专题06一元二次方程判别式.根与系数关系及应用期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

专题06一元二次方程判别式.根与系数关系及应用期中讲义 1.理解一元二次方程根的判别式= b2-4ac的含义，能根据的值判断一元二次方程实数根的三种情况：两个不相等实数根、两个相等实数根、没有实数根。 2.已知方程根的情况，会利用判别式求字母参数的取值范围；注意题目是一元二次方程时，必须附带二次项系数a0这个隐含条件。 3.掌握韦达定理（根与系数的关系）：当ax2+bx+c=0(a0,0)的两根为(x1,x2)时，x1+x2=-，x1x2=；能直接由方程写出两根之和、两根之积。 4.会利用根与系数的关系，不解方程求代数式的值，比如x12+x22、+这类常见变形；理解变形推导过程，牢记前提0。 5.已知两根，能够构造对应的一元二次方程；已知方程一根，借助韦达定理求另一根以及参数。 6.能够审题，找出实际问题里的等量关系，列出一元二次方程解决应用题，掌握增长率、面积问题、销售利润、数字问题等常考模型。 7.会检验方程的解是否符合实际意义，舍去不符合现实场景的根（长度、人数、增长率不能为负数等）。 8.综合题型：结合判别式、韦达定理、代数式化简的综合题，会分步分析，先判断根是否存在，再使用根与系数关系计算。 9.梳理易错点：使用韦达定理忘记先验证0；求参数范围漏掉a0；应用题不检验根的实际合理性；韦达定理符号出错，混淆-。 题型 考察方向 难度 题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★ 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型三 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★ 题型四 传播问题 ★★★ 题型五 增长率问题 ★★★ 题型六 与图形有关的问题 ★★★ 题型七 数字问题 ★★ 题型八 营销问题 ★★★★ 题型九 动态几何问题 ★★★★★ 题型十 工程问题 ★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 图表信息题 ★★★★ 题型十三 握手、循环赛问题 ★★★ 题型十四 其他问题 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 01:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 1.判别式的定义 1.只有先整理成一元二次方程标准形式，才能计算判别式； 2.判别式由方程二次项、一次项、常数项组合而成，用来判断方程实数根的数量； 3.重要前提：二次项系数不能为 0，否则不是一元二次方程，不能使用判别式结论。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 知识点02:韦达定理基础内容 1.设一元二次方程标准形式程 ax2+bx+c=0（a0） ，方程两个实数根为 x1、x2，使用定理前提：判别式 Δ=b2−4ac≥0， 方程有实数根才能使用根与系数关系。 2.核心公式： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 3.简化形式：当二次项系数 a=1，方程为 x2+px+q=0，则 x1+x2=-p，x1x2=q。 知识点03:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 待求代数式 变形公式 知识点04:特殊根的对应条件 1.两根互为相反数：x1+x2=0，即 b=0，同时满足 Δ≥0； 2.两根互为倒数：x1x2=1，即 c=a，同时满足 Δ≥0； 4.两根一正一负：x1x2<0，此条件下Δ >0恒成立，无需额外计算判别式。 知识点05:列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 知识点06:常见应用题模型及核心公式 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 1/2 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 知识点07:一元二次方程应用题易错汇总 易错类型 典型错误 正确规范 增长率次数写错 两年增长写成a(1+x)=A 两年对应平方a(1+x)2=A 矩形小路重复减宽 长、宽同时直接减小路宽度 平移空白区域，仅各减去一次小路宽 保留不符合实际的解 算出负数长度、负增长率不舍去 长度、人数、单价必须为正数，直接舍弃负根 利润销量关系颠倒 涨价后认为销量上升 涨价销量减少，降价销量增加 握手题型遗漏 x人握手总次数写x(x-1) 两人仅计一次，整体乘 题型一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．若实数满足方程，那么的值为______． 3．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 题型二、根据一元二次方程根的情况求参数 4．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是(     ) A． B． C． D． 5．对于任意实数a、b，定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 6．满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为（　　） A． B． C． D． 题型三、一元二次方程的根与系数的关系 7．一元二次方程的两根之和为（     ） A． B． C． D． 8．若，是方程的两个根，则的值为_____． 9．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2023 B．2026 C．2029 D．4052 10．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且，则m的值是（     ） A． B．14 C．或14 D．2或 题型四、传播问题 11．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有81个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染x人，由题意可列方程______． 12．某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有人会做这道数学题．设一人每次教会了名同学，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 13．有1人不小心患了甲流，经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 题型五、增长率问题 14．2024年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2026年投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为，根据题意，列出方程为_______． 15．某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产该产品450台，设二、三月平均月增长率为x，根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 16．某特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率． (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，则每千克核桃应降价多少元？ 题型六、与图形有关的问题 17．如图所示，要在20米宽，32米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？若设小路宽为x米，则方程可以列为____________． 18．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地，若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边及中间隔断由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门口（如图），设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 19．如图，某小区有一块长、宽的矩形空地，现计划在空地上修建两条宽度相同且互相垂直的小路（一条与空地的长边平行，一条与空地的宽边平行），剩余部分种植草坪．若草坪的面积为，求小路的宽度． 题型七、数字问题 20．如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，则这个最小数为多少？设这个最小数为，则可列方程为___________． 21．如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 22．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 题型八、营销问题 23．某商品现在的销售单价为元，每星期可卖出件．市场调查反映：销售单价每涨价元，每星期可少卖出件．已知该商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期想获得元的利润，则应将销售单价定__________元． 24．潮阳区某特产店销售一种果脯，当每盒利润为40元时，每天可售出20盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出2盒．要使每天的利润达到1200元，设每盒降价x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 25．南昌作为“火炉城市”之一，夏季日最高气温超．某商店销售一款便携式手持小风扇，进价为每台元，销售大数据分析表明：当每台小风扇的售价为元时，平均每月售出台；若每台小风扇的售价下降元，则每月多售出台． (1)若每台小风扇的售价为元，则每月可卖出________台． (2)该商店决定降价清库存，当每台小风扇的售价定为多少元时每月利润为元？ 题型九、动态几何问题 26．如图，中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，经过______秒，四边形的面积等于． 27．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 28．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求： (1)几秒后，的面积等于? (2)的面积能否等于?说明理由． 题型十、工程问题 29．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 30．某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． (1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ (2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值． 31．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 题型十一、行程问题 32．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 33．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 34．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 题型十二、图表信息题 35．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 36．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 37．【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 题型十三、握手、循环赛问题 38．在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有90件，则参加晚会的同学共有________人． 39．2026年“闽超”联赛火热开展．本届赛事分常规赛和淘汰赛两个阶段．某地经过层层筛选，最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛56场，设参加比赛的球队有支，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 40．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为6，则共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． 题型十四、其他问题 41．如图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，将这个“圭垛”继续堆积下去，即第行有束，如果从上往下数前行的束数的和是，那么的值是________． 42．河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为米，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 43．综合与实践问题情境：在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，···第n行有n个点． (1)数学建模：容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前8行的点数和是________．图1中三角形点阵前n行的点数和是________． (2)问题解决：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 解答题 44．当k为何值时，关于x的一元二次方程， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 45．定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两根均为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的两根均为整数，其“最值码”．现探究以下问题： (1)若关于x的一元二次方程是一个“全整根方程. ①当时，该方程的“最值码”是______； ②若m为整数，且，求m的值； (2)对于“全整根方程”（b、c为整数），若这个“全整根方程”（n为正整数），且方程的两根满足，请直接写出该方程的“最值码”所有可能的值． 46．为了响应“践行核心价值观，青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，假定从一开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者．” (1)求出m的值； (2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人． ①分别求出他们三人号召的成功率； ②求出n的值． 47．我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（分钟） … … 学习效率 … … 记录学习效率时，每分钟为一个记录单元． (1)求分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和的值； (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加分钟，学习效率值下降．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为分钟的学习效能； ②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为的时候，他当晚的作业时间是多少． 48．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了"通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【问题解决】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10120元？ 49．在中，，，． (1)如图，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒，的面积等于？ (2)在（1）的条件下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点沿射线方向从点出发，以的速度运动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，点同时出发，问：经过几秒，的面积为？ 50．课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．    试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06一元二次方程判别式.根与系数关系及应用期中讲义 1.理解一元二次方程根的判别式= b2-4ac的含义，能根据的值判断一元二次方程实数根的三种情况：两个不相等实数根、两个相等实数根、没有实数根。 2.已知方程根的情况，会利用判别式求字母参数的取值范围；注意题目是一元二次方程时，必须附带二次项系数a0这个隐含条件。 3.掌握韦达定理（根与系数的关系）：当ax2+bx+c=0(a0,0)的两根为(x1,x2)时，x1+x2=-，x1x2=；能直接由方程写出两根之和、两根之积。 4.会利用根与系数的关系，不解方程求代数式的值，比如x12+x22、+这类常见变形；理解变形推导过程，牢记前提0。 5.已知两根，能够构造对应的一元二次方程；已知方程一根，借助韦达定理求另一根以及参数。 6.能够审题，找出实际问题里的等量关系，列出一元二次方程解决应用题，掌握增长率、面积问题、销售利润、数字问题等常考模型。 7.会检验方程的解是否符合实际意义，舍去不符合现实场景的根（长度、人数、增长率不能为负数等）。 8.综合题型：结合判别式、韦达定理、代数式化简的综合题，会分步分析，先判断根是否存在，再使用根与系数关系计算。 9.梳理易错点：使用韦达定理忘记先验证0；求参数范围漏掉a0；应用题不检验根的实际合理性；韦达定理符号出错，混淆-。 题型 考察方向 难度 题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★ 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型三 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★ 题型四 传播问题 ★★★ 题型五 增长率问题 ★★★ 题型六 与图形有关的问题 ★★★ 题型七 数字问题 ★★ 题型八 营销问题 ★★★★ 题型九 动态几何问题 ★★★★★ 题型十 工程问题 ★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 图表信息题 ★★★★ 题型十三 握手、循环赛问题 ★★★ 题型十四 其他问题 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 01:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 1.判别式的定义 1.只有先整理成一元二次方程标准形式，才能计算判别式； 2.判别式由方程二次项、一次项、常数项组合而成，用来判断方程实数根的数量； 3.重要前提：二次项系数不能为 0，否则不是一元二次方程，不能使用判别式结论。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 知识点02:韦达定理基础内容 1.设一元二次方程标准形式程 ax2+bx+c=0（a0） ，方程两个实数根为 x1、x2，使用定理前提：判别式 Δ=b2−4ac≥0， 方程有实数根才能使用根与系数关系。 2.核心公式： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 3.简化形式：当二次项系数 a=1，方程为 x2+px+q=0，则 x1+x2=-p，x1x2=q。 知识点03:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 待求代数式 变形公式 知识点04:特殊根的对应条件 1.两根互为相反数：x1+x2=0，即 b=0，同时满足 Δ≥0； 2.两根互为倒数：x1x2=1，即 c=a，同时满足 Δ≥0； 4.两根一正一负：x1x2<0，此条件下Δ >0恒成立，无需额外计算判别式。 知识点05:列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 知识点06:常见应用题模型及核心公式 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 1/2 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 知识点07:一元二次方程应用题易错汇总 易错类型 典型错误 正确规范 增长率次数写错 两年增长写成a(1+x)=A 两年对应平方a(1+x)2=A 矩形小路重复减宽 长、宽同时直接减小路宽度 平移空白区域，仅各减去一次小路宽 保留不符合实际的解 算出负数长度、负增长率不舍去 长度、人数、单价必须为正数，直接舍弃负根 利润销量关系颠倒 涨价后认为销量上升 涨价销量减少，降价销量增加 握手题型遗漏 x人握手总次数写x(x-1) 两人仅计一次，整体乘 题型一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据其符号判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．若实数满足方程，那么的值为______． 【答案】 【分析】设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：，， 当时，， 即， 此时， 即方程有解； 当时，， 即， 此时； 此时方程无解； ． 3．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算各方程的根的判别式，的方程没有实数根． 【详解】解：、，有实数根，不符合题意； 、，有实数根，不符合题意； 、，没有实数根，符合题意； 、，有实数根，不符合题意． 题型二、根据一元二次方程根的情况求参数 4．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得. 5．对于任意实数a、b，定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 【答案】 【分析】根据新运算定义整理得到关于的一元二次方程，利用两个相等实数根的条件，令判别式等于0求解即可． 【详解】解：∵ 定义新运算， ∴，将其代入方程， 整理得一元二次方程， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 6．满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令 ，则 ，代入 进行变形整理得到 ，再求出 ，得出 ，求出 的解集即可解答； 【详解】解：先令 ，则 ， 代入 可变形为：， 整理得 ， 则 ， 即 ， 由 即：(i) ，或 (ii) ， 由(i) 解得：，由(ii) 解得：无解； ∴ 的解集为：， 故 取最大值，此最大值为 ； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程和根的判别式，掌握当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程由两个相等的实数根； ，方程所有实数根； 同时运用 解决函数图象交点的个数问题和一元二次方程的解法是本题的关键． 题型三、一元二次方程的根与系数的关系 7．一元二次方程的两根之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根与系数的关系直接计算两根之和． 【详解】解：一元二次方程中， ，， 根据根与系数的关系，两根之和为． 8．若，是方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得，， ∴． 9．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2023 B．2026 C．2029 D．4052 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的定义得，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， ， ， ． 10．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且，则m的值是（     ） A． B．14 C．或14 D．2或 【答案】A 【分析】利用完全平方公式变形已知等式，结合根与系数的关系求解，用判别式取舍m的值． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， 整理得，解得； 由根与系数的关系，得，， ∵，且 ， ∴，代入得 ，即， 整理得，解得，， ∵，不符合题意，舍去， ∴． 题型四、传播问题 11．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有81个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染x人，由题意可列方程______． 【答案】（或） 【分析】梳理两轮传染的患病人数，根据两轮后总患病人数为81列等式即可． 【详解】解：∵最初有1人患病，每轮传染中平均一个人传染人， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，所有已患病的人每人都会再传染人， ∴第二轮新增患病人数为， ∵两轮后总患病人数为81， ∴可列方程为，整理得． 12．某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有人会做这道数学题．设一人每次教会了名同学，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：初始会做该题的人数为1， ∵第一节课1人教会名同学， ∴第一节课新增会做人数为，第一节课后会做总人数为， ∵第二节课会做的人每人教会名同学， ∴第二节课新增会做人数为， ∵全班共有人会做该题， ∴列方程得． 13．有1人不小心患了甲流，经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染人 (2)经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了甲流；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患甲流的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人． 根据题意得， 解得 因为，所以， 故每轮传染中平均一个人传染10人． （2）解：根据题意可得经过三轮传染后患甲流的总人数为 因为， 所以经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人． 题型五、增长率问题 14．2024年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2026年投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为，根据题意，列出方程为_______． 【答案】 【分析】设每年市政府投资的增长率为，根据到2026年投资亿元人民币建设廉租房，列方程求解． 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为， ∵ 2024年投资亿元，每年增长率为， ∴ 2025年投资为亿元， ∴ 2026年投资为亿元， ∵ 预计2026年投资亿元， ∴ 列方程得． 15．某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产该产品450台，设二、三月平均月增长率为x，根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以二、三月总产量为等量关系，分别表示两个月产量后列方程． 【详解】解：设二、三月平均月增长率为x， 二月份产量为台， 三月份产量为台， 由二、三月份共生产450台，得． 16．某特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率． (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，则每千克核桃应降价多少元？ 【答案】(1) 该专卖店核桃销售量的月增长率为. (2) 每千克核桃应降价元或元. 【分析】（1）根据月增长率相同，结合7月与9月的销售量列一元二次方程求解； （2）根据“每千克利润日销售量日总利润”的等量关系列一元二次方程求解． 【详解】（1）解： 设该专卖店核桃销售量的月增长率为， ∵7月份销售量为4000千克，从7月到9月销售量的月增长率相同，9月份销售量为5760千克， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2）解：设每千克核桃应降价元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵降价后售价需高于进价，即， 解得， ∴，均符合题意， 答：每千克核桃应降价元或元． 题型六、与图形有关的问题 17．如图所示，要在20米宽，32米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？若设小路宽为x米，则方程可以列为____________． 【答案】 【详解】解：由题意得方程可以列为． 18．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地，若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边及中间隔断由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门口（如图），设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形的面积公式列出方程即可. 【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为，则平行于墙的边长为， 由题意，. 19．如图，某小区有一块长、宽的矩形空地，现计划在空地上修建两条宽度相同且互相垂直的小路（一条与空地的长边平行，一条与空地的宽边平行），剩余部分种植草坪．若草坪的面积为，求小路的宽度． 【答案】 【分析】设小路的宽度为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得 化简得 解得，． 因为，小路的宽度不能超过空地的宽，所以不符合题意，舍去． 所以． 答：小路的宽度为． 题型七、数字问题 20．如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，则这个最小数为多少？设这个最小数为，则可列方程为___________． 【答案】 【详解】解：由图可知最大的数为， ∵最小数与最大数的乘积为105， ∴． 21．如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意直接列方程即可． 【详解】解：最大数为x，则最小数为， ∴． 22．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) 方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是x，则最大数是，根据题意列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，，根据题意列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：设最小数是x，则最大数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 答：最小数是10； （2）略 题型八、营销问题 23．某商品现在的销售单价为元，每星期可卖出件．市场调查反映：销售单价每涨价元，每星期可少卖出件．已知该商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期想获得元的利润，则应将销售单价定__________元． 【答案】 【分析】设涨价元，表示出每件商品的利润和每星期的销售量，根据总利润列出方程求解，结合顾客得实惠的要求选取符合条件的解，得到销售单价． 【详解】解：设涨价元，则销售单价为元，每星期销售量为件， 每件商品的利润为元， 总利润等于每件利润乘以销售量， 列方程得，整理方程得， 因式分解得， 解得，， 要让顾客得实惠，需选择更低的销售单价，应取较小的， 取，此时销售单价为元． 24．潮阳区某特产店销售一种果脯，当每盒利润为40元时，每天可售出20盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出2盒．要使每天的利润达到1200元，设每盒降价x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为原本每盒利润为40元，每盒降价x元，所以降价后每盒利润为元．因为每降价1元多售出2盒，降价x元则多售出盒，原本每天售出20盒，所以降价后销售量为盒．结合总利润为1200元的条件，将上述两个表达式代入核心等量关系即可得到对应方程． 【详解】每盒降价x元，每盒利润为元， 每天售出盒， 列方程． 25．南昌作为“火炉城市”之一，夏季日最高气温超．某商店销售一款便携式手持小风扇，进价为每台元，销售大数据分析表明：当每台小风扇的售价为元时，平均每月售出台；若每台小风扇的售价下降元，则每月多售出台． (1)若每台小风扇的售价为元，则每月可卖出________台． (2)该商店决定降价清库存，当每台小风扇的售价定为多少元时每月利润为元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（）根据售价下降额与销售量增量的对应关系计算总销售量； （）设每台小风扇降价元，以总利润为等量关系列一元二次方程，求出即可求解． 【详解】（1）解：∵原售价为元，现售价为元， ∴售价下降金额为（元）， ∵每台小风扇的售价下降元，每月多售出台， ∴每月多售出台数为（台）， ∵原每月售出台， ∴每月可卖出（台）； （2）解：设每台小风扇降价元， 根据题意，得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴降价后售价为元， 答：当每台小风扇的售价定为元时，每月利润为元． 题型九、动态几何问题 26．如图，中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，经过______秒，四边形的面积等于． 【答案】 【分析】设运动时间为秒，用含的代数式表示和的长，利用列出方程求解即可． 【详解】解：设经过秒，四边形的面积等于根据题意，得， 点运动到点时停止， 且 即 整理得 解得， 时，点Q和点C重合，与四边形矛盾， ． 27．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【答案】A 【分析】用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解． 【详解】解：点从到运动时间为：，点从到运动时间为：， 设点P，Q运动的时间为， ∴, ∴, 解得：或（舍去）． 28．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求： (1)几秒后，的面积等于? (2)的面积能否等于?说明理由． 【答案】(1)1 秒，2 秒 (2)不能，理由如下： 的总面积：， 在内部，其面积一定小于或等于，， 面积不可能达到． 【分析】（1）设运动时间为秒，写出与的代数式，利用直角三角形面积公式列出一元二次方程，解方程并检验在范围内，得到 1 秒和 2 秒． （2）先算出大三角形面积只有，小于，说明面积不可能等于． 【详解】（1）解： 从到总时间：秒， ． 运动秒后：，，． ， ． 即 解得 ，． 检验：， 都满足 ，符合题意． 答： 1 秒和 2 秒后，面积等于． （2）略． 题型十、工程问题 29．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 30．某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． (1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ (2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值． 【答案】(1)小货车原计划每辆每次运顶帐篷，大货车原计划每辆每次运顶帐篷 (2)的值为2 【分析】（1）设小货车原计划每辆每次运顶帐篷，则大货车原计划每辆每次运顶帐篷，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设小货车原计划每辆每次运顶帐篷，则大货车原计划每辆每次运顶帐篷， 由题意可得， 解得， ∴， ∴小货车原计划每辆每次运顶帐篷，大货车原计划每辆每次运顶帐篷； （2）解：由题意可得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 31．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【答案】(1)甲最多施工2500米 (2)a的值为6 【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥×10x， 解得：x≤2500， 答：甲最多施工2500米． （2）依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴符合题意； 答：a的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型十一、行程问题 32．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，， 则， 解得（负值舍去）． 33．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 34．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 题型十二、图表信息题 35．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次方程求解，然后根据实际情况判定根的取舍． 【详解】解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 月份用电，且缴电费10元， ， ． 37．【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【答案】（1），；（2）10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． 题型十三、握手、循环赛问题 38．在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有90件，则参加晚会的同学共有________人． 【答案】 10 【分析】设参加晚会的同学人数为，每个同学需送出件礼物，根据总礼物数列出一元二次方程，解后取符合实际意义的正根即可． 【详解】解：设参加晚会的同学共有人， ∵每个同学不需要给自己送礼物，互送礼物意味着每人给其余同学各送一件礼物， ∴每个同学需送出件礼物， 根据总送出礼物共90件，得方程， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵人数不能为负数，不符合实际意义， ∴舍去， 即参加晚会的同学共有10人． 39．2026年“闽超”联赛火热开展．本届赛事分常规赛和淘汰赛两个阶段．某地经过层层筛选，最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛56场，设参加比赛的球队有支，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设有支球队参赛. 双循环赛制下每两支球队之间进行2场比赛，每支球队需与其余支球队各进行2场比赛， 因此总比赛场数为， ∵ 小组赛阶段共比赛56场， ∴ ． 40．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为6，则共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． 【答案】(1)，15； (2)10人 【分析】(1) n个人两两握手，每人需与其余人各握一次手，共次，但每次握手被重复计算了一次，故握手总次数为，分别代入和即可． (2) 设参加聚会的有人，根据握手总次数公式列方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：当时，握手次数（次）， 当时，握手次数（次）． （2）解：设参加聚会的有人， 由题意得：， 整理得：， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， 参加聚会的有10人． 题型十四、其他问题 41．如图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，将这个“圭垛”继续堆积下去，即第行有束，如果从上往下数前行的束数的和是，那么的值是________． 【答案】15 【分析】先求出从上往下数前行的束数的和为，即可建立一元二次方程求解． 【详解】解：设 则 两式相加可得， 故 解得或（舍）， ∴的值是． 42．河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为米，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握从实际问题中抽象出直角三角形模型并运用勾股定理是解题的关键．先根据题意构建直角三角形模型，再利用勾股定理列出方程． 【详解】解：∵ 设这根芦苇的长度为米， ∴ 水深为米， ∵ 芦苇倒向水面后，水深、芦苇移动的水平距离与芦苇长度构成直角三角形，其中芦苇长度为斜边， ∴ 根据勾股定理得：， 故选：B． 43．综合与实践问题情境：在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，···第n行有n个点． (1)数学建模：容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前8行的点数和是________．图1中三角形点阵前n行的点数和是________． (2)问题解决：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 【答案】(1)36， (2)11人 【分析】（1）从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的，所以总数为，而三角形点阵数量是同行数平行四边形点阵数量的一半，即，然后把代入计算即可； （2）设这群人有x人，根据（1）的结论可知这群人摘石榴的总数为，根据这些石榴平均分配每人可得6个，可建立方程求解． 【详解】（1）解：∵从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的， ∴总数量为， ∵三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半， ∴图1中三角形点阵前n行的点数和为； 当时，， 即图1中三角形点阵前8行的点数和是36； （2）解：设这群人共有x人． 由题意得， 即， 解得（舍去），． 故这群人共有11人． 解答题 44．当k为何值时，关于x的一元二次方程， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 【答案】(1)，且 (2) (3) 【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据判别式的意义得到，然后解方程即可； （3）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且， 解得：； （3）解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴且， 解得：． 45．定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两根均为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的两根均为整数，其“最值码”．现探究以下问题： (1)若关于x的一元二次方程是一个“全整根方程. ①当时，该方程的“最值码”是______； ②若m为整数，且，求m的值； (2)对于“全整根方程”（b、c为整数），若这个“全整根方程”（n为正整数），且方程的两根满足，请直接写出该方程的“最值码”所有可能的值． 【答案】(1)①；②． (2)或 【分析】（1）①根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ②因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知； （2）先由题意得，得到，根据，可得 ，由韦达定理可得，，则，故，再分类求解即可． 【详解】（1）解：①当时，方程为，其中，，， “最值码”， ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 对于方程，由韦达定理可得， ∴ ∵方程是“全整根方程” ∴一定为完全平方数 而是平方数 ∴为平方数， ∵是正整数 ∴或 ∴或 ∴该方程的“最值码”为或． 46．为了响应“践行核心价值观，青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，假定从一开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者．” (1)求出m的值； (2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人． ①分别求出他们三人号召的成功率； ②求出n的值． 【答案】(1)10 (2)①小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为；②4 【分析】（1）根据“每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”列出方程，即可求解； （2）①根据题意得：小颖号召了n人，小丽号召了人，小红号召了人，从而得到小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，再根据“小红的成功率比小颖的两倍少”列出方程，即可求解；②由①，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ，即， 解得：（舍去） 答：m的值为10； （2）解：①根据题意，得：小颖号召了n人，小丽号召了人，小红号召了人， ∴小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为， ∵小红的成功率比小颖的两倍少， ∴， 解得：， ∴所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为， 答：小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为； ②由①得：n的值为4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 47．我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（分钟） … … 学习效率 … … 记录学习效率时，每分钟为一个记录单元． (1)求分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和的值； (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加分钟，学习效率值下降．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为分钟的学习效能； ②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为的时候，他当晚的作业时间是多少． 【答案】(1)平均增长率为， (2)①；②分钟 【分析】（1）设平均增长率为，利用增长率模型建立一元二次方程，求解出，再求出的值； （2）①先计算出分钟的学习效率，再乘以学习时间即可； ②设作业时间为分钟，先用的代数式表示出学习效率，再建立方程，求解并舍去不符合题意的根即可． 【详解】（1）解：设分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率为， 由题意可知，， 解得，（负值舍去）， ∴平均增长率为， ∴； （2）解：①， ， ∴学习时间为分钟的学习效能为； ②设作业时间为分钟， 由题意可知，学习效率为， ∴， 整理，得， 解得，， ∵， ∴． 答：小明同学当晚的作业时间是分钟． 48．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了"通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【问题解决】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10120元？ 【答案】(1)车道宽度符合标准； (2)20或30 【分析】（1）将停车位拼合后，形成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出一元二次方程，即可求解； （2）根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：停车场内车道宽度均为x米，将停车位拼合后，形成长为米，宽为米的长方形， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∵， ∴车道宽度符合标准； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：当每个车位的月租金上涨20元或30元时，该区域停车场的月租金收入为10120元． 49．在中，，，． (1)如图，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒，的面积等于？ (2)在（1）的条件下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点沿射线方向从点出发，以的速度运动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，点同时出发，问：经过几秒，的面积为？ 【答案】(1)或时，的面积为； (2)线段不能将分成面积相等的两部分， 理由如下：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分， 依题意得，， 整理得，， ， 此方程无实数根， 线段不能将分成面积相等的两部分； (3)经过秒或秒后，的面积为； 【分析】（1）设经过秒后，的面积为，根据三角形面积公式列出关于的方程，求解即可； （2）设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据题意，列方程，求解即可； （3）设经过秒后，的面积为，分两种情况，当点在线段上和点在射线上，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒后，的面积为，， 由题意可得：， 整理得，， 解得，， 或时，的面积为； （2）解：略 （3）解：设经过秒后，的面积为， 点在线段上，点在射线上， 由题意可得：， 整理得，， 解得， 时，的面积为； 点在射线上，点在射线上， 由题意可得：， 整理得， 解得，， 当时，不合题意，舍去， 综上所述，经过秒或秒后，的面积为． 50．课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．    【答案】（1） （2） 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； 【详解】（1）设应该邀请支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）有支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：有支球队参加比赛． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $