专题04 一元二次方程的判别式、根与系数的关系、应用（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题04 一元二次方程的判别式、根与系数的关系、应用 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 一元二次方程的判别式 考点二 韦达定理——根与系数的关系 考点三 二次三项式的因式分解 考点四 列方程解应用题 05 重难题型突破 题型一 由根的情况求参数范围 题型二 根与系数关系的代数式求值 题型三 一元二次方程的应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 实数与二次根式模块以基础考查为主，本章是八年级上册期中检测的核心区分模块。试题多设置于试卷中后段，常作为填空压轴、解答压轴题，是取得优秀成绩的关键内容。 本章命题以填空、解答题型为主，侧重能力考查，承担试卷学业水平分层功能。在本册四个专题当中，本章难题占比最高。前面专题重在基础规范，本章重在综合运用能力考查。 核心考查方向：依据一元二次方程根的状况确定参数取值范围，需兼顾与两个限制条件；运用根与系数的关系开展代数式求值，涵盖对称式、非对称式；增长率、图形面积两类实际应用问题。 备考指引：牢固掌握判别式、韦达定理的适用前提、；依托基础固本练限时训练，夯实基本方法；利用综合进阶练，专项突破非对称式求值、含参数分类讨论题型。 识记　根的判别式及三种根的情况；根与系数的关系。 理解　判别式与根的情况的对应；两根之和、之积与系数符号的关系；应用题的等量关系如何建立。 应用　由根的情况求参数范围；用根与系数关系求对称式与非对称式的值；列一元二次方程解增长率、面积、销售类应用题。 考点一 一元二次方程的判别式（21.3） 【教材知识点】 我们把 叫作一元二次方程 （）的判别式，通常用符号""表示，记作 。 利用判别式，可以不解方程就能判断一个一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等。 正向与逆向（教材原文双向给出）： 当 时，方程有两个不相等的实数根；反之，当方程有两个不相等的实数根时，； 当 时，方程有两个相等的实数根；反之，当方程有两个相等的实数根时，； 当 时，方程没有实数根；反之，当方程没有实数根时，。 一元二次方程有实数根指的是方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根（即 ）。 教材例题数据： 的 ，所以一定有实数根； 的 ，按 、、 分类。 "有实数根"与"有两个不相等的实数根"不同：前者 ，后者 ——审题第一关键。 判别式使用前方程必须是一元二次方程且已化为一般形式： 要先化为 ，且讨论 。 、 异号时 必然成立（教材习题），故一定有两个不相等的实数根。 "方程 有两个相等的实数根"错误——，是两个不相等的根。 待定系数回代后要验证方程仍是一元二次方程：教材例 5 中解得 或 后，分别代入原方程求根，二者都是二次方程，均保留。 含参数的 常配方成完全平方（如 、），配方定号是通法。 判别式，看符号：正两根、零重根、负无根；反过来说也成立；"有实根"是 ，别和"不等"混着谈。 考点二 韦达定理——根与系数的关系（21.4） 【教材知识点】 韦达定理：如果一元二次方程 （）的两个实数根分别是 、，那么 推导途径：把求根公式 两式相加、相乘即得。 教材例题数据： 中 、； 化为 ，两根和 、积 。 利用韦达定理求关于 、 的代数式的值时，通常先把代数式化为由 和 表示的形式，再代入求值。常用变形（教材例 3）： ； ； 。 已知一根求另一根及参数： 的一根为 ，设另一根 ，由两根和为 得 ，再由积得 。 韦达定理的前提是方程有两个实数根（）——求参数后必须回代检验 。 教材例 4 是标准流程： 两根平方和为 13，得 ，解得 或 ；但 时 ，不符合题意舍去，最终只取 。 两根和的符号：，负号最易丢—— 的两根和是 不是 。 先用韦达定理解出参数，再用 过滤，是本章 B 组题的标准"两步走"。 ：先展开成"和与积"的表达式再代入。 两根之积为 0 ；两根互为相反数 （且 ）——这类"根的特征反推系数"要会。 两根和，负 比 ；两根积， 比 ；平方和减二积，平方差再减四积；用完定理查 ，不合题意就舍去。 考点三 二次三项式的因式分解（21.5） 【教材知识点】 反过来，也可以通过求出一元二次方程的根把二次三项式因式分解：设 的两个根是 、，由韦达定理可得 要将二次三项式 因式分解，如果 ，可以用求根公式求出方程的两个根 、，然后按上式分解；但如果 ，那么二次三项式 在实数范围内就不能因式分解。 教材例题数据：：方程 的两根为 、，所以 ；：，两根 。 分解结果别丢系数 ：，前头的 不能省。 时只能写"在实数范围内不能因式分解"，不是"不能分解"（复数范围内另论，初中不涉及）。 根是分数时写成 形式，展开校验系数：，两种写法等价，后者更整。 "当 为何值时，二次三项式的值为零"就是解方程 （教材习题 B 组第 7 题）。 求根来分解，两根括号里，" 减根"莫忘记；二次系数提最前；判别式负不能拆，实数范围说清楚。 考点四 列方程解应用题（21.5） 【教材知识点】 在列方程解决应用问题时，要检验方程的根是否符合实际意义。这是本章应用题的统一要求（教材例 2 围栏问题中 与 两个根，因旧墙只有 80 m， 舍去 ）。 常见模型（均为教材原例）： 围栏/面积问题：靠墙围三边，垂直边 ，平行边 ，面积 ； 说明"围不出"目标面积（如 围不出、 恰好正方形）。 剪折盒子问题：边长 10 cm 正方形四角剪去边长 的小正方形，底面面积等于侧面面积：，解得 （舍，剪完没法折）与 。 存款利率问题：利息 本金 利率 存期，本利和 本金 利息；两年分段存：，解得年利率 。 销售利润问题：利润 （售价 进价） 销量；售价涨 元销量减 ：，解得售价 35 元（ 超出 25~40 元范围舍去）。 单循环赛问题： 名选手每两人赛一局，总局数 ，每局共记 2 分：，解得 46 名。 可化为一元二次方程的分式方程：解法步骤与"可化为一元一次方程的分式方程"类似——去分母化为整式方程，解出后必须验根；使分母为 0 的根是增根，应舍去。教材例 7： 去分母得 ， 是增根，原方程的根是 。 教材"思考"栏目追问：为什么"去分母"可能产生增根？验根时能否只检验"所乘代数式是否为 0"？（应把根代入原方程检验。） "两次变化百分率相同"用 型：如 800 元经两次降价到 578 元，，解得每次降价 。 平均数/人数类问题常化为分式方程（人均款 总款 人数），去分母后得到一元二次方程。 双根取舍三关：非负关（长度、人数不能为负）、范围关（售价在 25~40 元之间、墙长不超过 80 m）、实际关（ 时 折不成盒子）。 列方程前先设未知数并写全各量的代数式（另一边长、销量、总价），单位统一后再列式。 分式方程的解"代入原方程"检验，不能只代化简后的整式方程。 审题设元列方程，双根解出莫急用；负根超围先剔除，实际意义最后一关；分式化整必验根，增根舍去才完整。 题型一 由根的情况求参数范围 典例1（25-26八年级上·上海崇明·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 破题要诀：先把方程整理成一般形式，写出 Δ 的表达式，再按题目的说法锁定不等式；含字母系数的别忘了补上 a≠0。两个条件取交集。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海·期中）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________________． 3．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 题型二 根与系数关系的代数式求值 典例2（25-26八年级上·上海·期中）若实数a,b分别满足和，求的值 破题要诀：看到求两根的和、积、平方和，先想韦达。对称式直接套公式，非对称式先乘出 x₁-x₂ 或做整体变形。用之前先确认方程有实数根。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中） 设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为___． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为_____________ 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根满足，求k的值． 题型三 一元二次方程的应用 典例3（25-26八年级上·上海·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    破题要诀：第一步永远是「设谁为 x」，把题中每个量都用 x 说清楚；第二步找等量关系列方程；第三步检验——不合题意的根，理直气壮地舍。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是________． 2．（25-26八年级上·上海崇明·期中）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过________后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 基础固本练（限时：15 分钟） 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 3．（25-26八年级上·上海长宁·期中）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． (1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 5．（25-26八年级上·上海青浦·期中）有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k =_________． 6．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 综合进阶练（限时：15 分钟） 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期中）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 3．（25-26八年级上·上海宝山·期中）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 4．（25-26八年级上·上海长宁·期中）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海宝山·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海宝山·期中）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 1 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程的判别式、根与系数的关系、应用 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 一元二次方程的判别式 考点二 韦达定理——根与系数的关系 考点三 二次三项式的因式分解 考点四 列方程解应用题 05 重难题型突破 题型一 由根的情况求参数范围 题型二 根与系数关系的代数式求值 题型三 一元二次方程的应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 实数与二次根式模块以基础考查为主，本章是八年级上册期中检测的核心区分模块。试题多设置于试卷中后段，常作为填空压轴、解答压轴题，是取得优秀成绩的关键内容。 本章命题以填空、解答题型为主，侧重能力考查，承担试卷学业水平分层功能。在本册四个专题当中，本章难题占比最高。前面专题重在基础规范，本章重在综合运用能力考查。 核心考查方向：依据一元二次方程根的状况确定参数取值范围，需兼顾与两个限制条件；运用根与系数的关系开展代数式求值，涵盖对称式、非对称式；增长率、图形面积两类实际应用问题。 备考指引：牢固掌握判别式、韦达定理的适用前提、；依托基础固本练限时训练，夯实基本方法；利用综合进阶练，专项突破非对称式求值、含参数分类讨论题型。 识记　根的判别式及三种根的情况；根与系数的关系。 理解　判别式与根的情况的对应；两根之和、之积与系数符号的关系；应用题的等量关系如何建立。 应用　由根的情况求参数范围；用根与系数关系求对称式与非对称式的值；列一元二次方程解增长率、面积、销售类应用题。 考点一 一元二次方程的判别式（21.3） 【教材知识点】 我们把 叫作一元二次方程 （）的判别式，通常用符号""表示，记作 。 利用判别式，可以不解方程就能判断一个一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等。 正向与逆向（教材原文双向给出）： 当 时，方程有两个不相等的实数根；反之，当方程有两个不相等的实数根时，； 当 时，方程有两个相等的实数根；反之，当方程有两个相等的实数根时，； 当 时，方程没有实数根；反之，当方程没有实数根时，。 一元二次方程有实数根指的是方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根（即 ）。 教材例题数据： 的 ，所以一定有实数根； 的 ，按 、、 分类。 "有实数根"与"有两个不相等的实数根"不同：前者 ，后者 ——审题第一关键。 判别式使用前方程必须是一元二次方程且已化为一般形式： 要先化为 ，且讨论 。 、 异号时 必然成立（教材习题），故一定有两个不相等的实数根。 "方程 有两个相等的实数根"错误——，是两个不相等的根。 待定系数回代后要验证方程仍是一元二次方程：教材例 5 中解得 或 后，分别代入原方程求根，二者都是二次方程，均保留。 含参数的 常配方成完全平方（如 、），配方定号是通法。 判别式，看符号：正两根、零重根、负无根；反过来说也成立；"有实根"是 ，别和"不等"混着谈。 考点二 韦达定理——根与系数的关系（21.4） 【教材知识点】 韦达定理：如果一元二次方程 （）的两个实数根分别是 、，那么 推导途径：把求根公式 两式相加、相乘即得。 教材例题数据： 中 、； 化为 ，两根和 、积 。 利用韦达定理求关于 、 的代数式的值时，通常先把代数式化为由 和 表示的形式，再代入求值。常用变形（教材例 3）： ； ； 。 已知一根求另一根及参数： 的一根为 ，设另一根 ，由两根和为 得 ，再由积得 。 韦达定理的前提是方程有两个实数根（）——求参数后必须回代检验 。 教材例 4 是标准流程： 两根平方和为 13，得 ，解得 或 ；但 时 ，不符合题意舍去，最终只取 。 两根和的符号：，负号最易丢—— 的两根和是 不是 。 先用韦达定理解出参数，再用 过滤，是本章 B 组题的标准"两步走"。 ：先展开成"和与积"的表达式再代入。 两根之积为 0 ；两根互为相反数 （且 ）——这类"根的特征反推系数"要会。 两根和，负 比 ；两根积， 比 ；平方和减二积，平方差再减四积；用完定理查 ，不合题意就舍去。 考点三 二次三项式的因式分解（21.5） 【教材知识点】 反过来，也可以通过求出一元二次方程的根把二次三项式因式分解：设 的两个根是 、，由韦达定理可得 要将二次三项式 因式分解，如果 ，可以用求根公式求出方程的两个根 、，然后按上式分解；但如果 ，那么二次三项式 在实数范围内就不能因式分解。 教材例题数据：：方程 的两根为 、，所以 ；：，两根 。 分解结果别丢系数 ：，前头的 不能省。 时只能写"在实数范围内不能因式分解"，不是"不能分解"（复数范围内另论，初中不涉及）。 根是分数时写成 形式，展开校验系数：，两种写法等价，后者更整。 "当 为何值时，二次三项式的值为零"就是解方程 （教材习题 B 组第 7 题）。 求根来分解，两根括号里，" 减根"莫忘记；二次系数提最前；判别式负不能拆，实数范围说清楚。 考点四 列方程解应用题（21.5） 【教材知识点】 在列方程解决应用问题时，要检验方程的根是否符合实际意义。这是本章应用题的统一要求（教材例 2 围栏问题中 与 两个根，因旧墙只有 80 m， 舍去 ）。 常见模型（均为教材原例）： 围栏/面积问题：靠墙围三边，垂直边 ，平行边 ，面积 ； 说明"围不出"目标面积（如 围不出、 恰好正方形）。 剪折盒子问题：边长 10 cm 正方形四角剪去边长 的小正方形，底面面积等于侧面面积：，解得 （舍，剪完没法折）与 。 存款利率问题：利息 本金 利率 存期，本利和 本金 利息；两年分段存：，解得年利率 。 销售利润问题：利润 （售价 进价） 销量；售价涨 元销量减 ：，解得售价 35 元（ 超出 25~40 元范围舍去）。 单循环赛问题： 名选手每两人赛一局，总局数 ，每局共记 2 分：，解得 46 名。 可化为一元二次方程的分式方程：解法步骤与"可化为一元一次方程的分式方程"类似——去分母化为整式方程，解出后必须验根；使分母为 0 的根是增根，应舍去。教材例 7： 去分母得 ， 是增根，原方程的根是 。 教材"思考"栏目追问：为什么"去分母"可能产生增根？验根时能否只检验"所乘代数式是否为 0"？（应把根代入原方程检验。） "两次变化百分率相同"用 型：如 800 元经两次降价到 578 元，，解得每次降价 。 平均数/人数类问题常化为分式方程（人均款 总款 人数），去分母后得到一元二次方程。 双根取舍三关：非负关（长度、人数不能为负）、范围关（售价在 25~40 元之间、墙长不超过 80 m）、实际关（ 时 折不成盒子）。 列方程前先设未知数并写全各量的代数式（另一边长、销量、总价），单位统一后再列式。 分式方程的解"代入原方程"检验，不能只代化简后的整式方程。 审题设元列方程，双根解出莫急用；负根超围先剔除，实际意义最后一关；分式化整必验根，增根舍去才完整。 题型一 由根的情况求参数范围 典例1（25-26八年级上·上海崇明·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 破题要诀：先把方程整理成一般形式，写出 Δ 的表达式，再按题目的说法锁定不等式；含字母系数的别忘了补上 a≠0。两个条件取交集。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海·期中）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________________． 【答案】且． 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴且△=，解得：且．故答案为且． 3．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 题型二 根与系数关系的代数式求值 典例2（25-26八年级上·上海·期中）若实数a,b分别满足和，求的值 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】把a、b看作方程的两个根，根据根与系数的关系得到，得出，利用二次根式的性质化简，然后利用整体代入的方法进行计算即可. 【详解】∵实数a,b分别满足和 ∴a、b看作方程的两个根， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查根与系数的关系以及二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键. 破题要诀：看到求两根的和、积、平方和，先想韦达。对称式直接套公式，非对称式先乘出 x₁-x₂ 或做整体变形。用之前先确认方程有实数根。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中） 设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为___． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【详解】∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=． ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，整体思想的应用． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为_____________ 【答案】或0/0或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为，由题意，得：，，利用完全平方公式的变形式进行计算即可． 【详解】解：设方程的两个根为，由题意，得：，， ∴， 解得：或， 故答案为：或0． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式； （1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值． 【详解】（1）解：根据题意得 解得； （2）解：根据题意得： ∵， ， 即 ， 整理得 ， 解得 ∵， ∴． 题型三 一元二次方程的应用 典例3（25-26八年级上·上海·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    【答案】(1)； (2) 解：将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，    则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． (3)，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【详解】（1）由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： （2）略 （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．．        破题要诀：第一步永远是「设谁为 x」，把题中每个量都用 x 说清楚；第二步找等量关系列方程；第三步检验——不合题意的根，理直气壮地舍。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是________． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再根据“种植面积达到”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，小道的宽为， ∴除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形， 由题意可得：， 化为一般式为：， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海崇明·期中）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过________后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 【答案】10或15或30 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，培养了学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，解题的关键是分两种情况进行讨论． 分两种情况进行讨论： （1）当第一只蚂蚁在上运动时，列方程进行求解即可； （2）当蚂蚁在上运动，根据三角形的面积公式即可列方程求解． 【详解】解： 设后两只蚂蚁与点组成的三角形面积为 有两种情况： （1）如图 1，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，． （2）如图 2，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，（舍去）． 综上所述，在后，两只蚂蚁与点组成的三角形的面积均为． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为60元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 基础固本练（限时：15 分钟） 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故先：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 3．（25-26八年级上·上海长宁·期中）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． (1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由． 【答案】(1)15元 (2) 解：不可能．理由如下： 设每件衬衫应降价x元， ， 整理得， ，方程无实数根． 商场平均每天不可能盈利1400元． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利每天销售的利润是解题关键． （1）利用衬衣每件盈利平均每天售出的件数每天销售这种衬衣利润，列出方程解答即可． （2）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得， 答：每件衬衫应降价15元． （2）略 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键． 5．（25-26八年级上·上海青浦·期中）有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k =_________． 【答案】3或4 【知识点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】分类讨论：当腰长为3时，根据韦达定理求得k的值；当腰长不为3时，关于x的方程的判别式△=0，据此可以求得k的值． 【详解】解：当该等腰三角形的腰长是3时，根据韦达定理知 3+x2=4， ∴x2=1， ∴x1•x2=3=k，即k=3； 当该等腰三角形的腰长不是3时，△=16-4k=0， 解得，k=4； 综上所述，k=3或k=4． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质．解答该题时要分类讨论，以防漏解．当腰长为3时，根据韦达定理求得k的值；当腰长不为3时，关于x的方程的判别式△=0，据此可以求得k的值． 6．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题． 根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可． 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 综合进阶练（限时：15 分钟） 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值． 【答案】(1)；(2). 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、解分式方程（化为一元一次） 【分析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可； (2)根据根与系数的关系得出方程解答即可． 【详解】(1)解：∵原方程有实数根， ∴，∴， ∴. (2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解之，得：，． 经检验，都符合原分式方程的根， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期中）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 3．（25-26八年级上·上海宝山·期中）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】(1) 证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； (2)3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，是解题关键． （1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：， ∴， 解得． 4．（25-26八年级上·上海长宁·期中）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键； 根据每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元，表示之后两个月的产值，然后已知第三季度的总产值，列方程即可． 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级上·上海宝山·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示； 中间小正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积：，其边长为7， 因此，A选项所表示的图形符合题意， 故选：A． 6．（25-26八年级上·上海宝山·期中）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 1 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $