专项突破01 数轴上动点问题（知识技巧点拨+7种高频考察题型 共28题）期中培优讲练-2025-2026学年人教版2024数学七年级上册考前冲刺

专项突破01 数轴上动点问题 （知识技巧点拨+7种高频考察题型 共28题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：数轴上的动点问题五要素: 1 知识点梳理02：动点对应数的表示方法： 1 知识点梳理03：数轴上两点间的距离表示方法: 2 知识点梳理04：中点公式: 2 知识点梳理05：动点问题解决的四个步骤 3 优选题型 考点讲练 3 题型1：数轴上动点之间距离问题 3 题型2：数轴上动点之间相遇问题 4 题型3：数轴上动点定值问题 7 题型4：用数轴解决年龄问题 9 题型5：数轴上动点问题之定义新运算 12 题型6：数轴与绝对值综合问题 15 题型7：数轴上动点问题之规律探究问题 17 知识点梳理01：数轴上的动点问题五要素: （1）运动起点：动点从何处开始运动的（初始位置）； （2）运动方向：向右运动，还是向左运动； （3）运动速度：动点运动速度是多少，速度是否变化； （4）运动时间：运动时间已知还是未知； （5）运动距离：动点运动了多远. 知识点梳理02：动点对应数的表示方法： 动点对应的数=起点+运动速度x运动时间，向右运动时 动点对应的数=起点一运动速度×运动时间，向左运动时 如图1，数轴上的动点P从点A出发，以速度V向右运动，运动时间为t，则： 点P表示的数=A点表示的数+Vt 如图2，数轴上的动点P从点A出发，以速度V向左运动，运动时间为t，则： 点P表示的数=A点表示的数-Vt 知识点梳理03：数轴上两点间的距离表示方法: （1） 两点的相对位置确定: 两点间的距离=右边的点对应的数一左边的点对应的数 如图3，数轴上点对应的数分别是，且在的右侧，则： （2） 相对位置不确定: 两点间的距离=|右边点对应的数一左边点对应的数| =|左边点对应的数一右边点对应的数| 数轴上点A,B对应的数分别是a,b，则：AB=la-b=b-al 知识点梳理04：中点公式: （1）中点公式： 如图4，已知A在数轴上对应的数为a，B在数轴上对应的数为b，则： A，B的中点M对应的数为 （2）中点公式变形: 如图5，已知A在数轴上对应的数为a，AB的中点M对应的数为m，则： B对应的数=2m-a 知识点梳理05：动点问题解决的四个步骤 （1）表示数轴上所有涉及到的点：已知的点标在数轴上,根据上面讲的“动点对应数的表示方法”将动点用含有时间的代数式表示出来； （2）根据上面讲的距离公式，表示出所涉及到的距离； （3）根据题目中所给的等量关系，列式求解； （4）检验所求结果是否符合题意。 题型1：数轴上动点之间距离问题 1．（25-26七年级上·海南海口·阶段练习）数轴上点A表示，点B表示3，将点A向右移动4个单位长度后，A、B两点间的距离为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（25-26七年级上·陕西安康·阶段练习）数轴上点A表示的数是6，点B表示的数是，若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负半轴移动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正半轴移动，当移动4秒时停止，则点A与点B之间的距离为 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示的数是．已知A，B都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题． (1)若点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点，则点表示的数是 ； (2)已知点B表示的数是，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，则点D表示的数是 ，再向右移动个单位长度至点C，则点C表示的数是 ； (3)在（2）的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到所在的点处时，求M，N两点间的距离． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 题型2：数轴上动点之间相遇问题 5．（24-25七年级上·广东广州·期末）（1）、、、四点的位置在如图1所示的数轴上，且点所表示的数，满足，则 ， ； （2）在（1）的条件下，在该数轴上，线段以个单位的速度向正方向运动·，同时线段以个单位的速度向负方向．那么这两条线段从开始运动到完全离开需要经过多少？ （3）如图，三点在以O为原点的数轴上，点在以O为圆心，半径等于的圆周上，且，点绕点O以的速度顺时针旋转了时停止运动：同时点沿数轴负方向以个单位的速度运动，当到达点时马上以的速度绕点O逆时针旋转(当停止运动，也停止)，问：点P、Q开始运动后，在什么时刻，线段、在同一直线上？ 6．（25-26七年级上·全国·阶段练习）某饭店的外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东走了到达小红家，继续向东走了到达小明家，然后又向西走了到达小刚家，最后回到饭店． (1)请以饭店为原点，以向东的方向为正方向，一个单位长度表示，画出数轴，并在数轴上用点分别表示出饭店、小红家、小明家、小刚家的位置． (2)小刚家距小红家有多远？ (3)若小红和小刚两个人同时分别从自己家出发，小红以的速度步行到小明家，小刚以的速度骑自行车到小明家，则两个人能否同时到达小明家？若不能同时到达，则谁先到达？ 7．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 8．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 题型3：数轴上动点定值问题 9．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ； (2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）； (3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 10．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 11．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）已知，数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过32个单位长度． (1)求A，B两点所对应的数； (2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C对应的数； (3)已知，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右出发，速度为每秒2个单位长度，设线段的中点为P，线段的值是否变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由． 12．（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 题型4：用数轴解决年龄问题 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．    【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？ （2）图中点表示的数为____，点表示的数为___； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题； 一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为1）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为______；图中点A所表示的数是______；点B所表示的数是______； (2)受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： ①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生（0岁）；你若是我现在这么大，我就87岁啦！”则爸爸的年龄是______岁．（在图2中标出分析过程） ②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要13年才出生；你若是我现在这么大．我就119岁啦！”则爷爷的年龄是______岁．（画出示意图展示分析过程） 15．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础，如图，现有一木棍紧贴着数轴放置，左端点A与表示的点重合，右端点B与原点重合． (1)如图1，将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为 ；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为 ． (2)如图2，M是木棍上任意一点，是木棍按照（1）沿着数轴负方向平移后的对应点，是木棍按照（1）沿着数轴正方向平移后的对应点，设对应的有理数为，对应的有理数为，则 ． (3)小明问爷爷现在的年龄是多少，爷爷说：“我像你这么大时，你还有40年才出生；等你到我这个年纪时，我已经110岁高龄了．”问小明和爷爷现在的年龄各是多少？ 16．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题： 一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 题型5：数轴上动点问题之定义新运算 17．（24-25七年级上·北京房山·期中）定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为 (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是_；写出【，】美好点所表示的数是_． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？ (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 19．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数是 ； (3)若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 20．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 题型6：数轴与绝对值综合问题 21．（2024七年级上·全国·专题练习）【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 22．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）点、、在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应点之间的距离可表示为，如5与2在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2024（点在点的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数； 23．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为．根据以上知识解题： (1)点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示2，那么 ． (2)在数轴上表示数a的点与的距离是3，那么 ． (3)如果数轴上表示数a的点位于表示和2的点之间，那么 (4)对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，请说明理由． 24．（23-24七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 题型7：数轴上动点问题之规律探究问题 25．（25-26七年级上·四川自贡·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合 ． 26．（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 27．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 28．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破01 数轴上动点问题 （知识技巧点拨+7种高频考察题型 共28题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：数轴上的动点问题五要素: 1 知识点梳理02：动点对应数的表示方法： 1 知识点梳理03：数轴上两点间的距离表示方法: 2 知识点梳理04：中点公式: 2 知识点梳理05：动点问题解决的四个步骤 3 优选题型 考点讲练 3 题型1：数轴上动点之间距离问题 3 题型2：数轴上动点之间相遇问题 6 题型3：数轴上动点定值问题 11 题型4：用数轴解决年龄问题 15 题型5：数轴上动点问题之定义新运算 20 题型6：数轴与绝对值综合问题 27 题型7：数轴上动点问题之规律探究问题 32 知识点梳理01：数轴上的动点问题五要素: （1）运动起点：动点从何处开始运动的（初始位置）； （2）运动方向：向右运动，还是向左运动； （3）运动速度：动点运动速度是多少，速度是否变化； （4）运动时间：运动时间已知还是未知； （5）运动距离：动点运动了多远. 知识点梳理02：动点对应数的表示方法： 动点对应的数=起点+运动速度x运动时间，向右运动时 动点对应的数=起点一运动速度×运动时间，向左运动时 如图1，数轴上的动点P从点A出发，以速度V向右运动，运动时间为t，则： 点P表示的数=A点表示的数+Vt 如图2，数轴上的动点P从点A出发，以速度V向左运动，运动时间为t，则： 点P表示的数=A点表示的数-Vt 知识点梳理03：数轴上两点间的距离表示方法: （1） 两点的相对位置确定: 两点间的距离=右边的点对应的数一左边的点对应的数 如图3，数轴上点对应的数分别是，且在的右侧，则： （2） 相对位置不确定: 两点间的距离=|右边点对应的数一左边点对应的数| =|左边点对应的数一右边点对应的数| 数轴上点A,B对应的数分别是a,b，则：AB=la-b=b-al 知识点梳理04：中点公式: （1）中点公式： 如图4，已知A在数轴上对应的数为a，B在数轴上对应的数为b，则： A，B的中点M对应的数为 （2）中点公式变形: 如图5，已知A在数轴上对应的数为a，AB的中点M对应的数为m，则： B对应的数=2m-a 知识点梳理05：动点问题解决的四个步骤 （1）表示数轴上所有涉及到的点：已知的点标在数轴上,根据上面讲的“动点对应数的表示方法”将动点用含有时间的代数式表示出来； （2）根据上面讲的距离公式，表示出所涉及到的距离； （3）根据题目中所给的等量关系，列式求解； （4）检验所求结果是否符合题意。 题型1：数轴上动点之间距离问题 1．（25-26七年级上·海南海口·阶段练习）数轴上点A表示，点B表示3，将点A向右移动4个单位长度后，A、B两点间的距离为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴上点的平移、数轴上两点间的距离，掌握平移变化规律是解题的关键． 先求出点A向右移动4个单位长度后所表示的数，然后根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【规范解答】解：∵数轴上点A表示， ∴点A向右移动4个单位长度后所表示的数为， ∵点B表示3， ∴此时A、B两点间的距离为． 故选：B． 2．（25-26七年级上·陕西安康·阶段练习）数轴上点A表示的数是6，点B表示的数是，若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负半轴移动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正半轴移动，当移动4秒时停止，则点A与点B之间的距离为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查数轴上的动点、两点之间的距离，根据点A、B的运动方向和速度，可求得移动4秒后两点表示的数，进而可求解两点之间的距离． 【规范解答】解：根据题意，当移动4秒时停止，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴点A与点B之间的距离为， 故答案为：5． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示的数是．已知A，B都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题． (1)若点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点，则点表示的数是 ； (2)已知点B表示的数是，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，则点D表示的数是 ，再向右移动个单位长度至点C，则点C表示的数是 ； (3)在（2）的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到所在的点处时，求M，N两点间的距离． 【答案】(1)2， (2)，0， (3)， 【思路引导】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移（动点问题），正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点，进行列式计算，即可作答． （2）点B表示的数是，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，得出点D表示的数，再从点D向右移动个单位长度，进行列式计算，得出点C表示的数，即可作答． （3）先根据题意，列式计算，得出点M运动的时间，结合点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点C表示的数为，列式计算得出点N表示的数，最后列式计算得出点M和点N之间的距离，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． （2）解：∵点B表示的数是， ∴将点B向左移动7个单位长度得到点D表示的数为：， ∴向右移动个单位长度得到点C表示的数为：． 故答案为：，0． （3）解：∵点B表示的数是，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M运动到所在的点处， ∴点M运动的时间为， ∵点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点C表示的数为 则点N表示的数为：， ∴点M和点N之间的距离是：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【规范解答】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 题型2：数轴上动点之间相遇问题 5．（24-25七年级上·广东广州·期末）（1）、、、四点的位置在如图1所示的数轴上，且点所表示的数，满足，则 ， ； （2）在（1）的条件下，在该数轴上，线段以个单位的速度向正方向运动·，同时线段以个单位的速度向负方向．那么这两条线段从开始运动到完全离开需要经过多少？ （3）如图，三点在以O为原点的数轴上，点在以O为圆心，半径等于的圆周上，且，点绕点O以的速度顺时针旋转了时停止运动：同时点沿数轴负方向以个单位的速度运动，当到达点时马上以的速度绕点O逆时针旋转(当停止运动，也停止)，问：点P、Q开始运动后，在什么时刻，线段、在同一直线上？ 【答案】（1）；（2）；（3）、运动或或 时，在同一条直线上 【思路引导】本题考查了绝对值与平方数的性质、数轴上的运动以及角度相关知识，解题关键在于利用相关性质建立等式或方程，并清晰分析运动过程与角度关系； （1）利用绝对值与平方数的非负性求解和的值； （2）对于线段的运动，通过分析它们的相对运动速度和初始距离来计算完全离开所需时间； （3）对于点的旋转和运动问题，需要分不同阶段，根据角度关系建立方程求解． 【规范解答】（1） ，由非负性可知且， 解得； （2）由（1）知点A表示数为，点B表示数为6，点Q表示数为8， 线段长为， 运动到完全离开时间为； （3）点绕点O旋转用时， 点到点的距离为，用时为． ①点与点P第一次重合时，即共线,如图， 则， 解得：； ②当射线与射线每一次成一条直线时．如图， 则， 解得：； 当点与点P第二次重合时，即共线,如图， ， 解得：； 当射线与射线每二次成一条直线时．如图， 则， 解得：（舍去）； 综上所述，当运动时间为或或时，线段、在同一直线上． 6．（25-26七年级上·全国·阶段练习）某饭店的外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东走了到达小红家，继续向东走了到达小明家，然后又向西走了到达小刚家，最后回到饭店． (1)请以饭店为原点，以向东的方向为正方向，一个单位长度表示，画出数轴，并在数轴上用点分别表示出饭店、小红家、小明家、小刚家的位置． (2)小刚家距小红家有多远？ (3)若小红和小刚两个人同时分别从自己家出发，小红以的速度步行到小明家，小刚以的速度骑自行车到小明家，则两个人能否同时到达小明家？若不能同时到达，则谁先到达？ 【答案】(1)详见解析 (2) (3)两个人不能同时到达小明家，小刚先到达小明家 【思路引导】（1）根据题意可以画出相应的数轴； （2）根据题意和（1）中的数轴，可以得到小刚家距小红家多远； （3）根据题意，可以分别计算出小红和小刚到达小明家的时间，从而可以解答本题． 【规范解答】（1）解：数轴如图所示， （2）解：由（1）可知，点A表示的数为2，点C表示的数为-2， 2-（-2）=2+2=4， 即小刚家距小红家4千米； （3）解：由题意可得， 小红步行到小明家的时间为：（小时）， 小刚到小明家的时间为：（小时）， ， 两个人不能同时到达小明家，小刚先到达小明家． 【考点剖析】本题考查有理数的混合运算、数轴、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【答案】(1)5 (2)①；② 【思路引导】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，熟练掌握以上知识点，正确表示出点、表示的数是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求得点表示的数； （2）①根据数轴上两点之间的距离公式用表示出点、分别为、，当、相遇时，有，解之即可；②先求得，然后求得点，再算得的距离即可． 【规范解答】（1）解：点表示的数为1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4， 点表示的数为， 故答案为：5． （2）解：①点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动， 点表示的数为， 点表示的数为1，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 点表示的数为， 点、在数轴上表示的数分别是，1， 当、相遇时，有， 解得， 故当时，、两点相遇； ②由①可知，当点表示的数为2时，即， 解得， 此时点表示的数为， 点表示的数为5， 点、两点间的距离， 故当点表示的数为2时，点、两点间的距离为． 8．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【答案】(1) (2)当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【思路引导】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 【规范解答】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 题型3：数轴上动点定值问题 9．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ； (2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）； (3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 【答案】(1)6；10 (2)；或； (3)当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，． 【思路引导】此题考查数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离， （1）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可； （3）根据两点之间的距离公式分别求出，，即可判断． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：6；10； （2）解：t秒时点A表示的数是， 此时或， 故答案为：；或； （3）解：t秒时点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， 当点A与点B重合时，，解得， 当时，，， ∴，此时的值随着时间t的变化而改变； 当时，，， ∴，此时的值不随着时间t的变化而改变， 综上，当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，． 10．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)-2，1，7； (2)3，9，6； (3)点A与点B之间的距离为3t+3，点A与点C之间的距离为5t+9，点B与点C之间的距离为2t+6； (4)不变，12． 【思路引导】本题考查数轴、列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意，直接写出点A、B、C表示的数即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （3）用含t的代数式写出点A、B、C表示的数，再分别表示出这三个点两两之间的距离即可； （4）将和分别代入并化简，根据其结果是否含有t即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据题意，得点A、B、C表示的数分别是：，1，7． 故答案为：，1，7． （2）解：点A与点B之间的距离为，点A与点C之间的距离为，点B与点C之间的距离为． 故答案为：3，9，6． （3）解：t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴t秒后，点A与B之间的距离为，点A与C之间的距离为，点B与C之间的距离为． （4）解：∵， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为12． 11．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）已知，数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过32个单位长度． (1)求A，B两点所对应的数； (2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C对应的数； (3)已知，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右出发，速度为每秒2个单位长度，设线段的中点为P，线段的值是否变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)点A表示的数为，点B表示的数为24 (2)点C表示的数为或6 (3)不变， 【思路引导】本题考查数轴的应用及一元一次方程的应用． （1）直接根据有理数与数轴上各点的对应关系求出A，B表示的数即可； （2）设点C表示的数为c，再根据点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍列出关于c的方程，求出c的值即可； （3）设运动时间为t秒，则，再根据点P是的中点用t表示出的长，再求出的值即可． 【规范解答】（1）由题意知，点A表示的数为， 设B为b， 则： 解得： ∴点B表示的数为24； （2）设点C表示的数为x， 依题意，得 ， 解得或， 即点C表示的数为或6； （3）设运动时间为t秒，则，， ∵线段的中点为P ∴ 即， 即， 所以的值不变，． 12．（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 【答案】(1)，； (2)或 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握两点间的距离公式． （1）根据数轴上两点间的距离公式可求有几个单位长度，在图2中，，则数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，由图2 知 ，，可求出，在数轴上的距离为个单位长度，最后根据两点间的距离公式求出； （2）根据，，可得，结合点所表示的数为，利用两点间的距离公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：点，分别表示，， 在图1上，个单位长度， 在图2中，， 数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 由图2 知 ，， ，在数轴上的距离为个单位长度， 点所对应的数， 故答案为：，；； （2），， ， 点所表示的数为， 设点表示的数为， 则， 解得：或， 点表示的数为或． 题型4：用数轴解决年龄问题 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．    【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？ （2）图中点表示的数为____，点表示的数为___； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题； 一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【答案】（1）；（2）；；（3）岁 【思路引导】本题考查数轴，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离， （1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则可得出此木棒的长； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，则可知爷爷比小红大，由此可求出爷爷的年龄； 利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【规范解答】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是：， ∵ ∴木棒的长为； （2）图中点所表示的数为：，点所表示的数为：， 故答案为：；； （3）如图，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，      爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为， 小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为， ∴爷爷比小红大：， ∴爷爷的年龄为（岁）， 答：爷爷现在的年龄是岁． 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为1）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为______；图中点A所表示的数是______；点B所表示的数是______； (2)受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： ①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生（0岁）；你若是我现在这么大，我就87岁啦！”则爸爸的年龄是______岁．（在图2中标出分析过程） ②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要13年才出生；你若是我现在这么大．我就119岁啦！”则爷爷的年龄是______岁．（画出示意图展示分析过程） 【答案】(1)，12，21； (2)①58；②75． 【思路引导】本题考查了数轴的认识、用数轴表示数及有理数的加减法，读懂题干及正确理解题意是解决本题的关键． （1）由图象可知3倍的长为，即可求得长度．A点在3的右侧，距离3有9个单位长度，故A点为12；B点在A的左侧，距离A有9个单位长度，故B点为21． （2）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示小明的年龄，B端表示爸爸（爷爷）的年龄，则木棒的长度表示二人的年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出． 【规范解答】（1）解：观察数轴可知三根这样长的木棒长为，则这根木棒的长为， ∴A点表示为，B点表示的数是， 故答案为：，12，21； （2）解：①借助数轴，把小明和爸爸的年龄差看做木棒， 同理可得爸爸比小明大， ∴爸爸的年龄是（岁）， 故答案为58． ②借助数轴，把小明和爷爷的年龄差看做木棒， 同理可得爷爷比小明大， ∴爷爷的年龄是（岁）， 故答案为75． 15．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础，如图，现有一木棍紧贴着数轴放置，左端点A与表示的点重合，右端点B与原点重合． (1)如图1，将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为 ；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为 ． (2)如图2，M是木棍上任意一点，是木棍按照（1）沿着数轴负方向平移后的对应点，是木棍按照（1）沿着数轴正方向平移后的对应点，设对应的有理数为，对应的有理数为，则 ． (3)小明问爷爷现在的年龄是多少，爷爷说：“我像你这么大时，你还有40年才出生；等你到我这个年纪时，我已经110岁高龄了．”问小明和爷爷现在的年龄各是多少？ 【答案】(1)； (2)6 (3)爷爷现在的年龄是60岁，小明现在的年龄10岁． 【思路引导】本题考查了数轴和数轴上两点间的距离，对数轴和数轴上两点间距离公式的概念的正确理解是解题的关键． （1）求得，由题意即可求出点、点所表示的数； （2）由（1），据此结合木棒的长，求得；；据此求解即可； （3）借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看作木棒，把爷爷比小明大看作点移动到点，此时点所对应的数为，接下来可把小明比爷爷大时看作点移动到点，此时点所对应的数为110，据此可求出爷爷比小明大的岁数，进而可知爷爷和小明的年龄． 【规范解答】（1）解：由题意得， 将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为； 故答案为：；； （2）解：设M对应的数为， 由题意得；； ∴， 故答案为：6； （3）解：由图可知，把小明与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷是小明现在年龄时看作当点移动到点时，此时点所对应的数位， 当点移动到点时，此时点所对应的数为110， 爷爷比小明大（岁， 爷爷的年龄为（岁， 小明的年龄为（岁， 答：爷爷现在的年龄是60岁，小明现在的年龄10岁． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题： 一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【答案】(1)5 (2)10，15 (3)爷爷现在的年龄是65岁 【思路引导】此题考查了数轴，解题的关键是把爷爷与小明的年龄差看做一个整体（木棒），而后转化为数轴上求点表示数的问题． （1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则此木棒长为； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看做木棒，类似爷爷比小明大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为，小明比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为120，所以可知爷爷比小明大，可求爷爷的年龄． 【规范解答】（1）解：由数轴观察知，三根木棒长是， 则此木棒长为． 故答案为：5； （2）解：图中点A所表示的数为，点B所表示的数为． 故答案为：10，15； （3）解：如图： 借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看做木棒， 类似爷爷比小明大时看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为． 小明比爷爷大时看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为． 可知爷爷比小明大， 可知爷爷的年龄为（岁）． 故爷爷现在的年龄是65岁． 题型5：数轴上动点问题之定义新运算 17．（24-25七年级上·北京房山·期中）定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为 (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是_；写出【，】美好点所表示的数是_． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)1.5，2.25，3，，9，13.5 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【规范解答】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在点左侧，如图， 当时，， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，， 因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，，9，13.5． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？ (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 【答案】(1)，； (2)或或． 【思路引导】（）根据题意求得与的关系，然后逐一判断即可； （）设表示的数为，则由题意得，则，，然后分当时，即，当时，即，解出方程即可； 本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“关联点”的概念，读懂题意并根据题意列出方程． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴不是点，的“关联点”， ∵，， ∴， ∴是点，的“关联点”， ∵，， ∴ ∴是点，的“关联点”， ∵，， ∴不是点，的“关联点”， 综上可知：，是点，的“关联点”； （2）设表示的数为，则由题意得， ∴，， ∵点是点，的“关联点”， ∴当时，即， 则或， 解得：或； 当时，即， 则或， 解得：或（不合题意，舍去）； 综上可知：点表示的数是或或， 故答案为：或或． 19．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数是 ； (3)若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键. （1）利用“倍分点”的定义即可求得答案； （2）设D点对应的数值为，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案； （3）利用“倍分点”的定义，结合点在点的右侧，分两种情况讨论即可求出答案. 【规范解答】（1），， ， ∴点是点的“倍分点”； 故答案为：； （2）解：， 设点对应的数值为， ①当时，， ， 解得：或； ②当时，， ， 解得：或； 综上所述，则点对应的数分别是,， 故答案为：； （3）解：， 当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 综上所述，点表示的数为或． 20．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)120 (2)20，60 (3)16，40，64 【思路引导】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100， ∴， ∴点之间的距离是120． （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为60； ∴线段的“理想点”所对应的数是20，60． （3）∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， ①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 题型6：数轴与绝对值综合问题 21．（2024七年级上·全国·专题练习）【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 【答案】（1），；（2）或；（3）；或； 【思路引导】此题考查了数轴上两点间的距离，关键是能分情况讨论，利用数轴列出算式或一元一次方程． （1）由两点间距离的定义可得，设表示的点与表示的点重合，且点到点和表示的点与点的距离相等，即可求得答案； （2）由，得到和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可得到答案； （3）根据点的位置化简绝对值求解即可求得及，分点在线段上和点位于点右侧两种情况列方程求解点的位置即可． 【规范解答】解：（1）由题意，得，点，之间的距离． 设表示的点与表示的点重合， 因为数轴上两点，表示的数分别为，， 所以，即点到点的距离和表示的点到点的距离相等， 所以或， 因为表示的点在点的左边， 所以点在点的右边， 即不合题意，舍去，所以， 即表示的点与表示的点重合． （2）因为， 所以和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 所以或， 故答案为或． （3）因为点在，两点之间， 所以， 所以． 因为， 所以点到点和点的距离之和等于． 因为，两点表示的数分别为，， 所以， 当点在点左侧时，如答图①， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为， 当点在点右侧时，如答图②， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 当在，两点之间时，点到，两点的距离之和最小，为， 因为表示的数为整数， 所以表示的数有，，，，，，，，，，共个． 故答案为；或；． 22．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）点、、在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应点之间的距离可表示为，如5与2在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2024（点在点的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数； 【答案】(1)，6 (2)9 (3)①3，①所以点M表示的数为，点N表示的数为1011 【思路引导】本题考查数轴，绝对值，关键是理解数轴上两点距离公式的几何意义． （1）由数轴上点的位置即可得到答案； （2）由题意知数轴在2对应的点处折叠，得到点A与数9表示的点重合； （3）①当x对应的点在3和6对应的点之间，的值最小； ②由题意知数轴在对应的点处折叠，即可得到M和N表示的数． 【规范解答】（1）解∶点表示的数是，点表示的数是6， 故答案为∶； （2）解∶折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则数轴在2对应的点处折叠，因此点与数9表示的点重合， 故答案为∶9； （3）解∶①当的值最小值时，对应的点在3和6对应的点之间， 当时，的值最小， 此时， 因此的最小值是3； ②对应的点与对应的点重合， 数轴在对应的点处折叠， 两点之间的距离为2024， 与对应的点的距离是1012， 表示的数是表示的数是． 23．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为．根据以上知识解题： (1)点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示2，那么 ． (2)在数轴上表示数a的点与的距离是3，那么 ． (3)如果数轴上表示数a的点位于表示和2的点之间，那么 (4)对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)1或 (3)6 (4)是，3 【思路引导】本题考查数轴、绝对值的定义和有理数的加减运算，熟知数轴上两点间的距离公式是解题关键． （1）根据两点间距离公式解答即可； （2）根据两点间距离公式求出a值即可； （3）根据两点间的距离公式解答即可； （4）根据两点间的距离公式解答即可． 【规范解答】（1）， 故答案为：1； （2）∵数轴上表示数a的点与的距离是3， ∴， 解得：或1． 故答案为：1或； （3）数a位于与2之间，表示a到与a到2的距离的和， ∴， 故答案为6 （4）∵表示x到3与x到6的距离的和，   ∴当时，， 当或时，， ∴有最小值，最小值为3． 24．（23-24七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3)当时，的值不变． 【思路引导】（）根据绝对值的意义解方程即可求解； （）由得到所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离，根据两点间距离公式计算即可求解； （）根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变,分别求出点从点运动到点和到点的时间即可求解； 本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离， ∴， 故答案为：； （3）解：根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变, 点从点运动到点的时间为秒， 点从点运动到点的时间为秒， ∴当时，的值不变． 题型7：数轴上动点问题之规律探究问题 25．（25-26七年级上·四川自贡·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合 ． 【答案】0 【思路引导】圆沿着数轴向左滚动，每滚动一圈，圆周上的0，3，2，1分别与数轴上的数一一对应，找到与之间有几组循环即可作答； 本题主要考查了数轴上的规律探究，找到滚动时圆周上的数字与数轴上的数字的对应关系和循环周期是解题的关键． 【规范解答】解：圆的周长为4个单位长度，则圆每滚动一圈，圆周上的0，3，2，1分别与数轴上的数一一对应，即4个数为一组循环； 起始状态圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，当圆滚动到时，经过了个单位长度，共有组循环，则数轴上表示的点与圆周上的0重合． 故答案为：0． 26．（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索．根据点从1开始，每翻转6次一个循环，利用，根据余数的情况进行判断即可． 【规范解答】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是； 故答案为：C 27．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【思路引导】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【规范解答】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 28．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【规范解答】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $