精品解析：　湖南省省湘西土家族苗族自治州凤凰县凤凰县思源实验学校2024-2025学年 上学期八年级期中数学试卷

思源实验学校2025年春季八年级期中学情诊断 数学试卷 满分：120分 时量： 120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将每个小题所给的四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 3，4，5 B. 7，24，25 C. 5，7，9 D. 8，15，17 2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠C大小为( ) A. 40° B. 80° C. 140° D. 180° 3. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列二次根式中，与能合并的是（ ） A. B. C. D. 7. “赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则图中阴影区域的面积与大正方形的面积之比为（　　） A. B. C. D. 8. 如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ） A. 4米 B. 8米 C. 9米 D. 7米 9. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 10. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的一条直线分别与交于点E，F，连接交于点M，连接，若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④.其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 计算＝_____． 13. 比较大小：5_________4 (填“＞”“＜”或“=” ）． 14. 如图，已知菱形的周长为20，对角线与交于点O，且，则菱形的面积为________． 15. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么________． 16. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则()的最小值是____________． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，且AE=3.5，ED=2，则平行四边形ABCD的周长是_________． 18. 如图，在矩形中，，，把矩形折叠，使得点与点重合，则折痕的长为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤） 19. 计算：． 20. 已知，，求的值． 21. 已知△ABC的三边分别为、、且满足，试判断△ABC的形状． 22. 如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积. 23. 观察下列等式： ①； ②； ③；…… 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律：化简：_________； （2）计算：+…+． 24. 如图，中，，是斜边的中点，若，，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 25. 如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连结交于点． （1）试证明：无论点P运动到上何处时，都有； （2）当的面积是正方形面积的时，求的长； （3）若点P从点A运动到点B，再继续在上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，恰为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 思源实验学校2025年春季八年级期中学情诊断 数学试卷 满分：120分 时量： 120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将每个小题所给的四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 3，4，5 B. 7，24，25 C. 5，7，9 D. 8，15，17 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故是直角三角形，不符合题意； B、，故是直角三角形，不符合题意； C、，故不是直角三角形，符合题意； D、，故是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠C大小为( ) A. 40° B. 80° C. 140° D. 180° 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出∠C=∠A． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C=∠A=40°， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等． 3. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：使二次根式有意义，则 ， 解得． 4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：=，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ＝2，不是最简二次根式； =，不是最简二次根式， 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，本题得以解决． 【详解】解： ，故选项A错误； +不能合并为一项，故选项B错误； ×＝，故选项C正确； ﹣＝2﹣，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 6. 下列二次根式中，与能合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化为最简二次根式，判断即可． 【详解】解：A、=2，与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B、＝4，与是同类二次根式，能合并，故B符合题意； C、＝4，与不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意； D、＝，与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的合并，解题的关键是二次根式的性质化为最简二次根式进行判断． 7. “赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则图中阴影区域的面积与大正方形的面积之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：直角三角形的两条直角边的长分别是1和2， 小正方形的边长为1， 根据勾股定理得：大正方形的边长， 中间小正方形与大正方形的面积的比值是：． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理和正方形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 8. 如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ） A. 4米 B. 8米 C. 9米 D. 7米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 9. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC=5， ∵∠AFB=90°，D是AB 的中点， ∴DF=AB=3， ∴EF=DE﹣DF=2． 故选B 10. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的一条直线分别与交于点E，F，连接交于点M，连接，若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④.其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质和，证明为等边三角形，再证明，得到是的角平分线，故可证明①；根据，可得，即可证明四边形是平行四边形，再证明即可得到，故可证明③； 根据，故无法证明，故②错误；根据含有角的直角三角形的三边关系和勾股定理可得，故可证明④． 【详解】解：四边形是矩形，O为的中点， ， 为等腰三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故①正确； , ， ， ， ，， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形， 故③正确； ， 无法证明， 故②错误； ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 故正确的为①③④，为3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 计算＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式乘法法则进行计算. 【详解】=. 故答案是：2. 【点睛】考查了二次根式的乘法，解题关键是运用二次根式的乘法法则进行计算. 13. 比较大小：5_________4 (填“＞”“＜”或“=” ）． 【答案】> 【解析】 【分析】把根号外的数移入根号内，再比较即可． 【详解】解：∵5=，4=， 又∵> ∴5>4． 故答案为：>． 【点睛】本题考查实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解题的关键． 14. 如图，已知菱形的周长为20，对角线与交于点O，且，则菱形的面积为________． 【答案】 24 【解析】 【分析】根据菱形周长求出边长，利用菱形对角线互相垂直平分的性质及勾股定理求出另一条对角线的长，最后利用对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：∵四边形是菱形，周长为， ∴，，． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴菱形的面积． 15. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解题关键是得出． 根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 解得： 故答案为：1． 16. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则()的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论． 【详解】解：如图，作DE⊥AB于E点，连接BD ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120° ∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形 ∴∠PAE=30° ∴AP=2PE ∵PD=PB ∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE 根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小 ∵菱形的边长为4 ∴AB=4，AE=2 ∴DE= ∴2DE= ∴PA+PB+PD最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，且AE=3.5，ED=2，则平行四边形ABCD的周长是_________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据平行四边形性质AD=BC，AB=CD，ADBC，推出∠AEB=∠EBC，根据角平分线定义得出∠ABE=∠EBC，推出∠AEB=∠ABE，求出AB=CD=AE=2，代入AB+BC+CD+AD求出即可． 【详解】解：∵平行四边形ABCD， ∴AD＝BC，AB＝CD，ADBC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE＝DC＝3.5， ∵AD＝AE+DE＝3.5+2＝5.5， ∴平行四边形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝3.5+5.5+3.5+5.5＝18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线性质，平行四边形性质等知识点的应用，关键是求出AE=AB． 18. 如图，在矩形中，，，把矩形折叠，使得点与点重合，则折痕的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，设与的交点为，利用勾股定理可计算出，由折叠的性质可得，，，则，在中，利用勾股定理构造方程，解得．在中，使用勾股定理计算出，容易证明，则，因此． 【详解】解：如图，连接、，设与的交点为， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∵点与点关于对称， ∴，，， ∴， 在中，， ∴，解得， 在中，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，，然后利用平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ； 【点睛】本题考查了平方差公式，求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确求出，． 21. 已知△ABC的三边分别为、、且满足，试判断△ABC的形状． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】根据平方、算术平方根、绝对值的非负性即可求出a，b，c的值，再根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴a=3，b=4，c=5， ∵32+42=52， 即， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】此题主要考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟知平方、算术平方根、绝对值的非负性． 22. 如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积. 【答案】四边形ABCD的面积是6. 【解析】 【分析】连接BD，根据勾股定理可计算出BD的长度，再由勾股定理逆定理可判断出△ABD为直角三角形，分别计算出△ABD和△BCD的面积，求和即可． 【详解】连接BD， ∵∠C=90°， ∴△BCD为直角三角形， ∴BD2=BC2+CD2=22+12=（）2，BD＞0， ∴BD=， 在△ABD中， ∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25， ∴AB2+BD2=AD2， ∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×+×2×1=6． ∴四边形ABCD的面积是6． 【点睛】本题关键在于利用勾股定理逆定理判定出直角三角形，从而求出三角形的面积． 23. 观察下列等式： ①； ②； ③；…… 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律：化简：_________； （2）计算：+…+． 【答案】（1） （2）﹣1 【解析】 【分析】（1）根据已知的3个等式发现规律：，把n=22代入即可求解； （2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可． 【小问1详解】 解： = 故答案为：； 【小问2详解】 +⋯⋯+ =+⋯⋯+﹣ =﹣1． 【点睛】本题考查了分母有理化，解决本题的关键是读通题目意思，并正确地找出规律． 24. 如图，中，，是斜边的中点，若，，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，且． ∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，是斜边的中点， ， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得四边形是平行四边形，得出，且，进而证明四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，即可得结论； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长，根据菱形的性质得出的长，利用菱形面积公式即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形是菱形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴菱形的面积， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 25. 如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连结交于点． （1）试证明：无论点P运动到上何处时，都有； （2）当的面积是正方形面积的时，求的长； （3）若点P从点A运动到点B，再继续在上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，恰为等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴， 即无论点运动到上何处时，都有. （2） （3）当运动到①点位置，②处（上），③当运动到①点位置，②处（上），③点位置时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得，对角线平分一组对角可得，然后利用“边角边”证明和全等； （2）由（1）可以得到，根据的面积是正方形面积的可以得到，在进行计算求解即可得到答案； （3）分①时，点B、P重合，②时，根据等边对等角可得，再求出正方形的对角线AC的长，再求出，然后根根据两直线平行，内错角相等求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得到点P的位置，③时，点C、P、Q三点重合． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过Q作于， 由（1）得， ∴， ∵的面积是正方形面积的， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 【小问3详解】 当为等腰三角形时． 如图，时，此时为正方形的中心，此时点与点重合． ②如图，时，由等边对等角得：． ∴，． ∴ ∵ ∵ ∴ ∴． ③如图，时， 此时、、三点重合． 综上所述：当运动到①点位置，②处（上），③点位置时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是（3）中要注意分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $