4.1函数（分层作业，12大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 4.1 函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 函数的概念 题型02 求自变量的取值范围 题型03 求自变量或函数值 题型04 根据题意求变量的值 题型05 程序流程图求值 题型06 用表格表示函数 题型07 列函数关系式 题型08 从函数的图像获取信息 题型09 选择函数的表示方法 B组 能力进阶 题型 函数·综合应用 C组 思维拔高 题型01 动点的函数图像 题型02 新定义函数问题 函数的概念题型01 1．（24-25八年级下·福建厦门·质检）下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 3．下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是________________（填序号）． 4．有一个容积为L的水池，现用10台抽水机从蓄满水的池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水L． （1）抽水1小时后，池中还有水______L； （2）在这一变化过程中哪些是变量，哪些是常量？ 求自变量的取值范围题型02 1．（25-26八年级·安徽·期末）函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 2．函数的自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）函数中的自变量的取值范围_____． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）水箱中原有水，漏水速度为，水箱中剩余的水量（单位：）随时间（单位：）的变化而变化．写出表示与的函数解析式是（1）_______________，其中自变量的取值范围是（2）_______________． 5．（25-26八年级·广东广州·期中）已知等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为． (1)求y关于x的解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当自变量时，求出函数值． 求自变量或函数值题型03 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）当时，函数的值是（   ） A． B． C．0 D．1 2．若函数的函数值为5，则自变量x的值为__________． 3．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）有一个水箱的容积为，水箱内原有水，现往水箱中匀速注水，已知每分钟注水． (1)写出水箱内水量与注水时间之间的关系式； (2)求注水时水箱内的水量． 4．某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______；由图像知，______，______． (2)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？ (3)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (4)若小明共付车费21.5元，那么出租车共行驶了多少千米？ 5．（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在以A为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，，且．E是边上的一点，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点C．设点P运动的时间为t秒． (1)填空：________，________； (2)求出点P在运动过程中三角形的面积S（用含t的式子表示）； (3)是否存在一点P，使三角形的面积等于20？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 根据题意求变量的值题型04 1．汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为_____，该汽车最多可行驶_____小时． 2．（24-25七年级下·江西吉安·期末）按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌摆6把椅子，2张餐桌摆10把椅子，3张餐桌摆14把椅子，其中餐桌的数量用x（张）表示，椅子的数量用y（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化． (1)题中自变量是____，因变量是____． (2)请写出y和x之间的关系式；（不要求写自变量的取值范围） (3)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐80人（一把椅子只坐一个人）？请说明理由． 3．（24-25八年级上·福建宁德·期中）天然气是热效能高的清洁能源，倍受用户青睐．小研家共5口人，每人每月用天然气8立方米．天然气以年用量为周期按阶梯计费． 年用气收费标准如下表 天然气年用量（立方米） 单价（元/立方米） 第一阶梯 不超过的部分 第二阶梯 超过但不超过的部分 第三阶梯 超过的部分 问题1．写出天然气年用量在第一阶梯、第二阶梯内天然气用费y（元）与用量x（立方米）之间的关系式： ①天然气年用量在第一阶梯时，______； ②天然气年用量在第二阶梯时，______； 问题2．小研一家一年的天然气用费是多少？写出计算过程． 4．（24-25八年级上·山东青岛·月考）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以速度向D移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1)若P，Q两点运动时间为，四边形的面积为Scm2，求出S与t之间的函数关系式． (2)t为多少时，四边形的面积是35cm2？ (3)t为多少时，点P和点Q的距离是10cm？ 程序流程图求值题型05 1．如图，若输入的值为，则输出的值为（    ）    A． B． C．7 D．5 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图是小刚设计的一个计算程序，输入一个自变量，便可输出一个相应的因变量，则与之间的关系式为______． 3．（24-25七年级下·山东威海·期末）我们可以根据如图的程序计算因变量的值．若输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等，则的值为______． 4．按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是5，则输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是__________． 5．观察如图所示的程序，回答下列的问题． (1)写出与之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)根据以上的程序，填写表格． 用表格表示函数题型06 1．（25-26八年级·河南南阳·期末）下表表示的是2026年6月安阳市最高气温与日期的函数关系． 日期 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 最高气温（℃） 31 31 31 31 31 32 32 32 31 31 33 33 由表可知，当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）某蓄水池装满水后匀速放水，池内剩余水量和放水时间的关系如下表所示： 放水时间 0 1 2 3 4 … 池内剩余水量 50 48 46 44 42 … 下列说法中错误的是（     ） A．上表中池内剩余水量是因变量 B．该蓄水池的容积为 C．在一定范围内，放水时间每增加，池内剩余水量减少 D．根据表格中的规律可知：放水时间为时，池内剩余水量为 3．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量 1 2 3 4 烤制时间 若鸭的质量为时，烤制时间为_____________． 4．心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 对概念的接受能力 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ （4）从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 5．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …… 请回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是______； (3)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过）． 列函数关系式题型07 1．一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南许昌·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 3．小丽给新办的饭卡充值元，学校餐厅每顿午饭均为元，则饭卡余额（元）与购买午饭的次数（次）之间的关系是________． 4．“十一”期间，小华约同学一起开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． （1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式； （2）当x=60（千米）时，求剩余油量Q的值； （3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 5．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为x（米），长方形的面积为y（平方米）． (1)求长方形的面积y与长方形的宽x之间的关系式； (2)当长方形的宽为20米时，则此时长方形的面积为多少平方米？ 从函数的图像获取信息题型08 1．如图是北京市某一天内的气温变化图，根据图，下列说法中错误的是（ ） A．这一天中最高气温是24℃ B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃ C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低 2．如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a、运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系） b、静止的小车从光滑的斜面滑下（小车的速度与时间的关系） c、一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系） d、小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速度原路返回（小明离A地的距离与时间的关系） 正确的顺序是（　　） A． B． C． D． 3．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满. 4．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是多少米； （2）在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少米/分； （3）小明在书店停留了多少分钟； （4）本次上学途中，小明一共行驶了多少米；一共用了多少分钟． 5．一艘货船在甲、乙两港之间承接往返运输任务．某日货船从甲港顺流出发，途经丙港并不做停留，抵达乙港停留一段时间后逆流返航（始终保持同一航线）．货船在行驶过程中保持自身船速（即船在静水中的速度）不变，已知水流速度为8千米/时，如图记录了当日这艘货船出发后与乙港的距离（千米）随时间（小时）的变化的图象．图象上的点表示货船当日顺流航行到达丙港．（顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度） (1)根据图象回答下列问题：甲乙两港之间的距离为______千米；货船在乙港停留的时间为______小时； (2)______，______； (3)当为何值时这艘货船在往返途中距甲港80千米？ 选择函数的表示方法题型09 1．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 2．下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是（    ） A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化 B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值 C．用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值 D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示 函数·综合应用题型 1．柿子熟了，从树上落下来，下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？（     ） A．(1) B．(3) C．(4) D．(2) 2．生态学家高斯曾进行实验，在培养液中放入若干只大草履虫，然后每24h统计一次大草履虫的数量，发现大草履虫经过一定时间的增长后，数量趋于稳定．大草履虫数量与时间之间的关系可用图像大致表示为（   ） A． B． C． D． 3．函数y=的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B． C．                                        D． 4．某游泳池的横断面如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把游泳池蓄满水，下面的图象能大致表示水的深度（米）和注水时间（分）之间关系的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海·月考）已知，那么________． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是______． 7．已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 动点的函数图像题型01 1．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图像大致是(　　) A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，动点沿折线从点开始运动到点．设点运动的路程为的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图像，其中点Q为曲线部分的最低点． （1）的边AC的长度为_________． （2）的边AB的长度为__________． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： (1) ， ， ； (2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式； (3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 新定义函数问题题型02 1．关于x的新函数定义如下： （1）当时，： （2）当（p是正整数，q是整数，，且p，q不含除1以外的公因数）时，； （3）当x为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若a、b是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有： ③若，则对应的自变量x有且只有4种不同的取值； ④若，则满足的自变量x的取值共有12个． 正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．已知函数，则它的“Y函数”解析式为_______． 3．为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力．污水排放未达标的企业要限期整改，甲、乙两个企业的污水排放量与时间的关系如图所示．我们用，表示时刻某企业的污水排放量，用的大小评价在至这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论： ①在这段时间内，乙企业的污水治理能力比甲企业强； ②在时刻，甲企业的污水排放量比乙企业高； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④在这三段时间中，甲企业在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是_____． 4．（2026·山东潍坊·二模）定义：取整函数，其中表示不超过的最大整数．例如，当时，；当时，．已知点，，，，都在函数图象上（从第二个点开始，后面每个点的横坐标都由前一个点横坐标加0.2所得），则的值等于_____． 5．（26-27九年级上·安徽淮南·联考）项目式学习 【项目主题】 函数表达式及函数值问题探究． 【知识学习】 以x为自变量的函数可以用符号表示，例如：函数可表示为，函数可表示为，等等．而则表示当自变量时函数对应的函数值．例如：对于函数，；对于函数，，等等． 【知识运用】 (1)对于函数． （ⅰ）________； （ⅱ）计算：的值； 【项目拓展】 (2)已知函数，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，，求的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.1 函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 函数的概念 题型02 求自变量的取值范围 题型03 求自变量或函数值 题型04 根据题意求变量的值 题型05 程序流程图求值 题型06 用表格表示函数 题型07 列函数关系式 题型08 从函数的图像获取信息 题型09 选择函数的表示方法 B组 能力进阶 题型 函数·综合应用 C组 思维拔高 题型01 动点的函数图像 题型02 新定义函数问题 函数的概念题型01 1．（24-25八年级下·福建厦门·质检）下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义逐项判断即可求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、给定一个的值，有唯一一个值和它对应，是的函数，该选项符合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 【答案】D 【分析】本题考查了常量和变量，理解定义是解题的关键； 根据常量和变量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量．本题中，通话费率和初始话费为常量，通话时间和余额为变量即可解答． 【详解】解：手机通话费为元/分钟，小明存入的50元话费，这两个数值在问题中固定不变，所以，，50是常量． 通话时间和话费余额会随着通话的进行而变化．具体来说，是自变量，是因变量，满足关系式． 所以，和均为变量． 故选：D． 3．下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是________________（填序号）． 【答案】②④⑦ 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐一分析每个解析式． 【详解】解：①：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ②：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ③，即：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ④，即：当取正数时，有两个值与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ⑤：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ⑥：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ⑦：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ⑧，即：对于每一个不为的值，都有唯一的值对应，是的函数． ∴，不是的函数的是②④⑦． 故答案为：②④⑦． 【点睛】本题考查了函数的定义，解题关键是紧扣“对于的每一个确定值，有唯一确定的值对应”这一核心条件，判断每个解析式是否满足该要求． 4．有一个容积为L的水池，现用10台抽水机从蓄满水的池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水L． （1）抽水1小时后，池中还有水______L； （2）在这一变化过程中哪些是变量，哪些是常量？ 【答案】（1）250；（2）在这一变化过程中，水池的容积，抽水机的台数，每台抽水机每小时抽水的体积是常量；抽水时间，水池中的水的体积是变量 【分析】（1）用容积总量减去10台抽水机1小时抽水的量即可； （2）根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量； 【详解】解：（1）抽水1小时后，池中还有水：350-10×10=250L； 故答案为：250； （2）在这一变化过程中，水池的容积，抽水机的台数，每台抽水机每小时抽水的体积是常量；抽水时间，水池中的水的体积是变量； 【点睛】此题考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 求自变量的取值范围题型02 1．（25-26八年级·安徽·期末）函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 【答案】A 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围． 无论x取何值，函数解析式均有意义，即取全体实数． 【详解】解：∵无论x取何值，函数解析式均有意义， ∴取全体实数． 故选：A． 2．函数的自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题根据二次根式和分式的意义求自变量取值范围，需要满足被开方数非负，分母不为0，列出不等式组求解即可． 【详解】解：要使函数有意义， ∵二次根式的被开方数必须非负，分式的分母不能为0， ∴， ∴自变量的取值范围是且． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）函数中的自变量的取值范围_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，列出不等式求解即可． 【详解】函数中，被开方数必须满足非负条件， 即，解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）水箱中原有水，漏水速度为，水箱中剩余的水量（单位：）随时间（单位：）的变化而变化．写出表示与的函数解析式是（1）_______________，其中自变量的取值范围是（2）_______________． 【答案】 【分析】根据剩余水量等于原有水量减去漏出的水量，列出与的函数解析式，再根据时间非负，剩余水量非负，确定自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意得，， ，解得， 即自变量的取值范围是． 5．（25-26八年级·广东广州·期中）已知等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为． (1)求y关于x的解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当自变量时，求出函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】利用周长公式建立解析式，并用三角形三边关系确定自变量取值范围． 【详解】（1）解：等腰三角形周长为 ，腰长为 ，底边长为 ， ， ， 三角形两边之和大于第三边， ，即 ， ， 又 ，即 ， ， 自变量 的取值范围为 ； （2）解：当 时，． 求自变量或函数值题型03 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）当时，函数的值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了求函数的值．将已知的代入函数中，直接计算对应的y值即可． 【详解】解：当时，函数的值为：， 故选：D． 2．若函数的函数值为5，则自变量x的值为__________． 【答案】 【分析】将代入求解即可． 【详解】把代入得， 解得． 【点睛】本题考查了求自变量的值，熟练掌握运算方法是解题的关键． 3．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）有一个水箱的容积为，水箱内原有水，现往水箱中匀速注水，已知每分钟注水． (1)写出水箱内水量与注水时间之间的关系式； (2)求注水时水箱内的水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“水箱内水量新注入的水量+原有水量”写出Q与t的函数关系式，并标明t的取值范围即可； （2）将代入（1）中得到的函数关系式，求出对应的Q的值即可； 【详解】（1）解：（1）根据题意，得， 当时，得，解得， ∴， ∴Q与t的函数关系式为． （2）解：当时，， ∴注水时水箱内的水量是． 4．某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______；由图像知，______，______． (2)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？ (3)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (4)若小明共付车费21.5元，那么出租车共行驶了多少千米？ 【答案】(1)行驶路程，乘车费，8，3； (2)35元； (3)； (4)出租车共行驶了12千米． 【分析】（1）根据自变量及因变量的定义结合函数图象可直接得出答案； （2）根据函数图象先求出c的值，再进行计算即可； （3）根据起步价为8元，超过3千米时，超过部分每千米收费1.5元列关系式即可； （4）把代入求出x即可． 【详解】（1）解：∵乘车费随行驶路程的变化而变化， ∴自变量是行驶路程，因变量是乘车费， 由函数图象可得：，， 故答案为：行驶路程，乘车费，8，3； （2）解：由函数图象得：， ∴行驶21千米应付乘车费为：（元）； （3）解：由（1）（2）知：起步价为8元，超过3千米时，超过部分每千米收费1.5元， ∴； （4）解：把代入得：， 解得：， 答：出租车共行驶了12千米． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数图象的识别，列函数关系式以及求自变量的值等知识，正确识别函数图象是解题的关键． 5．（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在以A为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，，且．E是边上的一点，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点C．设点P运动的时间为t秒． (1)填空：________，________； (2)求出点P在运动过程中三角形的面积S（用含t的式子表示）； (3)是否存在一点P，使三角形的面积等于20？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8，6； (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了坐标与图形、一元一次方程、函数解析式等知识点，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）假设存在点使的面积等于20，在两种情况下求出相应的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， 故答案为：8，6； （2）由（1）知，，， 四边形是长方形， ，， ①如图1，当时， ； ②如图2，当时， ， 即 （3）存在， ①如图1，当时， ，解得； ∴ ②如图2，当时， ， 解得； 综上可知，点P的坐标为或 根据题意求变量的值题型04 1．汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为_____，该汽车最多可行驶_____小时． 【答案】 y＝40﹣5x 8 【分析】根据：油箱内余油量＝原有的油量﹣x小时消耗的油量，可列出函数关系式，进而得出行驶的最大路程． 【详解】依题意得，油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为：y＝40﹣5x， 当y＝0时，40﹣5x＝0， 解得：x＝8， 即汽车最多可行驶8小时． 故答案为：y＝40﹣5x，8． 【点睛】本题考查了列函数关系式以及代数式求值．关键是明确油箱内余油量，原有的油量，x小时消耗的油量，三者之间的数量关系，根据数量关系可列出函数关系式． 2．（24-25七年级下·江西吉安·期末）按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌摆6把椅子，2张餐桌摆10把椅子，3张餐桌摆14把椅子，其中餐桌的数量用x（张）表示，椅子的数量用y（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化． (1)题中自变量是____，因变量是____． (2)请写出y和x之间的关系式；（不要求写自变量的取值范围） (3)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐80人（一把椅子只坐一个人）？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 不能刚好坐80人，理由如下： 将代入得，， 解得， ∵餐桌的数量是整数， ∴不能刚好坐80人． 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的值，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化进行判断即可； （2）根据题干给出的数据，求出函数解析式即可； （3）令，求出自变量的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意知，题中反映了餐桌的数量和椅子的数量之间的关系，其中餐桌的数量是自变量，椅子的数量是因变量， 故答案为：，； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴椅子的数量和餐桌的数量之间的关系式为； （3）略 3．（24-25八年级上·福建宁德·期中）天然气是热效能高的清洁能源，倍受用户青睐．小研家共5口人，每人每月用天然气8立方米．天然气以年用量为周期按阶梯计费． 年用气收费标准如下表 天然气年用量（立方米） 单价（元/立方米） 第一阶梯 不超过的部分 第二阶梯 超过但不超过的部分 第三阶梯 超过的部分 问题1．写出天然气年用量在第一阶梯、第二阶梯内天然气用费y（元）与用量x（立方米）之间的关系式： ①天然气年用量在第一阶梯时，______； ②天然气年用量在第二阶梯时，______； 问题2．小研一家一年的天然气用费是多少？写出计算过程． 【答案】问题1：①，②； 问题2： 解：小研一家一年的天然气气量（立方米）， 所以小研一家一年的天然气用费是： （元）； 答：小研一家一年的天然气用费是 元． 【分析】本题考查了列函数式； 问题1：①根据天然气用费y（元）=第一阶梯单价用量x（立方米），即可求出天然气年用量在第一阶梯时应交费用； ②根据天然气用费y（元）=第二阶梯单价用量x（立方米）不超过的部分的差价，即可求出天然气年用量在第二阶梯时应交费用； 问题2：根据数量关系，先求出小研一家一年的天然气气量，再按实际情况列式计算. 【详解】问题1．解：①由题意得； ②由题意得 ； 即：； 问题2：略 4．（24-25八年级上·山东青岛·月考）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以速度向D移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1)若P，Q两点运动时间为，四边形的面积为Scm2，求出S与t之间的函数关系式． (2)t为多少时，四边形的面积是35cm2？ (3)t为多少时，点P和点Q的距离是10cm？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意先表示出可表示，再根据面积公式得出答案； （2）代入数值计算即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知则， ∴； （2）解：根据题意，得， 解得； （3）解：过点P作，交于点E， 根据题意可知，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得或． 【点睛】本题主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理，一元一次方程，注意多种情况讨论，不能丢解． 程序流程图求值题型05 1．如图，若输入的值为，则输出的值为（    ）    A． B． C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了求函数的函数值，根据流程图可知只需要把代入函数中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图是小刚设计的一个计算程序，输入一个自变量，便可输出一个相应的因变量，则与之间的关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据计算程序将用含的代数式表示出来是解题的关键．根据计算程序将用含的代数式表示出来即可． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东威海·期末）我们可以根据如图的程序计算因变量的值．若输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查求因变量的值，解题的关键的读懂流程图，正确的进行计算．根据程序流程图，分别求出自变量的值是2和时的因变量值，根据因变量值相等进行计算即可． 【详解】解：由图可知：当时，，当时，， ∵输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等， ∴， ∴； 故答案为：5． 4．按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是5，则输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求自变量的值和函数值，与流程图有关的计算，根据流程图可得，则；再分和，两种情况根据的值是讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，，解得； 若，当输出的值是时，则，解得（舍去）； 若，当输出的值是时，则，解得； 综上所述，， 故答案为：． 5．观察如图所示的程序，回答下列的问题． (1)写出与之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)根据以上的程序，填写表格． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据程序计算，列出函数关系式，根据二次根式的性质，即可得出自变量的取值范围； （2）分别将代入（1）中的表达式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， （2）解：当时，； 当时，， 当时，， 当时，， 填表如下 【点睛】本题考查了函数解析式，求函数值，二次根式的性质，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 用表格表示函数题型06 1．（25-26八年级·河南南阳·期末）下表表示的是2026年6月安阳市最高气温与日期的函数关系． 日期 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 最高气温（℃） 31 31 31 31 31 32 32 32 31 31 33 33 由表可知，当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从表格上面一行找到所给的值，下面一行对应的数值即为答案． 【详解】解：由表格中日期与最高气温的对应关系可知，当时，． 2．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）某蓄水池装满水后匀速放水，池内剩余水量和放水时间的关系如下表所示： 放水时间 0 1 2 3 4 … 池内剩余水量 50 48 46 44 42 … 下列说法中错误的是（     ） A．上表中池内剩余水量是因变量 B．该蓄水池的容积为 C．在一定范围内，放水时间每增加，池内剩余水量减少 D．根据表格中的规律可知：放水时间为时，池内剩余水量为 【答案】D 【分析】A、先明确自变量和因变量的定义，判断剩余水量和放水时间的对应关系． B、因为放水时间时，对应的剩余水量是初始装满水的水量，所以可直接得到蓄水池的容积． C、计算相邻时间点的剩余水量差值，判断单位时间的放水量规律． D、根据得到的水量变化规律，推导放水时间为时的剩余水量，再逐一对应选项判断正误． 【详解】A、∵池内剩余水量随放水时间的变化而变化， ∴池内剩余水量是因变量，A正确； B、∵放水时间为时水池装满水，此时剩余水量为， ∴蓄水池容积为，B正确； C、对比表格中相邻两组数据，放水时间每增加，剩余水量减少，C正确； D、∵放水时间每增加，剩余水量减少， ∴当时，剩余水量， ∴ D错误． 3．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量 1 2 3 4 烤制时间 若鸭的质量为时，烤制时间为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了函数的表示方法，设鸭的质量为时，烤制时间为t分钟，由表格数据可得t与x的关系式，将代入计算，即可得出答案； 【详解】解：设鸭的质量为时，烤制时间为t分钟， 由表格得，鸭的质量x每增加千克，烤制时间t增加分钟， ∴， 即：， 当时， ， 故答案为：． 4．心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 对概念的接受能力 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ （4）从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 【答案】（1）提出概念所用的时间和对概念的接受能力两个变量之间的关系，提出概念所用时间是自变量，对概念的接受能力是因变量；（2）；（3）提出概念所用时间为分钟时，学生的接受能力最强；（4）当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低 【分析】（1）根据自变量与因变量的定义即可求解； （2）根据表格中数据即可求解； （3）根据表格中时，的值最大是，即可求解； （4）根据表格中的数据即可求解． 【详解】解：提出概念所用的时间和对概念的接受能力两个变量； 提出概念所用时间是自变量，对概念的接受能力是因变量. 当时，， 所以当提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力是． 当时，的值最大是，所以提出概念所用时间为分钟时，学生的接受能力最强． 由表中数据可知：当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低． 【点睛】准确理解函数的概念：在运动变化过程中有两个变量和，对于的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，是自变量． 5．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …… 请回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是______； (3)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过）． 【答案】(1)刹车时车速；刹车距离 (2)15 (3)，超速行驶 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据刹车时车速每增加，刹车距离增加，从而得出可得车速为，进而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）解：由表格可知，刹车时车速每增加 ，刹车距离增加 当刹车时车速为时，刹车距离是； 故答案为：； （3）由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加， 与之间的关系式为：， 当时，， ， ， 事故发生时，汽车是超速行驶． 答：推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶． 列函数关系式题型07 1．一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用行程问题中路程，速度，时间的基本关系，代入已知速度即可得到正确关系式． 【详解】根据题意可得． 2．（25-26八年级下·河南许昌·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式． 【详解】解：观察表格数据可知， 当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加， ∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为． 3．小丽给新办的饭卡充值元，学校餐厅每顿午饭均为元，则饭卡余额（元）与购买午饭的次数（次）之间的关系是________． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，理解题意列出关系式是解题的关键．用减去次的消费，即可确定函数关系式． 【详解】解：依题意，饭卡余额（元）与购买午饭的次数（次）之间的关系为，故答案为：． 4．“十一”期间，小华约同学一起开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． （1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式； （2）当x=60（千米）时，求剩余油量Q的值； （3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】（1）Q=35﹣0.125x；（2）剩余油量Q的值为27.5升；（3）他们能在汽车报警前回到家． 【分析】（1）单位耗油量=耗油量÷行驶里程，剩余油量=油箱内油的升数-行驶路程的耗油量； （2）把x=60千米代入剩余油量公式，计算即可； （3）计算出35-3=32升油能行驶的距离，与200千米比较大小即可得． 【详解】解：（1）该汽车平均每千米的耗油量为（35﹣25）÷80=0.125（升/千米）， ∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q=35﹣0.125x； （2）当x=60时，Q=35﹣0.125×60=27.5（升）， 答：当x=60（千米）时，剩余油量Q的值为27.5升； （3）他们能在汽车报警前回到家， （35﹣3）÷0.125=256（千米）， 由256＞200知他们能在汽车报警前回到家． 【点睛】本题考查了函数的关系式，根据数量关系列出函数关系式是解题的关键． 5．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为x（米），长方形的面积为y（平方米）． (1)求长方形的面积y与长方形的宽x之间的关系式； (2)当长方形的宽为20米时，则此时长方形的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了列函数关系式，求解函数的函数值，理解题意列出正确的函数解析式是解题的关键． （1）由长方形的面积公式可得函数解析式； （2）把代入函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，平方米． 从函数的图像获取信息题型08 1．如图是北京市某一天内的气温变化图，根据图，下列说法中错误的是（ ） A．这一天中最高气温是24℃ B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃ C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低 【答案】D 【详解】解：0时至2时之间和14时至24时之间的气温在逐渐降低，剩下时段气温逐渐上升，这一天中最高气温是24℃ ，这一天中最高气温与最低气温的差为16℃， 所以其中A、B、C的说法都是正确的，D错误， 故选D． 2．如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a、运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系） b、静止的小车从光滑的斜面滑下（小车的速度与时间的关系） c、一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系） d、小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速度原路返回（小明离A地的距离与时间的关系） 正确的顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①的图象是先升高再降低的曲线；②的图象是一条直线；③的图象分几段；④的图象是过原点的直线．据此进行解答即可． 【详解】解：a：运动员推出去的铅球的运动轨迹先升高后降低，即①所显示的图形； b：静止的小车从光滑的斜面滑下，小车的速度会在0的基础上，随着时间的变化越来越快，即④所显示的图象； c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，故选②； d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的增长而减小，一直到回到原地，即③的图象． 故正确的顺序是． 3．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满. 【答案】4 【分析】根据函数图像可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm,所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案. 【详解】解：由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm； 没有立方体时,水面上升从10cm到20cm,所用的时间为:28-12=16秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出, 又经过4秒恰好将此水槽注满. 故答案：4 【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，根据函数图象读懂信息是解题的关键. 4．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是多少米； （2）在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少米/分； （3）小明在书店停留了多少分钟； （4）本次上学途中，小明一共行驶了多少米；一共用了多少分钟． 【答案】（1）1500米； （2）小明在12﹣14分钟最快，速度为450米/分；（3）4分钟．（4）共2700米，共用了14分钟． 【分析】（1）根据图象，观察学校与小明家的纵坐标，可得答案； （2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，进而可得其速度； （3）读图，对应题意找到其在书店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间； （4）读图，计算可得答案，注意要计算路程． 【详解】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0， 故小明家到学校的路程是1500米； （2）根据图象，12≤x≤14时，直线最陡， 故小明在12-14分钟最快，速度为米/分． （3）根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分， 故小明在书店停留了4分钟． （4）读图可得：小明共行驶了1200+600+900=2700米，共用了14分钟． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 5．一艘货船在甲、乙两港之间承接往返运输任务．某日货船从甲港顺流出发，途经丙港并不做停留，抵达乙港停留一段时间后逆流返航（始终保持同一航线）．货船在行驶过程中保持自身船速（即船在静水中的速度）不变，已知水流速度为8千米/时，如图记录了当日这艘货船出发后与乙港的距离（千米）随时间（小时）的变化的图象．图象上的点表示货船当日顺流航行到达丙港．（顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度） (1)根据图象回答下列问题：甲乙两港之间的距离为______千米；货船在乙港停留的时间为______小时； (2)______，______； (3)当为何值时这艘货船在往返途中距甲港80千米？ 【答案】(1)96，1 (2)8，10 (3)或5 【分析】对于（1），根据图象填空即可； 对于（2），先求出货船在静水中的速度，根据路程÷速度=时间即可求出m和n的值； 对于（3），这艘货船在往返途中距甲港80千米，分两种情况：①货船从甲港到乙港的途中，②货船从乙港返回甲港的途中，分别列方程，求出解即可． 【详解】（1）根据图象可知甲乙两港之间的距离是96千米，货船在乙港停留的时间为4-3=1（小时）． 故答案为：96，1； （2）根据题意，可知货船在顺水中的航行速度为96÷3=32（千米/小时）， ∴水流的速度是8千米/时， ∴货船在静水中的速度是32-8=24（千米/小时）， ∴货船的逆水速度为24-8=16（千米/时）， ∴m=4+64÷16=8，n=4+96÷16=10． 故答案为：8，10； （3）这艘货船在往返途中距甲港80千米，分两种情况： 货船从甲港到乙港的途中，根据题意，得32t=80， 解得； 货船从乙港回甲港的途中，根据题意，得16（t-4）=96-80， 解得t=5． 综上所述，当或5时，这艘货船距甲港80千米． 【点睛】本题主要考查了函数图象的应用，理解图象上各点的含义并根据题意求出货船在静水中的速度是解题的关键． 选择函数的表示方法题型09 1．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．从而可得答案． 【详解】解：某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况， 故选B 2．下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是（    ） A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化 B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值 C．用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值 D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示 【答案】D 【分析】根据函数的表示方法的优缺点分析解答即可． 【详解】A.用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化，此选项正确； B.用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值，此选项正确； C.用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值，此选项正确； D.并不是任何函数关系都可以用上述三种方法来表示，此选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查函数的表示方法，明确三种表示方法的特点是解题的关键． 函数·综合应用题型 1．柿子熟了，从树上落下来，下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？（     ） A．(1) B．(3) C．(4) D．(2) 【答案】B 【分析】根据自由落体运动的公式直接判断函数关系式，再判断函数图象． 【详解】解：柿子熟了，从树上落下来，基本是自由落体运动， 即，g为定值，故v随t的增大而均匀增大． 符合条件的只有（3）． 故选：B． 【点睛】本题把物理中的自由落体运动与函数结合起来，体现了各学科之间的联系，锻炼了学生对所学知识的综合运用能力． 2．生态学家高斯曾进行实验，在培养液中放入若干只大草履虫，然后每24h统计一次大草履虫的数量，发现大草履虫经过一定时间的增长后，数量趋于稳定．大草履虫数量与时间之间的关系可用图像大致表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图像的识别，掌握函数图像的画法是解题的关键； 根据题意可知数量先随着时间的增加而增加，之后数量趋于稳定，可以判断选项. 【详解】解：根据题意大草履虫经过一定时间的增长后，数量趋于稳定，由此可以判断只有B选项符合题意； 故选：B． 3．函数y=的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B． C．                                        D． 【答案】B 【详解】∵函数y=有意义， ∴分母必须满足， 解得：， ∴x＞1； 故选B． 【点睛】在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 4．某游泳池的横断面如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把游泳池蓄满水，下面的图象能大致表示水的深度（米）和注水时间（分）之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力，要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型，结合实际意义画出正确的图象．首先看图可知，随着的增大而增大，再根据游泳池的横断面上宽下窄可知，深水区随着的增大速度大于浅水区，从而得解． 【详解】解：观察图形可知：水的深度（米）与注水时间（分）之间的关系分为两段，每一段随着的增大而增大，故排除A、D选项， 根据游泳池的横断面上宽下窄可知：深水区随着的增大速度大于浅水区，故排除B选项，只有C选项符合题意． 故选：C ． 5．（24-25八年级上·上海·月考）已知，那么________． 【答案】## 【分析】此题考查了求函数值，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 将代入，求解即可． 【详解】解：将代入可得： ． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是______． 【答案】甲 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息以及密度等于质量除以体积，据此逐个计算，即可作答． 【详解】解：由图象得， ∵， ∴四种物质中密度最大的是甲， 故答案为：甲． 7．已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将x=代入表达式计算求解；（2）令函数值等于，即，求a即可. 【详解】（1） ∴ （2）若，则， 解得： 【点睛】本题考查函数代入求值问题，理解函数解析式的意义是解答此题的关键. 动点的函数图像题型01 1．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】开始以正常速度匀速行驶，路程S随时间t的增加而均匀增加；接着停下修车，S保持不变；后来加快速度匀速行驶，S增加得更快，由此即可作出选择． 【详解】解：因为开始以正常速度匀速行驶，所以s随着t的增加而增加，随后由于故障修车，此时s不发生改变，再之后加快速度匀速行驶，s随着t的增加而增加，综上可得s先缓慢增加，再不变，再加速增加． 故选：C．　　　　 2．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图像大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，图象是与x轴平行的线段；走另一条半径OB时，S随t的增大而减小；故选B． 3．如图，在矩形中，，动点沿折线从点开始运动到点．设点运动的路程为的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意可知，当时，，当时，的面积逐渐减小，据此对图象进行判断，即可得到答案． 【详解】解：当点P在线段上运动时，的面积不变， 当时，， 当点P在线段上运动时，的面积逐渐减小，此时， 综上可知，当时，不变，当时，的面积逐渐减小， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，理解题意，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 4．如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图像，其中点Q为曲线部分的最低点． （1）的边AC的长度为_________． （2）的边AB的长度为__________． 【答案】 13 10 【分析】根据图2的曲线可得，当点P从的点A处运动到点B处时有AC=BC=13，当点P运动到AB的中点时，此时CP最短且根据等腰三角形三线合一可知，此时为图2中的曲线部分最低点，可得CP=12，根据勾股定理可得AP=BP=5，最后得到AB=10． 【详解】（1）根据图2中的曲线可知：当点P在中的顶点A和顶点B处时， 在图1中能得到AC=BC=13． 故答案为：13． （2）由（1）知AC=BC 当点P运动到AB的中点时，此时， 此时CP的长为图2曲线的最低点，即CP=12， 根据勾股定理得，此时， AB=2AP=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了动点的函数图象问题，等腰三角形和勾股定理，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件，分析出两个图形之间的联系，体现了数学的图形观察能力和数形结合思想． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： (1) ， ， ； (2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式； (3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 【答案】(1)1；； (2)； (3)的值为或时，面积为． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键． （1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可； （2）先表示出，然后再根据求出结果即可； （3）分点P在CD上和点P在AB上两种情况，利用三角形的面积公式构造一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为： ， ∵， ∴， ∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形， ∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为： ， ∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ， ∴ ； （3）解：根据图可知：当在上时，的面积为，当在上时，的面积为， ∵面积为 ∴点在或上， 当点在上时，如图， 即， 解得， 当点在上时，如图， 即， 解得， 综上，的值为或时，面积为． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握根据函数图象分析点的位置并结合相关公式解题是解题的关键． 新定义函数问题题型02 1．关于x的新函数定义如下： （1）当时，： （2）当（p是正整数，q是整数，，且p，q不含除1以外的公因数）时，； （3）当x为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若a、b是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有： ③若，则对应的自变量x有且只有4种不同的取值； ④若，则满足的自变量x的取值共有12个． 正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①根据函数的定义求值即可；②举一个反例说明即可；③根据定义，由y的值求出相应的x值即可；④根据y的范围，设，求出，再由p的可能取值，确定q的所有可能取值即可． 【详解】解：①∵是无理数， ∴当时，；故①符合题意； ②∵a、b是互不相等且不为0的有理数， 设，则， 设，则， ∴，则，故②不符合题意； ③当时，或或……，故③不符合题意； ④∵， ∴x一定是有理数，且， 设，则， ∴， ∵， ∴p的可能取值为1，2，3，4，5， 当时，q可以取2022，2023，共2个， 当时，q可以取4045，共1个， 当时，q可以取6067，6068，共2个， 当时，q可以取8089，8091，共2个， 当时，q可以取10111，10112，10113，10114，共4个， ∴的自变量x的取值共有11个，故④不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，函数的特点，理解新函数的特征是解本题的关键． 2．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．已知函数，则它的“Y函数”解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变换—轴对称，函数的解析式，设原图像上的一点为，两个函数的图象关于y轴对称，得到互为“Y函数”的函数上一点坐标为，代入函数解析式即可求解． 【详解】解：设函数的图像上的一点为， 则关于y轴对称的点为， 将点代入， 得， 故答案为：． 3．为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力．污水排放未达标的企业要限期整改，甲、乙两个企业的污水排放量与时间的关系如图所示．我们用，表示时刻某企业的污水排放量，用的大小评价在至这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论： ①在这段时间内，乙企业的污水治理能力比甲企业强； ②在时刻，甲企业的污水排放量比乙企业高； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④在这三段时间中，甲企业在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】 ② 【详解】解：①在这段时间内，甲企业图象比乙企业图象陡峭，甲企业污水治理能力比乙企业强，故①错误； ②在时刻，甲企业图象在乙企业图象上方，甲企业污水排放量比乙企业高，故②正确； ③在时刻，甲、乙两企业图象均在污水达标排放量虚线上方，均未达标，故③错误； ④在，，这三段时间中，甲企业图象在最陡峭，污水治理能力最强，故④错误． 4．（2026·山东潍坊·二模）定义：取整函数，其中表示不超过的最大整数．例如，当时，；当时，．已知点，，，，都在函数图象上（从第二个点开始，后面每个点的横坐标都由前一个点横坐标加0.2所得），则的值等于_____． 【答案】 【分析】根据取整函数定义，函数值的规律，利用互为相反数的和为0化简计算，得到最终结果． 【详解】解：由题意可知，点的横坐标满足， ∵，其中表示不超过的最大整数， ∴， ∵相邻点横坐标差为， ∴函数值每5个一组，一组内5个数相等，每到下一组，函数值加1， 对于，其纵坐标的取值是从到的整数，每个整数值出现5次， 故， 又， 所以． 5．（26-27九年级上·安徽淮南·联考）项目式学习 【项目主题】 函数表达式及函数值问题探究． 【知识学习】 以x为自变量的函数可以用符号表示，例如：函数可表示为，函数可表示为，等等．而则表示当自变量时函数对应的函数值．例如：对于函数，；对于函数，，等等． 【知识运用】 (1)对于函数． （ⅰ）________； （ⅱ）计算：的值； 【项目拓展】 (2)已知函数，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，，求的值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)（ⅰ）证明：， ， ； （ⅱ） 【分析】（1）（ⅰ）把代入即可求得结果；（ⅱ）分别把代入，把它们的函数值相加，即可得到答案； （2）（ⅰ）把代入，整理即可求得结论；（ⅱ）把函数里面的换成得到的值等于，化简，即可求得结论． 【详解】（1）解：（ⅰ）把代入得 （ⅱ） ． （2）解：（ⅰ）详解见答案． （ⅱ）， ， 化简得， 取任意值等式成立，得到，，即， ， ， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $