精品解析：广西南宁市第三十七中2026-2027学年度上学期九年级10月份综合作业（期中）检查数学试题

2026~2027学年度上学期九年级10月份综合作业检查 数学学科 （考试形式：闭卷考试 时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 当前我国人工智能产业快速发展，多款国产大模型亮相数字产业展会，下列四个产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 5. 若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 9. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的雪花绕中心旋转后能与原来的图案重合，则n的最小值为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 11. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式为______． 14. 已知方程的两个根分别为和，求的值为______ 15. 如图是抛物线形拱桥的示意图，桥拱在水面的跨度约为20米，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线解析式是，则桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为______米． 16. 如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（）的度数是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算与解方程． （1）计算：； （2）解方程：． 18. 广西民族博物馆文创商店售卖融水非遗苗绣斜挎小包，该小包每天可售出20个，每个小包可盈利40元．为进一步推广苗绣非遗文化，商家计划开展惠民降价促销活动，经调查发现：每个小包每降价1元，平均每天可多售出2个．设每个小包降价x元． （1）用含x的式子填空：该小包每天的销售量增加______个，每个小包盈利______元； （2）每个小包降价多少元时，每天的利润可达到1200元？ 19. 为提升全体学生的东盟知识素养，七、八年级组织开展东盟知识竞赛活动．为了解竞赛成绩，从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩（满分100分）进行整理、描述和分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级10名学生的竞赛成绩（单位：分）： 62，70，70，81，87，91，93，96，98，100． 八年级10名学生的竞赛成绩（单位：分）： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． 分析数据： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 根据以上信息回答下列问题： （1）______，______； （2）七年级学生竞赛成绩第一四分位数______，补全七年级竞赛成绩的箱线图； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对七、八年级的竞赛成绩进行对比，并对竞赛情况做出评价． 20. 如图，和关于点O对称． （1）画出对称中心O； （2）若，，，求的周长； （3）连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 21. 乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 【前期准备】查阅资料，了解音乐、物理相关的知识；准备相同规格的吸管，剪刀，刻度尺，频谱分析仪． 【收集数据】取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），数据如表： … 30 24 20 18 16 15 … … 240 300 360 400 450 480 … 【建立模型】 （1）为直观分析f与l的变化规律，根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线顺次连接各点． （2）结合表中数据和图象分析，判断f与l满足的函数关系是______函数（填“一次”，“二次”，“反比例”），并求出f与l之间的函数解析式（不要求写出自变量l的取值范围）； （3）【应用模型】如表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，就可以制作成乐器． 唱名 在制作乐器时，求唱名对应的吸管长度（结果保留整数）． 22. 如图，在中，，，．点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，． （1）求证：； （2）若时，求的长； （3）点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点． 【性质初探】 （1）抛物线的开口______（填“向上”或“向下”）； （2）求证：无论取何值，抛物线的最小值恒为； 【深入探究】 （3）将抛物线向右平移（）个单位长度得到抛物线，当时，是否存在实数，使得抛物线与关于轴对称？若存在，求出值；若不存在，说明理由； （4）若抛物线与的交点在轴上． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴的平行线，分别与抛物线，的另一个交点是点、点，选取两个符合条件的值，并验证越大，越小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度上学期九年级10月份综合作业检查 数学学科 （考试形式：闭卷考试 时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此判断即可． 【详解】解：、方程中含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且是整式方程，是一元一次方程．不是一元二次方程，不符合题意； 、方程是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 、方程只含一个未知数，未知数的最高次数为，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； 、方程含有、两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 2. 当前我国人工智能产业快速发展，多款国产大模型亮相数字产业展会，下列四个产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，据此逐项判断即可. 【详解】解：选项A，不是中心对称图形； 选项B，绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形； 选项C，不是中心对称图形； 选项D，不是中心对称图形. 3. 将抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，得． 4. 如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ， ， . 5. 若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点，的横坐标代入求函数值，然后比较大小即可． 【详解】解：把代入，得． 把代入，得； ∵， ∴． 6. 平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即可得出答案． 【详解】由题意，得， 关于原点对称的点的坐标是， 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 7. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义． 由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且， ， 矩形的面积为2，故选B． 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：在一元二次方程中，，，， ， 该方程有两个不相等的实数根． 9. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间；当函数值由负变正时，对应区间内必有一根． 【详解】解：∵ 当 时，； 当 时，； ∴ 在 到 之间，函数值由负变正， 故方程 的一个根在 范围内． 故选 ：C． 10. 如图所示的雪花绕中心旋转后能与原来的图案重合，则n的最小值为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】B 【解析】 【详解】解：观察图形可知，该雪花图案被平分成6个相同的部分， 该图形绕中心旋转的最小角度为， 的最小值为. 11. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】理解题意，找到剩余知识量的等量关系．每天遗忘百分比为，剩余知识量每天在上一天剩余的基础上按比例衰减，据此列出方程即可． 【详解】解：设原始知识量为， ∵每天遗忘的百分比为， ∴第一天后剩余的知识量为， 第二天后剩余的知识量为， 又∵两天不练丢一半，即两天后剩余知识量为原来的， ∴． 12. 已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，取得最大值； ∵当时，；当时，， ∵， ∴的最小值为． ∴的取值范围是． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知反比例函数的一般形式，将已知点的坐标代入解析式，即可求出系数，得到最终解析式. 【详解】解： 反比例函数的图象经过点， 将，代入，得，解得， 该反比例函数的解析式为. 14. 已知方程的两个根分别为和，求的值为______ 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，常数项，根据根与系数的关系，两根之积． 故答案为：6． 15. 如图是抛物线形拱桥的示意图，桥拱在水面的跨度约为20米，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线解析式是，则桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为______米． 【答案】20 【解析】 【分析】先读出顶点坐标，根据水面倒影是关于轴对称求出倒影点坐标，再计算两点距离． 【详解】解：由抛物线解析式，可得顶点的坐标为． 水面为轴，点在水中的倒影是点关于轴的对称点， 坐标为． 与之间的距离为（米）． 16. 如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（）的度数是______． 【答案】 或 【解析】 【分析】分点D在上方，点D在下方两种情况，根据角的和差关系分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点D在上方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的大小为； 如图所示，当点D在下方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴旋转角的大小为； 综上所述，旋转角的大小为或. 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算与解方程． （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】  解：； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 18. 广西民族博物馆文创商店售卖融水非遗苗绣斜挎小包，该小包每天可售出20个，每个小包可盈利40元．为进一步推广苗绣非遗文化，商家计划开展惠民降价促销活动，经调查发现：每个小包每降价1元，平均每天可多售出2个．设每个小包降价x元． （1）用含x的式子填空：该小包每天的销售量增加______个，每个小包盈利______元； （2）每个小包降价多少元时，每天的利润可达到1200元？ 【答案】（1）， （2）每个小包降价元或元时，每天的利润可达到1200元 【解析】 【分析】（1）根据每个小包每降价1元，平均每天可多售出2个，列出代数式即可； （2）根据总利润单个商品利润总销售量，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每个小包降价x元， ∵每个小包每降价1元，平均每天可多售出2个， ∴该小包每天的销售量增加个，每个小包盈利元； 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 解得，， ∴每个小包降价元或元时，每天的利润可达到1200元． 19. 为提升全体学生的东盟知识素养，七、八年级组织开展东盟知识竞赛活动．为了解竞赛成绩，从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩（满分100分）进行整理、描述和分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级10名学生的竞赛成绩（单位：分）： 62，70，70，81，87，91，93，96，98，100． 八年级10名学生的竞赛成绩（单位：分）： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． 分析数据： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 根据以上信息回答下列问题： （1）______，______； （2）七年级学生竞赛成绩第一四分位数______，补全七年级竞赛成绩的箱线图； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对七、八年级的竞赛成绩进行对比，并对竞赛情况做出评价． 【答案】（1），． （2），补全后的箱线图如图 （3）选择方差：七年级成绩的方差为 ，八年级成绩的方差为 ，因为 ，所以八年级学生的竞赛成绩更稳定，七年级学生成绩的波动更大．（答案不唯一，选平均数或中位数均可） 【解析】 【分析】（1）七年级10个成绩的中位数为第5、6个数的平均数，据此得 ；八年级成绩中 出现次数最多，据此得 ； （2）把七年级成绩分成位于中位数左、右的两部分，左侧5个数据的中位数即第一四分位数 ，再由最小值、、中位数、、最大值五个数补全箱线图； （3）从平均数、中位数、方差中任选其一作比较：方差越小成绩越稳定，平均数或中位数越高平均水平越高． 【小问1详解】 解：将七年级10名学生的成绩从小到大排列：62，70，70，81，87，91，93，96，98，100． 成绩个数为10，中位数为第5、6个数 与 的平均数， ∴ ． 八年级10名学生的成绩中， 出现2次，其余各数均只出现1次， ∴ 众数 ． 【小问2详解】 解：七年级成绩从小到大排列后，位于中位数左侧的5个数据为 ，，，，， 其中位数为第3个数， ∴ 第一四分位数 ． 七年级成绩的最小值为 ，最大值为 ；位于中位数右侧的5个数据为 ，，，，，其中位数为 ，即 ． 由最小值 、、中位数 、、最大值 补全七年级的箱线图（见答案处图形）． 【小问3详解】 解：选择方差． 七年级成绩的方差为 ，八年级成绩的方差为 ． ∵ ， ∴ 八年级学生的竞赛成绩更稳定，波动更小，整体水平更整齐；七年级学生成绩的离散程度更大，高低分差距更明显． （若选平均数：七年级为 ，八年级为 ，八年级平均水平略高；若选中位数：七年级为 ，八年级为 ，八年级中等水平学生的成绩更好．） 【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、方差与箱线图的识读及补全；解题关键是先把10个数据从小到大排列，用"中位数一侧数据的中位数"求第一、第三四分位数，并由最小值、、中位数、、最大值五个数补全箱线图；评价两个年级时，方差越小说明成绩越稳定，平均数或中位数越高说明平均水平越好． 20. 如图，和关于点O对称． （1）画出对称中心O； （2）若，，，求的周长； （3）连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）如图，点O即为所求： （2）18 （3）四边形为平行四边形， 理由：如图， ∵和关于点O对称， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段、上，则连接和，它们的交点即为对称中心O； （2）根据中心对称的两个三角形全等可得到各边的长，然后计算周长即可； （3）根据中心对称的性质得，，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵和关于点O对称， ∴， ∴，，， ∴的周长为； 【小问3详解】 略 21. 乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 【前期准备】查阅资料，了解音乐、物理相关的知识；准备相同规格的吸管，剪刀，刻度尺，频谱分析仪． 【收集数据】取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），数据如表： … 30 24 20 18 16 15 … … 240 300 360 400 450 480 … 【建立模型】 （1）为直观分析f与l的变化规律，根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线顺次连接各点． （2）结合表中数据和图象分析，判断f与l满足的函数关系是______函数（填“一次”，“二次”，“反比例”），并求出f与l之间的函数解析式（不要求写出自变量l的取值范围）； （3）【应用模型】如表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，就可以制作成乐器． 唱名 在制作乐器时，求唱名对应的吸管长度（结果保留整数）． 【答案】（1）如图， （2）反比例， （3）16 【解析】 【分析】（1）描点，然后连线即可； （2）根据题意反比例函数特点判断，然后利用待定系数法求解； （3）将代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可得，f与l满足的函数关系是反比例函数， 设f与l的解析式为 将，代入得， 解得 ∴f与l的解析式为； 【小问3详解】 解：将代入得， 解得 ∴唱名对应的吸管长度为． 22. 如图，在中，，，．点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，． （1）求证：； （2）若时，求的长； （3）点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：由旋转得，，， ，即， 又∵， ． （2） （3）存在，最小值为72 【解析】 【分析】（1）由即可证明； （2）由全等的性质得到，求出，利用勾股定理求出； （3）证明，当时，最小，此时的值最小，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ，， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 由（2）可知，． 当时，最小，此时的值最小， 为等腰直角三角形， ∴此时， ． ∴的最小值为72． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点． 【性质初探】 （1）抛物线的开口______（填“向上”或“向下”）； （2）求证：无论取何值，抛物线的最小值恒为； 【深入探究】 （3）将抛物线向右平移（）个单位长度得到抛物线，当时，是否存在实数，使得抛物线与关于轴对称？若存在，求出值；若不存在，说明理由； （4）若抛物线与的交点在轴上． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴的平行线，分别与抛物线，的另一个交点是点、点，选取两个符合条件的值，并验证越大，越小． 【答案】（1） 向上 （2） 证明：∵ ， ， ∴ ，当时取等号， ∴ 抛物线的最小值恒为． （3） 存在实数，， 证明：抛物线的顶点式为，顶点坐标为， 将向右平移2个单位得到，则的顶点坐标为，且两抛物线二次项系数均为，开口方向、大小相同， 若与关于轴对称，则两顶点关于轴对称， 顶点关于轴的对称点为， ∴ ， 解得，符合的条件． （4） ① ； ② 选取和，验证如下： 当时，，直线与的另一交点，与的另一交点，； 当时，，直线与的另一交点，与的另一交点，. ∵ 且， ∴ 越大，越小． 【解析】 【分析】（1）根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向； （2）通过配方法将抛物线解析式化为完全平方式，利用平方的非负性证明最小值为； （3）利用平移前后抛物线顶点的坐标变化，结合关于轴对称的点的坐标特征列方程求解； （4）① 先确定轴上交点的坐标，代入平移后的抛物线解析式推导与的函数关系；② 求出直线与两抛物线的另一交点坐标，计算的长度，代入值验证结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线中，， ∴抛物线的开口向上． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：① ∵ 抛物线与轴交于点，且两抛物线的交点在轴上， ∴ ； 抛物线由向右平移个单位得到，其解析式为； 将代入的解析式，得， 整理得， ∵ ，， ∴ ，  ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， ∴关于的函数解析式为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $