专题05 一元二次方程的概念及解法 期中复习讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

专题05一元二次方程的概念及解法期中复习讲义 ☆ 复习目标 1.理解一元二次方程的概念，掌握三个核心特征：只含一个未知数、未知数最高次 数是2、整式方程，能识别一元二次方程，区分一元一次方程、分式方程。 2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a0),能将方程整理化成一般式，准 确识别二次项、一次项、常数项以及对应系数。 3.会根据一元二次方程的定义求字母参数的值，重点留意隐含条件≠0，避免漏 判。 4理解一元二次方程根（解）的含义：使方程左右两边相等的未知数的值；能够检 验数值是否为方程的根，也可以利用方程的根代入等式求参数或者代数式的值。 5熟练掌握四种基础解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，能根据 方程的形式灵活选择简便解法。 6理解配方法的原理，会对二次三项式配方；能用配方法解方程，也会利用配方法 求代数式最值、比较代数式大小。 7理解求根公式的推导来源，记住求根公式，能用公式法求解一元二次方程；知道 公式法适用于所有有实数根的一元二次方程。 8.了解换元法，会用换元法把特殊的高次或者复合方程转化为一元二次方程求解， 体会转化的数学思想。 9掌握解方程的基本规范：求出解之后适当检验；明确什么时候方程有两个相等实 数根、两个不相等实数根，初步感知根的情况。 10易错辨析：忽略二次项系数不为0：配方时常数项只在一边加减：因式分解解 方程时随意约去含未知数的因式，造成丢根：混淆一元二次方程和其他整式方程的 定义。 ☆ 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 判断是否是一元二次方程的解 试卷第1页（共3页） ★★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 因式分解法解一元二次方程 ★★ 题型七 直接开平方法 ★★★ 题型八 配方法 ★★★★ 题型九 配方法的应用 ★★★ 题型十 公式法解一元二次方程 ★★★★ 题型十一 换元法解一元二次方程 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点1一元二次方程定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是整式的 方程，叫做一元二次方程。 满足三个条件，缺一不可： 是整式方程（分母不含未知数、根号内不含未知数）； 只含有一个未知数； 未知数的最高次数是2。 反例辨析表 试卷第2页（共3页） 式子 是否一元二次方程 理由 3x2+2x= 是 整式、一个未知数、最高次2 0 2x+5=0 否 最高次数为1，一元一次方程 x2+3y=1 否 含两个未知数 1+x2-2 否 分母含未知数，分式方程 x3-x2=4 否 最高次数为3 知识点2一元二次方程一般形式 标准形式：ax+hx+c=0 (a≠0) 代数式 名称 对应系数 要求 ax 二次项 a (a≠0)，若(a=0)则变为一次方程 bx 一次项 可为0 常数项 c 可为0 整理一般式步骤 移项，把所有项移到等式左侧，右侧化为0；按降幂顺序排列x2、x、 常数。 例：2x(x-1)=3 试卷第3页（共3页） 展开：2x2-2x=3,移项得标准式：2x2-2x-3=0,a=2,b=-2,C=-3 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 am2+bx=0(a≠0，b≠0) a 6 0 m2+c-0(a≠0，c≠0) 0 c a2=0(a≠0) 0 0 知识点3一元二次方程的根（解） 1定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。 2两大应用 检验：将数值代入方程，左右相等即为根： 求参数：已知x=m是方程的根，把x=m代入，整体代换求字母参数或 代数式的值。 例：若x=1是x2+kx-2=0的根，代入得1+k-2=0,解得k=1。 知识点4解法一：直接开平方法 适用两类方程①x2=p;②(x+n)2=p(完全平方式等于常数) 根的分类讨论 p的取值 方程根的情况 p>0 两个不相等实数根：x=±√p p=0 两个相等实数根：X1=X2=0 p<0 无实数根（平方不可能为负） 试卷第4页（共3页） 解题步骤：直接开平方→拆分两个一元次方程→求解。 知识点5解法二：因式分解法 核心依据：若AB=0,则A=0或B=0, 适用：方程右边为0，左边可因式分解 常用分解手段： 提公因式、平方差a-b2=(a+b)(a-b)、完全平方a+2ab+b2=(a±h)2 标准步骤 移项，使方程右侧=0； 左侧因式分解； 令每个因式分别等于0，解两个一次方程： 写出两根。 易错提醒：不可两边同除含未知数因式，容易丢根。 知识点6解法三：配方法 目的：将方程左边配成完全平方式，转化为可直接开平方的形式 通用完整步骤(ax2+bx+c=0,a≠0) 移项：常数项移到等号右侧ax2+bx=-c; 化1：两边同时除以二次项系数x+x=-￡ 配方：等式两边同时加一次项系数一半的平方； 写成完全平方：(x+m)2=n; 试卷第5页（共3页） 开平方，分情况求解。 关键口诀：一次项系数对半，平方两边同加。 知识点7解法四：公式法 求根公式推导：由配方法推导得出对ax2+bx+c=0(a≠0)△=b2-4ac 时x=-b±VB-4ac 2a 2.根的判别式△=b2-4ac △取值 根的情况 △>0 两个不相等实数根 △=0 两个相等实数根xX。一2名 △<0 无实数根 公式法解题流程 整理为标准一般试ax2+bx+c=0(a≠0)： 确定a、b、C(带符号)； 计算判别式△，判断有无实根； △≥0时代入求根公式计算两根。 四种解法对比&以选择技巧 试卷第6页（共3页） 解法 适用题型 优点 直接开平方法mx+n)2=p型 计算最快，步骤少 因式分解法 易分解、右边为0 计算简便，优先选用 配方法 题目指定配方、推导公式通用，为二次函数铺垫 公式法 所有一元二次方程 万能通用，计算量大 选择顺序：能开方 能分解优先，无特殊要求不用配方法，复杂方程用 公式法。 知识点8高频易错汇总 错误类型 正确要求 配方只加一边常数 等式左右同时加一次项系数一半平方 公式代入漏负号 b为负数时，b注意变号 判别式判断遗漏△<0无实根 计算完△先判断再求根 因式分解两边约去含x式子 必须移项使右侧为0再分解，防止丢根 开平方只写正根 正数开方有正负两个根 ☆ 题型精析 题型一、一元二次方程的定义 1.一元二次方程5x2-4x+1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是() 试卷第7页（共3页） A.5,4,-1 B.5,-4,1 C.-5,-4,1 D.-5 4,-1 2.在下列方程中，属于一元二次方程的是() A.a2+bx+c=0B.x2-3x=0 C.x+3y=2 D 3.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是() A.(2x+y=4(x2-) B.x2-2Wx-1=0 C.ax2+bx+c=0 D.(a+2a+2)2+r-1=0 题型二、化成一元二次方程的一般式 4.将方程x2-1=5x化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、 常数项分别是() A.5、-1 B.-5、1 C.-5、-1 D.5、1 5.将一元二次方程(x+a=b化成2-8x-5=0的形式，则4，b的值分别是《) A,-4,21 B.-4,11 C.4,21 D.-8,69 6.一元二次方程3x(x-2)=2(x+)+5的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 题型三、由一元二次方程的定义求参数 7.若关于x的方程(m-2r+3x-1= 是一元二次方程，则m的取值范围是() A.m≠0 B.m≠2 C.m≠-2 D.m>2 8.已知关于x的方程(a+4),42+8x+1=0 是一元二次方程，则a的值为. 9.若方程(m-3列中-3r=5 关于x的一元二次方程，则m的值为() 试卷第8页（共3页） A.3 B.-3 C.±3 D.不存在 题型四、判断是否是一元二次方程的解 10.有下列各数：①-3；②-2；③2：④3.其中是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 () A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 11.若m是方程x2-x-1=0的根，则2m2-2m+25的值为() A.28 B.27 C.26 D.25 12.列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种 可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：x2-a-6=0的解 是() 2 3 x2-ax 6 0 A. X=-2 B.x=3 C.x=2 D.x=-2 或x=3 题型五、由一元二次方程的解求参数 13.若x=-1是关于x的一元二次方程x+mx-3=0的一个根，则m的值为() A.-2 B.2 C.-4 D.4 14,若关于x的-元二次方程(m-2)r+5x+m2-4=0 有一个根为x=0,则m等于 15.若关于x的一元二次方程 2+bx+c=0(ac≠0）有一根为=2026，则关于的一元 次方程o-+a=0ac≠0)必有一根为（) 1 1 A.-2026 B.2026 C.2026 D.-2026 试卷第9页（共3页） 题型六、因式分解法解一元二次方程 16.一元二次方程5x2=3x的解是 17.已知一元=次方程的两个根分别是4=2和5=-3 和 ,则这个方程可以是() A.x2-6x+8=0 B.x2+x+6=0 C.x2+x-6=0 D.x2-x-6=0 a b 18.将4个数a,b,c,d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成cd,定义 la b=ad-bc x+2x-2 c d =10 上述记号就叫作2阶行列式，若2-xx+2,则x= 19,若关于x的一元二次方程mr-(2m+m)x+2n=0 两个不相等的实数根，且其中一个 2m-n 根为另一个根的2倍，则代数式m+2m的值为(） 12 12 12 12 A.-3或9 B.3或9 C.3或9 D.3或g 题型七、直接开平方法 20.一元二次方程任-2少=9 的根是 21.在解一元二次方程x+3-4=0 时，可以将其“降次”，转化为两个一元一次方程， 若其中一个一元一次方程为+3=2，则另一个一元一次方程为() A.x+3=-2 B.x+3=4 C.x+4=-3 D.x+4=3 2.若关于无的一元二次方程m+n=0的一个根为1，则方程mx+2+n=0的 的根是( A.-1或1 B.-1或-2 C.-1或-3 D.1或3 试卷第10页（共3页） 23.若m-=2 则关于x的=次方程m+)r-(m+5列x+4=0 的解是 题型八、配方法 24.用配方法将方程+6x=5化成 (x+3)2=n 的形式，则n的值为 25.用配方法解方程x2-6x+4=0,配方后得到的方程是()· A.(x-3)}=5 B.(x-3)}=13 c.(x-6)}2=32 D.(x-3)}=-5 26.用配方法将一元二次方程3x+7x-1=0变形为x-a= ,则a= b= 27.形如x(x+2)=3的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为 (x+2) 2x+2) 和的矩形，围成一个边长为 的大正方形（四个矩形彼此不重叠）·得到大 正方形的面积为3×4+2=16，则该方程的正数解为x=(4-2)÷2=1.羊羊同学按此方 法解关于x的方程xx+m=m时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为七=3 ,则图2所示的大正方形的面积为() x+2 x+2 x+2 x+2 图1 图2 16 64 A.9 B.9 c.9 D.9 题型九、配方法的应用 试卷第11页（共3页) 28.二次三项式x+6x-1的最小值是一 29.若一元二次方程-4+1=0可化成x+m=”的形式，则”的值为（). A.1 B.2 C.3 D.5 30.若将一元二次方程父-6x-2=0化成(x+m+n=0的形式，则2m-n的值为一. 31.已知24"与242m-2互为倒数，则m+2n的最小值为() 1 A.3 B.3 C.1 D.3 题型十、公式法解一元二次方程 32,若个一元=次方程的根为=9±(9-4x6x2 2×6 则该一元二次方程为 () A.-9x2+6x+2=0B.-6x2+9x+4=0C.6x2-9x+2=0D. 6x2-9x-2=0 33.对于任意的实数a,b,定义一种新运算◆，规定a◆b=a2-b,若 (x+3)◆(5x+14)=0 ,则的值为 34.若方程m-2)r-2x+1=0 一元二次方程，则方程的根是() A.专=+ 2, 、5=1G 2 B.专=5+1 ,55+1 4, 4 c-55=5 2, 2 D.以上都不对 题型十一、换元法解一元二次方程 试卷第12页（共3页) 35,已知一元二次方程(x+m+n=0a≠0)的两根分别为3、1，则方程 a(x+m-2+n=0(a≠0)的两根分别为()· A.-3、1 B.-1、3 C.-5、-1D.无法确定 36,已知一元二次方程x+m=”(4≠0)的两根分别为5、1，则一元二次方程 ax+m-2-n=0(a≠0)的两根分别为 37.若关于的一元二次方程+x+2=0(a≠ 有一解为=2026，则一元二次方程 a(x-2)'+bx=2b-2 必有一解为() A.x=2022 B.x=2024 C.x=2026 D x=2028 解答题 38.解方程： 0-3x=0 2+2x-1=0 3)3(x-22=12 (4)2x2-5x+1=0 3双.定义：我们把关于的一元二次方程m+h+c=0与+r+a=0(ac≠0，ac称为 一对“友好方程”.如x2+3x-10=0的“友好方程”是-10x2+3x+1=0. (1)写出一元二次方程2x2-7x+3=0的“友好方程”_· 1 (2)已知一元二次方程2x2-7x+3=0的两根为×=2，x2=3,它的“友好方程”的两根为 试卷第13页（共3页） ·根据以上结论，猜想+bx+c= 0的两根、元与其“友好方程”cr+r+a=0 两 根、之间存在的一种特殊关系为， (3)2知关于x的方程2021r2+bx+c=0 的两根是=3戈=7 请利用(2)中的结论， 求出关于x的方程(x-刂+b(x-1)+2021= 的两根。 40.如图，王师傅要用长28m的篱笆围成一个面积为96m的长方形羊圈，该羊圈一面靠墙 (墙足够长)，求羊圈的长和宽.若设羊圈与墙平行的一边的长为m,请列出相应的方 程，并说明该方程是不是一元二次方程.若是，请写出二次项系数和一次项系数. 墙 羊圈 xm 41.综合与实践 【项目主题】配方法的应用. 【项目准备】 ④利用完全平方公式将多项式r+r+c(a≠0)变形为a(x+m广+"的形式，我们把这样 x2+bx+c(a≠0) 的变形方法叫做多项式 的配方法.配方法是一种重要的数学方法，常用 于求代数式的最值.例如：求代数式x2+4x-1的最小值，由x2+4x-1=x2+4x+ ① -1=(x+2-5可知，当x=-2时，+4r-1有最小值，最小值是 ② 配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式x2+2x-3,原 式=x2+2x+1-1-3= ③ ④ 【项目解决】 试卷第14页（共3页） (2)当a,b,c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2-4a-6b+13=0时，c的取值范围是 ⑤ (3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD.若AC+BD=8,则四边形ABCD面积的最大值 为⑥ 试卷第15页（共3页） 专题05一元二次方程的概念及解法期中复习讲义 1.理解一元二次方程的概念，掌握三个核心特征：只含一个未知数、未知数最高次数是 2、整式方程；能识别一元二次方程，区分一元一次方程、分式方程。 2.掌握一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a0)，能将方程整理化成一般式，准确识别二次项、一次项、常数项以及对应系数。 3.会根据一元二次方程的定义求字母参数的值，重点留意隐含条件 a0，避免漏判。 4.理解一元二次方程根（解）的含义：使方程左右两边相等的未知数的值；能够检验数值是否为方程的根，也可以利用方程的根代入等式求参数或者代数式的值。 5.熟练掌握四种基础解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，能根据方程的形式灵活选择简便解法。 6.理解配方法的原理，会对二次三项式配方；能用配方法解方程，也会利用配方法求代数式最值、比较代数式大小。 7.理解求根公式的推导来源，记住求根公式，能用公式法求解一元二次方程；知道公式法适用于所有有实数根的一元二次方程。 8.了解换元法，会用换元法把特殊的高次或者复合方程转化为一元二次方程求解，体会转化的数学思想。 9.掌握解方程的基本规范：求出解之后适当检验；明确什么时候方程有两个相等实数根、两个不相等实数根，初步感知根的情况。 10易错辨析：忽略二次项系数不为 0；配方时常数项只在一边加减；因式分解解方程时随意约去含未知数的因式，造成丢根；混淆一元二次方程和其他整式方程的定义。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 由一元二次方程的定义求参数 ★★ 题型四 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 因式分解法解一元二次方程 ★★ 题型七 直接开平方法 ★★ 题型八 配方法 ★★★ 题型九 配方法的应用 ★★★★ 题型十 公式法解一元二次方程 ★★★ 题型十一 换元法解一元二次方程 ★★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1 一元二次方程定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 满足三个条件，缺一不可： 是整式方程（分母不含未知数、根号内不含未知数）； 只含有一个未知数； 未知数的最高次数是2。 反例辨析表 式子 是否一元二次方程 理由 3x2+2x=0 是 整式、一个未知数、最高次 2 2x+5=0 否 最高次数为 1，一元一次方程 x2+3y=1 否 含两个未知数 +x2=2 否 分母含未知数，分式方程 x3-x2=4 否 最高次数为 3 知识点 2 一元二次方程一般形式 标准形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 代数式 名称 对应系数 要求 ax2 二次项 a (a≠0)，若(a=0)则变为一次方程 bx 一次项 b 可为 0 c 常数项 c 可为 0 整理一般式步骤 移项，把所有项移到等式左侧，右侧化为 0；按降幂顺序排列x2、x、常数。 例：2x(x-1)=3 展开：2x2-2x=3，移项得标准式：2x2-2x-3=0，a=2,b=-2,c=-3 特殊形式 知识点 3 一元二次方程的根（解） 1.定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。 2.两大应用 检验：将数值代入方程，左右相等即为根； 求参数：已知x=m是方程的根，把x=m代入，整体代换求字母参数或代数式的值。 例：若x=1是x2+kx-2=0的根，代入得1+k-2=0，解得k=1。 知识点 4 解法一：直接开平方法 适用两类方程 ① x2=p；② (mx+n)2=p（完全平方式等于常数） 根的分类讨论 p的取值 方程根的情况 p>0 两个不相等实数根：x= p=0 两个相等实数根：x1=x2=0 p<0 无实数根（平方不可能为负） 解题步骤：直接开平方→拆分两个一元一次方程→求解。 知识点 5 解法二：因式分解法 核心依据：若A B=0，则A=0或B=0， 适用：方程右边为 0，左边可因式分解 常用分解手段： 提公因式、平方差a2-b2=(a+b)(a-b)、完全平方a22ab+b2=(ab)2 标准步骤 移项，使方程右侧 = 0； 左侧因式分解； 令每个因式分别等于 0，解两个一次方程； 写出两根。 易错提醒：不可两边同除含未知数因式，容易丢根。 知识点 6 解法三：配方法 目的：将方程左边配成完全平方式，转化为可直接开平方的形式 通用完整步骤（ax2+bx+c=0,a≠0） 移项：常数项移到等号右侧 ax2+bx=-c； 化 1：两边同时除以二次项系数 x2+x=； 配方：等式两边同时加一次项系数一半的平方； 写成完全平方：(x+m)2=n； 开平方，分情况求解。 关键口诀：一次项系数对半，平方两边同加。 知识点 7解法四：公式法 求根公式推导：由配方法推导得出 对ax2+bx+c=0（a0）Δ=b2−4ac 时 2. 根的判别式 Δ=b2−4ac Δ取值 根的情况 Δ>0 两个不相等实数根 Δ=0 两个相等实数根 x1=x2=- Δ<0 无实数根 公式法解题流程 整理为标准一般式ax2+bx+c=0(a≠0)； 确定a、b、c（带符号）； 计算判别式Δ，判断有无实根； Δ0时代入求根公式计算两根。 四种解法对比 & 选择技巧 解法 适用题型 优点 直接开平方法 (mx+n)2=p型 计算最快，步骤少 因式分解法 易分解、右边为 0 计算简便，优先选用 配方法 题目指定配方、推导公式 通用，为二次函数铺垫 公式法 所有一元二次方程 万能通用，计算量大 选择顺序：能开方 / 能分解优先，无特殊要求不用配方法，复杂方程用公式法。 知识点8高频易错汇总 错误类型 正确要求 配方只加一边常数 等式左右同时加一次项系数一半平方 公式代入漏负号 b为负数时，-b注意变号 判别式判断遗漏Δ<0无实根 计算完Δ先判断再求根 因式分解两边约去含x式子 必须移项使右侧为 0 再分解，防止丢根 开平方只写正根 正数开方有正负两个根 题型一、一元二次方程的定义 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．5，4， B．5，，1 C．，，1 D．，， 【答案】B 【分析】对照一元二次方程的一般形式，提取各项系数时需包含对应项的符号． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需注意二次项系数不为0，且方程为整式方程这两个关键判定点． 【详解】解：A．未明确，不一定是一元二次方程，故A不符合题意； B．是一元二次方程，故B符合题意； C．含两个未知数，不是一元二次方程，故C不符合题意； D．是分式方程，不是一元二次方程，故D不符合题意． 3．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、方程整理为，则此项是关于的一元一次方程，不符合题意； B、不是整式方程，则此项不是关于的一元二次方程，不符合题意； C、只有当时，是关于的一元二次方程，则此项不一定是关于的一元二次方程，不符合题意； D、因为，所以方程一定是关于的一元二次方程，符合题意； 故选：D． 题型二、化成一元二次方程的一般式 4．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（     ） A．5、 B．、1 C．、 D．5、1 【答案】C 【分析】将方程化为一元二次方程的一般形式后，根据一次项系数、常数项概念解答即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴一次项系数为，常数项为． 5．将一元二次方程化成的形式，则的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将一元二次方程转化为，再一元二次方程可化为的形式，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得，． 6．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______________． 【答案】 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定各项系数后计算和即可． 【详解】解：对原方程去括号，得， 移项并合并同类项，得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 则． 题型三、由一元二次方程的定义求参数 7．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一元二次方程要求二次项系数不为 0，即， 解得 ． 8．已知关于x的方程是一元二次方程，则a的值为______． 【答案】 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数最高次数为；二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得，， 的值为． 9．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．3 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义得到，且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， 解得； 故选B． 题型四、判断是否是一元二次方程的解 10．有下列各数：①；②；③；④．其中是一元二次方程的根的是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【详解】解：当时，，故不是一元二次方程的根； 当时，，故是一元二次方程的根； 当时，，故不是一元二次方程的根； 当时，，故是一元二次方程的根； 综上所述，方程的根为和，对应序号②④. 11．若m是方程的根，则的值为（   ） A．28 B．27 C．26 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故选：B． 12．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 题型五、由一元二次方程的解求参数 13．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：将代入，得， 化简得， 解得． 14．若关于x的一元二次方程有一个根为，则m等于_________． 【答案】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一个根为，先将根代入方程求得的可能值，再根据一元二次方程二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到结果． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为， 即，得， 是原方程的一个根， 将代入原方程得 ， 解得或， ∴． 15．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，变形等式匹配目标方程形式，即可确定所求根． 【详解】解：将代入，得． 将等式两边同时除以，得． 整理得． 方程必有一根为． 题型六、因式分解法解一元二次方程 16．一元二次方程的解是________． 【答案】， 【分析】利用因式分解法求解方程． 【详解】解： 或 ，． 17．已知一元二次方程的两个根分别是和，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知一元二次方程的两根，可构造因式分解形式的方程，展开后对比选项． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴该方程可表示为，展开得． 18．将4个数，，，排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫作2阶行列式，若，则________． 【答案】 【分析】根据新定义先化简方程，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得． 19．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据其中一个根为另一个根的2倍，分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得，． 关于的一元二次方程的其中一个根为另一个根的2倍， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 题型七、直接开平方法 20．一元二次方程的根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，即或， 解得 ，． 21．在解一元二次方程时，可以将其“降次”，转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过开平方根进行降次． 【详解】解：由题意得， ∴或． 22．若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，先将代入一元二次方程得到，将方程可化为，则，再解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为1， ∴，， ∴， ∷方程可化为， ∴， 解得，， 故选：C． 23．若，则关于x的二次方程的解是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了解绝对值、一元二次方程的定义、解一元二次方程等知识点，确定m的值是解题的关键． 由解得或，但二次方程要求二次项系数，因此，故；代入方程后解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 又∵关于x的二次方程， ∴二次项系数，即， ∴， 将代入方程得，即， ∴，即 ， 解得：． 故答案为： ． 题型八、配方法 24．用配方法将方程化成的形式，则n的值为________． 【答案】14 【详解】解：，一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 25．用配方法解方程，配方后得到的方程是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据配方法解一元二次方程的解题步骤解答即可． 【详解】解：移项得， 配方得， 整理得． 26．用配方法将一元二次方程变形为，则_________，______． 【答案】 【分析】按照配方法的步骤变形，将方程整理为目标形式后，对比即可得到和的值． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 两边同除以，将二次项系数化为，得， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 左边整理为完全平方形式，右边计算得， 将上式整理为题目要求的 的形式，得， ∴对比得，． 27．形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法的几何意义与方程求解，先利用方程的解求出参数的值，再根据几何构造的面积关系求出大正方形的面积． 【详解】解：将方程的正数解代入方程，得， 展开化简：，解得． 根据图2的构造，大正方形的边长为， 代入、，得边长为， 因此大正方形的面积为； 故选：D． 题型九、配方法的应用 28．二次三项式的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方的方法求二次三项式的最值问题，属于常考题型，熟练掌握配方的方法和非负数的性质是解题关键． 先把配方成的形式，然后根据非负数的性质解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 29．若一元二次方程可化成的形式，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，求代数式的值，本题将方程转化成，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：C． 30．若将一元二次方程化成的形式，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查配方法的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，确定参数m和n的值，再代入计算即可． 【详解】解：原方程， 配方得， 即， 与形式对比， 得，， ∴． 故答案为：5． 31．已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，配方法的应用，由倒数的定义可得，进而得到，把代入，配方可得，再根据非负数的即可求出的最小值，由倒数的定义得到是解题的关键． 【详解】解：∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 题型十、公式法解一元二次方程 32．若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 33．对于任意的实数a，b，定义一种新运算◆，规定，若，则的值为____________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 34．若方程是一元二次方程，则方程的根是（     ） A．， B．， C．， D．以上都不对 【答案】D 【分析】由一元二次方程的定义可知：最高次项的次数为且二次项系数不为零，求出的值，再利用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， ∴方程为， 化简为, ∵， ∴， ． 题型十一、换元法解一元二次方程 35．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设在方程中，，根据题意可得关于t的一元二次方程的两根分别为、1，则或，据此求解即可． 【详解】解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 36．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 , ∵一元二次方程的两根分别为，, ∴可得或, 解得，, ∴一元二次方程的两根分别为，． 37．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过换元利用已知解求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为， ∴. 整理方程， 移项得， 提取公因式得， 令，则方程变为，与原方程结构完全相同， ∴该方程的一个解为， 即.解得． 解答题 38．解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【分析】（1）对左边因式分解后求解； （2） 用配方法变形后开方求解； （3）整理方程后直接开平方求解； （4）用一元二次方程求根公式求解． 【详解】（1）解： 或， 解得； （2） 解得； （3） 解得； （4） 其中 解得． 39．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程” ． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根为 ．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为 ． (3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)两根为和；友好方程的两根分别是原方程两根的倒数 (3)， 【分析】（1）根据题意即可解答； （2）利用根与系数的关系即可解答； （3）利用（2）中原理可得或，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得一元二次方程的“友好方程”为； （2）解：的“友好方程”为， 可得或， 所以的两根为和； 的两根为和 的两根为和， ， ， 即的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为友好方程的两根分别是原方程两根的倒数； （3）解：方程的“友好方程”为， 根据（2）中结论可得的两根为， 对于， 可得或， 解得，． 40．如图，王师傅要用长的篱笆围成一个面积为的长方形羊圈，该羊圈一面靠墙（墙足够长），求羊圈的长和宽．若设羊圈与墙平行的一边的长为，请列出相应的方程，并说明该方程是不是一元二次方程．若是，请写出二次项系数和一次项系数． 【答案】，该方程是一元二次方程，其二次项系数为1，一次项系数为． 【详解】解：根据题意得，， 将该方程化为一般形式为， 该方程是一元二次方程，其二次项系数为1，一次项系数为． 41．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $