2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第13章三角形轴对称 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列关于三角形的分类，正确的是（     ） A．三角形按边分类可分为等腰三角形和等边三角形 B．三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．等腰三角形一定是锐角三角形 2．已知图中的两个三角形全等，则等于（     ） A． B． C． D． 3．已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，直线是经过点且平行于轴的直线，点与点关于直线轴对称，则的值为（     ） A．0 B．1 C． D． 5．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，已知，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 6．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列结论：①；②和面积相等；③；④．其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在中，为边上的高，为上一动点，则的最小值为（     ） A．10 B．8 C．5 D．4 8．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则①平分；②；③；④．则正确结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 9．如图，在等边三角形中，是边的中点，于点，是上的动点，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，，点P为内一点，M、N分别是射线、上的动点，连接、、，当最小时，（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，则__________． 12．如图，在中，和的平分线交于点，过点作，交于E，交于F，若，，则线段的长为_____． 13．如图，D，F分别是的边，的中点，连接，交于点G，的面积为6，设的面积为，的面积为，则______． 14．如图，方格中有四个相同的正方形，则，，的度数之和是 ___________ ． 15．某机器人社团开展机器人比赛．比赛场地如图所示：在四边形中，，E，F分别为上的点，，，，，则______°．经测量．现要求机器人从边上的一点P出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点P，若，机器人的速度为，则机器人完成比赛所用的最短时间为______s． 16．如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中： ①点在运动的过程中，始终有； ②当点在线段上时，； ③当点在线段上时，； ④当点不在线段上时，． 所有正确结论的序号是：_____． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 18．（8分）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 19．（8分）如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 20．（8分）尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； (2)如图②，在边上找一点，使的周长等于； 21．（9分）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则_______；_______；点的坐标为_______． (2)在移动过程中，当点移动6秒时，求的面积； (3)在（2）的条件下，轴和轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 22．（10分）“一线三垂直”属于“一线三等角”模型的特例，特点是三个相等的角都是直角，对应有三组边相互垂直．若该模型内有一组对应边相等，则一定能找到一对全等三角形．（如图：） (1)如图，在等腰直角中，，．过点作直线，于，于．若，， ①求证：； ②求的长． (2)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． ①连接、，则是等腰直角三角形吗？请判断，并说明理由． ②第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 23．（10分）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 24．（11分）【问题情境】在和中，，，． (1)【初步探究】如图①，当点，，在同一条直线上时，连接，，延长交于点，则与之间有什么关系？ (2)【类比探究】如图②，当点，，不在同一条直线上时，连接交于点，连接交于点，（1）中的结论是否仍然成立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图③，在（2）的条件下，连接并延长交于点，的大小确定吗？若确定，求出的度数；若不确定，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第13章三角形轴对称 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列关于三角形的分类，正确的是（     ） A．三角形按边分类可分为等腰三角形和等边三角形 B．三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．等腰三角形一定是锐角三角形 【答案】B 【详解】解：A选项，三角形按边分类分为不等边三角形和等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，不能与等腰三角形并列，错误，该选项不符合题意； B选项，三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确，该选项符合题意； C选项，三个角均为锐角的三角形是锐角三角形，有一个锐角的三角形可能为直角或钝角三角形，错误，该选项不符合题意； D选项，等腰三角形的顶角可以是直角或钝角，不一定是锐角三角形，错误，该选项不符合题意． 2．已知图中的两个三角形全等，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵两个三角形全等 ， ∴对应角相等， 由图可知，边与边的夹角为，且为对应角， ∴． 3．已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号化简． 【详解】解：∵、、是的三边长， ∴，， ∴，， ∴ ． 4．在平面直角坐标系中，直线是经过点且平行于轴的直线，点与点关于直线轴对称，则的值为（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，解方程，再代入即可解答． 【详解】解：由题意得直线为， ∵点与点关于直线轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 5．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，已知，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：是由沿折叠得到的， ，， ，， ． ， ， ． 6．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列结论：①；②和面积相等；③；④．其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合是的中线，可知点是边的中点，可得，所以和等底同高，据此可对②作出判断， 再利用三角形全等的判定方法可证和全等，对④作出判断， 然后由全等三角形的性质和平行线的判定定理可得与的关系． 【详解】解：∵是的中线， ∴，，②正确； 又∵，， ∴，④正确； ∴，，①正确； ∴，③正确． 7．如图，在中，为边上的高，为上一动点，则的最小值为（     ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】D 【分析】过点作于点，利用等面积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 解得， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小，即最小值为4． 8．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则①平分；②；③；④．则正确结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】过点P作于点D，由角平分线的性质得到，则由角平分线的判定定理可判断①；证明，得到，，同理可证明，则，可证明，据此可判断②；根据三角形外角的性质可证明，，据此可判断③；由全等三角形的性质可判断④． 【详解】解：如图所示，过点P作于点D， ∵、的角平分线、交于点，，，， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； ∵， ， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 9．如图，在等边三角形中，是边的中点，于点，是上的动点，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由等边三角形的性质可得，，，则，故当三点共线时，的最小值为的长，然后通过等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∵于点，是边的中点， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，的最小值为的长，如图， ∵， ∴，即的最小值为． 10．如图，，点P为内一点，M、N分别是射线、上的动点，连接、、，当最小时，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作的对称点，作的对称点，推出当、、、四点共线时有最小值，结合三角形外角的性质解题． 【详解】解：如图，过点作的对称点，作的对称点，连接、， 由对称性知，， ∴， 当且仅当、、、四点共线时有最小值，连接分别交于、交于，连接、，即所求的角为； ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，则__________． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，可知，进而根据高的定义及三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 12．如图，在中，和的平分线交于点，过点作，交于E，交于F，若，，则线段的长为_____． 【答案】5 【分析】由角平分线的性质可得，，再由平行线的性质可得，，进而得出，，从而得出，，最后根据即可求出结果． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 13．如图，D，F分别是的边，的中点，连接，交于点G，的面积为6，设的面积为，的面积为，则______． 【答案】2 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，可知，，由此可判断出，，根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：，F分别是，的中点，的面积为6， ， ，， ，① ，② ①+②，得， 即． 14．如图，方格中有四个相同的正方形，则，，的度数之和是 ___________ ． 【答案】/135度 【分析】证明和全等，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的两个锐角互余得出，可得出，再由正方形的性质可知，进而可得答案. 【详解】解：在和中， ， ， , ， ， 又， ． 15．某机器人社团开展机器人比赛．比赛场地如图所示：在四边形中，，E，F分别为上的点，，，，，则______°．经测量．现要求机器人从边上的一点P出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点P，若，机器人的速度为，则机器人完成比赛所用的最短时间为______s． 【答案】 78 98 【分析】依据题意，过C作于G，先证明，从而，可得；过B作于H，再证明，可得，P的路程为，又分别作P关于的对称点，连接交于点M，交于点N，然后根据对称性可得此时最小，进而可以计算得解． 【详解】解：如图1，过C作于G， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴； 如图2，过B作于H， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴． 当P运动到H时，最短，此时． 如图3，现要求机器人从边上的一点P出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点P， ∴P的路程为：． 又分别作P关于的对称点，，连接交于点M，交于点N， ∴根据对称性可得此时最小． 又根据对称性可得，，，， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∴． 又∵当时，路程最小，最小值为49， ∴机器人完成比赛所用的最短时间为：． 故答案为：78；98． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂线段最短、轴对称的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意找出机器人行走的最短路径是关键． 16．如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中： ①点在运动的过程中，始终有； ②当点在线段上时，； ③当点在线段上时，； ④当点不在线段上时，． 所有正确结论的序号是：_____． 【答案】①②③ 【分析】①由线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形三线合一的性质可以先证明，即可得，设，,通过等腰三角形的性质以及三角形内角和定理找出与的关系式，即可求解； ②为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点，当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大．当点在线段上时，分两种情况讨论即可； ③在上截取，先证明的等边三角形，再证明即可求解； ④当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，分两种情况讨论即可． 【详解】解：①线段的垂直平分线交直线于点， ． ，， 平分， ． 在和中， ， ， ， ． ，， ， ． 设，, 则． 由三角形内角和得， ， ， ． 在中，． ， ． 在中，． 在中， ， ， ， ． ； ①是正确的； ②为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点， 当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大． 当点在线段上时，可分两种情况讨论： 当点越接近点时，点越靠近点，当点与点重合时，最小， 如图所示， 线段的垂直平分线交直线于点， ，， ,， ， ． ， ，， ． 且， 是等边三角形， ； 当点越远离点时，点越靠近点，当点与点重合时，最大， 如图所示， 线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点， ，， 平分． ，， ， ， ， ， ； 点不与，重合， 当点在线段上时，； ②是正确的； ③当点在线段上时，如图所示， 在上截取， 由（1）得， 是等边三角形， ， ． 在和中， ， ， ． ， ； ③是正确的； ④当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，需分类讨论： 当点在的延长线上时，如图所示， 在上截取， 由（1）得， ， 是等边三角形， ， ． 线段的垂直平分线交的延长线于点， ． ，， 平分， , ． 在和中， ， ， , ， ． 在和中， ， ， ． ， ； 当点在的延长线上时，如图所示， 在上截取， 由（1）得， 是等边三角形， ， ． 线段的垂直平分线交直线于点， ． ，， 平分， ． 在和中， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ； ④是不正确的； 综上所述，正确结论的序号是：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：由三角形面积公式可得，， 是的中线， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据已知条件得出的度数，再利用角平分线的定义得出，最后利用直角三角形两锐角互余得出的度数； （2）由三角形面积公式可得，，结合中线的定义将的面积表达式进行转化，再由得出，从而得证结论． 【详解】（1）解：是的高，， ， 又是的角平分线， ， ； （2）略 18．（8分）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为． (2)化简结果为． 【分析】（1）由三角形三边关系确定的取值范围，结合为奇数的条件求出的值，进而计算周长； （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， ∵为整数且为奇数， ∴， ∴的周长为； （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴，， ∴ ． 19．（8分）如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； (2)6 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后利用三角形的外角性质可得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，由（1）可知，在中，求得，利用含30度角的直角三角形的性质得到，进而利用线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知， 在中，， ∴； ∴， ∵垂直平分， ∴． 20．（8分）尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； (2)如图②，在边上找一点，使的周长等于； 【答案】(1)如图，分别作、的角平分线，交于点，根据角平分线的性质，点到、的距离相等，到、的距离也相等，因此，点到三条边的距离相等，点即为所求． (2)如图，以B、C为圆心，以相同且大于的长度为半径画弧，交于E、F，连接，交于点D，连接，点D即为所求． 【分析】（1）要求点O到三条边的距离相等，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可以利用三角形两个内角的角平分线交点确定所求点． （2）要求的周长等于，将周长条件转化为线段相等，得到，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，要使，则点D在线段的垂直平分线上，所以作线段的垂直平分线，它与的交点D即可满足要求． 【详解】（1）略 （2）略 21．（9分）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则_______；_______；点的坐标为_______． (2)在移动过程中，当点移动6秒时，求的面积； (3)在（2）的条件下，轴和轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或或 【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，进而根据长方形的性质可得出点的坐标； （）由题意可得，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）分两种情况，根据三角形面积公式列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴， ∴； （2）解：当点移动6秒时，移动的路程为， ∴即， ∴， ∴； （3）解：存在． ①当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； ②当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； 综上，存在或或或，使的面积与的面积相等． 22．（10分）“一线三垂直”属于“一线三等角”模型的特例，特点是三个相等的角都是直角，对应有三组边相互垂直．若该模型内有一组对应边相等，则一定能找到一对全等三角形．（如图：） (1)如图，在等腰直角中，，．过点作直线，于，于．若，， ①求证：； ②求的长． (2)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． ①连接、，则是等腰直角三角形吗？请判断，并说明理由． ②第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)①证明：∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ② (2)①是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ，即， ∴是等腰直角三角形； ②存在一点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或 【分析】（）利用余角性质可证，再根据判定定理“”即可求证；②由全等三角形的性质得，，再根据线段的和差关系解答即可； （）①过点作轴于点，过点作轴于点，可证，得到，，进而得到，即可求证；②分三种情况，分别画出图形，同理（）①证明三角形全等，再根据全等三角形的性质并结合点的坐标解答即可． 【详解】（1）略 ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 ②解：第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，分三种情况： 当，时，如图，分别过点、点作轴的垂线，交过点与轴平行的直线于点， 同理（）①得：， ∴，， ∵， ， ∴，， ∴，， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； 当，时，如图，分别过点、点作轴的垂线，交过点与轴平行的直线于点， 同理（）①得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴；   当，时，如图，分别过点、点作轴的垂线，交过点与轴平行的直线于点， 同理（）①得：， ∴， ， 设， ∵，， ∴，，，， ∴， 解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或． 23．（10分）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据动点运动情况，得到，作差即可得到； （2）当点B在线段的垂直平分线上时，，列方程求解即可； （3）连接，由对称可知，再借助，可知，故可以得出，进而推出，再利用垂直关系和等腰三角形三线合一的性质，由此得到此时点P是的中点，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （3）解：存在， 如图，连接， 由对称的性质，可知， 当，则， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 24．（11分）【问题情境】在和中，，，． (1)【初步探究】如图①，当点，，在同一条直线上时，连接，，延长交于点，则与之间有什么关系？ (2)【类比探究】如图②，当点，，不在同一条直线上时，连接交于点，连接交于点，（1）中的结论是否仍然成立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图③，在（2）的条件下，连接并延长交于点，的大小确定吗？若确定，求出的度数；若不确定，请说明理由． 【答案】(1)，且 (2)（1）中的结论仍然成立． 理由如下： 设与相交于点，如图所示： ， ，即． 在和中， ， ． ，； 在和中，由三角形内角和定理可得， ，， ． ； 综上所述，与之间关系为，且； (3)的大小确定， 【分析】（1）由三角形全等的判定与性质得出，且，再由三角形内角和定理推出即可得证； （2）类比（1）中求解过程即可确定答案； （3）过点作，，垂足分别为，，如图所示，由全等性质得到，，结合三角形面积公式得出，最后由角平分线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ． ，； 在和中，由三角形内角和定理可得， ，， ， ； 综上所述，与之间关系为，且； （2）略 （3）解：的大小确定． 过点作，，垂足分别为，，如图所示： 由（2）知， ，． ，， ． ，， 平分． ， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $