专题03 一元二次方程的概念与解法（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 一元二次方程的概念与解法 01期中考情透视 02复习目标锚定 03知识体系构建 04核心考点精讲 考点一一元二次方程的概念与一般形式 考点二因式分解法与直接开平方法 考点三配方法 考点四公式法与求根公式 05重难题型突破 题型一由一元二次方程的定义求参数 题型二由方程的解求参数或代数式的值 题型三因式分解法与直接开平方法 题型四配方法、公式法与换元法 06限时分层演练 基础固本练/综合进阶练 一元二次方程是八年级上册期中试卷解答题的核心板块.本章知识点总量不多，核心能力是根据方程特征合理选择解法；若方法选用不当，会大幅增加运算量，极易出现错误.本章复习重点在于解法的甄别选用，而非单纯记忆解法步骤. 题型分布：各类题都有考查. 题型特点：解答题数量最多，是本章的主要考查形式.解答题常设置多小问，同一道题目可适配多种解法，重在考查学生选择简便解法的能力. 难度分布：以中档难度为主，极少出现偏题、怪题，是训练解题规范、稳定获取基础分值的重点章节. 高频命题方向：含字母系数方程的二次项系数分类讨论、利用方程的解求参数或代数式的值（整体代入思想）、优先选用因式分解法求解方程. 备考规划：第一阶段，梳理四种解法各自对应的适用条件；第二阶段，使用配套《基础固本练》限时15分钟训练，每种解法配套习题练习，熟悉题型手感；《综合进阶练》用于突破换元法、含参数分类讨论类题型. 识记　一元二次方程的定义与一般形式ax²+bx+c=0 (a≠0)；二次项、一次项、常数项；方程的解（根）的定义. 理解　直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法各自的适用条件与步骤. 应用　选用合适的方法解方程；由方程的解求参数；含字母系数方程的分类讨论；换元法解特殊结构方程. 考点一 一元二次方程的概念与一般形式（21.1） 【教材知识点】 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作_________.例如、、都是一元二次方程，必要时可以通过移项及化简把它们化成一般形式. 一般形式：（、、为已知数，且）.其中叫作_________，是二次项_________；叫作_________，是一次项_________；叫作_________. 满足方程（）的实数叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根.对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根（把值代入，看左右两边是否相等）. 判断"是不是一元二次方程"三个要件缺一不可：①整式方程（含分式，不是）；②只含一个未知数；③化简后最高次数是2（化简后二次项消去，不是）. 化一般形式时系数带着符号搬家：化得，一次项是，一次项系数是，常数项是. 系数可以是无理数：的一般形式为，二次项系数是. 二次项系数是"一元二次方程"身份的前提：方程整理为，只有时才是一元二次方程. 系数含字母时"一元二次方程"与"一元一次方程"分别对应与且的条件讨论. 一元二次整式言，最高次二次是关键；一般形式三家口，不为零才过关；判断是不是它的根，代入验值左右看. 考点二因式分解法与直接开平方法（21.2上） 【教材知识点】 因式分解法的依据：当时，必有或_________；反之，当或时，必有_________. 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题——像这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法.因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程. 教材例题： 分解为，得、； 移项提公因式得. 直接开平方法：解就是求1200的平方根，两边开平方得；而因为负数没有平方根，没有实数根. 归纳：（）化为（）： 1．当时，方程有两个不相等的实数根，； 2．当时，方程有两个相等的实数根； 3．当时，方程没有实数根. 因式分解法的前提是右边为0：必须先移项得，两边除以含未知数的式子会失根. 直接开平方法适用于与型；开平方结果必须带. 型的根是与（符号跟因式内部相反）. 型别忘了时也是"两个（相等）实数根"，不是"一个根". 先化成再开方得；负数情况直接写"没有实数根". 积为零，拆两半，因式分解最省算； 平方数，直接开，正负两根一起带； 开方遇负不用算，实数范围没有根. 考点三 配方法（21.2） 【教材知识点】 在方程的两边同加上__________________，像这样给加上25配成完全平方式的过程，简称"配方".通过"配方"来解一元二次方程的方法，可称为_________. 当二次项系数不为1时，为了便于配方，往往先将二次项系数化为_________（两边同除以二次项系数），再配方.教材例6：化为，配方得，解得，. 配方加的是"一次项系数一半的平方"：填与；配方加. 配方对象是左边二次项与一次项，常数项先移到右边再配. 教材纠错题：移项得后，配方应得吗？错——两边应加，得.只给左边加、忘给右边加是配方最高频错误. 两边开平方后必须写""或""两种情况，只写正号会丢一半根. 二次项系数不为1时先除后配. 移常数，留一系； 一半平方两边齐； 系数化一再配方， 开方正负别忘记. 考点四 公式法与求根公式（21.2下） 【教材知识点】 对任意一元二次方程（）用配方法求解，得，分类讨论： 1．当时，得__________________——这个式子叫作一元二次方程（）的求根公式； 2．当时，原方程没有实数根. 在求根公式中，如果，那么，即方程有两个相等的实数根（重根）. 公式法：把方程化成一般形式，若，把、、的值代入求根公式求根；若，原方程没有实数根.公式法适用所有的一元二次方程. 用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般形式确定、、的值，特别要注意、、的符号. 教材例题： ，，、； 化为，，； 化为，，； 化为，，无实数根. 代入公式前必须先化一般形式：的是不是；的一次项系数（移项变号）. 时方程有两个相等的实数根，仍要写的形式，不能说"只有一个根". 教材纠错题：中不是，——移项忘了变号导致算错. 是负数时要加括号：. 根号内结果能开方要先开尽：，代入公式前约分. 题型一由一元二次方程的定义求参数 典例1（25-26八年级上·上海·期中）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 破题要诀：两个条件：最高次数是2、二次项系数不为0.两个条件缺一不可. 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海·期中）关于x的方程（a﹣1）x2＋x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是(     ) A．a≠1 B．a≥－1且a≠1 C．a＞－1且a≠1 D．a≠±1 2．（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为（    ） A．1，8，4 B． C．5，8，4 D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）若方程是关于的一元二次方程，则______． 题型二 由方程的解求参数或代数式的值 典例2（25-26八年级上·上海浦东新·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 破题要诀：有根就代入.求代数式时，先把所求式凑成已知式子的结构，能整体代入的绝不硬算. 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么_______． 2．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若是方程的根，则代数式的值是______． 3．（25-26八年级上·上海·期中）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 题型三 因式分解法与直接开平方法 典例3（25-26八年级上·上海·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    迁移应用 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）方程x（x﹣2）=x的根是____． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果最简根式与是同类二次根式，则________． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根满足，求k的值． 题型四 配方法、公式法与换元法 典例1（25-26八年级上·上海黄浦·期中）用配方法解方程2x2-4x-3=0. 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为______． 2．（25-26八年级上·上海静安·期中）关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为_______________． 3．（25-26八年级上·上海长宁·期中）已知，则的值为____． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m=_________． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为__________． 4．（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 5．（25-26八年级上·上海·期中）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程有一个根为2，求方程的另一根． 7．（25-26八年级上·上海虹口·期中）方程的根是_________． 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·上海·期中）若实数，分别满足，，且，则的值为______． 2．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 3．（25-26八年级上·上海·期中）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 4．（25-26八年级上·上海·期中）小明在解方程时采用了下面的方法：由 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： 解方程，得方程的解为______． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则的值是______________； （2）求证：无论取何值，二次根式都有意义； （3）若代数式的最小值为2，求的值． 6．（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：_________． 7．（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内分解因式：____． 8．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）在实数范围内因式分解：___________. 1 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的概念与解法 01期中考情透视 02复习目标锚定 03知识体系构建 04核心考点精讲 考点一一元二次方程的概念与一般形式 考点二因式分解法与直接开平方法 考点三配方法 考点四公式法与求根公式 05重难题型突破 题型一由一元二次方程的定义求参数 题型二由方程的解求参数或代数式的值 题型三因式分解法与直接开平方法 题型四配方法、公式法与换元法 06限时分层演练 基础固本练/综合进阶练 一元二次方程是八年级上册期中试卷解答题的核心板块.本章知识点总量不多，核心能力是根据方程特征合理选择解法；若方法选用不当，会大幅增加运算量，极易出现错误.本章复习重点在于解法的甄别选用，而非单纯记忆解法步骤. 题型分布：各类题都有考查. 题型特点：解答题数量最多，是本章的主要考查形式.解答题常设置多小问，同一道题目可适配多种解法，重在考查学生选择简便解法的能力. 难度分布：以中档难度为主，极少出现偏题、怪题，是训练解题规范、稳定获取基础分值的重点章节. 高频命题方向：含字母系数方程的二次项系数分类讨论、利用方程的解求参数或代数式的值（整体代入思想）、优先选用因式分解法求解方程. 备考规划：第一阶段，梳理四种解法各自对应的适用条件；第二阶段，使用配套《基础固本练》限时15分钟训练，每种解法配套习题练习，熟悉题型手感；《综合进阶练》用于突破换元法、含参数分类讨论类题型. 识记　一元二次方程的定义与一般形式ax²+bx+c=0 (a≠0)；二次项、一次项、常数项；方程的解（根）的定义. 理解　直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法各自的适用条件与步骤. 应用　选用合适的方法解方程；由方程的解求参数；含字母系数方程的分类讨论；换元法解特殊结构方程. 考点一 一元二次方程的概念与一般形式（21.1） 【教材知识点】 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程.例如、、都是一元二次方程，必要时可以通过移项及化简把它们化成一般形式. 一般形式：（、、为已知数，且）.其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项. 满足方程（）的实数叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根.对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根（把值代入，看左右两边是否相等）. 判断"是不是一元二次方程"三个要件缺一不可：①整式方程（含分式，不是）；②只含一个未知数；③化简后最高次数是2（化简后二次项消去，不是）. 化一般形式时系数带着符号搬家：化得，一次项是，一次项系数是，常数项是. 系数可以是无理数：的一般形式为，二次项系数是. 二次项系数是"一元二次方程"身份的前提：方程整理为，只有时才是一元二次方程. 系数含字母时"一元二次方程"与"一元一次方程"分别对应与且的条件讨论. 一元二次整式言，最高次二次是关键；一般形式三家口，不为零才过关；判断是不是它的根，代入验值左右看. 考点二因式分解法与直接开平方法（21.2上） 【教材知识点】 因式分解法的依据：当时，必有或；反之，当或时，必有. 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题——像这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法.因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程. 教材例题： 分解为，得、； 移项提公因式得. 直接开平方法：解就是求1200的平方根，两边开平方得；而因为负数没有平方根，没有实数根. 归纳：（）化为（）： 1．当时，方程有两个不相等的实数根，； 2．当时，方程有两个相等的实数根； 3．当时，方程没有实数根. 因式分解法的前提是右边为0：必须先移项得，两边除以含未知数的式子会失根. 直接开平方法适用于与型；开平方结果必须带. 型的根是与（符号跟因式内部相反）. 型别忘了时也是"两个（相等）实数根"，不是"一个根". 先化成再开方得；负数情况直接写"没有实数根". 积为零，拆两半，因式分解最省算； 平方数，直接开，正负两根一起带； 开方遇负不用算，实数范围没有根. 考点三 配方法（21.2中） 【教材知识点】 在方程的两边同加上一次项系数一半的平方，像这样给加上25配成完全平方式的过程，简称"配方".通过"配方"来解一元二次方程的方法，可称为配方法. 当二次项系数不为1时，为了便于配方，往往先将二次项系数化为1（两边同除以二次项系数），再配方.教材例6：化为，配方得，解得，. 配方加的是"一次项系数一半的平方"：填与；配方加. 配方对象是左边二次项与一次项，常数项先移到右边再配. 教材纠错题：移项得后，配方应得吗？错——两边应加，得.只给左边加、忘给右边加是配方最高频错误. 两边开平方后必须写""或""两种情况，只写正号会丢一半根. 二次项系数不为1时先除后配. 移常数，留一系； 一半平方两边齐； 系数化一再配方， 开方正负别忘记. 考点四 公式法与求根公式（21.2下） 【教材知识点】 对任意一元二次方程（）用配方法求解，得，分类讨论： 1．当时，得——这个式子叫作一元二次方程（）的求根公式； 2．当时，原方程没有实数根. 在求根公式中，如果，那么，即方程有两个相等的实数根（重根）. 公式法：把方程化成一般形式，若，把、、的值代入求根公式求根；若，原方程没有实数根.公式法适用所有的一元二次方程. 用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般形式确定、、的值，特别要注意、、的符号. 教材例题： ，，、； 化为，，； 化为，，； 化为，，无实数根. 代入公式前必须先化一般形式：的是不是；的一次项系数（移项变号）. 时方程有两个相等的实数根，仍要写的形式，不能说"只有一个根". 教材纠错题：中不是，——移项忘了变号导致算错. 是负数时要加括号：. 根号内结果能开方要先开尽：，代入公式前约分. 题型一由一元二次方程的定义求参数 典例1（25-26八年级上·上海·期中）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 破题要诀：两个条件：最高次数是2、二次项系数不为0.两个条件缺一不可. 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海·期中）关于x的方程（a﹣1）x2＋x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是(     ) A．a≠1 B．a≥－1且a≠1 C．a＞－1且a≠1 D．a≠±1 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案． 【详解】∵关于x的方程（a-1）x2+x+2=0是一元二次方程， ∴a-1≠0，a+1≥0， 解得：a≥-1，且a≠1． 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为（    ） A．1，8，4 B． C．5，8，4 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】方程经过展开、移项、整理可得一般形式，接下来就可得到二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：将左边展开得： ， 移项、合并同类项得：， ∴二次项系数，一次项系数，常数项分别为， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式（a、b、c为常数，），其特征是等式左边是含一个未知数的二次三项式，右边是0，其中叫做二次项，a叫做二次项系数，叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项． 3．（25-26八年级上·上海·期中）若方程是关于的一元二次方程，则______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 题型二 由方程的解求参数或代数式的值 典例2（25-26八年级上·上海浦东新·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、根据一元二次方程根的情况求参数、倒数、公式法解一元二次方程 【分析】（1）设所求方程的根为y，根据题意可得，所以，把代入方程，即可得出答案； （2）设原方程的根为x，则，所以，代入方程，得，再用反证法证明即可； （3）设所求方程的根为y，则，所以，代入原方程，得，由方程有两个实数根可得，于是可得，进而可得，用公式法解一元二次方程可得，由根是整数可知为偶数且为完全平方数，因而可得或，代入方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，根据题意可得： ， ， 把代入方程， 得：， 故答案为：； （2）解：设原方程的根为x，则，所以， 代入方程，得： ， 去分母，得：， 若，则有：， 即：， 于是，方程有一个根为0，这不合题意， ， 原方程为：； （3）解：设所求方程的根为y，则，所以， 代入原方程，得：， 去分母，得：， ， ， 又， ， ， 根是整数， 为偶数且为完全平方数， 或， 所求方程为： ，即：， 或，即：． 【点睛】本题主要考查了相反数的应用，等式的性质，一元二次方程的解，倒数，等式的性质，提公因式法分解因式，反证法，根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程等知识点，深刻理解“换根法”并能加以运用是解题的关键． 破题要诀：有根就代入.求代数式时，先把所求式凑成已知式子的结构，能整体代入的绝不硬算. 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么_______． 【答案】1或3 【知识点】由一元二次方程的解求参数、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，正确理解“互为好友方程”的定义是解题关键． 先解出，然后分为和两种情况，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当好友根为时，则， 即； 当好友根为时，则， 即； 故答案为：或3． 2．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若是方程的根，则代数式的值是______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、异分母分式加减法、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海·期中）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)8 (3)2028 【知识点】由一元二次方程的解求参数、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． （1）先表示出，再展开，得到，即可得到结果； （2）先表示出，再展开，即可得到结果； （3）先表示出，再展开，带入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，即． ； （2）解：， ， ，即， ． （3）解：， ， ，即， ． 题型三 因式分解法与直接开平方法 典例3（25-26八年级上·上海·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    【答案】(1)； (2) 解：将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，    则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． (3)，． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【详解】（1）由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： （2）略 （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．．        迁移应用 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）方程x（x﹣2）=x的根是____． 【答案】x1=0，x2=3． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】因式分解法解一元二次方程． 【分析】原方程可化为x（x﹣2）﹣x=0， x（x﹣2﹣1）=0， x=0或x﹣3=0， 解得：x1=0，x2=3． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果最简根式与是同类二次根式，则________． 【答案】 【知识点】同类二次根式、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义得，即可求解；理解定义“几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，， 当时， ， 舍去， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式； （1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值． 【详解】（1）解：根据题意得 解得； （2）解：根据题意得： ∵， ， 即， 整理得， 解得 ∵， ∴． 题型四 配方法、公式法与换元法 典例1（25-26八年级上·上海黄浦·期中）用配方法解方程2x2-4x-3=0. 【答案】x1=1+，x2=1-. 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】借助完全平方公式，将原方程变形为，开方，即可解决问题． 【详解】解：∵2x2-4x-3=0， 点睛：用配方法解一元二次方程的步骤：移项（常数项右移）、二次项系数化为1、配方（方程两边同加一次项一半的平方）、开方、求解、定解 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为______． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知或，从而求解； 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴解得：． 2．（25-26八年级上·上海静安·期中）关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为_______________． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，直接利用求根公式进行求解即可． 【详解】解：∵根的判别式的值是， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海长宁·期中）已知，则的值为____． 【答案】1 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用因式分解法解得，，进而求解即可． 【详解】设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或 ∴， ∵ ∴应舍去 ∴ ∴． 故答案为：1． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m=_________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】由一元二次方程的定义回答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， 且． 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为__________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，先把把代入，得，则，即可作答． 【详解】解：把代入， 得， 则， 则， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根代入方程，得到关于的方程，解出，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·期中）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 【答案】A 【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程有一个根为2，求方程的另一根． 【答案】(1)k≥﹣1； (2)方程的另一根为﹣4． 【知识点】一元二次方程的解、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案； （2）由方程有一个根为2，设方程的另一根根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案． 【详解】（1）解：（1）∵方程有两个实数根， ∴，即 ∴； （2）解：方程有一个根为2，设方程的另一根 所以可方程的另一根为 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 7．（25-26八年级上·上海虹口·期中）方程的根是_________． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】根据直接开平方解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键． 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 【答案】/ 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程．由题意得方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故答案为： 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·上海·期中）若实数，分别满足，，且，则的值为______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据题意可以把、看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，再代入代数式进行求解即可． 【详解】解：∵、分别满足， ∴可以、看作是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海·期中）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 【答案】或或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、新定义下的实数运算 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 4．（25-26八年级上·上海·期中）小明在解方程时采用了下面的方法：由 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： 解方程，得方程的解为______． 【答案】或 【知识点】运用平方差公式进行运算、无理方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解无理方程，一元二次方程，平方差公式，先计算，然后得，则可以求出，再平方，最后解一元二次方程并检验即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 又由，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可得: 整理得：，解得：或， 经检验或是原方程的解, 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则的值是______________； （2）求证：无论取何值，二次根式都有意义； （3）若代数式的最小值为2，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：， 又，， 无论取何值，的值都是正数，∴无论取何值，二次根式都有意义． （3）． 【知识点】配方法的应用、二次根式有意义的条件、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】（1）把右边化简，求出a和b的值，进而可求出ab的值； （2）把被开方数配方，即可证明结论成立； （3）把所给代数式配方，根据代数式的最小值为2，得出关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴2a=4，a2+b=-1， ∴a=2，b=-5， ∴ab= （2）略 （3）原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键．此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．也考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解法． 6．（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：_________． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式、公式法解一元二次方程 【分析】结合题意，当时，通过求解一元二次方程，得，结合，即可得到答案． 【详解】 当时，得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 7．（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内分解因式：____． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将原式变形为，再利用平方差公式分解即可得． 【详解】解： = = = ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 8．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）在实数范围内因式分解：___________. 【答案】 【知识点】因式分解的应用、公式法解一元二次方程 【分析】根据一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可． 【详解】解：解一元二次方程0 ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法以及实数范围内分解因式，根据题意得出方程的根是解决问题的关键． 1 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $