4.3 等比数列（讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.3 等比数列 课标要点 1.理解等比数列的定义，能判断等比数列，掌握通项公式与基本量的求法。 2.理解等比中项与下标积性质，能进行简单的证明与计算。 3.掌握前项和公式，理解与的关系，能求最值并解决简单的实际问题。 学习重难点 重点： 1.等比数列的定义、通项公式与前项和公式。 2.等比中项、下标积性质与和的关系。 难点： 1.公比的符号、奇偶项与的分类讨论。 2.由求时首项单独求与合并检验，以及实际模型建模。 知识点一 等比数列的定义与判定 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示。 定义式：（），其中，且各项均不为。等价地，。 （1）定义的等价形式 ①（为常数，，）； ②（，各项非零），即连续三项中中间项的平方等于前后两项的积； ③（，，）等价于为等比数列，且公比为。 （2）公比的符号与项的变化 当时，各项同号；当时，各项正负交替（摆动数列）；当时，数列为常数列；当时，各项均不为。 判断对象 条件 结论 定义法 （，常数）对一切成立 等比数列 中项法 （各项非零）对一切成立 等比数列 通项法 （） 等比数列，公比 特别提醒 公比，等比数列的各项都不能为。判断时不能只看前几项，必须证明对任意（或）都成立；时是常数列，仍是等比数列。 即学即练 1．（25-26高二下·河北衡水·期末）下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 知识点二 通项公式与基本量 等比数列的通项公式：（，）。 基本量：首项、公比、项数、第项、前项和。已知其中若干量，可用通项公式和前项和公式求其余量。 （1）通项公式的变形 ①（）； ②（，）。 （2）开方与符号讨论 由的值求时，若为偶数，要注意的正负双解；若或有附加条件，再取舍。由求或时，也要检验、。 （3）判断某数是否为数列的项 令等于这个数，解关于的方程。若解得的是正整数（有穷数列还要不超过项数），则这个数是数列的项；否则不是。 已知 求 所用公式 （注意开方取舍） 易错提醒 开偶次方时不能漏掉负根；题目给出“正项等比”“”等条件时再取舍。解出的必须检验是否为正整数。 即学即练 2．（25-26高二下·山东菏泽·期末）已知数列是等比数列，若，，则公比为（    ） A． B． C．2 D．4 知识点三 等比中项与插项 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项，且。当时，；当时，没有实数等比中项。 在等比数列中，若（），则。特别地，。 （1）等比中项 任意两个同号实数都有两个互为相反数的等比中项；成等比数列等价于且。 （2）下标积性质 ①若，则； ②若，则； ③片段积：，，也成等比数列，公比为。 （3）插项 在等比数列的每相邻两项之间都插入个数，使所得新数列仍为等比数列。设新公比为，则：当为奇数时唯一；当为偶数时，若，，若，无实数公比（不能这样插入）。插入的个数与原两项构成公比为的等比数列。若插入后所得新数列为等差数列，则公差。 性质 条件 结论 等比中项 成等比 （时） 下标积 插项 每相邻两项间插入个数 （注意奇偶/符号） 特别提醒 等比中项不是等差中项，不能漏掉；时无实数中项。插项必须说明“每相邻两项之间都插入”，否则新数列不一定是等比数列。 即学即练 3．（25-26高二下·陕西安康·期末）3与9的等比中项为（     ） A． B． C． D． 知识点四 等比数列的性质 等比数列的常用性质： ①下标积：若，则； ②片段和：，，，…成等比数列，公比为（需；等退化情形单独讨论）； ③子数列：成等比数列，公比为； ④奇偶项：，且（项数配对时）。 （1）单调性 当，时，数列递增；当，时，数列递减；当时，数列正负交替；当时，数列为常数列。 （2）片段和的使用条件 片段和性质要求。若且为偶数，可能为，此时不能直接作商；应先判断是否为，再分段讨论。 性质 条件 结论 下标积 片段和 成等比，公比 子数列 公比 易错提醒 片段和性质不是无条件成立：时不能作商；等退化情形要单独讨论。单调性要看的符号和的范围，不能只看。 即学即练 4．（25-26高二下·广东江门·期末）在等比数列中，若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 知识点五 前n项和公式与基本量 等比数列的前项和公式：当时，；当时，。 基本量：。已知其中若干量，可用通项公式和求和公式求其余量；涉及时，必须先讨论是否可能。 （1）公式的推导 错位相减法：，，两式相减得。 （2）的分类 当时，，不是的形式；已知求或时，要先检验是否满足题意。 （3）基本量求解的常用思路 把已知条件化为和的方程（组），解出，再代入通项或求和公式；也可以利用下标积、片段和性质整体消元。 已知 求 所用公式 ：；： （） 解关于的方程，取正整数；注意，可能多解，按题意取舍 易错提醒 使用求和公式时，必须先讨论；时分母。解出的要检验是否为正整数，不是等比数列的通项公式。 即学即练 5．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（    ） A．7 B． C． D．1 知识点六 前n项和与通项的关系、最值与实际应用 由前项和的定义，，（），所以；当时，。 （1）由求的步骤 ①求首项：；②当时，求；③检验：把代入②中的式子，若结果等于，则两段可以合并；否则写成分段的形式。 （2）型 若（，，），则时，。当，即时，两段可合并，为等比数列；否则须分段。 类型 方法 注意 由求 ；时 首项单独求并检验 （） 可合并，否则分段 实际模型 定后套公式 写清首项、公比、项数的实际含义 （3）最值与实际应用 等比数列的最值、单调性由的符号和的范围决定；求的最值时要结合通项符号与单调性，注意。增长率、复利、折旧等模型，先判断是否为等比数列，再确定首项、公比和项数。 若递推形如（），可令，则为等比数列，公比为；这是实际模型中常见的构造。 易错提醒 公式只在时成立，必须单独求并检验。实际模型要写清首项、公比和项数的实际含义；时不能用型结论。 即学即练 6．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 题型01 等比数列的定义与判定 典｜例｜精｜析 【例1】（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（     ） A． B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前100项和. 题型02 通项公式与基本量 典｜例｜精｜析 【例2】在等比数列中， (1)已知，求； (2)已知，求n． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】在等比数列中，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】在等比数列中，，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2-3】在正项等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 等比中项与插项 典｜例｜精｜析 【例3】在等比数列 中，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为 的等差数列，记数列的前项和为，求. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比______. 题型04 等比数列的性质 典｜例｜精｜析 【例4】已知等比数列的前项和为2，其后项的和为12，求再后面项的和． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 【变式4-2】（多选）已知是各项均为正数的等比数列，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．若，则 【变式4-3】在数列中，设，， (1)若数列是公比为q的等比数列，求证：，，成等比数列，并求这个数列的公比． (2)推广上述结论，提出新的猜想，并加以证明． 题型05 单调性与最值 典｜例｜精｜析 【例5】已知等差数列与等比数列满足，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若数列中的最大项是第项，请直接写出的值． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】各项均为正数的等比数列的前项积为，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【变式5-2】已知是等差数列，满足，，数列满足，且是等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意 ，都有恒成立，求实数的最小值． 题型06 前n项和与基本量 典｜例｜精｜析 【例6】（1）设等差数列的公差为，前项和为，若，，，求； （2）已知数列是等比数列且公比，前项和为，若，，求； 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】等比数列前项和为，若，则（   ） A．127 B．64 C．63 D．31 【变式6-2】（1）已知数列是等比数列，若，求及； （2）在（1）的条件下，若数列的通项公式为，求它的前n项和． 题型07 前n项和与通项及和的性质 典｜例｜精｜析 【例7】已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前项和． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【变式7-2】已知数列前项和满足，且． (1)求； (2)求数列的前项和以及数列的通项公式． 题型08 实际模型与综合 典｜例｜精｜析 【例8】某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为. (1)求，的值； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，） 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求的前项和； (3)若，求的前项和． 【变式8-2】已知等差数列的公差为，且． (1)求数列的通项公式与其前项和； (2)将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前3项，记的前项和，若存在，使得对任意，总有，求实数的取值范围． 基础通关 一、单选题 1．已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则公比 （     ） A．4 B．2 C．-2 D．2或-2 2．在等比数列中，，，则（     ） A． B． C． D． 3．记等比数列的公比为，已知，前三项之和为3，则（    ） A． B． C． D．2 4．已知等比数列的前项和为，满足，公比，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知为等比数列，且，，前项和为，则（   ） A．189 B．96 C．63 D．33 6．等比数列的前项和，则（    ） A．1 B． C． D． 7．记为等比数列的前项和，若，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．54 8．等比数列中，，公比，前n项和，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知为数列 的前 项和，， ，则的值为（     ） A．54 B．162 C．156 D．180 二、填空题 10．已知正项等差数列的首项为2，若，，成等比数列，则__________． 11．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则______. 三、多选题 12．已知正项等比数列的公比为q，若，且，则（    ） A． B． C．是数列中的项 D．，，成等差数列 13．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足，下列说法中正确的有（     ） A． B．数列是首项为2，公差为4的等差数列 C．是公比为4的等比数列 D．对任意正整数均成立 四、解答题 14．已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 15．在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 素养提升 1．已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 2．已知二次函数 的两个零点为， ，若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则为______. 3．已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 4．已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 5．（多选）已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C．数列是递增数列 D．若，则的最小值为11 6．（多选）已知数列，若存在实数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，则（   ） A．若，则对任意，数列都不是“加速数列” B．若，且数列是“加速数列”，则实数满足 C．若数列是“加速数列”，且，，则对任意，都有 D．若正项等比数列是“加速数列”且，则的最大值是 7．（多选）设数列各项均为正整数，其所有项的和为，，若对于任意正整数，，则为数列中的某一项或若干项的和，下面说法正确的是（   ） A．可能为2 B．当时，的最小值为4 C．当该数列为递增的等比数列时，其公比为2 D．对任意的都有 8．若数列的首项且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，设为数列的前n项和. (ⅰ)求； (ⅱ)求的最小的正整数的值． 9．已知正项数列的前项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为，且的等差中项为；的等比中项为. (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若存在使得成立，求实数的最大值. 迁移创新 1．已知数列其中第一项是，第项是，接下来项为，接下来项为，依此类推，设该数列的第项为，前项和为，则（） A． B． C． D． 2．已知正项数列满足，，且对任意，都有，数列满足：对任意，都有． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由． 3．已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中． (1)求和的通项公式； (2)若数列的第项是直线的斜率，求数列的前项和． 4．已知数列满足，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 4.3 等比数列 课标要点 1.理解等比数列的定义，能判断等比数列，掌握通项公式与基本量的求法。 2.理解等比中项与下标积性质，能进行简单的证明与计算。 3.掌握前项和公式，理解与的关系，能求最值并解决简单的实际问题。 学习重难点 重点： 1.等比数列的定义、通项公式与前项和公式。 2.等比中项、下标积性质与和的关系。 难点： 1.公比的符号、奇偶项与的分类讨论。 2.由求时首项单独求与合并检验，以及实际模型建模。 知识点一 等比数列的定义与判定 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示。 定义式：（），其中，且各项均不为。等价地，。 （1）定义的等价形式 ①（为常数，，）； ②（，各项非零），即连续三项中中间项的平方等于前后两项的积； ③（，，）等价于为等比数列，且公比为。 （2）公比的符号与项的变化 当时，各项同号；当时，各项正负交替（摆动数列）；当时，数列为常数列；当时，各项均不为。 判断对象 条件 结论 定义法 （，常数）对一切成立 等比数列 中项法 （各项非零）对一切成立 等比数列 通项法 （） 等比数列，公比 特别提醒 公比，等比数列的各项都不能为。判断时不能只看前几项，必须证明对任意（或）都成立；时是常数列，仍是等比数列。 即学即练 1．（25-26高二下·河北衡水·期末）下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】对于A，，数列不是等差数列，A错误 对于B，，数列不是等比数列，B不是； 对于C，，数列不是等比数列，C不是； 对于D，数列是非0常数列，既是等差数列也是等比数列，D是. 知识点二 通项公式与基本量 等比数列的通项公式：（，）。 基本量：首项、公比、项数、第项、前项和。已知其中若干量，可用通项公式和前项和公式求其余量。 （1）通项公式的变形 ①（）； ②（，）。 （2）开方与符号讨论 由的值求时，若为偶数，要注意的正负双解；若或有附加条件，再取舍。由求或时，也要检验、。 （3）判断某数是否为数列的项 令等于这个数，解关于的方程。若解得的是正整数（有穷数列还要不超过项数），则这个数是数列的项；否则不是。 已知 求 所用公式 （注意开方取舍） 易错提醒 开偶次方时不能漏掉负根；题目给出“正项等比”“”等条件时再取舍。解出的必须检验是否为正整数。 即学即练 2．（25-26高二下·山东菏泽·期末）已知数列是等比数列，若，，则公比为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，则，故， ，解得． 知识点三 等比中项与插项 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项，且。当时，；当时，没有实数等比中项。 在等比数列中，若（），则。特别地，。 （1）等比中项 任意两个同号实数都有两个互为相反数的等比中项；成等比数列等价于且。 （2）下标积性质 ①若，则； ②若，则； ③片段积：，，也成等比数列，公比为。 （3）插项 在等比数列的每相邻两项之间都插入个数，使所得新数列仍为等比数列。设新公比为，则：当为奇数时唯一；当为偶数时，若，，若，无实数公比（不能这样插入）。插入的个数与原两项构成公比为的等比数列。若插入后所得新数列为等差数列，则公差。 性质 条件 结论 等比中项 成等比 （时） 下标积 插项 每相邻两项间插入个数 （注意奇偶/符号） 特别提醒 等比中项不是等差中项，不能漏掉；时无实数中项。插项必须说明“每相邻两项之间都插入”，否则新数列不一定是等比数列。 即学即练 3．（25-26高二下·陕西安康·期末）3与9的等比中项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与的等比中项为 由等比数列的等比中项定义可知，，解得. 知识点四 等比数列的性质 等比数列的常用性质： ①下标积：若，则； ②片段和：，，，…成等比数列，公比为（需；等退化情形单独讨论）； ③子数列：成等比数列，公比为； ④奇偶项：，且（项数配对时）。 （1）单调性 当，时，数列递增；当，时，数列递减；当时，数列正负交替；当时，数列为常数列。 （2）片段和的使用条件 片段和性质要求。若且为偶数，可能为，此时不能直接作商；应先判断是否为，再分段讨论。 性质 条件 结论 下标积 片段和 成等比，公比 子数列 公比 易错提醒 片段和性质不是无条件成立：时不能作商；等退化情形要单独讨论。单调性要看的符号和的范围，不能只看。 即学即练 4．（25-26高二下·广东江门·期末）在等比数列中，若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意得，即，即. 知识点五 前n项和公式与基本量 等比数列的前项和公式：当时，；当时，。 基本量：。已知其中若干量，可用通项公式和求和公式求其余量；涉及时，必须先讨论是否可能。 （1）公式的推导 错位相减法：，，两式相减得。 （2）的分类 当时，，不是的形式；已知求或时，要先检验是否满足题意。 （3）基本量求解的常用思路 把已知条件化为和的方程（组），解出，再代入通项或求和公式；也可以利用下标积、片段和性质整体消元。 已知 求 所用公式 ：；： （） 解关于的方程，取正整数；注意，可能多解，按题意取舍 易错提醒 使用求和公式时，必须先讨论；时分母。解出的要检验是否为正整数，不是等比数列的通项公式。 即学即练 5．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（    ） A．7 B． C． D．1 【答案】D 【详解】等比数列公比，前3项和，则， 所以. 知识点六 前n项和与通项的关系、最值与实际应用 由前项和的定义，，（），所以；当时，。 （1）由求的步骤 ①求首项：；②当时，求；③检验：把代入②中的式子，若结果等于，则两段可以合并；否则写成分段的形式。 （2）型 若（，，），则时，。当，即时，两段可合并，为等比数列；否则须分段。 类型 方法 注意 由求 ；时 首项单独求并检验 （） 可合并，否则分段 实际模型 定后套公式 写清首项、公比、项数的实际含义 （3）最值与实际应用 等比数列的最值、单调性由的符号和的范围决定；求的最值时要结合通项符号与单调性，注意。增长率、复利、折旧等模型，先判断是否为等比数列，再确定首项、公比和项数。 若递推形如（），可令，则为等比数列，公比为；这是实际模型中常见的构造。 易错提醒 公式只在时成立，必须单独求并检验。实际模型要写清首项、公比和项数的实际含义；时不能用型结论。 即学即练 6．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以，所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以. 故选：D 题型01 等比数列的定义与判定 典｜例｜精｜析 【例1】（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（     ） A． B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】ACD 【详解】由可得，，则， ， 即， 因为，所以，两边乘，可得， 则，所以， 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，则， 则， 所以不是等比数列，故B错误； 对于C选项，，则， 则， 所以为等差数列，故C正确； 对于D选项，，则， 则， 所以为等比数列，故D正确. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】对于命题①和命题②，设，可知正数数列既为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，①和②均为假命题； 对于命题③，因为，对任意，，可知存在， 使得，，则， 即，且内和数列为严格增数列，可知， 所以其伴随数列为严格增数列，命题③正确. 【变式1-2】已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前100项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）成等差数列， ，即，而， 为等比数列，设公比为. 又，得. （2）， 当为偶数时， ， 所以. 题型02 通项公式与基本量 典｜例｜精｜析 【例2】在等比数列中， (1)已知，求； (2)已知，求n． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：设等比数列的公比为q，则， 解得，所以 ． 方法二：设等比数列的公比为q，则，解得， 所以． （2）方法一：设等比数列的公比为q，则，解得， 代入可得，从而． 由，得，即，解得． 方法二：设等比数列的公比为q． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 由，得，解得． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】在等比数列中，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，，通项公式为（）, 将、代入，得： ， 由于等比数列首项，等式两边同除以，整理得： 解得或， 已知，且，故，舍去，得， 由，代入得，解得， 因此. 【变式2-2】在等比数列中，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等比数列性质可得：，. 【变式2-3】在正项等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意设等比数列的公比为，， 由，可得， 又由，可得， 解得或（舍去）， 故． 题型03 等比中项与插项 典｜例｜精｜析 【例3】在等比数列 中，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为 的等差数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)或（） (2) (3)（） 【详解】（1）设等比数列公比为. 因为，所以， 因为，所以， 因为，，所以， 将代入得到， 解得或. ① ，，则通项为， ② ，，则通项为， 综上： 或 . （2）因为，所以， 则， ， . （3）因为，在与之间插入个数，所以共有个数构成等差数列， 公差， 等差数列中，， 则， 解得，   ① ①式子的两边乘以，得到② ①②得到， ， 则. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， 已知，且、、成等比数列， 由等比中项的性质可得：， 根据等差数列通项公式，可得，， 代入上式得：，展开整理得，解得或（舍）， 因此. 【变式3-2】已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比______. 【答案】3 【详解】设等差数列的公差为，则， 因该数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则， 即，整理得，因， 则得，于是该等比数列的公比为. 题型04 等比数列的性质 典｜例｜精｜析 【例4】已知等比数列的前项和为2，其后项的和为12，求再后面项的和． 【答案】或 【详解】由题意可知，其后项为，则， 设该等比数列为，公比为， 由等比数列前项和可得，，， 两式相除可得， 解得或 当时，，则 当时，，则 综上所述，该数列再后面项的和为或 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 【答案】B 【详解】因为等比数列的前项和为，且，， 所以，且，两式相除得， 解得或， ，故或. 【变式4-2】（多选）已知是各项均为正数的等比数列，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【详解】由是各项均为正数的等比数列，设的公比为，则，， 对于A，由，，所以，故A正确； 对于B，由，当时，等号成立，所以不恒成立，故B错误； 对于C，由， 又，，，，则，故C正确； 对于D，由，，若，则，即， 所以，即，故D正确． 【变式4-3】在数列中，设，， (1)若数列是公比为q的等比数列，求证：，，成等比数列，并求这个数列的公比． (2)推广上述结论，提出新的猜想，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析，公比为 (2)猜想：在公比为的等比数列中，设，，，，则当时成等比数列，公比为，；当时，仅在为奇数时上述结论成立.证明见解析 【详解】（1）已知是公比为q的等比数列，则， 则， ， ， ， ， ，，成等比数列，公比为． （2）猜想：在公比为（）的等比数列中， 设，，，， 则成等比数列，公比为，， 数列是公比为q的等比数列，则， ， ， ， 一般地，， 当时，， 当时，， 当时，若时，， 此时为不是等比数列； 若时，，成立； 时，，此时， 成等比数列，公比为，猜想得证． 题型05 单调性与最值 典｜例｜精｜析 【例5】已知等差数列与等比数列满足，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若数列中的最大项是第项，请直接写出的值． 【答案】(1)，；，． (2)，． (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则公差． ，． 设等比数列的公比为，则． ，． （2） ，． （3）由（1）可得，， 若数列中的最大项是第项， 则， 即， 化简得，解得， 又，所以. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】各项均为正数的等比数列的前项积为，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】C 【详解】是等比数列，， ∴， ，∴，即：， 数列各项为正数，， ，当且仅当 时，等号成立， 的最小值为. 【变式5-2】已知是等差数列，满足，，数列满足，且是等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意 ，都有恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为，则， 因为，所以， 故的通项公式为，所以. 由，得，即；由，得. 设，则为等比数列， 所以，， 设的公比为，则，故． 则，即. 所以． 故的通项公式为． （2）由． 当时，，，即； 当时，，即； 当时，，，即 综上所述，数列中的最大项为和，且， 因为对任意 ，都有恒成立，所以． 题型06 前n项和与基本量 典｜例｜精｜析 【例6】（1）设等差数列的公差为，前项和为，若，，，求； （2）已知数列是等比数列且公比，前项和为，若，，求； 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题可得：，解得：， 所以,解得：或（舍去），所以 （2）当时，，此时无解，所以， 则，因为，解得：，所以. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】等比数列前项和为，若，则（   ） A．127 B．64 C．63 D．31 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， 所以，所以，又，所以， 所以， 故选：C. 【变式6-2】（1）已知数列是等比数列，若，求及； （2）在（1）的条件下，若数列的通项公式为，求它的前n项和． 【答案】(1) ，. (2) . 【详解】(1)设等比数列的公比为，由等比数列通项公式得，代入得，解得， 因此通项公式，前项和; (2)由，前项和可分组为等差数列的和与等比数列的和之和， 即. 题型07 前n项和与通项及和的性质 典｜例｜精｜析 【例7】已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时， 又不满足上式（） 综上所述，的通项公式为. （2）由（1）可得（），且， 综上所述，的前项和. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 时满足上式，所以； （2）当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 【变式7-2】已知数列前项和满足，且． (1)求； (2)求数列的前项和以及数列的通项公式． 【答案】(1)； (2)， 【详解】（1）由于， 代入可得：，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）因为，所以， 当时，， 经检验，当时不符合上式， 因此，数列的通项公式为 题型08 实际模型与综合 典｜例｜精｜析 【例8】某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为. (1)求，的值； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，） 【答案】(1)2210，2331 (2) 由题意可得，所以． 因为，所以， 所以是以1000为首项，为公比的等比数列， (3)第9年 【详解】（1）由题意得，则， ， ． （2）则，即． （3）由（2）得，则，即2， 两边取常用对数得， 所以， 则该牧场第9年年初羊的存栏数超过3000． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求的前项和； (3)若，求的前项和． 【答案】(1) ， (2) (3) 【详解】（1）令的公比为，则，令的公差为， 由，整理，解得，或（舍去）， 故， 又由可得， 即，解得， 故； （2） ∴ ； （3）由（1）可得， 则① ② ①-②，得， 所以. 【变式8-2】已知等差数列的公差为，且． (1)求数列的通项公式与其前项和； (2)将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前3项，记的前项和，若存在，使得对任意，总有，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，，． (2)的取值范围为． 【详解】（1）因为为等差数列，且， 所以，即． 又因为公差， 所以，， ，． （2）由（1）知数列的前项为，，，， 所以等比数列的前项为，，， 所以， ， ， 所以， 因为， 因为存在，使得对任意，总有成立， 所以，． 所以实数的取值范围为． 基础通关 一、单选题 1．已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则公比 （     ） A．4 B．2 C．-2 D．2或-2 【答案】B 【详解】，因为是正项等比数列，所以. 2．在等比数列中，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设公比为，因为，所以. . 3．记等比数列的公比为，已知，前三项之和为3，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意知等比数列的前三项：， 由前三项和为 3 得=3，整理得 ，解得 或 . 因为，因此 . 4．已知等比数列的前项和为，满足，公比，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】依题意，，， 由，得，整理得，则， 所以. 故选：B 5．已知为等比数列，且，，前项和为，则（   ） A．189 B．96 C．63 D．33 【答案】A 【详解】因为为等比数列，且，，前项和为， 所以. 故选：A. 6．等比数列的前项和，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，不符合题意； 当时，， 因为， 则，解得. 7．记为等比数列的前项和，若，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．54 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即，因，， 则可得，又， 所以． 8．等比数列中，，公比，前n项和，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】依题意，，即，所以. 故选：B 9．已知为数列 的前 项和，， ，则的值为（     ） A．54 B．162 C．156 D．180 【答案】B 【详解】因为，当时，； 当时，，则，即， 得，所以，，. 二、填空题 10．已知正项等差数列的首项为2，若，，成等比数列，则__________． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为（），则，. 因为成等比数列，所以， 即，得， 因为，所以. 因此. 11．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则______. 【答案】 【详解】因为为等比数列，设公比为，则， 因为成等差数列，所以， 可得，因为该数列是正项等比数列， 所以，所以， 即，解得或（舍）， 所以. 三、多选题 12．已知正项等比数列的公比为q，若，且，则（    ） A． B． C．是数列中的项 D．，，成等差数列 【答案】ABD 【详解】由题意知，， 由，可得， 所以，A正确； 所以，B正确； 所以， 令，显然该方程无整数解，所以不是数列中的项，故C错误； 由，得，，所以是等差数列，D正确； 13．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足，下列说法中正确的有（     ） A． B．数列是首项为2，公差为4的等差数列 C．是公比为4的等比数列 D．对任意正整数均成立 【答案】ACD 【详解】对于A，由数列是首项为1，公差为2的等差数列，得，故A正确； 对于B，由，得，即当时，首项，公差， 数列是首项为3，公差为4的等差数列，故B错误； 对于C，由，得，则公比， 数列是公比为4的等比数列，故C正确； 对于D，由，得， ； 由数列是等差数列，得， ，得，故D正确. 四、解答题 14．已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）数列是等比数列，，，得数列的公比满足，解得. 则的通项公式为. （2）将数列的前项和分成等比数列和等差数列分别求和. 则. 15．在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在等比数列中，，，，而， 所以． （2）因为，又，，，则， 解得． （3）因为，，则 素养提升 1．已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 【答案】D 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号且，结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， A：，，故，错误； B：等比中项公式得， 因为，则，即，错误； C：因为，数列单调递减，又， 当时，当时， 所以 ， ， 因此最大项是，不是，错误； D：若，则最小值为， 等比数列性质，， 因为===， 所以， 已知，故； 因为===， ，故最小值为 4051，正确. 2．已知二次函数 的两个零点为， ，若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则为______. 【答案】/2.5 【详解】由题意得，，所以. 因为，，三个数适当调整顺序后可为等比数列，则一定为中间项， 所以，则. 因为，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，所以为最小的项， 所以，即. 代入中得，，整理得，解得或（舍去）， 所以. 故. 3．已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 【答案】 【详解】当时，，则， 即，故公比为3； 当时，，解得， ， 由题意知，，则， 解得，， 令，则①， ②， 用①减②得，， 解得， ． 4．已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 【答案】或 【详解】由于经过适当排序后可成等差数列，不妨设这三个数为，其中公差， 这三个数经过适当排序后也可成等比数列，则有： ①当是等比中项时，则有，解得，这与矛盾，所以不是等比中项； ②当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，由于这三个数是互不相同的实数，所以， 而这三个数要构成等比数列，只有两种排序方式，即或， 因此公比或； ③当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，情况与②相同； 综上所述，该等比数列的公比为或. 5．（多选）已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C．数列是递增数列 D．若，则的最小值为11 【答案】BC 【详解】由可得，，则. 所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确. 所以，即， 所以数列的通项公式为. 所以，故A错误. 因为，当增大时，增大，减小，增大， 所以是递增数列，故C正确. 若，则，即，整理得， 因为，，， 所以，解得，所以的最小值为12，故D错误. 6．（多选）已知数列，若存在实数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，则（   ） A．若，则对任意，数列都不是“加速数列” B．若，且数列是“加速数列”，则实数满足 C．若数列是“加速数列”，且，，则对任意，都有 D．若正项等比数列是“加速数列”且，则的最大值是 【答案】BCD 【详解】设，对于任意的，都有成立，， 对于A：，， 因为，所以，所以成立， 即，因为，所以存在，使得数列是“-加速数列”，故A错误； 对于B，，由于， 则，因为，所以数列是递增数列， 故当时，，所以实数的取值范围是，故B正确； 对于C，因为数列是“-加速数列”，则，, 所以， 所以，故C正确； 对于D，设，则， 由于，代入得， 所以， 当时，，符合题意，故D正确． 7．（多选）设数列各项均为正整数，其所有项的和为，，若对于任意正整数，，则为数列中的某一项或若干项的和，下面说法正确的是（   ） A．可能为2 B．当时，的最小值为4 C．当该数列为递增的等比数列时，其公比为2 D．对任意的都有 【答案】BCD 【详解】选项A：若，根据定义，正整数，但数列各项均为正整数且，后续项均不小于2，无法用任何项或项的和表示1，因此与条件矛盾； 选项B：当时，为使能表示的正整数范围最大，数列应取， 此时可表示的最大数为，故无法满足， 当时，数列取，其和为，且取中若干项之和可表示1到15的所有整数，因此满足条件； 选项C：设数列首项为，公比为（且为正整数），数列单调递增， 由条件可知，1必须能被表示，故，则数列变为， 要表示2，则（若，无法表示2）， 因此验证公比为2时，可通过项的和表示任意正整数，符合题目条件； 选项D：记，假设， 由于数列单调递增，，则， 此时正整数，但无法用前项的和表示（最大值为）， 也无法包含及后续项（均大于），与题设矛盾，故假设不成立， 即. 8．若数列的首项且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，设为数列的前n项和. (ⅰ)求； (ⅱ)求的最小的正整数的值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ)8 【详解】（1）因为，所以；又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列，则， 则. （2）(ⅰ)因为，所以 从而 ． 令，① 则，② 由得， 所以，而， 故． (ⅱ)因为，所以数列 ， 又因为，，所以的最小值为8 9．已知正项数列的前项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为，且的等差中项为；的等比中项为. (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若存在使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）当时，由，得，解得， 当时，由，可得，， 两式相减得 ， 所以， 即，因为， 所以， 即可得是且公差为的等差数列. 即. 由题意得，即，解得或， 因为是递增的等比数列， 所以，所以，得， 所以， 即，. （2）由(1)得，，， 所以. 若存在使得成立，即能成立， 设，则， 所以是递减数列，故的最大值为， 因此的最大值为. 迁移创新 1．已知数列其中第一项是，第项是，接下来项为，接下来项为，依此类推，设该数列的第项为，前项和为，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】按数列规律分组：第组有个数，为，每组和为，前组总个数为， 选项A：前组总个数：， 第项是第组第个数，第组第个数为， 故第个数是，A选项错误， 选项B：，前组总个数：， 第项是第组第个数，第组第个数为， 故第个数是，B选项错误， 选项C：，前组和：， 第组前个数和：，C选项错误， 选项D：，前组和：， 第组前个数和：，D选项正确. 故选：D 2．已知正项数列满足，，且对任意，都有，数列满足：对任意，都有． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【详解】（1）由得为等比数列，设其公比为， 由于为正项数列，故， 则由可得，故． （2）由，可得对于任意有： ，③ 则，④ 则，⑤ 由③-⑤得， 对③取得也适合上式， 因此，； （3）由（1）（2）可知， 则， 所以当时，，即， 当时，，即在且上单调递减， 故， 假设存在三项成等差数列，其中， 由于，可不妨设，则（*）， 即， 因为且，则且， 由数列的单调性可知，，即， 因为，所以， 即，化简得， 又且，所以或， 当时，，即，由时，此时不构成等差数列，不合题意， 当时，由题意或，即，又，代入（*）式得， 因为数列在且上单调递减，且，，所以， 综上所述，数列中存在三项或构成等差数列． 3．已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中． (1)求和的通项公式； (2)若数列的第项是直线的斜率，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，当时，两式作差得. ，满足. 故是首项为3，公比为2的等比数列，. 由，累乘得：. 验证时符合条件，故. （2）由题意得：. 所以. 所以①，②， ①-②得：，所以. 化简得，即. 4．已知数列满足，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，而 所以数列为以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）可知， 设数列的通项公式为，前项和为， 数列的通项公式为，前项和为， 则， 所以， 则， 所以， 又， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $