第2章 有理数的运算 强化训练 -2026—2027学年人教版数学七年级上册

第2章 有理数的运算 一、单选题 1．小梦在计算时，中可以填入的使该题用简便方法进行计算的数值为（     ） A． B． C． D． 2．在计算时，结果可表示为（     ） A． B． C． D． 3．若数轴上表示﹣1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 4．有理数 ， ， ， ， ， 中，其中等于 的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 5．绵阳市统计局发布2012年一季度全市完成GDP共317亿元，居全省第二位，将这一数据用科学记数法表示为（　　） A．31.7×109元 B．3.17×1010元 C．3.17×1011元 D．31.7×1010元 6．把与6作和、差、积、商、幂的运算结果中，可以为正数的有 （　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．若m为有理数，则10m2，20＋m，|m|，1＋m2，m2－1中，正数的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 9．2017减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，…依次类推，一直减到余下的 ，则最后剩下的数是（　　） A． B． C． D． 10．数轴上依次排列的四个点，它们表示的数分别为a，b，c，d，若|a-c|=6，|a-d|=10，|b-d|=5，则|b-c|的值为（　　）． A．6 B．5 C．4 D．1 二、填空题 11．中国的领水面积约为370 000 km2，将数370 000用科学记数法表示为：　 　． 12．数轴上点表示，点表示5，则线段的长度是　 　． 13．2024年10月16日是第44个世界粮食日．粮食安全是“国之大者”，让我们共同携手“强法治，保供给，护粮安”——国家粮食和物质储备局宣．联合国粮农组织的数据显示，每年全世界约有亿吨粮食被浪费．把数据用四舍五入法精确到表示的近似数是　 　． 14．截至北京时间4月14日6时30分，全球累计确诊新冠肺炎病例超过435万例．用科学记数法表示435万是　 　． 15．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定，则　 　． 16．点A表示数轴上的数－2，将点A移动6个单位后得到点B，则点B表示的数是　 　. 17．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）. 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为　 　min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按　 　的先后顺序彩排 18．已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是　 　． 19．某公园划船项目收费标准如下： 船型 两人船（限乘两人） 四人船（限乘四人） 六人船（限乘六人） 八人船（限乘八人） 每船租金（元/小时） 90 100 130 150 某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为　 　元． 20．绝对值小于2019的所有整数之和为　 　. 21．现有七个数-1，-2，-2，-4，-4，-8，-8，将它们填入图1(3个圆两两相交分成7个部分)中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为m，如图2给出了一种填法，此时m=64，在所有的填法中，m的最大值为　 　 22．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少　 　天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是　 　万元． 三、解答题 23．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 24．甲、乙两商场上半年经营状况如下（“+”表示盈利，“-”表示亏本，以百万元为单位）： 月份 一 二 三 四 五 六 甲商场 +0.8 +0.6 -0.4 -0.1 +0.1 +0.2 乙商场 +1.3 +1.5 -0.6 -0.1 +0.4 -0.1 （1）三月份乙商场比甲商场多亏损___________百万元； （2）六月份甲商场比乙商场多盈利___________百万元； （3）甲、乙两商场上半年平均每月分别盈利（亏损）多少百万元？ 25．10月1日这一天下午，警车司机小张在东西走向的江北大道上值勤．如果规定向东为正，警车的所有行程如下（单位：千米）： ，，，，，，， （1）最后，警车司机小张在距离出发点的什么位置？ （2）若警车每行驶10千米的耗油量为升，那么这一天下午警车共耗油多少升？ （3）如现在油价为每升元，那么花费了多少油钱？ 26．一批水果的标准质量是30千克，超出标准质量记为正，低于标准质量记为负，现记录如下：+9，-10，-5，+6，-7，-6，+7，+10． （1）这批水果总共有多少千克？ （2）第一天按每千克价格10元卖出了这批水果的一半，第二天为了吸引顾客把第一天卖水果的价格打九折后作为新的价格，卖完了剩下的水果，请计算一下这批水果一共卖了多少钱？ 27．某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆为正数，减少的车辆为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 根据记录表回答下面问题： （1）本周三生产了多少辆摩托车？ （2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加了还是减少了？为什么？ （3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？ 28．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为_______；图中点A所表示的数是_______；点B所表示的数是_______； （2）受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： ①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生；你若是我现在这么大，我就84岁啦！”则爸爸的年龄是_______岁．（在图中标出分析过程） ②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要14年才出生；你若是我现在这么大．我就118岁啦！”则爷爷的年龄是_______岁．（画出示意图展示分析过程） 29．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定向北为正，向南为负．某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，， （1）收工时在A地的北面还是南面？距A地多少千米？ （2）若每千米耗油升，问从A地出发到收工时共耗油多少升？ 30．某超市销售草莓，对一个月（按四周计算）的实际销售情况进行了统计.售价为每千克10元.现以每周的销售量300kg为标准，超过或不足的数量分别用正数、负数来表示，记录如下： 第一周 第二周 第三周 第四周 相对于标准销售数量/kg －10 10 20 100 （1）在这个月内，草莓销量最高的是第　 　周，这一周的销量是　 　千克. （2）这个月草莓实际销售数量是多少千克？ （3）已知这种草莓的进价是每千克8元，则这家超市本月实际销售草莓的利润是多少元？ 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 【解析】【解答】解：AB=|﹣1﹣3|=4． 故答案为：D 【分析】数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值。 4．【答案】A 【解析】【解答】解： 所以结果等于1的个数是3个， 故答案为：A 【分析】利用有理数的乘方、绝对值的性质、相反数和性质和有理数的除法计算再判断即可。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：317亿=31 700 000 000=3.17×1010． 故选：B． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于317亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10． 6．【答案】C 【解析】【分析】首先计算这两个数的和、差、积、商，幂的值，即可作出判断． 【解答】-+6=5＞0，是正数； --6=-6＜0，是负数； -×6=-3＜0，是负数； -÷6=-＜0，是负数； （-)6=（)6＞0，是正数． 故是正数的只有2个． 故选C． 【点评】本题考查了有理数的运算，正确计算得到两个数的计算结果是解题的关键． 7．【答案】D 【解析】【解答】当m=0时，10m2=0，不是正数；当m≤-20时，20＋m不是正数；当m=0时，|m|=0，不是正数；当m为任意有理数时，1＋m2是正数；当m2≤1时，m2－1不是正数. 综上所述，只有1＋m2是正数. 所以答案为D选项. 【分析】若m为有理数，则m的取值可以为正数、0、负数，因此充分根据三种情况对各式进行判断即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四个互不相同的正整数，满足， ∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则 有：，，，， 解得：，则． 故选：B． 【分析】由题意确定m，n，p，q的值，然后代入计算即可. 9．【答案】B 【解析】【解答】：解：由题意得：2017×(1-)×（1-）×（1-）× … ×（1-） =2017××××…×× =1. 故答案为：B. 【分析】根据题意列式，将括号内各项分别通分，再约分化简即可得出结果. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：不妨假设 ， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：D. 【分析】 根据a、b、c、d位置，去掉 |a-c|、|a-d|、|b-d|绝对值后，再将 b-c转化为a、b、c、d的代数和，即可得出答案. 11．【答案】3.7×105 【解析】【解答】科学记数法是指：a× ，且1≤ ＜10，n为原数的整数位数减一.370000=3.7× ． 【分析】根据科学记数法的定义解答即可。 12．【答案】10 13．【答案】 14．【答案】4.35×106 【解析】【解答】解：435万=4350000=4.35×106. 故答案为：4.35×106. 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数. 15．【答案】1 16．【答案】4或−8 【解析】【解答】解：当点A向右移动6个单位时，−2＋6＝4， 当点A向左移动6个单位时，−2−6＝−8， 故答案为：4或−8. 【分析】分点A向左移动6个单位和向右移动6个单位两种情况进行解答即可. 17．【答案】60； 【解析】【解答】解：节目D的演员的候场时间为30+10+20=60min ； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按C-A-B-D的先后顺序进行彩排. 故答案为：60；C-A-B-D. 【分析】根据候场时间的定义进行计算可得第一空的答案；由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，故那么C在A的前面；B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，故B在D前面. 18．【答案】81 19．【答案】380 【解析】【解答】解：∵共有18人， 当租两人船时，∴18÷2=9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9=810元， 当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元， ∴租船费用为100×4+90=490元， 当租六人船时，∵18÷6=3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3=390元， 当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元， ∴租船费用为150×2+90=390元， 也可以租用8人船，6人船，4人船各一艘，租船费用为：150+130+100=380元， 而810＞490＞390＞380， ∴租用8人船，6人船，4人船各一艘费用最低是380元， 故答案为：380 【分析】通过观察表格可知：八人船最划算，其次是6人船，4人船，2人船，故要想使费用最低，就尽量的租用划算的船只，从而一一算出各种租船方式的总费用，再比较大小即可得出结论。 20．【答案】0 【解析】【解答】解：绝对值小于2019的所有整数为：0，±1，±2，3，…，±2018， ∴绝对值小于2019的所有整数之和为0， 故答案为：0. 【分析】先找到符合条件的所有整数，再求出答案即可. 21．【答案】256 【解析】【解答】解：观察图象，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次， 要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大，-8，-8必须放在被乘两次的位置， 与-8，-8同圆的只能为-1，-4，其中-4放在中心位置，如图， 所以m=(-8)×(-8)×(-1)×(-4)= 256. 故答案为：256. 【分析】观察图象，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次，要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大，-8，-8必须放在被乘两次的位置，与-8，-8同圆的只能为-1，-4，其中-4放在中心位置，据此即可求解. 22．【答案】86；38 23．【详解】(1)解: 8-（-2) =8+2=10 (2) 解:（-2.4)+（-3.7)+（-4.6)+5.7=[(-2.4)+（-4.6)]+[(-3.7)+5.7]= -7+2= -5 (3)解:号+(-号)×*-号×(-8)×兰一—云 (4) 解: 5×（- 6) +（-36) ÷（-2) = -30+18= -12 (5)解:(号+*-2)×（-12)=号×（-12)+*×(-12)-兰×(-12)=-8-2+6=-4 (6) 解: -1²×（-5) ÷[(-3)²+2×(-5)]= -1×（-5) ÷(9-10)=5÷（-1) = 一5 24．【答案】（1）0.2 （2）0.3 （3）甲商场上半年平均每月盈利0.2百万元，乙商场上半年平均每月盈利0.4百万元 25．【答案】（1）距离出发点以西4千米；（2）3.2升；（3）23.5元 26．【答案】（1）解：（9-10-5+6-7-6+7+10）+30×8 ＝4+240 ＝244（千克）， 答：这批水果总共有244千克． （2）解：第一天卖出水果的钱：10×（244÷2）＝1220（元）； 第二天卖出水果的钱：10×90%×（244-122）＝1098（元）， 答：这批水果一共卖了2318元． 【解析】【分析】(1)先把记录的数据相加，再加上8个标准质量，进行计算得出答案. (2)根据单价×数量得两天卖出水果的钱，再相加即可. 27．【答案】（1）解：（辆）即本周三生产了297辆 （2）解：∵， ∴本周总生产量与计划生产量相比，是减少了21辆． （3）解：产量最多的一天是星期五，产量最少的一天是星期日， ∴（辆）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产了35辆． 【解析】【分析】（1）根据表格中的数据直接列出算式求解即可； （2）将表格中的数据相加，再根据结果判断即可； （3）利用“产量最多的产量-产量最少的产量”求解即可. 28．【答案】（1）9，12，24 （2）①56，②74 29．【答案】（1）收工时在A地北面41千米 （2）升 30．【答案】（1）四；400 （2）解：这个月草莓实际销售数量为：（千克）； （3）解：根据题意，则（元）. 【解析】【解答】解：（1）∵-10＜10＜20＜100， ∴在这个月内，草莓销量最高的是第四周，这一周的销量为：300+100=400（千克）， 故答案为：四；400. 【分析】（1）观察表格中的数据求出在这个月内，草莓销量最高的是第四周，再利用有理数的加法法则计算求解即可； （2）结合题意，利用有理数的加减乘除运算法则计算求解即可； （3）根据这种草莓的进价是每千克8元，利用利润公式计算求解即可。 学科网（北京）股份有限公司 $