专题01 一元二次方程（期中真题汇编，广西专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）下列方程中是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）一元二次方程的二次项系数是（       ） A. 1 B. 2 C.  D. 0 5．（25-26学年九上·广西桂林·期中）一元二次方程的二次项系数为       （       ） A. 0 B. 1 C. 5 D. －1 6．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）一元二次方程的二次项系数是（     ） A.  B. 1 C. 3 D. 4 7．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）将方程化成一般形式后，常数项是（     ） A. 4 B. 2 C.  D.  8．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）下列方程属于一元二次方程的是（   ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·广西防城港·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值为（     ） A. 4 B.  C. 0 D. 1 11．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为（       ） A. 2 B.  C.  D. 1 12．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中所记载的“开方作法本源图”（即杨辉三角）蕴含一元二次方程的系数规律．若一元二次方程的两根为，，的值为（     ） A. 4 B.  C. 3 D.  13．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）下列关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（     ） A. 0 B. 2 C.  D. 或2 15．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（       ）． A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）在一元二次方程中，二次项系数和常数项分别是(       ) A. ， B. ， C. ， D. ， 17．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 19．（25-26学年九上·广西防城港·期中）已知是关于x的一元二次方程，则m满足　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）一元二次方程的常数项是　　　． 21．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）已知是方程的根，则　　　　　　　　　　　　 22．（25-26学年九上·广西桂林·期中）若关于x 的一元二次方程有一根是2，那么　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）若是方程的根，则　　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）一元二次方程化成一般形式为　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：　　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）用配方法解方程，则配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）一元二次方程配方后可化为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）将一元二次方程通过配方后所得的方程是（      ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为　　　　　　． 7．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）（1）解方程：（1）； （2）在数学活动课上，老师给出了如下解一元二次方程的试题“”，让同学们讨论．其中一位同学的做法如下： 解：步骤① 步骤② 步骤③ 步骤④ 步骤⑤ ，步骤⑥ 在交流过程中，该同学发现他的答案与其他同学的不一样，请帮他指出错误的步骤，并用合适的方法解该方程． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2．（25-26学年九上·广西防城港·期中）方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 3．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）如果关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 6．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）一元二次方程根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（       ） A. 0 B. 1 C.  D.  8．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不确定 9．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 11．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）方程有两个相等的实数根，则m的值为　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）关于的方程 （1）若此方程的一个根为，求的值； （2）求证：方程恒有两个不相等的实数根． 13．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）解一元二次方程： （1）； （2）． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）因式分解：（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）三角形两边长是4和7，第三边是方程的根，该三角形的周长是（       ） A. 16 B. 17 C. 22 D. 16或22 3．（25-26学年九上·广西桂林·期中）方程的根为（       ） A.  B.  C.  D. 没有实数根 4．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）对于实数a，b，定义运算“※”如下∶，例如∶．若，则x的值为（     ） A. 0 B.  C. 0或 D. 0或0.5 5．（25-26学年九上·广西防城港·期中）解方程： （1） （2） 6．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）解方程： （1） （2） 7．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）用恰当的方法解下列方程： （1） （2） 8．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 9．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 10．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 11．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 12．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）（1）计算：． （2）解一元二次方程：． 13．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）计算或解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 14．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）解方程： （1）； （2）． 15．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）解方程： （1）； （2）． 16．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）解下列方程． （1）； （2）． 17．（25-26学年九上·广西桂林·期中）用适当的方法解方程： （1） （2） 18．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）（1）解方程：． （2）若m是一元二次方程的一个根，求的值． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）一元二次方程的两根分别为和，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）已知方程两个根分别为、，则的值为（       ）． A. 6 B.  C.  D. 1 3．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A. 2 B.  C. 3 D.  4．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）若m、n是关于方程的两个根，则的值为（       ） A. 4 B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）已知，是一元二次方程的两根，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）已知是方程的两个实数根，则（     ） A.  B.  C. 20 D. 25 7．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）已知，是方程的两根，则的值为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·广西防城港·期中）已知关于的方程有两个不等实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两根为，且，求的值． 9．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）在垃圾分类宣传活动中，志愿者发现某类垃圾的分类准确率可通过一元二次方程来模拟，其中是宣传力度参数，方程的两个实数根，． （1）若该方程的判别式为4，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若，是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为3，求的值． 10．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 11．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为． （1）求的取值范围； （2）是否存在的值，使得成立，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 12．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______，______； （2）初步体验：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． （3）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （4）思维拔高：若关于的一元二次方程．当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、、、，…，、，求________． 13．（25-26学年九上·广西桂林·期中）【综合与探究】 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值； （3）已知等腰的一边长为，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）某品牌手机经过连续两次降价，每部售价由原来的4000元降到了3240元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）某中学计划在一个长为，宽为的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的 地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为，则根据题意可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·广西桂林·期中）某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·广西防城港·期中）由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为，则列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练蹬眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，求每天“遗忘”的百分比（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）古埃及《林德纸草书》中记载了大量关于比例和增长的计算．某古埃及部落第一年储存粮食100石，第三年储存粮食121石，若每年粮食储存量的增长率相同，设该增长率为x，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A. x（x﹣1）=28 B. x（x﹣1）=28 C. 2x（x﹣1）=28 D. x（x+1）=28 14．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）如图，机器人从点沿（长）以向移动，机器人从点沿（长）以向移动，当的面积为两机器人协作区域的面积的时，运动时间为　　　　　． 15．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为米，那么它的下部应设计为　　　　米． 16．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）项目学习 背景 近年来，贵港市以“环境秀美、生活甜美、乡村和美”为主题打造新农村建设．某校组织学生开展“我为家乡民宿代言”的实践活动，学生们通过设计宣传资料、协助民宿计算定价方案等方式，助力家乡民宿发展． 素材1 活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报．海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为200元/天，所有客房都会住满；每把定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的维护费．现设每间客房的定价提高了元．（是10的倍数） 解决问题 任务1 求民宿宣传海报边框的宽． 任务2 ①提价后房间价格为_____元，入住的房间数量为_____间．（用的代数式表示） ②要使民宿每天纯收入为8600元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？ 任务3 请为提升家乡旅游的知名度提一条合理的建议． 17．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当点Q移动到点C时，点P、Q停止移动．设点运动的时间为t秒． （1）用含t的式子表示：______，______，______； （2）当t为何值时，的面积等于． 18．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽．经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则的长应为                 ； 步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他们完成任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 19．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 20．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）出门即公园，入眼皆美景．如图是开发商计划在小区一块长为，宽为的矩形空地上打造一个喷泉用于观赏，喷泉区域分为内外两层，内层是面积为200的喷水区，外层是四周留有宽度都为的存水区（图中阴影部分）．为更加美观，计划在喷水区周围围上一圈装饰护栏．求存水区的宽和护栏的长度． 21．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）项目式学习 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某文创店老板欲购进一批进价为25元/个的河南旅游文创产品，请你运用所学数学知识根据市场情况和该文创店老板的要求，帮助他制定这种文创产品的销售策略． 市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家文创店近期销售这种文创产品的销售单价x和日销售量y（个）的情况，记录如表： 文创店 A B C D E 销售单价x/元 30 29 28 27 26 日销售量y/个 50 55 60 65 70 模型建立 （1）求该文创产品的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 问题解决 （2）已知该文创产品的销售单价不高于32元． ①如果文创店老板想单日获得250元的利润，那么该文创产品的销售单价应是多少元？ ②该文创店销售这种文创产品的单日利润能达到500元吗？如果可以，求出此时的销售单价，如果不可以，请说明理由． 22．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件． 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件． 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率． 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元． 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 23．（25-26学年九上·广西桂林·期中）广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右，预计在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右． （1）求桂林年至年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售杯．年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额？ 24．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图，已知矩形绿地广场的长，宽分别为，，管理部门计划对绿地进行改造，以提升美观性和实用性． （1）若将矩形绿地长减少，宽增加相同长度，绿地变为正方形，求矩形绿地长、宽的变化长度． （2）若将矩形绿地长和宽同时增加相同的长度，绿地面积达到，求扩建后的矩形绿地的长、宽分别比原矩形绿地的长、宽增加了多少米． 25．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）柳州窑埠古镇计划用长32米的木质栅栏，靠一面墙围一个矩形的螺蛳粉主题小吃摊位（墙的长度为18米），要求围成的摊位面积为120平方米，求这个矩形摊位垂直于墙的边长为多少米？ 26．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）某商场购进一种每件价格为100元的商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系： （1）求出与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得700元的利润？ 27．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）“秋风起，蟹脚痒”，某学校利用星期天开展社会实践活动，调查某种规格的螃蟹价格．下表是“数一数二”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． ××学校社会实践记录表 团队名称 数一数二 活动时间 2025．9．29 班级人员 小明等10名同学 地点 农贸市场 实践内容 调查螃蟹行情，帮助市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠 调研信息 螃蟹的进价为40元/千克 螃蟹的售价为50元/千克时，每天可销售100千克 每千克每涨价1元，每天少销售2千克 解决问题 问题1 若某天市场正好销售了70千克的螃蟹，则获利多少元 问题2 若市场想一天销售螃蟹的总利润为1350元，则螃蟹的售价为多少元/千克 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．A 10．D 11．C 12．B 13．B 14．C 15．C 16．D 17．A 18．B 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“一元二次方程的二次项系数不为0”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，确定二次项系数不为0，进而求解m的取值． 【详解】 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 已知中的一元二次方程已经是一般式的形式，按照定义即可找到常数项． 【详解】 解：已知一元二次方程，则其常数项为． 【点睛】 本题考查一元二次方程定义，正确找到常数项是解题关键． 21．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，把代入方程得出方程，求出方程的解即可． 【详解】 解：把代入得， 解得， 故答案为：． 22．【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程解的定义，把代入一元二次方程得，然后解一元一次方程即可． 【详解】 解：把代入方程得， 解得， 故答案为：2． 23．【答案】1 【分析】 本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值． 【详解】 把x=1代入方程，得1−2+a=0， 解得a=1， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 24．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的转化方法是解题的关键． 将方程左边展开，再通过移项转化为一元二次方程的一般形式（）． 【详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 故答案为：． 25．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义，常数项为0即，且有一个根为，因此可构造一个以和为根的一元二次方程。 【详解】 解：设一元二次方程为， 由题意，常数项，故方程为， 由于有一个根为，代入方程得，即， 整理得，即， 取，则，因此方程为， 故答案为：． 考点02 配方法 1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．【答案】 【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程．先对进行配方，再根据 计算即可． 【详解】 解： ， ， ， ， ， ， 解得： ， 故答案为：． 7．【答案】（1）；（2）错误的步骤是步骤①；正确解为 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程， （1）先移项，再配方加上一次项系数一半的平方，然后开方求出解； （2）先根据移项判断，再根据配方法求出解． 【详解】 解：（1）移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴或， 解得； （2）第① 步移项出现错误，正确解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， ∴或， ∴． 考点03 公式法 1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 9．A 10．C 11．【答案】1 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根得到，列出关于m的方程，求解即可． 【详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：1． 12．【答案】（1）     （2） 证明：， 在实数范围内，无论取何值，，即， 关于的方程恒有两个不相等的实数根．      【分析】 （1）将代入方程求出的值即可； （2）求出根的判别式为，利用根的判别式的符号来证明结论即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得 ， 解得； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题综合考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式是解本题的关键． 13．【答案】（1），；     （2）原方程无实数解      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 开方得， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：整理得， ∴，，，， ∴原方程无实数解． 考点04 因式分解法 1．A 2．A 3．C 4．D 5．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法解方程 (1) 小问详解： 解： ∴，； (2) 小问详解： 解： 或 ∴， 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据因式分解法可求解方程； （2）根据因式分解法可求解方程． (1) 小问详解： 解： 或， ∴； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：． 或 解得：； (2) 小问详解： 解： 或， 解得：． 8．【答案】（1）；（2） 【分析】 此题考查了实数的混合运算和解一元二次方程． （1）先计算算术平方根，绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 解：（1）； ； （2） ∴ 则或 解得． 9．【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题主要考查实数的混合运算，一元二次方程的解法，熟练掌握运算法则和解法是做题的关键． （1）根据运算法则进行计算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】 （1）解： （2）解： 或 ，． 10．【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）先计算乘方，再计算加减即可得解； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【详解】 解：（1） ； （2）， ， 或， ，． 11．【答案】（1）10；（2）， 【分析】 本题考查了实数混合运算，求算术平方根，因式分解法解一元二次方程． （1）先计算乘方、算术平方根、乘法，再计算加减法即可； （2）先移项，再根据因式分解法解方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2）， ， ， ∴或， 解得，． 12．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴或， 解得． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握实数的混合运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）分别计算绝对值，算术平方根和零指数幂，再进行乘法、加减法计算； （2）利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 14．【答案】（1），．     （2），      【分析】 本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的不同解法是解决问题的关键． （1）利用直接开平方法，对等式两边直接开平方求解； （2）利用因式分解法（十字相乘法）将方程化为两个一次因式的积，进而求解． (1) 小问详解： 解： 或 ，； (2) 小问详解： 解： 或 ，． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项，然后运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ． 16．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）用配方法求出方程的解即可； （2）利用直接开平方法，求出方程的解即可； (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， 即，； (2) 小问详解： 解：， 开方得：， 即或， 解得：，． 17．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查解一元二次方程． （1）整理后，利用直接开平方法解题即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可解题． (1) 小问详解： 解：， 整理得， ∴或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得，． 18．【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查的是一元二次方程根的含义及其解法． （1）把方程化为，再进一步求解即可． （2）由方程根的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得：，． （2）∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．C 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C 7．【答案】 【分析】 根据根与系数的关系，先求出方程的两根之和与两根之积，再代入所求表达式进行计算．本题主要考查根与系数的关系，对要求的式子利用通分进行适当变形是解题的关键． 【详解】 解：由方程 ， 得 , , ， 根据根与系数的关系有 ，， 则 ． 故答案为： ． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式解答即可求解； （）利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 解得； (2) 小问详解： 解：由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴． 9．【答案】（1）3     （2）2     （3）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、勾股定理、完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据根的判别式列关于m的方程求解即可； （2）由根与系数的关系可得、，再结合，列关于m的方程求解即可； （3）由根与系数的关系可得、，再结合勾股定理可得，然后根据完全平方公式可得，最后将、代入得到关于m的方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程的判别式为4， ∴，解得：． (2) 小问详解： 解：∵一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得：． (3) 小问详解： 解：∵一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵，是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为3， ∴，即， ∴，即， 解得：． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； (2) 小问详解： ∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 11．【答案】（1）     （2） 不存在， 理由如下： 关于的一元二次方程的两个实数根分别为， 由根与系数关系可得， ， ， 即，解得， 由（1）可知，故不符合题意， 因此，当时，的值不存在．      【分析】 本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系、一元二次方程根与系数关系等知识，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系、一元二次方程根与系数关系是解决问题的关键． （1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系列不等式求解即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，将其代入得到，解得，与（1）中矛盾即可得到答案． (1) 小问详解： 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 解得， 的取值范围为； (2) 小问详解： 解：略． 12．【答案】（1） 3，     （2）      （3）      （4）       【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记相关结论并学会举一反三是解题关键． （1）根据材料即可求解； （2）根据即可求解； （3）由题意得：实数s、t是一元二次方程的两个根，结合即可求解； （4）设一元二次方程的两个根分别为，可得，根据即可求解． (1) 小问详解： 解：，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由题意得：，， ∴； (3) 小问详解： 解：由题意得：实数s、t是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴； (4) 小问详解： 解：设一元二次方程的两个根分别为， 则， ∴ ∴ ． 故答案为：． 13．【答案】（1）；     （2）；     （3）．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用一元二次方程根的判别式即可求解； （）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （）由题意得时，故只能取或，即是方程的一个根，然后代入方程求出的值，再通过三角形三边关系进行判断即可． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， 由（1）得， ∴； (3) 小问详解： 解：由题意得时， ∴只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，得，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，周长为17； 当时，得，方程的另一个根为，此时不能构成三角形， 故三角形的周长为． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．B 2．B 3．A 4．B 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B 13．B 14．【答案】1或3 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用；由题意得，则得，由面积关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】 解：由题意得：， 则， ∵的面积为两机器人协作区域的面积的， ∴， 即， 整理得：， 解得：， 故答案为：1或3． 15．【答案】 【分析】 设雕像的下部高为，则上部长为，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】 解：设雕像的下部高为，则上部长为，根据题意可得： ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于读懂题目列出方程． 16．【答案】任务1： 任务2：①，； ②无法达到 任务3：建议加强宣传推广，建议融合特色文化等合理即可 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式等知识点，审清题意、正确列出方程是解题的关键． （1）民宿宣传海报边框的宽为，然后根据题意列一元二次方程求解即可； （2）① 设每间客房的定价提高了元，再根据题意列代数式即可；② 根据题意列一元二次方程，并运用根的判别式判断根的情况即可解答； （3）根据意境解答，合理即可． 【详解】 解：（1）民宿宣传海报边框的宽为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：民宿宣传海报边框的宽为． （2）① 设每间客房的定价提高了元，则提价后房间价格为元，入住的房间数量为间． ② 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴此方程为无实数根，即无法满足要求． （3）建议加强宣传推广，建议融合特色文化等合理即可． 17．【答案】（1）t；；．     （2）2或4      【分析】 本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可。 (1) 小问详解： 解：由题意，，， ∴； (2) 小问详解： 根据三角形的面积公式，得， 即，整理，得． 解得，． 由题意可知，， 故当t的值为2或4时，的面积等于． 18．【答案】（1）5厘米（2）宽为2厘米时符合设计要求 （3）如下图所示： 【分析】 本题考查了勾股定理解三角形，解一元二次方程，矩形的性质，熟练掌握勾股定理并正确计算是解决本题的关键． （1）根据，，结合中点可得，，根据勾股定理求解即可； （2）先求解矩形面积，再表示出花坛总面积，根据“花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半”建立等量关系求解即可； （3）先由勾股定理求解出的长度，再根据面积的关系判断即可． 【详解】 解：（1）∵，， 又∵点E与点F分别为与的中点， ∴，， 在中，厘米； 故答案为：5厘米； （2）设小路的宽为时符合设计要求， 矩形面积为平方厘米，平方厘米， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为2厘米时符合设计要求； （3）连接，交于点O，则阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 理由如下：根据矩形的性质，勾股定理，得厘米， 故厘米， 故， 故，且阴影部分是轴对称图形，故设计符合题意． 19．【答案】（1）解：当点D，E都运动时，的长不可以是，理由： 由题意，，，则 在中，由勾股定理得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 故当点D，E都运动时，的长不可以是； （2）；（3）或 【分析】 本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据路程速度时间，结合勾股定理列方程，再根据一元二次方程解的情况可求解； （2）先根据路程速度时间求得，，然后利用求解即可； （3）根据题意可得面积等于面积的，进而列方程求解即可． 【详解】 （1）略 （2）当时，，， ∴， ∵， ∴； （3）∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 整理，得， 解得，． 答：当t为或时，的面积等于四边形的面积的． 20．【答案】存水区的宽为，护栏的长度为 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据矩形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴； 答：存水区的宽为，护栏的长度为． 21．【答案】（1）； （2）①30元， ② 令，则， 整理得，． 所以，， 即此方程无实数根， 所以，单日利润不能达到500元． 【分析】 本题主要考查求一次函数关系式和一元二次方程的应用，准确找出题中数量关系是解答本题的关键． （1）观察表格中的数据，发现每降低1元，就增加5个，说明与成一次函数关系，设一次函数关系式为，代入两组数值，求出的值即可； （2）① 根据“利润=单个利润销售量”列方程，求解即可； ② 列方程，整理为一般形式，计算判别式进行判断即可 【详解】 解：（1）观察表格中的数据，发现每降低1元，就增加5个，说明与成一次函数关系， 设一次函数关系式为， 选取表格中两点、代入得： ， 解得，． 所以，． （2）① 由题意得，利润， 令， 则， 整理得，， 解得，（因单价不高于32元，舍去）． 所以，销售单价应是30元． ② 略 22．【答案】（1）月平均增长率是．（2）每件的售价应降低20元． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用中的增长率问题与利润问题是解题的关键． （1）已知初始销量，最终销量和增长月份数，设月平均增长率为，根据增长率公式建立方程后求解即可； （2）设降价元，得出每件利润为元，销量为，根据题意列出方程后求解即可． 【详解】 解：（1）设月平均增长率是x． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：月平均增长率是． （2）设每件的售价应降低y元，则每件的销售利润为元， 每天的销售量为件． 根据题意，得， 整理，得，解得，． 因为要尽量减少库存，所以． 答：每件的售价应降低20元． 23．【答案】（1）年平均增长率为     （2）当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额      【分析】 本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)， 营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设年平均增长率为r，根据题意，列出一元二次方程求解； （2）设降价x元，根据题意，列出一元二次方程求解． (1) 小问详解： 解：设年平均增长率为r， 则， 解得：(舍去)，， 答：桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设降价x元， 售价：元， 销量：杯， 单杯利润：售价成本元， 总利润：利润元， 则， 解得：，， 售价元： 当时，售价元； 当时，售价元， 当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额． 24．【答案】（1）6米     （2）2米      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是∶ （1）设矩形绿地长、宽的变化长度为x米，根据矩形绿地长减少，宽增加相同长度列方程求解即可； （2）设矩形绿地长和宽同时增加y米，根据绿地面积为列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设矩形绿地长、宽的变化长度为x米， 根据题意，得， 解得， 答：矩形绿地长、宽的变化长度为6米； (2) 小问详解： 解：设矩形绿地长和宽同时增加y米， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：扩建后的矩形绿地的长、宽分别比原矩形绿地的长、宽增加了2米． 25．【答案】这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设矩形摊位垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】 解：设矩形摊位垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意得， 整理得， 解得，． 当时，平行于墙的边长为米米（不符合实际，舍去）； 当时，平行于墙的边长为米米（符合实际）． 答：这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米． 26．【答案】（1）     （2）销售单价定为元      【分析】 本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确的列出函数关系式和方程，是解题的关键： （1）结合图象，根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由图象可知，y与x之间满足一次函数的关系，设，把代入得： ，解得： ， ∴； (2) 小问详解： 由题意，得：， 解得：或， ∵， ∴． 答：销售单价定为元． 27．【答案】问题1：某天市场正好销售了70千克的螃蟹，则获利1750元； 问题2：若市场想一天销售螃蟹的总利润为1350元，螃蟹的售价为55元/千克． 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． 对于问题1，设螃蟹的售价为元/千克，根据总重量相等列出方程，求解即可；对于问题2，设螃蟹的售价为元/千克，根据总利润列方程，求解，结合实践内容，即可得螃蟹的售价． 【详解】 问题1： 解：设螃蟹的售价为元/千克， 由题意得， 解得， （元）． 答：某天市场正好销售了70千克的螃蟹，则获利1750元． 问题2： 解：设螃蟹的售价为元/千克， 由题意得， 整理得， 解得，． ∵帮助市场解决销售问题的同时，为顾客谋实惠， ∴舍去． 答：若市场想一天销售螃蟹的总利润为1350元，螃蟹的售价为55元/千克． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）下列方程中是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】 解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 根据一元二次方程的定义，对每个选项进行分析判断即可． 【详解】 解：A、方程中，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程； B、将展开并整理，得，即，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程； C、方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程； D、方程是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程． 故选：C． 3．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴， 即， 解得， 故选：． 4．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）一元二次方程的二次项系数是（       ） A. 1 B. 2 C.  D. 0 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式． 一元二次方程的一般形式为，其中二次项系数是项的系数，据此求解即可． 【详解】 解：一元二次方程的二次项系数是1． 故选：A． 5．（25-26学年九上·广西桂林·期中）一元二次方程的二次项系数为       （       ） A. 0 B. 1 C. 5 D. －1 【答案】B 【分析】 本题考查的是一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程中，叫二次项，叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可． 【详解】 解：一元二次方程的二次项系数是1， 故选：B． 6．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）一元二次方程的二次项系数是（     ） A.  B. 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式．根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】 解：∵ 方程 中， 项的系数为3， ∴ 二次项系数是3． 故选：C． 7．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）将方程化成一般形式后，常数项是（     ） A. 4 B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，常数项即为，即可得解，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】 解：∵原方程为， ∴移项得， ∴一般形式为，常数项为， 故选：C． 8．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】 解：A、，未知数次数为1，不符合； B、，含两个未知数，不符合； C、，含分式，不是整式方程，不符合； D、，只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合； 故选：D． 9．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）下列方程属于一元二次方程的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】解：A、该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； B、该方程属于二元二次方程，不符合题意； C、当a=0时，该方程不是一元二次方程，不符合题意； D、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 10．（25-26学年九上·广西防城港·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值为（     ） A. 4 B.  C. 0 D. 1 【答案】D 【分析】 本题考查已知一元二次方程的根求参数，将根代入方程，求解m的值． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴代入方程得：， 即， ∴， ∴． 故选：D． 11．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为（       ） A. 2 B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的各项系数的确定方法是解题的关键． 将方程化为一般形式 后，一次项系数即为，据此即可解答． 【详解】 解：一元二次方程化为一般式为，即一次项系数为． 故选C． 12．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中所记载的“开方作法本源图”（即杨辉三角）蕴含一元二次方程的系数规律．若一元二次方程的两根为，，的值为（     ） A. 4 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 该题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的意义，将已知两根代入方程，建立方程组求解系数b． 【详解】 解：∵方程的两根为，， ∴代入得：，即① ， 代入得：，即② ， 由得：， 化简得：， ∴， ∴． 故选：B． 13．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）下列关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】 解：A、中未知数的次数是1，则A不符合题意， B、中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，则B符合题意， C、中含有两个未知数，则C不符合题意， D、中含有两个未知数，则D不符合题意， 故选：B． 14．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（     ） A. 0 B. 2 C.  D. 或2 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】 解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 15．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，准确把握 “整式方程、一个未知数、最高次数为且二次项系数不为”这几个核心条件是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐一分析各选项是否同时满足这些条件，进而判断出符合要求的方程． 【详解】 一元二次方程必须同时满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2． ：当时，方程变为，不是二次方程，不一定是一元二次方程； ：方程中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程； ：方程可化为，是整式方程，只含未知数，且的最高次数为，是一元二次方程； ：方程中含有两个未知数和，不是关于x的一元二次方程． 故选：． 16．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）在一元二次方程中，二次项系数和常数项分别是(       ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】 解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别是和， 故选：D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 17．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】 解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A  18．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式求值．熟练掌握方程的根满足方程，将根代入方程得到等式，再利用整体代入法求代数式的值是解题的关键． 先利用方程的根求出与的关系，再对所求式子进行转化并代入求值． 【详解】 解：把代入方程中，可得， 即， ∴． 把代入可得： ． 故选：B． 19．（25-26学年九上·广西防城港·期中）已知是关于x的一元二次方程，则m满足　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“一元二次方程的二次项系数不为0”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，确定二次项系数不为0，进而求解m的取值． 【详解】 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）一元二次方程的常数项是　　　． 【答案】 【分析】 已知中的一元二次方程已经是一般式的形式，按照定义即可找到常数项． 【详解】 解：已知一元二次方程，则其常数项为． 【点睛】 本题考查一元二次方程定义，正确找到常数项是解题关键． 21．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）已知是方程的根，则　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，把代入方程得出方程，求出方程的解即可． 【详解】 解：把代入得， 解得， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·广西桂林·期中）若关于x 的一元二次方程有一根是2，那么　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程解的定义，把代入一元二次方程得，然后解一元一次方程即可． 【详解】 解：把代入方程得， 解得， 故答案为：2． 23．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）若是方程的根，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值． 【详解】 把x=1代入方程，得1−2+a=0， 解得a=1， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 24．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）一元二次方程化成一般形式为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的转化方法是解题的关键． 将方程左边展开，再通过移项转化为一元二次方程的一般形式（）． 【详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义，常数项为0即，且有一个根为，因此可构造一个以和为根的一元二次方程。 【详解】 解：设一元二次方程为， 由题意，常数项，故方程为， 由于有一个根为，代入方程得，即， 整理得，即， 取，则，因此方程为， 故答案为：． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）用配方法解方程，则配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】 解： 故选：D． 2．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查配方法，掌握完全平方公式的性质，等式的性质是解题的关键； 使用配方法解一元二次方程，通过移项和添加一次项系数一半的平方完成配方． 【详解】 解：∵ 原方程为 ， ∴ 移项得 ， ∴ 两边加9（一次项系数的一半的平方），得 ， 即 ， 故选：B． 3．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）一元二次方程配方后可化为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据配方法的步骤解题即可． 【详解】 解：， ， ， ， 故选：D． 4．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】 A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 5．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）将一元二次方程通过配方后所得的方程是（      ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 移项后，两边同时加上一次项系数一半的平方即可. 【详解】 解：x2-2x-2=0 移项得，x2-2x=2 两边加1得，x2-2x+1=1+2 ∴（x-1）2=3， 故选C． 【点睛】 本题考查了配方法解一元二次方程，熟悉掌握配方法的步骤是解决本题的关键． 6．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程．先对进行配方，再根据 计算即可． 【详解】 解： ， ， ， ， ， ， 解得： ， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）（1）解方程：（1）； （2）在数学活动课上，老师给出了如下解一元二次方程的试题“”，让同学们讨论．其中一位同学的做法如下： 解：步骤① 步骤② 步骤③ 步骤④ 步骤⑤ ，步骤⑥ 在交流过程中，该同学发现他的答案与其他同学的不一样，请帮他指出错误的步骤，并用合适的方法解该方程． 【答案】（1）；（2）错误的步骤是步骤①；正确解为 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程， （1）先移项，再配方加上一次项系数一半的平方，然后开方求出解； （2）先根据移项判断，再根据配方法求出解． 【详解】 解：（1）移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴或， 解得； （2）第① 步移项出现错误，正确解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， ∴或， ∴． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【分析】 本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 判断出判别式的值，可得结论． 【详解】 解：对于一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（25-26学年九上·广西防城港·期中）方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是计算判别式的值来判断根的情况． 确定一元二次方程的系数，计算判别式，根据的值判断根的情况：时，方程有两个相等的实数根． 【详解】 解：对于方程，其中，，， 计算判别式． 当时，方程有两个相等的实数根，对应选项A． 故选：A． 3．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程有两个相等实数根时是解题的关键． 利用一元二次方程有两个相等实数根时判别式为0的性质来求解m的值． 【详解】 ∵方程有两个相等的实数根 ∴判别式 又∵ ∴ 解得 故选：C． 4．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，然后再判断实数根的情况即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）如果关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】D 【分析】 本题考查的是一元二次方程的根的情况，考查的是对根的判别式的理解，掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．由方程是一元二次方程可得： ，由方程有实数根列不等式得的范围，综合得到答案． 【详解】 解：因为一元二次方程 有实数根， ∴且， 解得：且． 故选：D． 6．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）一元二次方程根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】 解：， ， 有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（       ） A. 0 B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的情况求字母的值， 根据一元二次方程根的判别式，方程有实数根时判别式大于等于零，从而求出m的取值范围，进而得出答案． 【详解】 解：将方程化为标准形式：， ∵方程有实数根， ∴判别式， 解得． ∵， ∴m的值不可能是． 故选：D． 8．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不确定 【答案】A 【分析】 本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，，熟练掌握根的情况与判别式的关系是本题求解的关键． 通过计算判别式的值，判别式的值为，可判断一元二次方程有两个不同的实数根． 【详解】 解：∵ 方程中，，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；分别计算每个选项的判别式，逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】 解：A、中，，，故，无实数根； B、中，，，故，有两个实数根； C、中，，，故，有两个实数根。 D、中，，，，有两个相等实数根； 故选：A． 10．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程根的判别式，当有两个相等实数根时，判别式为零，将方程化为标准形式后，计算判别式即可确定a的值．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】 ∵ 方程 有两个相等的实数根， ∴ 判别式 ． ∵， ∴， 解得 ． 故选：． 11．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）方程有两个相等的实数根，则m的值为　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根得到，列出关于m的方程，求解即可． 【详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：1． 12．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）关于的方程 （1）若此方程的一个根为，求的值； （2）求证：方程恒有两个不相等的实数根． 【答案】（1）     （2） 证明：， 在实数范围内，无论取何值，，即， 关于的方程恒有两个不相等的实数根．      【分析】 （1）将代入方程求出的值即可； （2）求出根的判别式为，利用根的判别式的符号来证明结论即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得 ， 解得； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题综合考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式是解本题的关键． 13．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2）原方程无实数解      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 开方得， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：整理得， ∴，，，， ∴原方程无实数解． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）因式分解：（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了因式分解，直接使用平方差公式分解因式即可． 【详解】 解：， 故选：A． 2．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）三角形两边长是4和7，第三边是方程的根，该三角形的周长是（       ） A. 16 B. 17 C. 22 D. 16或22 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形三边关系定理，解一元二次方程的应用，关键是求出三角形的三边长．先利用因式分解法求出方程的解，即可得出三角形三边长，再看看是否符合三角形三边关系定理即可． 【详解】 解：， ， 或， 则，， ①当三角形的三边是4，7，11，此时，不符合三角形三边关系定理， ②当三角形的三边是4，7，5，此时符合三角形三边关系定理， 三角形的周长是， 故选：A． 3．（25-26学年九上·广西桂林·期中）方程的根为（       ） A.  B.  C.  D. 没有实数根 【答案】C 【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法即可求得方程的解． 【详解】 解：， ， ，， 故选：C． 4．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）对于实数a，b，定义运算“※”如下∶，例如∶．若，则x的值为（     ） A. 0 B.  C. 0或 D. 0或0.5 【答案】D 【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】 解：∵，， ， 整理得， ∴， 解得或． 故选：D． 5．（25-26学年九上·广西防城港·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法解方程 (1) 小问详解： 解： ∴，； (2) 小问详解： 解： 或 ∴， 6．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据因式分解法可求解方程； （2）根据因式分解法可求解方程． (1) 小问详解： 解： 或， ∴； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 7．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）用恰当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：． 或 解得：； (2) 小问详解： 解： 或， 解得：． 8．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】 此题考查了实数的混合运算和解一元二次方程． （1）先计算算术平方根，绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 解：（1）； ； （2） ∴ 则或 解得． 9．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题主要考查实数的混合运算，一元二次方程的解法，熟练掌握运算法则和解法是做题的关键． （1）根据运算法则进行计算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】 （1）解： （2）解： 或 ，． 10．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）先计算乘方，再计算加减即可得解； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【详解】 解：（1） ； （2）， ， 或， ，． 11．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）10；（2）， 【分析】 本题考查了实数混合运算，求算术平方根，因式分解法解一元二次方程． （1）先计算乘方、算术平方根、乘法，再计算加减法即可； （2）先移项，再根据因式分解法解方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2）， ， ， ∴或， 解得，． 12．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）（1）计算：． （2）解一元二次方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴或， 解得． 13．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）计算或解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握实数的混合运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）分别计算绝对值，算术平方根和零指数幂，再进行乘法、加减法计算； （2）利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 14．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），．     （2），      【分析】 本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的不同解法是解决问题的关键． （1）利用直接开平方法，对等式两边直接开平方求解； （2）利用因式分解法（十字相乘法）将方程化为两个一次因式的积，进而求解． (1) 小问详解： 解： 或 ，； (2) 小问详解： 解： 或 ，． 15．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项，然后运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ． 16．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）用配方法求出方程的解即可； （2）利用直接开平方法，求出方程的解即可； (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， 即，； (2) 小问详解： 解：， 开方得：， 即或， 解得：，． 17．（25-26学年九上·广西桂林·期中）用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查解一元二次方程． （1）整理后，利用直接开平方法解题即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可解题． (1) 小问详解： 解：， 整理得， ∴或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得，． 18．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）（1）解方程：． （2）若m是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查的是一元二次方程根的含义及其解法． （1）把方程化为，再进一步求解即可． （2）由方程根的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得：，． （2）∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）一元二次方程的两根分别为和，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，和是方程 的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系可得： 【详解】 解： 方程 中，， . 故选：C． 2．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）已知方程两个根分别为、，则的值为（       ）． A. 6 B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程中两根之和与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系，对于一元二次方程，若两根为，，则，进而即可求出的值． 【详解】 解：方程中，二次项系数为，一次项系数为， ， 故选：C． 3．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A. 2 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）若m、n是关于方程的两个根，则的值为（       ） A. 4 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于一元二次方程，若其两个根为，则有两根的和：；两根的积：；解题的关键在于熟知韦达定理，并且确定好系数；确定系数，，进而求出两根之和和两根之积，再代入表达式即可． 【详解】 ∵，是方程的两个根， ∴， ， ∴ 故选 A． 5．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）已知，是一元二次方程的两根，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键．利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和，再求其平方即可． 【详解】 解：由题意得，， ． 故选：D． 6．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）已知是方程的两个实数根，则（     ） A.  B.  C. 20 D. 25 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 7．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）已知，是方程的两根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据根与系数的关系，先求出方程的两根之和与两根之积，再代入所求表达式进行计算．本题主要考查根与系数的关系，对要求的式子利用通分进行适当变形是解题的关键． 【详解】 解：由方程 ， 得 , , ， 根据根与系数的关系有 ，， 则 ． 故答案为： ． 8．（25-26学年九上·广西防城港·期中）已知关于的方程有两个不等实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两根为，且，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式解答即可求解； （）利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 解得； (2) 小问详解： 解：由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）在垃圾分类宣传活动中，志愿者发现某类垃圾的分类准确率可通过一元二次方程来模拟，其中是宣传力度参数，方程的两个实数根，． （1）若该方程的判别式为4，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若，是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为3，求的值． 【答案】（1）3     （2）2     （3）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、勾股定理、完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据根的判别式列关于m的方程求解即可； （2）由根与系数的关系可得、，再结合，列关于m的方程求解即可； （3）由根与系数的关系可得、，再结合勾股定理可得，然后根据完全平方公式可得，最后将、代入得到关于m的方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程的判别式为4， ∴，解得：． (2) 小问详解： 解：∵一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得：． (3) 小问详解： 解：∵一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵，是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为3， ∴，即， ∴，即， 解得：． 10．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； (2) 小问详解： ∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 11．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为． （1）求的取值范围； （2）是否存在的值，使得成立，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1）     （2） 不存在， 理由如下： 关于的一元二次方程的两个实数根分别为， 由根与系数关系可得， ， ， 即，解得， 由（1）可知，故不符合题意， 因此，当时，的值不存在．      【分析】 本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系、一元二次方程根与系数关系等知识，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系、一元二次方程根与系数关系是解决问题的关键． （1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系列不等式求解即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，将其代入得到，解得，与（1）中矛盾即可得到答案． (1) 小问详解： 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 解得， 的取值范围为； (2) 小问详解： 解：略． 12．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______，______； （2）初步体验：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． （3）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （4）思维拔高：若关于的一元二次方程．当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、、、，…，、，求________． 【答案】（1） 3，     （2）      （3）      （4）       【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记相关结论并学会举一反三是解题关键． （1）根据材料即可求解； （2）根据即可求解； （3）由题意得：实数s、t是一元二次方程的两个根，结合即可求解； （4）设一元二次方程的两个根分别为，可得，根据即可求解． (1) 小问详解： 解：，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由题意得：，， ∴； (3) 小问详解： 解：由题意得：实数s、t是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴； (4) 小问详解： 解：设一元二次方程的两个根分别为， 则， ∴ ∴ ． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·广西桂林·期中）【综合与探究】 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值； （3）已知等腰的一边长为，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1）；     （2）；     （3）．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用一元二次方程根的判别式即可求解； （）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （）由题意得时，故只能取或，即是方程的一个根，然后代入方程求出的值，再通过三角形三边关系进行判断即可． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， 由（1）得， ∴； (3) 小问详解： 解：由题意得时， ∴只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，得，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，周长为17； 当时，得，方程的另一个根为，此时不能构成三角形， 故三角形的周长为． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解增长率的计算，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． 根据年平均增长率为，2022年国产新能源汽车出口量为万辆，则2023年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年国产新能源汽车出口量为，即达到了210万辆，由此列式即可． 【详解】 解：设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆， ∴， 故选：B ． 2．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程． 【详解】 解：由题意得：； 故选B． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 3．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解， 【详解】 解∶ 设与墙垂直的一边长为则与墙平行的一边长为 根据题意得： 即． 故选A． 4．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程． 【详解】 解：设平均每月增率是x， 二月份的产量为：500×（1+x）； 三月份的产量为：； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键. 5．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）某品牌手机经过连续两次降价，每部售价由原来的4000元降到了3240元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用．根据原售价降低率降低后的售价得出两次降价后的价格列出一元二次方程即可解答． 【详解】 解：依题意可得：． 故选：B． 6．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 设长为x步，则宽为（60-x）步， 依题意得：x（60-x）=864， 整理得：． 故选：C． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）某中学计划在一个长为，宽为的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的 地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为，则根据题意可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设小道入口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】 解：设小道入口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意得：， 故选：A． 8．（25-26学年九上·广西桂林·期中）某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】 解：由题意得，， 故选B． 9．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干为1、枝干为x和小分支的数量之和是73个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】 解：主干为1，枝干为x，x枝干又长出个小分支， 根据题意有：， 故选：C． 10．（25-26学年九上·广西防城港·期中）由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为，则列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】根据开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为2420元列方程即可得到结论． 【详解】设每天的增长率为， 依题意，得：． 故选：． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练蹬眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，求每天“遗忘”的百分比（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、弄清等量关系、列出方程是解题的关键． 设每天遗忘的百分比为（用小数表示），则每天剩余比例为．根据两天后剩余49分，据此建立方程求解． 【详解】 解：设每天遗忘的百分比为（用小数表示），则每天剩余比例为， 根据题意可得：， ∴ ∴ ∴或(舍）， ∴每天遗忘的百分比为． 故选B． 12．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）古埃及《林德纸草书》中记载了大量关于比例和增长的计算．某古埃及部落第一年储存粮食100石，第三年储存粮食121石，若每年粮食储存量的增长率相同，设该增长率为x，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设该增长率为x，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】 解：设该增长率为x，依题意得： ， 故选：B． 13．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A. x（x﹣1）=28 B. x（x﹣1）=28 C. 2x（x﹣1）=28 D. x（x+1）=28 【答案】B 【分析】 赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解． 【详解】 设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛， 故x（x-1）=28． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键． 14．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）如图，机器人从点沿（长）以向移动，机器人从点沿（长）以向移动，当的面积为两机器人协作区域的面积的时，运动时间为　　　　　． 【答案】1或3 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用；由题意得，则得，由面积关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】 解：由题意得：， 则， ∵的面积为两机器人协作区域的面积的， ∴， 即， 整理得：， 解得：， 故答案为：1或3． 15．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为米，那么它的下部应设计为　　　　米． 【答案】 【分析】 设雕像的下部高为，则上部长为，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】 解：设雕像的下部高为，则上部长为，根据题意可得： ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于读懂题目列出方程． 16．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）项目学习 背景 近年来，贵港市以“环境秀美、生活甜美、乡村和美”为主题打造新农村建设．某校组织学生开展“我为家乡民宿代言”的实践活动，学生们通过设计宣传资料、协助民宿计算定价方案等方式，助力家乡民宿发展． 素材1 活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报．海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为200元/天，所有客房都会住满；每把定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的维护费．现设每间客房的定价提高了元．（是10的倍数） 解决问题 任务1 求民宿宣传海报边框的宽． 任务2 ①提价后房间价格为_____元，入住的房间数量为_____间．（用的代数式表示） ②要使民宿每天纯收入为8600元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？ 任务3 请为提升家乡旅游的知名度提一条合理的建议． 【答案】任务1： 任务2：①，； ②无法达到 任务3：建议加强宣传推广，建议融合特色文化等合理即可 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式等知识点，审清题意、正确列出方程是解题的关键． （1）民宿宣传海报边框的宽为，然后根据题意列一元二次方程求解即可； （2）① 设每间客房的定价提高了元，再根据题意列代数式即可；② 根据题意列一元二次方程，并运用根的判别式判断根的情况即可解答； （3）根据意境解答，合理即可． 【详解】 解：（1）民宿宣传海报边框的宽为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：民宿宣传海报边框的宽为． （2）① 设每间客房的定价提高了元，则提价后房间价格为元，入住的房间数量为间． ② 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴此方程为无实数根，即无法满足要求． （3）建议加强宣传推广，建议融合特色文化等合理即可． 17．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当点Q移动到点C时，点P、Q停止移动．设点运动的时间为t秒． （1）用含t的式子表示：______，______，______； （2）当t为何值时，的面积等于． 【答案】（1）t；；．     （2）2或4      【分析】 本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可。 (1) 小问详解： 解：由题意，，， ∴； (2) 小问详解： 根据三角形的面积公式，得， 即，整理，得． 解得，． 由题意可知，， 故当t的值为2或4时，的面积等于． 18．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽．经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则的长应为                 ； 步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他们完成任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【答案】（1）5厘米（2）宽为2厘米时符合设计要求 （3）如下图所示： 【分析】 本题考查了勾股定理解三角形，解一元二次方程，矩形的性质，熟练掌握勾股定理并正确计算是解决本题的关键． （1）根据，，结合中点可得，，根据勾股定理求解即可； （2）先求解矩形面积，再表示出花坛总面积，根据“花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半”建立等量关系求解即可； （3）先由勾股定理求解出的长度，再根据面积的关系判断即可． 【详解】 解：（1）∵，， 又∵点E与点F分别为与的中点， ∴，， 在中，厘米； 故答案为：5厘米； （2）设小路的宽为时符合设计要求， 矩形面积为平方厘米，平方厘米， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为2厘米时符合设计要求； （3）连接，交于点O，则阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 理由如下：根据矩形的性质，勾股定理，得厘米， 故厘米， 故， 故，且阴影部分是轴对称图形，故设计符合题意． 19．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 【答案】（1）解：当点D，E都运动时，的长不可以是，理由： 由题意，，，则 在中，由勾股定理得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 故当点D，E都运动时，的长不可以是； （2）；（3）或 【分析】 本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据路程速度时间，结合勾股定理列方程，再根据一元二次方程解的情况可求解； （2）先根据路程速度时间求得，，然后利用求解即可； （3）根据题意可得面积等于面积的，进而列方程求解即可． 【详解】 （1）略 （2）当时，，， ∴， ∵， ∴； （3）∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 整理，得， 解得，． 答：当t为或时，的面积等于四边形的面积的． 20．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）出门即公园，入眼皆美景．如图是开发商计划在小区一块长为，宽为的矩形空地上打造一个喷泉用于观赏，喷泉区域分为内外两层，内层是面积为200的喷水区，外层是四周留有宽度都为的存水区（图中阴影部分）．为更加美观，计划在喷水区周围围上一圈装饰护栏．求存水区的宽和护栏的长度． 【答案】存水区的宽为，护栏的长度为 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据矩形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴； 答：存水区的宽为，护栏的长度为． 21．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）项目式学习 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某文创店老板欲购进一批进价为25元/个的河南旅游文创产品，请你运用所学数学知识根据市场情况和该文创店老板的要求，帮助他制定这种文创产品的销售策略． 市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家文创店近期销售这种文创产品的销售单价x和日销售量y（个）的情况，记录如表： 文创店 A B C D E 销售单价x/元 30 29 28 27 26 日销售量y/个 50 55 60 65 70 模型建立 （1）求该文创产品的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 问题解决 （2）已知该文创产品的销售单价不高于32元． ①如果文创店老板想单日获得250元的利润，那么该文创产品的销售单价应是多少元？ ②该文创店销售这种文创产品的单日利润能达到500元吗？如果可以，求出此时的销售单价，如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①30元， ② 令，则， 整理得，． 所以，， 即此方程无实数根， 所以，单日利润不能达到500元． 【分析】 本题主要考查求一次函数关系式和一元二次方程的应用，准确找出题中数量关系是解答本题的关键． （1）观察表格中的数据，发现每降低1元，就增加5个，说明与成一次函数关系，设一次函数关系式为，代入两组数值，求出的值即可； （2）① 根据“利润=单个利润销售量”列方程，求解即可； ② 列方程，整理为一般形式，计算判别式进行判断即可 【详解】 解：（1）观察表格中的数据，发现每降低1元，就增加5个，说明与成一次函数关系， 设一次函数关系式为， 选取表格中两点、代入得： ， 解得，． 所以，． （2）① 由题意得，利润， 令， 则， 整理得，， 解得，（因单价不高于32元，舍去）． 所以，销售单价应是30元． ② 略 22．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件． 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件． 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率． 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元． 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 【答案】（1）月平均增长率是．（2）每件的售价应降低20元． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用中的增长率问题与利润问题是解题的关键． （1）已知初始销量，最终销量和增长月份数，设月平均增长率为，根据增长率公式建立方程后求解即可； （2）设降价元，得出每件利润为元，销量为，根据题意列出方程后求解即可． 【详解】 解：（1）设月平均增长率是x． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：月平均增长率是． （2）设每件的售价应降低y元，则每件的销售利润为元， 每天的销售量为件． 根据题意，得， 整理，得，解得，． 因为要尽量减少库存，所以． 答：每件的售价应降低20元． 23．（25-26学年九上·广西桂林·期中）广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右，预计在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右． （1）求桂林年至年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售杯．年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额？ 【答案】（1）年平均增长率为     （2）当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额      【分析】 本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)， 营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设年平均增长率为r，根据题意，列出一元二次方程求解； （2）设降价x元，根据题意，列出一元二次方程求解． (1) 小问详解： 解：设年平均增长率为r， 则， 解得：(舍去)，， 答：桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设降价x元， 售价：元， 销量：杯， 单杯利润：售价成本元， 总利润：利润元， 则， 解得：，， 售价元： 当时，售价元； 当时，售价元， 当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额． 24．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图，已知矩形绿地广场的长，宽分别为，，管理部门计划对绿地进行改造，以提升美观性和实用性． （1）若将矩形绿地长减少，宽增加相同长度，绿地变为正方形，求矩形绿地长、宽的变化长度． （2）若将矩形绿地长和宽同时增加相同的长度，绿地面积达到，求扩建后的矩形绿地的长、宽分别比原矩形绿地的长、宽增加了多少米． 【答案】（1）6米     （2）2米      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是∶ （1）设矩形绿地长、宽的变化长度为x米，根据矩形绿地长减少，宽增加相同长度列方程求解即可； （2）设矩形绿地长和宽同时增加y米，根据绿地面积为列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设矩形绿地长、宽的变化长度为x米， 根据题意，得， 解得， 答：矩形绿地长、宽的变化长度为6米； (2) 小问详解： 解：设矩形绿地长和宽同时增加y米， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：扩建后的矩形绿地的长、宽分别比原矩形绿地的长、宽增加了2米． 25．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）柳州窑埠古镇计划用长32米的木质栅栏，靠一面墙围一个矩形的螺蛳粉主题小吃摊位（墙的长度为18米），要求围成的摊位面积为120平方米，求这个矩形摊位垂直于墙的边长为多少米？ 【答案】这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设矩形摊位垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】 解：设矩形摊位垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意得， 整理得， 解得，． 当时，平行于墙的边长为米米（不符合实际，舍去）； 当时，平行于墙的边长为米米（符合实际）． 答：这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米． 26．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）某商场购进一种每件价格为100元的商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系： （1）求出与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得700元的利润？ 【答案】（1）     （2）销售单价定为元      【分析】 本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确的列出函数关系式和方程，是解题的关键： （1）结合图象，根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由图象可知，y与x之间满足一次函数的关系，设，把代入得： ，解得： ， ∴； (2) 小问详解： 由题意，得：， 解得：或， ∵， ∴． 答：销售单价定为元． 27．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）“秋风起，蟹脚痒”，某学校利用星期天开展社会实践活动，调查某种规格的螃蟹价格．下表是“数一数二”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． ××学校社会实践记录表 团队名称 数一数二 活动时间 2025．9．29 班级人员 小明等10名同学 地点 农贸市场 实践内容 调查螃蟹行情，帮助市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠 调研信息 螃蟹的进价为40元/千克 螃蟹的售价为50元/千克时，每天可销售100千克 每千克每涨价1元，每天少销售2千克 解决问题 问题1 若某天市场正好销售了70千克的螃蟹，则获利多少元 问题2 若市场想一天销售螃蟹的总利润为1350元，则螃蟹的售价为多少元/千克 【答案】问题1：某天市场正好销售了70千克的螃蟹，则获利1750元； 问题2：若市场想一天销售螃蟹的总利润为1350元，螃蟹的售价为55元/千克． 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． 对于问题1，设螃蟹的售价为元/千克，根据总重量相等列出方程，求解即可；对于问题2，设螃蟹的售价为元/千克，根据总利润列方程，求解，结合实践内容，即可得螃蟹的售价． 【详解】 问题1： 解：设螃蟹的售价为元/千克， 由题意得， 解得， （元）． 答：某天市场正好销售了70千克的螃蟹，则获利1750元． 问题2： 解：设螃蟹的售价为元/千克， 由题意得， 整理得， 解得，． ∵帮助市场解决销售问题的同时，为顾客谋实惠， ∴舍去． 答：若市场想一天销售螃蟹的总利润为1350元，螃蟹的售价为55元/千克． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $