4.2 认识一次函数（分层作业18题）《典例全解·题型通关》2026-2027学年北师大版数学八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 4.2 认识一次函数（分层作业18题） 一、选择题 1．当时，函数的值是（     ） A．5 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】解：当时， ． 2．下列函数中，y是x的一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、B选项的函数均为正比例函数，不符合要求． C．，是一次函数且不是正比例函数，符合要求． D．不是一次函数，不符合要求． 3．如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数定义，自变量x的系数不为0，据此列不等式即可求出m的取值范围． 【详解】解：由题意， 解得． 4．下面哪个点在函数的图象上（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项点的横坐标代入解析式计算，对比纵坐标即可判断． 【详解】∵ 函数解析式为，依次代入验证各选项： A、当时，，∴A错误； B、当时，，∴B错误； C、当时，，∴C错误； D、当时，，与点的纵坐标相等，∴D正确． 5．水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算每分钟排水速度，再根据剩余水量等于原有水量减去排出水量得到函数解析式，最后根据实际意义确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵水池原有水，全部排完， ∴每分钟排水量为 ， ∵剩余水量原有水量分钟排出的水量， ∴，整理得， 又∵排水时间最小为，最多排完全部水， ∴自变量的取值范围为，即函数解析式为． 6．若是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】结合正比例函数的成立条件列方程与不等式，求解后代入计算． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴，，． 由得或． ∵， ∴，即． 由得． ∴． 二、填空题 7．已知y是x的正比例函数，当时，，那么这个函数的表达式为________． 【答案】 【分析】先设正比例函数的一般形式，代入已知的，的值求解比例系数，即可得到函数表达式． 【详解】解：设该正比例函数表达式为 （）， 将 ， 代入得 ， 解得 ， 因此这个函数的表达式为． 8．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义：形如（，、为常数）的函数叫做一次函数，对给出的函数逐一判断即可. 【详解】解：①符合一次函数的定义，符合题意； ②不符合一次函数的定义，不符合题意； ③对整理得，符合一次函数的定义，符合题意； ④是反比例函数，不符合一次函数的定义，不符合题意； ⑤是二次函数，不符合一次函数的定义，不符合题意. 故填①③． 9．若函数是关于x的一次函数，则常数k必须满足________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数中，自变量的系数是解题的关键． 根据一次函数的定义，的系数不能为零，因此令，求解的条件． 【详解】解：函数是关于的一次函数，则的系数必须不等于零， 即， 所以， 解得：， 故答案为：． 10．定义：一次函数（，，为实数）的“关联数”为．某个正比例函数“关联数”为，则的值为___． 【答案】6 【分析】根据题中新定义得到一次函数表达式，再利用正比例函数的定义，得到常数项为，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正比例函数为， ， 解得． 11．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为“和谐点”，请写出函数图象上和谐点的坐标：______． 【答案】 【分析】根据和谐点定义，横纵坐标相等，即，代入函数解析式求解即可． 【详解】解：∵和谐点的横坐标和纵坐标相等， ∴令， 将代入，得， 移项整理得，解得， ∴， ∴函数图象上和谐点的坐标为． 12．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则的值等于______． 【答案】 【分析】先把点代入直线求出，再点代入直线求解即可． 【详解】解：将代入直线得：， ∴， 将代入直线得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数上点的特征，准确计算是解题的关键． 三、解答题 13．新定义：为函数（a，b，c为实数）的“关联数”．若“关联数”为的函数为一次函数，试求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的定义，根据“关联数”的定义得，再结合一次函数的定义，得出且，即可解得． 【详解】解：根据题意，得， ∵是一次函数， ∴且， ∴． 14．某种大米的单价是元，当购买大米时，需要花费y元．y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？ 【答案】是的一次函数，也是的正比例函数 【详解】解：是的一次函数，也是的正比例函数， 理由如下： 根据题意，得（）， ∵ 该函数符合一次函数（,为常数，）的形式，其中，， ∴ 是的一次函数， ∵ 该函数符合正比例函数（为常数，）的形式，其中， ∴ 是的正比例函数． 15．某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式． 方式一：先购买会员卡（每张会员卡100元，只限本人使用），凭卡健身每次再付费5元． 方式二：不购买会员卡，每次健身付费8元． 小张计划到该场馆去健身，设他健身的次数为x（x为正整数），两种健身方式的费用分别为元，元． (1)分别写出，与x之间的函数关系式． (2)若小张计划健身的总费用为280元，则他选择哪种付费方式健身的次数比较多？ 【答案】(1) （为正整数）；（为正整数）. (2) 选择方式一付费健身的次数更多 【分析】（1）根据两种健身付费的方式列出对应的函数关系式即可； （2）求出两个函数的函数值为280时自变量的值，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得（为正整数），（为正整数）； （2）解：当时，则，解得， 当时，则，解得， ∵， ∴选择方式一健身的次数比较多； 答：他选择方式一付费健身的次数比较多． 16．个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数（千克）与售价（元）的关系如下表： 1 2 3 4 5 (1)售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为_____． (2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款多少元？ 【答案】(1) (2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款378元 【分析】本题考查正比例函数关系式： （1）通过观察表格数据，发现售价y与卖出的苹果数量x成正比例关系，由此可解； （2）将代入（1）中关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由表可知，， 售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为：； （2）解：当时，， 即当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款378元． 17．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 【答案】(1)124 (2) (3) 【分析】（1）观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少，由此计算即可得出结果； （2）由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少，由此即可得出结果； （3）设双层部分的长度为，则单层部分长度为，根据背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少， ∴； （2）解：由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少， ∴， 即与之间的关系式为． （3）解：设双层部分的长度为，则单层部分长度为， 背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和， ， 解得， 故此时双层部分的长度． 18．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据点P、Q的运动速度，求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可； （3）分三种情况：当时，当时，当，根据的长度求出重叠部分的面积即可； （4）根据重叠部分的面积等于3列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点， ∴， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴； （2）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 综上分析可知：； （3）解：当时，， ∵此时， ∴， ∴重叠部分面积：； 当时，， 令， 解得：， 当时，重叠部分面积为：； 当时，重叠部分面积为：； 综上分析可知：． （4）解：当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） 综上分析可知：当重叠部分的面积等于3时，． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 4.2 认识一次函数（分层作业18题） 一、选择题 1．当时，函数的值是（     ） A．5 B．2 C． D．1 2．下列函数中，y是x的一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 3．如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．下面哪个点在函数的图象上（     ） A． B． C． D． 5．水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 6．若是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C．4 D．12 二、填空题 7．已知y是x的正比例函数，当时，，那么这个函数的表达式为________． 8．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 9．若函数是关于x的一次函数，则常数k必须满足________________． 10．定义：一次函数（，，为实数）的“关联数”为．某个正比例函数“关联数”为，则的值为___． 11．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为“和谐点”，请写出函数图象上和谐点的坐标：______． 12．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则的值等于______． 三、解答题 13．新定义：为函数（a，b，c为实数）的“关联数”．若“关联数”为的函数为一次函数，试求m的值． 14．某种大米的单价是元，当购买大米时，需要花费y元．y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？ 15．某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式． 方式一：先购买会员卡（每张会员卡100元，只限本人使用），凭卡健身每次再付费5元． 方式二：不购买会员卡，每次健身付费8元． 小张计划到该场馆去健身，设他健身的次数为x（x为正整数），两种健身方式的费用分别为元，元． (1)分别写出，与x之间的函数关系式． (2)若小张计划健身的总费用为280元，则他选择哪种付费方式健身的次数比较多？ 16．个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数（千克）与售价（元）的关系如下表： 1 2 3 4 5 (1)售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为_____． (2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款多少元？ 17．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 18．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 学科网（北京）股份有限公司 $