期中真题重组卷（湖南专用，新教材湘教版八上第1～3章）八年级数学上学期模拟卷

2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D A C C A B D D A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11． 12．5 13． 14．16 15． 16． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．17-19题每题6分，20-22题每题8分，23-25题每题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【答案】 【详解】解：原式······（4分） ．······（2分） 18．（6分） 【详解】（1）解： ；······（3分） （2）解： ．······（3分） 19．（6分） 【详解】解：原式 ······（2分） ······（4分） 当时，原式．······（6分） 20．（8分） 【详解】（1）解： 方程两边同乘得：，······（1分） 解得：，······（2分） 检验：当时，最简公分母， 是原方程的根．······（1分） （2）解：， 方程两边同乘得：，······（1分） 解得：，······（2分） 检验：当时，最简公分母， 是原方程的增根，舍去． 原方程无解．······（1分） 21．（8分） 【详解】（1）解：∵， ∴······（1分） ······（1分） ······（2分） （2）解：∵， ······（1分） ······（1分） ······（1分） ······（1分） 22．（8分 【详解】解：设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，······（1分） 依题意得：，······（2分） 解得：，······（2分） 经检验，是所列方程的解，且符合题意，······（1分） ． ······（1分） 答：种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元．······（1分） 23．（10分） 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：，······（1分） 长方形的长是，宽是，······（1分） 由此可得：，······（1分） 故答案为：；······（1分） （2）解：根据长方形的周长为，可得： ，······（1分） ， ， ，······（1分） 空白部分的面积为， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故，······（1分） ∵， ∴， ∴，······（1分） ∴．······（1分） 答：空白部分的面积为．······（1分） 24．（10分） 【详解】（1）解：∵，， ∴，······（1分） ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”；······（1分） （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴；······（2分） ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故；······（2分） （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴，······（1分） 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时；······（1分） 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； ······（1分） 综上所述，或．······（1分） 25．（10分） 【答案】(1)，······（2分） （2）设矩形的长为, 宽为， ，······（1分） 当时，即时，的最小值为220， 当长和宽均为10时，篱笆的长度最短，最短为；······（1分） （3），······（1分） ，时，取等号，的最小值为6，······（1分） ∴的最大值为．······（1分） （4） 当时，，，即时，取等号， ,······（1分） 当时，，，，即时，取等号， ，， 综上，的范围为或．······（1分） 故答案为：或．······（1分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版八年级数学上册第1~3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）下列各式中，是分式的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）下列由左到右的变形是因式分解的是（   ） A．； B．； C．； D．； 3．（2026·湖南怀化·期中）下列各式的结果中，最大的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 5．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）使二次根式有意义的x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 7．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列运算或化简正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．4 9．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 10．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知，为实数且满足，，设，，则下列两个结论①若，则．②时，；时，；时，．（   ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）分解因式：________． 12．（26-27八年级上·湖南长沙·期中）___________． 13．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为___________． 14．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知，则的值_____． 15．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为_________． 16．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，17-19题每题6分，20-22题每题8分，23-25题每题10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）计算：． 18．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）因式分解： (1)； (2)． 19．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 20．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）解下列分式方程： (1) (2) 21．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 22．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）为创建和谐文明的校园环境，某初中准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用16000元购买种垃圾桶的组数量是用元购买种垃圾桶的组数量的2倍．求、两种垃圾桶每组的单价分别是多少元? 23．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 24．（25-26八年级上·湖南永州·期中）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 25．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; (2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ (4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版八年级数学上册第1~3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）下列各式中，是分式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的判定，分式是指分母中含有字母的代数式，根据定义判断各选项分母是否含有字母． 【详解】解：A、中的分母为3，不含字母，故此选项不符合题意； B、为整式，故此选项不符合题意； C、分母为π，不含字母，故此选项不符合题意； D、的分母为，含有字母m和n，是分式，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）下列由左到右的变形是因式分解的是（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．据此一一判断即可． 【详解】解：．，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．不是因式分解，故该选项不符合题意； ． ，原运算错误，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（2026·湖南怀化·期中）下列各式的结果中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据相反数、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算出每个选项的结果，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，，，， ∵ ∴结果最大的是． 4．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值为、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为时无意义．根据分式的性质，分别代入的值计算分式的值或判断分式是否有意义即可． 【详解】解：∵ 当 时，，∴ A正确，故不符合题意； ∵ 当 时，分母 ，分式无意义，∴ B正确，故不符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ C不正确，故符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． 5．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）使二次根式有意义的x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：使二次根式有意义，则 ， 解得． 6．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的x和y，得， 化简后的结果和原式相同，则分式的值不变． 故答案为：A． 7．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列运算或化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简与运算，需逐项验证其正确性．选项A、C、D通过代入特定值或直接计算可发现错误；选项B通过因式分解和约分可化简为右侧形式，但需注意分母不为零的条件． 【详解】解：A、与在一般情况下不相等（如取，左边，右边），A错误． B、（当且时），与右边一致，B正确． C、不能化简为（如取，左边，右边），C错误． D、，与右边不相等（如取，左边，右边），D错误． 故选：B． 8．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，因式分解的应用，根据题意分别求得和，进而根据关系式得出，进而求得出的值． 【详解】解：根据题意，得，，且， 又∵， 故， 解得．即a的值为． 故选：D． 9．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 【答案】D 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵可以用完全平方公式来分解因式， ∴， 解得： 或． 故选：D． 10．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知，为实数且满足，，设，，则下列两个结论①若，则．②时，；时，；时，．（   ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的加减法计算，当时，则，则可求出，，进而求出，据此可判断①；可求出，当时，，即；当时，，但是此时不确定的符号，据此可判断②． 【详解】解：当时，则， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ， ∴当时，，即； 当时，，但是此时不确定的符号，故不能判断的大小关系，故②错误； 故选：A． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，通过观察各项，提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（26-27八年级上·湖南长沙·期中）___________． 【答案】5 【详解】解：． 13．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值，正确掌握二次根式的性质是解题关键．利用数轴得出的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：由数轴得，且，， ∴， 故． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知，则的值_____． 【答案】16 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，因式分解，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，代入原方程得到与的关系，进而求出的值，最后利用因式分解求代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：16． 15．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是求解分式方程的增根，根据增根的含义可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律和二次根式的化简求值，先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，17-19题每题6分，20-22题每题8分，23-25题每题10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 18．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）直接提公因式分解即可； （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 当时，原式． 20．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查的是分式方程的解法. （1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【详解】（1）解： 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，最简公分母， 是原方程的根． （2）解：， 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，最简公分母， 是原方程的增根，舍去． 原方程无解． 21．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， 22．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）为创建和谐文明的校园环境，某初中准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用16000元购买种垃圾桶的组数量是用元购买种垃圾桶的组数量的2倍．求、两种垃圾桶每组的单价分别是多少元? 【答案】200元，250元 【分析】本题考查了分式方程的应用，先设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，列式，解得，则，即可作答． 【详解】解：设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元． 23．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）根据长方形的周长是即可得出的值；由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ， 空白部分的面积为， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 24．（25-26八年级上·湖南永州·期中）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 25．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; (2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ (4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 【答案】(1)， (2)当长和宽都为10米时，篱笆最短，最短长度为40米 (3)当时，代数式取最大值，最大值为 (4)或 【分析】本题主要考察了“均值不等式”这一知识点，即对于非负实数、，有，当且仅当时等号成立．解题的关键在于根据题目所给代数式的形式，合理地将其转化为符合“均值不等式”的结构，通过设a、b的值，利用不等式求出最值，并确定取最值时自变量的值． (1)类比得出, 当时，即时，代数式取到最小值， 最小值为：; (2)设矩形的长为, 宽为, 可得出，当时取等号，进而求得及最值； (3)，由，时，取等号，进一步求最值； (4)，分情况讨论：当时，当时，求的取值范围． 【详解】（1）解：， ，当时，即时，代数式取得最小值，最小值为：． 故答案为： （2）设矩形的长为, 宽为， ， 当时，即时，的最小值为20， 当长和宽均为10时，篱笆的长度最短，最短为； （3）， ，时，取等号，的最小值为6， ∴的最大值为． （4） 当时，，，即时，取等号， , 当时，，，，即时，取等号， ，， 综上，的范围为或． 故答案为：或． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $