专题02 期中复习压轴8类题型归纳（考试范围：测试范围：第19章 实数～第20章 二次根式）（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题02 期中复习压轴8类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：测试范围：第19章 实数~第20章 二次根式） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 1 【题型2 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 3 【题型3 二次根式化简与大小比较】 5 【题型4 二次根式估值确定整数部分】 7 【解答压轴】 9 【题型5 算术平方根非负性综合应用】 9 【题型6 实数运算新定义综合】 11 【题型7 复杂二次根式化简求值】 14 【题型8 比较二次根式的大小】 18 【选填压轴】 【题型1 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 【例1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，可得，求出后代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ， ． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 【题型2 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 【例2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和绝对值的化简，利用二次根式被开方数的非负性确定的取值范围，化简绝对值后整理等式，再变形得到所求代数式的值，运用整体代入的思想求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得，即， ， ， 将其代入原等式得：， 整理得， 两边平方得：， 移项得：， 故答案为． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川内江·期末）若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的非负数的性质及代数式求值，利用非负数的性质，确定a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴且， ∴，， ∴ 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【答案】1 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式2-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二次根式的定义和性质，求代数式的值，理解绝对值和二次根式的非负性是解题的关键．根据平方根的非负性，确定c的值；再根据绝对值的非负性和平方根的定义，求出a和b的值；最后代入代数式计算。 【详解】解：且， ， ， ∴ 且， ，即：， ， 且， 解得，，， ， 故答案为：4． 【题型3 二次根式化简与大小比较】 【例3】（24-25八年级下·河南周口·期中）将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，据此根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， ∴． ∴， 故选：D． 【变式3-1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】此题考查了两数实数大小，先计算倒数，然后作差值比较即可，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算和实数比较大小的方法． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【变式3-3】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，设，利用完全平方公式求出的值，再进行分母有理化，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴ 又∵， ∴原式， 故答案为：． 【题型4 二次根式估值确定整数部分】 【例4】（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）若的整数部分是，小数部分是，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式运算的应用，熟练掌握以上知识点求出、的值是解题的关键．根据，求出、的值，代入即可求解． 【详解】 ， ， ， ， 的整数部分，小数部分， ； 故答案为4． 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式4-2】设，则的整数部分为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，算式平方根的估算，根据二次根式的运算法则，先求出，进而求出a的值，再把a的值代入所求代数式，根据算式平方根的估算求解即可． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ， 的整数部分为2， 故选：． 【变式4-3】（25-26九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． 【解答压轴】 【题型5 算术平方根非负性综合应用】 【例5】（2025九年级上·上海·专题练习）对一切实数k，有成立，求k的最大值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， ∴， 设， 则， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 【变式5-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 【答案】，，的平方根是． 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入求出的值，最后计算的平方根． 【详解】解：根据二次根式的被开方数非负，可得： 解得：． 将代入原式，得： 解得：． ． ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、平方根的计算，解题关键是利用二次根式被开方数非负的性质确定的值，进而求出其他量． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b为有理数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、非负数的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数、几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0是解题的关键． 先确定二次根式中被开方数的取值范围，再整理原式，利用非负数的和为0时，每个非负数都为 0的性质求出的值，最后代入计算式子的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵由题意得且， ∴且， ∵， ∴且， 故且 解得，， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 【题型6 实数运算新定义综合】 【例6】（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 【答案】(1)是；不是 (2)或 【分析】（1）根据“齐整数组”的定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“齐整数组”的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是“齐整数组”； ∵，则不是整数， ∴不是“齐整数组”； （2）解：∵为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴或， ∴或， 解得：或， 即的值为或． 【变式6-1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用、有理数的加减运算、立方根、平方根以及解一元一次方程： （1）根据定义进行加法运算即可； （2）利用题意列等式，利用新定义将等式的左边化简为一元一次方程，再求解出，最后计算其平方根． 【详解】（1）解：． （2）解：的立方根是2， ， ， ， ， 解得， 的平方根为． 【变式6-2】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为0或 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意可知，，即 ． ∵， ①当，即时， ，， ∴，无解； ②当，即 时， ∴，， ∴，解得； ③当，即时， 此时成立， 综上，的值为或． 【变式6-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，，，所以它是“和谐数组”． (1)判断： “和谐数组”， “和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 【答案】(1)是；不是 (2)或12． 【分析】（1）根据“和谐数组”定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“和谐数组”的定义计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，则是“和谐数组”； ，不是整数，则不是“和谐数组”； （2）解：因为为“和谐数组”， 则， 若，即，解得，，符合题意； 若，即，解得，，符合题意； 所以或12． 【题型7 复杂二次根式化简求值】 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 【答案】 解：不正确．正确的解答过程如下： ，， ， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握先根据二次根式有意义的条件确定字母的符号，再结合二次根式的乘法法则化简，同时正确处理根号化简后的绝对值符号是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定a的符号，再依据二次根式的乘法法则化简，同时注意根号化简后绝对值的符号处理． 【详解】略 【变式7-1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ① ； ②化简． 【答案】(1) 解： ∴ ； (2)①；②9 【分析】（1）将的值代入，进行计算即可； （2）①进行分母有理化即可；②先进行分母有理化，再进行合并即可． 【详解】（1）略 （2）解：①； ②原式 ． 【变式7-2】（25-26八年级下·云南玉溪·阶段检测）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据材料中的方法一、方法二求解即可； （2）先利用方法一化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简a，然后将化为，然后将a的值代入求值即可． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：． （2）解： ． （3）解：， 所以， ． 【变式7-3】（26-27八年级上·江西·期中）下面我们观察： ，反之， ， ． 仿上例，求： (1)化简：； (2)计算： ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式化简即可； （2）结合完全平方公式，找到规律，进而解题． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， 则 ． 【题型8 比较二次根式的大小】 【例8】（25-26九年级上·山西·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以2，，为边构造三角形，利用三角形中▲　　　　进行比较． 问题思考：以2，，为边构造的三角形为■　　　　三角形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容：　　　　．“■”处空缺的内容：　　　　． (2)请补全材料中“……”处的解答过程． (3)直接写出与之间的大小关系． 【答案】(1)两边之和大于第三边（三边之间的关系）；直角 (2)解：，， 又， ； (3)． 【分析】（1）利用三角形三边关系确定三角形形状即可； （2）根据二次根式运算求出分别平方后的值进行判断即可； （3）计算和的平方，进行判断即可． 【详解】（1）解：研究报告中“▲”处空缺的内容：两边之和大于第三边（三边之间的关系）； “■”处空缺的内容：直角； （2）略 （3）解：∵，， 又∵， ∴， ∴． 【变式8-1】（26-27八年级上·甘肃·期中）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， ， …… (1)利用上面的规律，计算：． (2)利用上面的思路，计算：． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用平方差公式进行分母有理化，再计算即可求出式子的值； （2）先通分，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式将与进行转化，再进行比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， 即． 【变式8-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)①；②34 (3)a的值是，b的值为 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的含义可得答案； （2）①由，可得，进一步可得结论；②先把各项分母有理化，再合并即可. （3）把条件化为，再结合实数的性质进一步解答即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴与互为有理化因式，将分母有理化得. （2）解：①∵， ， 而， ∴， ∴； ② . （3）解：∵， ∴， 即， ， 解得， 即a的值是，b的值为． 【变式8-3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为．求证： (1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格． (2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明． 【答案】(1)①；②；③ (2) 选择①．推导思路如下： 由，且，得．    配方，得， ∴ 即   ∴   选择②．推导思路如下： 由，得， 则，即．     因为， 所以，即． 【分析】（1）①根据完全平方公式可得①的结果； ②根据二次根式的性质可得②的结果； ③比较结果①与结果②可得两个代数式的大小关系. （2）选择其中任意一种解答即可. 【详解】（1）① 故答案为：    . ②， 故答案为：. ③∵ ∴ ∴ 故答案为：>． （2）略 【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式进行配方，以及运用平方差公式进行因式分解的内容，灵活运用因式分解解决问题是解题的关键. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中复习压轴8类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：测试范围：第19章 实数~第20章 二次根式） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 1 【题型2 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 1 【题型3 二次根式化简与大小比较】 2 【题型4 二次根式估值确定整数部分】 2 【解答压轴】 3 【题型5 算术平方根非负性综合应用】 3 【题型6 实数运算新定义综合】 3 【题型7 复杂二次根式化简求值】 4 【题型8 比较二次根式的大小】 5 【选填压轴】【题型1 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 【例1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 【变式1-1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 【例2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为______． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川内江·期末）若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【变式2-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则_________． 【题型3 二次根式化简与大小比较】 【例3】（24-25八年级下·河南周口·期中）将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【变式3-3】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）化简______． 【题型4 二次根式估值确定整数部分】 【例4】（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）若的整数部分是，小数部分是，则的值是_____． 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】设，则的整数部分为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（25-26九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【解答压轴】 【题型5 算术平方根非负性综合应用】 【例5】（2025九年级上·上海·专题练习）对一切实数k，有成立，求k的最大值． 【变式5-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b为有理数，且，求的值． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【题型6 实数运算新定义综合】 【例6】（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 【变式6-1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【变式6-2】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【变式6-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，，，所以它是“和谐数组”． (1)判断： “和谐数组”， “和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 【题型7 复杂二次根式化简求值】 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 【变式7-1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ① ； ②化简． 【变式7-2】（25-26八年级下·云南玉溪·阶段检测）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 【变式7-3】（26-27八年级上·江西·期中）下面我们观察： ，反之， ， ． 仿上例，求： (1)化简：； (2)计算： ． 【题型8 比较二次根式的大小】 【例8】（25-26九年级上·山西·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以2，，为边构造三角形，利用三角形中▲　　　　进行比较． 问题思考：以2，，为边构造的三角形为■　　　　三角形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容：　　　　．“■”处空缺的内容：　　　　． (2)请补全材料中“……”处的解答过程． (3)直接写出与之间的大小关系． 【变式8-1】（26-27八年级上·甘肃·期中）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， ， …… (1)利用上面的规律，计算：． (2)利用上面的思路，计算：． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【变式8-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 【变式8-3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为．求证： (1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格． (2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $