4.1 函数（分层作业20题）-2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》（北师大版）

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 4.1 函数（分层作业20题） 一、选择题 1．一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用行程问题中路程，速度，时间的基本关系，代入已知速度即可得到正确关系式． 【详解】根据题意可得． 2．将某歌曲发布后连续6天的播放量（万次）绘制成如图所示的趋势图，请根据所绘制的趋势图估计第7天该歌曲的播放量为（     ） A．35万次 B．30万次 C．28万次 D．25万次 【答案】A 【分析】趋势图中第 1 天到第 6 天对应的播放量 5、10、15、20、25、30 万次，发现每天增加 5 万次，用第 6 天的 30 万次加上 5 万次，得到第 7 天估计播放量 35 万次． 【详解】解：播放量每天增加 5 万次． ． 所以第 7 天播放量估计为 35 万次． 3．下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查函数的定义．根据函数的定义，在某个变化过程中，有两个变量，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，都有唯一确定的值和它对应，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项中，对于范围内的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，故是的函数； 选项中，对于范围内的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，故是的函数； 选项中，对于范围内的每一个确定的值，对应的值不具有唯一性，故不是的函数； 选项中，对于范围内的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，故是的函数． 4．已知函数，当时，函数y的值为（   ） A．15 B．9 C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，函数 5．下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 【答案】C 【分析】本题考查函数不同表示方法的适用场景，初中函数表示方法分为解析法、列表法、图象法三类，解析法通过数学解析式表达函数关系，需结合各情境特征判断． 【详解】解：∵ 解析法适合表示有明确数学关系式的函数关系，列表法适合整理离散的对应数据，图象法适合直观展示变化趋势． 又∵ A选项记录不同时刻的体温，为离散对应数据，优先选列表法；B选项反映各月份的平均降雨量，为离散对应数据，优先选列表法；D选项展示速度随时间的变化趋势，优先选图象法． C选项中h为定值，体积与底面半径有明确关系式，符合解析法的适用特征，优先用解析法． 6．函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，列不等式即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴函数中，满足， 移项得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． 7．如图1，在长方形中剪去一个小长方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形匀速运动到点时停止，三角形的面积随着点的运动路程变化的函数图象如图2所示，则的长为（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据函数图象获得线段的长度以及三角形的面积，然后利用长方形的性质得出相等的线段，最后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵四边形和四边形为长方形， ∴，， 由函数图象可知，当点与点重合时， ， 解得， ∴． 二、填空题 8．我国气候复杂多样，内陆地区气候大陆性强，气温年较差、日较差大，降水稀少且集中，气候干旱，“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国西北地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是_________． 【答案】时间 【分析】根据函数中自变量的定义，判断变化过程中主动变化的量即可得到结果． 【详解】解：本题描述的变化过程中，气温随时间的变化而变化，对于时间的每一个确定值，都有唯一确定的气温值与之对应，因此自变量是时间． 9．近期，郑渝高铁开通，中国高铁建设又迎来了一个高光时刻，若某列高铁的行驶时间（h）与行驶路程（km）的关系如表： 时间（h） 1.5 2 2.5 3 3.5 …… 行驶路程（km） 450 600 750 900 1050 …… 根据表格中两者的对应关系，若时间为4.5h，则行驶路程为 _____km． 【答案】1350 【分析】根据表中的数据求出速度，再求时间为4.5h行驶的路程. 【详解】解：高铁的行驶的速度为600÷2＝300（km/h）， 所以当时间为4.5h时，行驶的路程为300×4.5＝1350（km）． 故答案为：1350． 【点睛】本题考查了时间、速度、路程的关系，关键是理解表格中的数据. 10．一个长方形的周长是，若一边长是，另一条边长是，则与的关系式是____________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据长方形的周长公式可得，的关系，再根据，即可确定自变量的取值范围． 【详解】解：根据长方形的周长公式可得：， ∴， ∴， ∵且，即且， ∴， 综上：． 11．意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，则铁球的落地时间t为__________． 【答案】 【分析】将，代入，即可求解． 【详解】解：将，代入，得， ∴， ∴，（舍去）， ∴铁球的落地时间t为． 12．在长方形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度运动（点不与点重合）；点是边上任意一点．设点的运动时间为，三角形的面积为，则关于的函数表达式为：__________． 【答案】 【分析】由题意得，，则，再由三角形面积公式即可建立关系式． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是长方形， ， ∴之间的距离相等，都等于， ． 13．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 14．如图①，在四边形中，，，，动点从点出发，沿→→→的方向运动，到达点停止．设点运动的路程为（），的面积为（），如果与之间的关系图象如图②所示，那么四边形的面积为__________． 【答案】18 【分析】根据题意，分析P的运动路线，分阶段分别进行讨论，可得的值，再由梯形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，当P在上时， ， 此时y随x的增大而增大， 结合图2得：当时，点P与点C重合， ∴； 当P在上时，， 此时y保持不变， 结合图2得：当时，点P与点D重合， ∴； ∴四边形的面积为． 三、解答题 15．如图1，在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从点A出发沿的方向移动一周，回到点A后继续周而复始地移动．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合图2中的函数图象，求当时y的值． 【答案】4 【分析】分别求出点P在正方形四条边上运动时y关于x的关系式，再根据正方形的周长为16得到点运动路程每16为一个循环，求出2026除以16的商和余数即可得到答案． 【详解】解：当点在上移动，即时，； 当点在上移动，即时，； 当点在上移动，即时，； 当点在上移动，即时，． ∵正方形的周长为， ∴点运动路程每16为一个循环， ∵， ∴时y的值与时y的值相同， ∵当时，， ∴当时，的值为4． 16．一辆汽车的油箱中现有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y（单位：）随行驶里程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为． (1)写出y与x之间的关系式，并写出x的取值范围； (2)若油箱中的剩余油量为，则汽车已行驶了多少千米？ 【答案】(1)与的关系式为，的取值范围是 (2)汽车已行驶了 【分析】（1）用油箱中现有的油量减去行驶消耗的油量即可得到对应的关系式，结合实际意义确定自变量取值范围； （2）将剩余油量代入关系式，求解对应的行驶里程． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，， ∴； （2）解：当时，， 解得， 答：汽车已行驶了． 17．如图所示的图案由边长相等的灰、白两色的正方形按一定规律拼接而成，设第个图案中白色正方形的个数为． (1)是的函数吗？如果是，请写出与之间的关系． (2)是否存在这样的图案，使白色正方形的个数为123？如果存在，请指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)是， (2)存在，第24个 【分析】（1）根据前3个图形中白色正方形的个数总结规律即可得到答案； （2）求出时n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，；…； ∴， ∴是的函数，且； （2）解：令，则， 解得， ∴在第24个图案中，白色正方形的个数为123． 18．小惠调查了一个冷食批零（批发与零售兼营）供应点，发现雪糕的日销售量与当日的最高气温密切相关：当最高气温低于时，日销售量约为1箱；当最高气温为时，日销售量约为3箱；当最高气温为时，日销售量约为8箱；当最高气温为时，日销售量约为15箱；当最高气温为时，日销售量约为25箱；当最高气温为时，日销售量约为38箱；当最高气温为时，日销售量约为60箱． (1)这项调查反映了哪两个变量之间的函数关系？你能用什么方法表示这一问题中的函数关系？ (2)据气象预报，明日最高气温为．这个供应点进多少箱雪糕比较合适？ 【答案】(1)反映了当日最高气温与雪糕日销售量之间的函数关系，当日最高气温是自变量，雪糕的日销售量是当日最高气温的函数． 可用列表法、图象法、近似解析法表示． (2)进约33箱雪糕比较合适． 【分析】（1）根据两个变量之间的关系判断适合表示这一问题中的函数关系的方法； （2）先求出由到平均每升高增加多少箱，据此求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：， （箱）， （箱）， ， （箱）， （箱）， 答：这个供应点进33箱左右雪糕比较合适（箱均合理）． 19．在学习地理时，我们知道：“在海拔高度11千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过11千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系．根据表格，回答以下问题： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 (1)写出海拔高度11千米以内，气温与海拔高度的关系式：______； (2)当气温是时，求海拔高度是多少？当海拔高度为15千米时，求气温是多少？ 【答案】(1) (2)当气温为时，海拔高度是7千米；当海拔高度为时，气温是 【分析】（1）根据表格中气温随海拔高度变化的规律：h每增加1千米，气温就下降，即可解答； （2）把代入中，求出h；根据海拔高度超过11千米，气温几乎不变，求出时的t值，进行解答即可． 【详解】（1）解：在的基础上，高度每增加1千米，气温降低， ∴； （2）解：当时，由， 解得； ∵海拔高度超过11千米，气温几乎不变， ∴当海拔高度为15千米时，气温与海拔高度为11千米时相同， 将代入， 则， 答：当气温为时，海拔高度是7千米；当海拔高度为千米时，气温是． 20．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家．以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：    (1)小红家到舅舅家的路程是________米，小红在商店停留了________分钟． (2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？ (3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？全程平均速度是多少？ 【答案】(1) (2)分钟时速度最快，最快速度为米/分钟 (3)小红一共行驶了米，全程平均速度是米/分钟 【分析】（1）认真观察图象，根据舅舅家和小红家的纵坐标，即可得到小红家到舅舅家的路程，根据图象平行与横轴可知小红在商店停留，即可求得小红在商店停留的时间； （2）根据图象的陡缓判定速度的快慢，根据路程除以时间得速度； （3）认真读图，求得小红行驶的路程和时间，即可求出全程平均速度． 【详解】（1）解：根据图象舅舅家纵坐标为，小红家的纵坐标为0， 故小红家到舅舅家的路程是（米）； 据题意，小红在商店停留的时间为从6分到分，故小红在商店停留了4分钟． 故答案为：； （2）解：根据图象，时，直线最陡， 故小红在分钟速度最快，速度为（米/分）． （3）解：读图可得：小红共行驶了（米），共用了分钟． （米/分钟）． 小红一共行驶了米，全程平均速度是米/分钟． 【点睛】本题考查了通过图象获取信息的能力，解题关键在于认真观察图象，能从图象中获取需要的信息． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 4.1 函数（分层作业20题） 一、选择题 1．一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．将某歌曲发布后连续6天的播放量（万次）绘制成如图所示的趋势图，请根据所绘制的趋势图估计第7天该歌曲的播放量为（     ） A．35万次 B．30万次 C．28万次 D．25万次 3．下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，当时，函数y的值为（   ） A．15 B．9 C． D． 5．下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 6．函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．如图1，在长方形中剪去一个小长方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形匀速运动到点时停止，三角形的面积随着点的运动路程变化的函数图象如图2所示，则的长为（     ） A．2 B． C．3 D．4 二、填空题 8．我国气候复杂多样，内陆地区气候大陆性强，气温年较差、日较差大，降水稀少且集中，气候干旱，“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国西北地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是_________． 9．近期，郑渝高铁开通，中国高铁建设又迎来了一个高光时刻，若某列高铁的行驶时间（h）与行驶路程（km）的关系如表： 时间（h） 1.5 2 2.5 3 3.5 …… 行驶路程（km） 450 600 750 900 1050 …… 根据表格中两者的对应关系，若时间为4.5h，则行驶路程为 _____km． 10．一个长方形的周长是，若一边长是，另一条边长是，则与的关系式是____________（写出自变量的取值范围）． 11．意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，则铁球的落地时间t为__________． 12．在长方形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度运动（点不与点重合）；点是边上任意一点．设点的运动时间为，三角形的面积为，则关于的函数表达式为：__________． 13．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）． 14．如图①，在四边形中，，，，动点从点出发，沿→→→的方向运动，到达点停止．设点运动的路程为（），的面积为（），如果与之间的关系图象如图②所示，那么四边形的面积为__________． 三、解答题 15．如图1，在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从点A出发沿的方向移动一周，回到点A后继续周而复始地移动．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合图2中的函数图象，求当时y的值． 16．一辆汽车的油箱中现有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y（单位：）随行驶里程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为． (1)写出y与x之间的关系式，并写出x的取值范围； (2)若油箱中的剩余油量为，则汽车已行驶了多少千米？ 17．如图所示的图案由边长相等的灰、白两色的正方形按一定规律拼接而成，设第个图案中白色正方形的个数为． (1)是的函数吗？如果是，请写出与之间的关系． (2)是否存在这样的图案，使白色正方形的个数为123？如果存在，请指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由． 18．小惠调查了一个冷食批零（批发与零售兼营）供应点，发现雪糕的日销售量与当日的最高气温密切相关：当最高气温低于时，日销售量约为1箱；当最高气温为时，日销售量约为3箱；当最高气温为时，日销售量约为8箱；当最高气温为时，日销售量约为15箱；当最高气温为时，日销售量约为25箱；当最高气温为时，日销售量约为38箱；当最高气温为时，日销售量约为60箱． (1)这项调查反映了哪两个变量之间的函数关系？你能用什么方法表示这一问题中的函数关系？ (2)据气象预报，明日最高气温为．这个供应点进多少箱雪糕比较合适？ 19．在学习地理时，我们知道：“在海拔高度11千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过11千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系．根据表格，回答以下问题： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 (1)写出海拔高度11千米以内，气温与海拔高度的关系式：______； (2)当气温是时，求海拔高度是多少？当海拔高度为15千米时，求气温是多少？ 20．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家．以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：    (1)小红家到舅舅家的路程是________米，小红在商店停留了________分钟． (2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？ (3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？全程平均速度是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $