4.4 一次函数的应用（分层作业17题）-《典例全解·题型通关》2026-2027学年北师大版数学八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 4.4 一次函数的应用（分层作业17题） 一、选择题 1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 2．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 4．为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：t）之间的函数图象，则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水8t，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为13t C．若当月用水15t，则当月水费45元 D．若当月用水超过10t，则每多用1t水，当月水费就多4元 5．如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有两个交点，则的值可能是（    ） A． B．1 C．3 D． 6．某天，某同学早上9点坐车上高速出发去外地研学，汽车进入高速行驶距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示，已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（   ） A．汽车在途中加油用了15分钟 B．该同学到达目的地 C．若，则加满油以后的速度为96千米/小时 D．若汽车加油后的速度是110千米/小时，则 二、填空题 7．一次函数的图象如图所示，那么方程的解是__________． 8．若关于x的方程的解为，直线与坐标轴交于A、B两点，则线段的长度是_____ ． 9．为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为_____． 10．马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 _________元． 11．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 12．如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是_____ 三、解答题 13．某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 14．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求线段的长； (2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标； (3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______． 15．已知点，，，且，为的中点． (1)如图1，过点的直线轴，点在轴的正半轴上，，直线交直线于点，给出线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，将点向下平移个单位长度到点，动点从点出发，同时动点从点出发，都沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，交于点，若，求的值． 16．小王与小刘相约从商场出发到景区集合，路线如图1，具体时间与路程信息如图2，小王先到咖啡馆坐了15分钟后与小刘同时到达园林，游玩15分钟后准备前往景区，小王选择休息一会儿再出发，小刘则马上出发，最终小王比小刘早7.5分钟到，两人行走速度不变． (1)小王的速度为________米/分，小刘的速度为________米/分； (2)请求出60分钟后小刘的路程s关于时间t的函数表达式； (3)直接写出游玩结束后小王与小刘相遇时a的值． 17．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 4.4 一次函数的应用（分层作业17题） 一、选择题 1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 2．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 3．如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数图象平移的法则得出一次函数的解析式为，令，则，求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合， ∴一次函数的解析式为， 令，则， 解得， ∴关于的方程的解是． 4．为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：t）之间的函数图象，则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水8t，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为13t C．若当月用水15t，则当月水费45元 D．若当月用水超过10t，则每多用1t水，当月水费就多4元 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再逐项判断，即可． 【详解】解：当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 把点代入得，解得：， ∴当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为，把点、代入得： ，解得：， 即：当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，，即小王家某月用水，则当月水费为24元，故A选项错误； 当时，，解得：， 即小王家某月水费为45元，则当月用水量为，故B选项正确；C选项错误； ∵， ∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多5元，故D选项错误． 5．如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有两个交点，则的值可能是（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， ∵当正比例函数经过点A时，， 当经过点C时，， ∴直线与正方形有两个交点，k的取值范围是， 观察四个选项，只有在范围内． 6．某天，某同学早上9点坐车上高速出发去外地研学，汽车进入高速行驶距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示，已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（   ） A．汽车在途中加油用了15分钟 B．该同学到达目的地 C．若，则加满油以后的速度为96千米/小时 D．若汽车加油后的速度是110千米/小时，则 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象，能够读懂图象并从中获取有效信息是解题的关键． 根据速度、时间、路程之间的关系，结合函数图象逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：由图知，汽车在途中加油用了（分钟）， 故A选项正确，不符合题意； 该同学早上9点出发，路上用时分钟， 该同学到达目的地，故B选项正确，不符合题意； ， ， 解得， 加满油以后的速度为（千米/小时）， 故C选项正确，不符合题意； 若汽车加油后的速度是110千米/小时，则， 解得， 故D选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．一次函数的图象如图所示，那么方程的解是__________． 【答案】 【分析】方程的解即一次函数与轴的交点的横坐标． 【详解】解：由函数图象可得，直线与轴交点的横坐标为，即方程的解是． 8．若关于x的方程的解为，直线与坐标轴交于A、B两点，则线段的长度是_____ ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，涉及一次函数与方程的解的关系，两点间距离公式． 根据方程的解求出参数b，再求直线与坐标轴的交点坐标，最后利用两点间距离公式计算线段的长度． 【详解】解：关于x的方程的解为， ∴直线与轴的交点为 ∴将代入，则， 解得， 因此直线表达式， 当时，， 故与y轴交于点； ∴， 故答案为：2． 9．为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式；根据阶梯水价规则，当用水量在到立方米时，水费由前立方米的固定费用和超出部分的费用组成． 【详解】解：当时，前立方米水费为元，超出部分为立方米，按元立方米计费， 因此． 故答案为：． 10．马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 _________元． 【答案】6000 【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，依题意得：， 设该公司获得利润为y元，依题意得： ， 即， ∵，y随着m的增大而增大， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元． 故答案为：6000． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键． 11．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 【答案】1200 【分析】本题考查了一次函数的应用以及行程问题中路程、速度、时间之间的关系，根据图像前两段求出小明步行的速度，进而求出返回家的时间和时刻，利用待定系数法求出乘出租车阶段路程与时间的函数关系式，设预计步行时间为，列出方程求解即可得到路程． 【详解】解：步行的速度为：米/分钟， ∵以1.5倍的速度回家取作业， ∴小明返程回家的时间为分钟， 则返回时函数图象的点坐标是， 设后来乘出租车中与的函数解析式为， 把和代入得， ， ​解得： ， 设步行到达的时间为， 则实际到达的时间为， 由题意得，， 解得， 则家到学校的距离为米． 12．如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是_____ 【答案】 【分析】令直线解析式中求A点横坐标，令求B点纵坐标，得到的长度．用勾股定理计算的长度，因为折叠后，所以可确定C点在x轴上的坐标．设M点坐标为，则，由折叠性质可知，所以．在中，根据勾股定理列关于的方程，求解得到m的值，即可得到M点坐标． 【详解】 解：对于直线： 令，得， 解得，得； 令，得，得． ∴，， ∴． 由折叠知，． ∵， ∴， ∴C点坐标为． 设，则，． 得． ∵是直角三角形，， ∴ ， ∴ ， 解得， ∴M点坐标为． 三、解答题 13．某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 【答案】(1)方案一：；方案二：当时，；当时， (2)选方案一更划算 【分析】（1）根据两个方案中的燃油计费规则分别写出函数解析式即可； （2）分别求出当时的燃油费用，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，方案一：． 方案二：分段计费，分两种情况： 当时，； 当时，； （2）解：当时， ，， ， ∴选方案一更划算． 14．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求线段的长； (2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标； (3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． （1）先求出点，点坐标，然后利用勾股定理即可求解； （2）设点，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 点，点， ，， ； （2）解：设点， 的面积是16， ， ， 或， 点坐标为或； （3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 15．已知点，，，且，为的中点． (1)如图1，过点的直线轴，点在轴的正半轴上，，直线交直线于点，给出线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，将点向下平移个单位长度到点，动点从点出发，同时动点从点出发，都沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，交于点，若，求的值． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， ， ∵直线轴， 轴， ，且E为的中点， ， ， 在中， ， ， ∴， ∴， ∵直线轴， 则四边形是平行四边形， ； (2) 【分析】（1）先确定E的坐标，再证明，进而利用平行四边形的判定与性质解答即可； （2）先判断，再用列出方程即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：如图： 向下平移个单位长度到点D， ∴， 依据题意得：，连接， ∴， ， ∴， ， ， 过D作轴于G， ， ， 解得． 16．小王与小刘相约从商场出发到景区集合，路线如图1，具体时间与路程信息如图2，小王先到咖啡馆坐了15分钟后与小刘同时到达园林，游玩15分钟后准备前往景区，小王选择休息一会儿再出发，小刘则马上出发，最终小王比小刘早7.5分钟到，两人行走速度不变． (1)小王的速度为________米/分，小刘的速度为________米/分； (2)请求出60分钟后小刘的路程s关于时间t的函数表达式； (3)直接写出游玩结束后小王与小刘相遇时a的值． 【答案】(1)100；75 (2) (3)70 【分析】（1）根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）根据题意得60分钟后小刘的路程关于时间的函数表达式，再结合题意求出的取值范围即可； （3）求出当小王从园林出发时，小王的路程关于时间的函数表达式为，再联立计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得，小王的速度为（米／分）， 小王到达园林的时间为（分钟）， 小刘的速度为（米／分）． （2）解：（分钟）． 根据题意得，60分钟后小刘的路程关于时间的函数表达式为， 即， 当时，， 解得， 60分钟后小刘的路程关于时间的函数表达式为． （3）解：根据题意得，小王到达景区的时间为（分钟）， 当小王从园林出发时，设小王的路程关于时间的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 当小王从园林出发时，小王的路程关于时间的函数表达式为． 联立得， 解得， 游玩结束后小王与小刘相遇时的值为70． 17．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $