定值？若存在，求出的值及该定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2，6，10； (2)①，，；②存在，当时，定值为34． 【分析】（1）结合题意，可得；根据绝对值和乘方的性质，通过求解一元一次方程，得到a和b的值；再根据数轴的性质，计算得到点A与点B之间的距离； （2）求得秒时，A对应的数为，B对应的数为， C对应的数为，再根据数轴性质，计算得到和；结合题意，通过代数式计算，得到a的取值，即可完成求解． 【详解】（1）结合题意，得 ∵， ∴， ∴， ∴点A与点B之间的距离是：， 故答案为：，2，，10； （2）①∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动， ∴秒时，A对应的数为：； ∵点以每秒4个单位长度的速度向左运动， ∴秒时，B对应的数为：， ∵点以每秒个单位长度的速度向右运动， ∴秒时，C对应的数为：， 故答案为：；， ②∵，且， ∴， ， ∴， 当时，，为定值 ∴存在有理数，使得代数式的值为定值，，定值为34． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、乘方、代数式、整式的加减等知识；解题的关键是数形结合和准确计算． 题型十五 数轴的应用问题 【例15】李老师善于通过知识迁移，对问题进行拓展探究，培养同学们用数学的思维思考现实世界的能力．下面李老师在“数轴的实际应用”主题下设计的问题，请你解答． (1)知识回顾 如图1，数轴上有一个表示数a的点M，已知点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，那么a的值是 ；    (2)探究迁移 如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两端P，Q分别落在A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点P移动到点B时，点Q所对应的数为24；当点Q移动到点A时，点P所对应的数为6（单位：cm）．利用所学知识求出点A、点B所表示的数及木尺的长；    (3)拓展应用 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁了！”请你利用（2）的方法，请直接写出小明和爷爷的年龄． 【答案】(1)2 (2)A点表示的数为12，B点表示的数，18， (3)小明12岁，爷爷64岁 【分析】本题考查了数轴上的动点，两点间的距离，理解题意，数形结合分析问题是解题关键． （1）根据右加左减的规律求解即可； （2）由题意可知，B点到24的距离、的距离、A点到6的距离相等，由线段图可求的长； （3）仿照（2）画出图，可知爷爷和小明的年龄差为：岁进而可求出小明和爷爷的年龄． 【详解】（1）∵点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5， ∴． 故答案为：2； （2）由题意可知，B点到24的距离、的距离、A点到6的距离相等， ∴， ∴A点表示的数为， B点表示的数为； （3）如图：    爷爷和小明的年龄差为：（岁）， ∴爷爷的年龄为（岁）， 小明的年龄为（岁）， ∴小明12岁，爷爷64岁． 1．已知点A、B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为6，则的中点C表示的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵点A表示的数为，点B表示的数为6，C是的中点， ∴中点C表示的数为． 2．如图，在数轴上点表示的有理数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上点A的位置确定其取值范围，再判断各选项． 【详解】解：由数轴可知，点A位于与之间． ∴点A表示的数x满足． ∵， ∴选项A符合题意． ∵，，， ∴选项B、C、D不符合题意． 3．在如下图所示的数轴中，画得正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、正确； B、正方向标错了； C、虽有单位长度，但前后单位长度不一致，错误； D、没有原点，错误． 4．如图，数轴上被墨水遮盖的点所表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数轴确定被遮盖点位于与之间，将各选项数值与该范围比较即可． 【详解】解：由数轴可知，被墨水遮盖的点位于和之间， A选项、； B 选项、； C 选项、； D 选项、，且 ∴只有 D 选项符合题意． 5．在数轴上，表示数的点在表示数的点的左侧，且，均不为0．下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上表示数的点在表示数的点的左侧， ∴，故A正确，B错误； 若，，满足数的点在表示数的点的左侧，且，均不为0， ∴，，故C错误； 若，，满足数的点在表示数的点的左侧，且，均不为0， ∴，故D错误． 6．有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m________n．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可知． 7．在数轴上点A表示的数是3，点A与点B的距离是5个单位长度，则点B表示的数为________． 【答案】 或 【分析】点可位于点的左侧或右侧，分两种情况计算即可得到结果． 【详解】解：∵点表示的数是，点与点的距离是个单位长度， ∴分两种情况讨论：当点在点左侧时，点表示的数为， 当点在点右侧时，点表示的数为， 因此点表示的数为或． 8．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴正方向滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是________． 【答案】 / 【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长，确定圆滚动一周的距离，结合起始点位置和滚动方向（正方向），利用数轴上点的平移规律求解． 【详解】解： ∵圆的直径为1个单位长度 ∴圆的周长为 ∵将该圆沿数轴正方向滚动1周 ∴点向右移动的距离为 ∵点与数轴上表示的点重合 ∴点表示的数为． 9．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 【答案】(1)4 (2) (3)2或6 (4)4，1 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，掌握数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键 ． （1）根据点A表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据数轴上中点的计算即可求解； （3）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可； （4）首先根据移动方式求出点E表示的数，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，则原点如图所示， ∴点B表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：点A表示的数是，点B表示的数为4， ∴到A、B两点的距离相等的点表示的数为， ∴则P点表示的数为， 故答案为：； （3）解：点B表示的数为4， ∴当点C在点B左边时，点C表示的数为； 当点C在点B的右边时，点C表示的数为， 故答案为：2或6． （4）解：∵点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E， ∴点E表示的数是； ∴D、E两点间的距离是． 10．正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，转次后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】通过列举前几次翻转后数轴上的数与正方形顶点的对应关系，发现每次翻转为一个循环周期，根据除以的余数确定对应的点． 【详解】解：由题意可知，正方形的边长为初始位置：点对应，点对应 ， 翻转次后：点 对应，点对应 ， 翻转次后：点 对应，点对应 ， 翻转次后：点 对应，点对应 ， 翻转次后：点 对应，点对应 数轴上的数与正方形顶点的对应关系每 个数为一个循环周期，对应顺序为 数对应的点与数对应的点相同，即为点 ． 11．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算数轴上两点间距离，根据圆周长确定循环周期，利用余数判断重合数字． 【详解】解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ∵圆的周长为， ∴每滚动个单位长度为一个循环周期， ∵， ∴圆滚动了周后，又向右滚动了个单位长度， ∵初始时数字与重合，向右滚动个单位对应，滚动个单位对应，滚动个单位对应， ∴数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是． 12．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度．点对齐刻度．点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】先算出数轴上、两点的距离与刻度尺上、对应的长度，得到数轴上个单位对应刻度尺的长度，再根据刻度尺上的长度，求出数轴上的单位长度，最后结合点对应的数求出点对应的数． 【详解】解：∵点对应数，点对应数， ∴数轴上 ∵刻度尺上对齐，对齐， ∴刻度尺上 ∴数轴上个单位长度对应刻度尺 ∵刻度尺上， ∴数轴上 ∴ 13．已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【详解】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 14．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0，1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转．翻转1次，点所对应的数为2，若翻转2026次，数轴上数2026所对应的点是_______． 【答案】 【分析】正方形在数轴上翻转，每4次为一个循环周期，数轴上的整数与正方形顶点的对应关系随之循环，计算2026除以4的余数即可确定对应顶点. 【详解】解：由题意可知，正方形的边长为1，初始位置点对应0，点对应1. 翻转1次，点对应2； 翻转2次，点对应3； 翻转3次，点对应4； 翻转4次，点对应5， 每4次翻转为一个循环周期，数轴上的数对应的顶点由除以4的余数决定， ， 数2026对应的点与数2对应的点相同， 数2对应的点是， 数2026对应的点是. 15．在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数________．      【答案】或或 【分析】先根据比例算出三条线段的长度分别为、、，再采取三种排列顺序依次找出三条线段，又因为是折叠剪开，所以找出中间那一段的中点就是折痕处所对应的点． 【详解】解：设三条线段的长度分别为、、， 由题意得，解得， 所以三条线段的长度分别为、、， ∵原线段范围：数轴从到，折叠后剪一刀，得到三段线段， ∴三段线段排列顺序有 种情况：①，，；②，，；③，，； 设折痕处对应的点为，根据折叠性质，折痕点必为其中一条线段的中点． 情况①：三段线段依次为，，， 起点为，第一段为：，第二段为：，第三段为： ∴折痕是中间线段的中点：． 情况②：三段线段依次为，，； 起点为，第一段为：，第二段为：，第三段为： ∴折痕是中间线段的中点：． 情况③：三段线段依次为，，； 起点为，第一段为：，第二段为：，第三段为： ∴折痕是中间线段的中点：． 综上可得，折痕处对应的点可能表示的数为或或． 16．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 17．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 【答案】(1)20 (2)点C表示的数是2 (3)P表示，Q表示3， (4)，点Q在点P的左侧 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）根据题意可知点C在线段上，且在点A的右侧，然后根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （3）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （4）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解出P，Q两点间的距离，根据数轴判断两点之间的位置关系． 【详解】（1）解：． （2）解：∵点C在线段上，且在点A的右侧，， ∴点C表示的数为． （3）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴． （4）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴， 此时点Q在点P的左侧． 18．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题，整式加减中的无关型问题，先求出点表示的数，根据点的移动规则，求出移动后点表示的数，分点在点右侧和左侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为5， ∴运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点在点右侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 当点在点左侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 综上：或； 故选A． 19．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 20．下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式的值为； ④如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c． 若，则最小值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查利用绝对值的性质进行化简，分数有意义的条件，数轴上点之间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．若，则， 故①错误；三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，应该有三种情况，故②错误；若代数式的值与无关，则，故③错误；由乘积是常数推出取值范围，进而求出最小值为，故④正确． 【详解】解：若，则， 故①错误； 三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等， 则或或， 或或，故②错误； 若代数式的值与无关， 则，故③错误； ∵， ∴， ∴，，， ∴当时：有最小值为，故④正确． 故选： A． 21．如图，长方形的边在数轴上，点、对应的数分别为和，且边．若长方形沿数轴正方向在数轴上顺时针翻滚，每次翻滚，第1次绕着点顺时针翻滚后，点落在数轴上，对应的数为；第次绕点顺时针翻滚；继续翻滚，则翻滚次后，此时贴着数轴的那条边，其右端点对应的数是______． 【答案】 【分析】根据题意得出长方形的长和宽，计算出周长. 发现每翻滚次为一个循环，长方形向右移动一个周长的距离. 用除以求出循环次数和余数，根据余数确定最后贴着数轴的边及右端点的位置． 【详解】解：由题意可知，，， 四边形是长方形， 长方形的周长为 ， 观察翻滚过程可知，每翻滚次，长方形回到初始直立状态，且向右移动的距离等于周长6， ， 翻滚次相当于经历了个完整的循环后，又翻滚了次， 经过个循环后，长方形向右移动的总距离为 ，此时（第次翻滚后），长方形状态与初始状态相同，边在数轴上，右端点对应的数为 ， 第次翻滚（即第次）：绕点顺时针翻滚，边落在数轴上，右端点为，对应的数为 ， 第次翻滚（即第次）：绕点顺时针翻滚，边落在数轴上，右端点为，对应的数为 ， 故此时贴着数轴的那条边，其右端点对应的数是． 22．如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 【答案】12 【分析】根据“中线对称”的定义，求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可知，当点A与点C关于线段“中线对称”，点B为的中点时，x的值最大， ∵点A表示的数为，点B表示的数为4， ∴， ∴， ∴点C表示的数为， ∴x的最大值为12． 23．对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 【答案】 22 或或2或4 【分析】（1）先根据线段a、b长度和已知点，确定两条线段的端点表示的数，再计算和，最后代入计算即可； （2）如图，先确定线段a的端点表示的数，再由及分情况得线段b的端点表示的数，得出x、y的值，最后计算即可． 【详解】解：（1）∵表示的点在线段a上，表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，线段a，b的长度分别为2和4， 又∵，， ∴线段a两个端点表示的数分别为、，线段b两个端点表示的数分别为6、10， ∴，， ∴； （2）如图， ∵线段a的长度为2，表示的点在线段a上，原点在线段a上， ∴线段，其中点C、O表示的数分别为、0， ∵，，点在线段a上，点A表示的数为x，点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）， 分两种情况：①线段，其中点E、F表示的数分别为1、5， 当时，，则； 当时，，则； ②线段，其中点G、H表示的数分别为、， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，对应的或或2或4． 【点睛】题目给出线段长度和经过的点，必须先算出两条线段准确端点，理解新定义概念及算法：：两线段上点的最小距离（通常是右线段左端点左线段右端点），：两线段上点的最大距离（通常是右线段右端点左线段左端点），第二问中线段b位置不确定，必须分左右两种情况讨论，算出线段b的准确端点，对每种情况，用两点距离为6，找出符合条件的整数x、y，注意不漏解、不重解． 24．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破01 数轴上的动点、两点距离问题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 数轴上两点之间的距离（常考点） 题型02 数轴上点的移动（重点） 题型03 关于数轴的说法正误问题（重点） 题型04 单动点运动问题（常考点） 题型05 双动点运动问题（重点） 题型06 多动点运动问题 题型07 数轴上单点左右运动规律探究 题型08 数轴上三角形运动规律探究 题型09 数轴上正方形运动规律探究 题型10 数轴上圆形运动规律探究 题型11 数轴上的翻折问题（重点） 题型12 有关数轴的新定义问题 题型13 有关数轴的新定义问题 题型14 数轴上定值不变问题（重点） 题型15 数轴的应用问题（重点） A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：数轴 1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 2、数轴上常见模型 模型 图形 关系 两点间的距离 动点P到两点的距离之和的最小值 ， 最小值为 点的左右平移 左减右加 数轴上翻转 找出循环规律，等边三角形的循环次数是3，正方形的循环次数是4， 数轴折叠 若点是折叠后的重合点，对折点为，则，或者： 【针对训练】 【典例1】【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【变式1-1】一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【典例2】已知点，，，…，（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点与所表示的数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】如图，过数轴上表示1的点作数轴的垂线，过数轴上表示2的点作数轴的垂线，过数轴上表示3的点作数轴的垂线，…．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，…，则表示的数为________ ． 典例精析 题型一 数轴上两点之间的距离 【例1】如图，点A对应的数为，点B对应的数为3，点C对应的数为5，规定：点A与点B之间的距离表示为．例如：，．已知点P为数轴上的动点，其对应的数为x，请解答下列问题： (1)填空：______； (2)当时，求的值． 题型二 数轴上点的移动 【例2】如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 题型三 关于数轴的说法正误问题 【例3】下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 题型四 单动点运动问题 【例4】数轴上点 对应的数为 6，点 是数轴上一点，且 ，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向匀速运动，当 运动至 中点时，运动时间为 s． 题型五 双动点运动问题 【例5】如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 题型六 多动点运动问题 【例6】已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达点，再从点向右移动12个单位长度到达点．点是线段的中点． (1)点表示的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点分别从点出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 题型七 数轴上单点左右运动规律探究 【例7】如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 题型八 数轴上三角形运动规律探究 【例8】三边都相等的三角形叫做等边三角形．如图，将数轴从点开始向右折出一个等边三角形，点，，表示的数分别为，，．现将等边三角形向右滚动，则与表示数2024的点重合的点（    ） A．是点 B．是点 C．是点 D．不存在 题型九 数轴上正方形运动规律探究 【例9】如图1，边长为1个单位长度的正方形纸片的点与原点重合，顶点与数轴上表示1的点重合．第一次将正方形纸片从图1的位置开始沿数轴向右滚动1周、顶点，分别与表示4，5的点重合．点记为，如图2； 第二次将正方形纸片从图2的位置开始沿数轴向左滚动2周，顶点，分别与表示，的点重合，点记为，如图3； 第三次将正方形纸片从图3的位置开始沿数轴向右滚动3周，顶点落在数轴上的处； 第四次将正方形纸片从点在处的位置开始沿数轴向左滚动4周，顶点落在数轴上的处：．．．依此规律，不断重复操作，解答下列问题． (1)点，之间的距离为______个单位长度，数轴上点表示的数为______．点表示的数为______．点，之间的距离为______个单位长度； (2)请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A设第（为正整数）次滚动结束时，顶点落在数轴上的点处， 当为奇数时，点表示的数为_______； 当为偶数时，点表示的数为_______． B．改变图1中正方形纸片的位置．使顶点与数轴上表示的点重合，按上述规律滚动正方形纸片，设第（为正整数）次滚动结束时，顶点落在数轴上的点处．请直接写出点表示的数． 题型十 数轴圆形运动规律探究 【例10】如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示的点重合． (1)圆的周长为多少？ (2)若该圆在数轴上向右滚动，当点B第二次与数轴重合时，此时点B重合的点表示的数为多少？ (3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示的点与点B重合，数轴上表示的点与点C重合…），那么数轴上表示的点与圆周上哪个点重合？ 题型十一 数轴上的翻折问题 【例11】综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 题型十二 有关数轴的新定义问题 【例12】定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数是 ； (3)若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 题型十三 数轴中点有关问题 【例13】一条数轴上有点、、，点在、之间，其中点、表示的数分别是，12，现在以点为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点的距离，表示点对折后的对应点）时，点表示的数是 ． 题型十四 数轴上定值不变问题 【例14】数轴上有三个点，分别代表的整数是，点在数轴上的位置如图，，满足． (1)______，______，______，点与点之间的距离是______； (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动，点同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点A对应的数为______；点对应的数为______；点对应的数为______．（用含的式子表示） ②若点A与点之间的距离记为，点与点之间的距离记为，是否存在有理数，使得代数式的值为定值？若存在，求出的值及该定值，若不存在，请说明理由． 题型十五 数轴的应用问题 【例15】李老师善于通过知识迁移，对问题进行拓展探究，培养同学们用数学的思维思考现实世界的能力．下面李老师在“数轴的实际应用”主题下设计的问题，请你解答． (1)知识回顾 如图1，数轴上有一个表示数a的点M，已知点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，那么a的值是 ；    (2)探究迁移 如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两端P，Q分别落在A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点P移动到点B时，点Q所对应的数为24；当点Q移动到点A时，点P所对应的数为6（单位：cm）．利用所学知识求出点A、点B所表示的数及木尺的长；    (3)拓展应用 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁了！”请你利用（2）的方法，请直接写出小明和爷爷的年龄． 1．已知点A、B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为6，则的中点C表示的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在数轴上点表示的有理数可能是（     ） A． B． C． D． 3．在如下图所示的数轴中，画得正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上被墨水遮盖的点所表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 5．在数轴上，表示数的点在表示数的点的左侧，且，均不为0．下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 6．有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m________n．（填“”或“”） 7．在数轴上点A表示的数是3，点A与点B的距离是5个单位长度，则点B表示的数为________． 8．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴正方向滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是________． 9．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 10．正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，转次后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 11．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（     ） A． B． C． D． 12．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度．点对齐刻度．点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 13．已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 14．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0，1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转．翻转1次，点所对应的数为2，若翻转2026次，数轴上数2026所对应的点是_______． 15．在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数________．      16．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 17．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 18．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 19．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 20．下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式的值为； ④如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c． 若，则最小值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图，长方形的边在数轴上，点、对应的数分别为和，且边．若长方形沿数轴正方向在数轴上顺时针翻滚，每次翻滚，第1次绕着点顺时针翻滚后，点落在数轴上，对应的数为；第次绕点顺时针翻滚；继续翻滚，则翻滚次后，此时贴着数轴的那条边，其右端点对应的数是______． 22．如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 23．对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 24．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $