4.3等比数列 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3 等比数列 知识点一、等比数列的概念及通项公式 1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q表示 ( q≠0)。 2.等比数列的通项公式为，通项公式还可以写成。 3.如果成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且。 4.递推公式形式的定义：或。 5.一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*). 若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*)。 知识点二、等比数列的前n项和 1.等比数列的前n项和公式：（1）。 2.等比数列前n项和的三个常用性质: (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列。 (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)。 (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，当其项数是2n项时，则：。 题型一、等比数列的概念及通项公式 例1.在等比数列{an}中． （1）若它的前三项分别为5，﹣15，45，求a5； （2）若an＝625，n＝4，q＝5，求a1； （3）若a4＝2，a7＝8，求an． 解：（1）根据题意，等比数列{an}中，若它的前三项分别为5，﹣15，45， 则a1＝5，，故． （2）若an＝625，n＝4，q＝5，则有，解可得a1＝5； （3）若a4＝2，a7＝8，则，则有，所以． 例2.在等比数列{an}中， （1）已知a1＝3，a3＝27，求an； （2）已知a2+a5＝18，a3+a6＝9，an＝1，求n． 解：（1）设公比为q，则，所以27＝3q2， 解得q＝±3，或； （2）设公比为q，由题意得：，两式相除得：，所以a1＝32， 又因为an＝1，所以，即26﹣n＝20，解得n＝6． 例3.（1）在等比数列{an}中，a1+a2＝324，a3+a4＝36，求a5+a6的值； （2）在等比数列{an}中，a3•a4•a5＝8，求a2•a3•a4•a5•a6的值． 解：（1）设等比数列{an}的公比为q， 由a3+a4＝（a1+a2）q2，得324q2＝36，解得q2，所以a5+a6＝（a3+a4）q2＝364； （2）由{an}是等比数列，得a3a4a58，解得a4＝2，所以a2a3a4a5a6＝45＝25＝32． 跟踪训练： 1.在等比数列{an}中，如果a1+a2+a3＝24，a3+a4+a5＝48，那么a7+a8+a9＝（　　） A．124 B．144 C．168 D．192 解：等比数列{an}中，如果a1+a2+a3＝24，a3+a4+a5＝（a1+a2+a3）q2＝48， 则24q2＝48，得q2＝2，又．故选：D． 2.已知等比数列{an}的公比q＝2，a4＝﹣8，则首项a1＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 解：由等比数列{an}的公比q＝2，a4＝﹣8，知首项．故选：B． 3.在等比数列{an}中，a1•a2•a3＝27，a2+a6＝15，则a4＝（　　） A．±6 B．﹣6 C．36 D．6 解：等比数列{an}中，a1•a2•a327，a2+a6＝15， 则a2＝3，a6＝12，因为a4与a2符号一致， a46．故选：D． 4.各项均为正数的等比数列{bn}满足b1+b2＝3，b1+b4＝9，求bn． 解：各项均为正数的等比数列{bn}满足b1+b2＝3，b1+b4＝9， ∴，且q＞0，解得b1＝1，q＝2，∴bn＝2n﹣1． 题型二、等比数列前n项和 例1.等比数列{an}中，a2＝4，a5＝32，求a8，S4的值． 解：根据题意，设等比数列{bn}的公比为q， 若a2＝4，a5＝32，则q38，解可得q＝2， 则a8＝a2×q6＝256， S432﹣2＝30． 例2.在等比数列{an}中， （1）已知a1＝﹣4，公比q，求前10项和S10； （2）已知a1＝1，ak＝243，q＝3，求前k项和Sk． 解：（1）a1＝﹣4，公比q， 则 ； （2）a1＝1，ak＝243，q＝3， 则． 跟踪训练： 1.等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2，4a1+a3＝8，则S5＝（　　） A．63 B．48 C．31 D．15 解：设等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q＝2，， 解得a1＝1，q＝2，所以．故选：C． 2.设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和Sn，若a1＝1，S5＝5S3﹣4，则S4＝（　　） A． B． C．15 D．40 解：由题知1+q+q2+q3+q4＝5（1+q+q2）﹣4， 化为q3+q4＝4q+4q2，即（q﹣2）（q+1）（q+2）＝0．由题知q＞0，解得q＝2． ∴S4＝1+2+4+8＝15．故选：C． 3.在等比数列{an}中 （1）已知a1＝13，q＝﹣2，求a6； （2）已知a3＝20，a6＝160，求Sn 解：在等比数列{an}中 （1）∵a1＝13，q＝﹣2， ∴13×（﹣2）5＝﹣416； （2）∵a3＝20，a6＝160， ∴， 解可得q＝2，a1＝5 ∴Sn5×2n﹣5． 4.数列{an}满足：a1＝1，an+1＝2an+1；设bn＝an+1． （1）证明{bn}是等比数列，并求{an}的通项公式； （2）求{an}的前n项和Sn． 解：（1）∵an+1＝2an+1，∴an+1+1＝2（an+1）， 即bn+1＝2bn，又a1＝1，则b1＝a1+1＝2， 故{bn}是首项为2，公比为2的等比数列， 故，即，∴； （2）∵，∴． 随堂演练—基础巩固： 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝6，则a5+a6＝（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 解：在等比数列{an}中，S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列， 即2，4，S6﹣S4成等比数列，所以42＝2×（S6﹣S4），所以a5+a6＝S6﹣S4＝8．故选：A． 2.在正项等比数列{an}中，a3a5＝8，则a4＝（　　） A． B．3 C．4 D． 解：因为数列{an}为正项等比数列，所以，解得． 故选：A． 3.已知成等比数列，则x的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．5 解：∵成等比数列，∴x2＝16，∴x＝±4，故选：C． 4.在等比数列{an}中，a2+a4＝1，a7+a9＝﹣16，则（　　） A．﹣4 B．8 C．﹣16 D．16 解：设等比数列{an}的公比为q， 则，即q5＝﹣16， ∴．故选：C． 5.已知等比数列{an}，其前n项和为Sn，a3+a6＝36，a4+a7＝18． （Ⅰ）求an； （Ⅱ）求Sn． 解：（Ⅰ）设首项为a1，公比为q， ∵等比数列{an}，其前n项和为Sn，a2+a3＝36，a4+a7＝18． ∴，解得a1＝128，q，…（2分） ∴28﹣n．…（4分） （Ⅱ）∵得a1＝128，q， ∴256﹣28﹣n．…（8分） 6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q． （1）如果S6，q，求a1； （2）如果S3＝14，a1＝2，求q； （3）如果a1+a3+a5＝21，a2+a4+a8＝42，求Sn； （4）如果S5＝15，S10＝60，求S15． 解：（1）∵等比数列{an}中， S6，q，∴，解得a1＝24． （2）等比数列{an}中， ∵S3＝14，a1＝2， ∴14，整理，得q2+q﹣6＝0， 解得q＝﹣3或q＝2；． （3）等比数列{an}中， ∵a1+a3+a5＝21，a2+a4+a8＝42， ∴， 解得a1＝1，q＝2， ∴Sn2n﹣1． （4）等比数列{an}中， S5，S10﹣S5，S15﹣S10也成等比数列， ∵S5＝15，S10＝60， ∴15，45，S15﹣60成等比数列， ∴15（S15﹣60）＝452， 解得S15＝195． 课时对点练—巩固加强： 1.在等比数列{an}中，a1+a2＝6，若a1，a2+3，a3成等差数列，则{an}的公比为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 解：等比数列{an}中，a1，a2+3，a3成等差数列，所以2（a2+3）＝a1+a3， 又a1+a2＝6，所以2a2+a1+a2＝a1+a3，所以a3＝3a2，故q＝3．故选：B． 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝1，S8＝17，则S12的值为（　　） A．81 B．145 C．256 D．273 解：根据题意，因为数列{an}是等比数列，则有（S8﹣S4）2＝S4×（S12﹣S8）， 又由S4＝1，S8＝17，所以S8﹣S4＝16，所以， 所以S12＝256+17＝273．故选：D． 3.已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．若q＝2，S2＝6，则a1＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：S2＝a1+a2＝a1+a1q＝a1+2a1＝3a1＝6，解得a1＝2．故选：B． 4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝7，S12＝511，则S8＝（　　） A．56 B．﹣56 C．63 D．﹣63 解：由等比数列前n项和的性质知，S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，且公比为正数，则7，S8﹣7，511﹣S8成等比数列， 所以（S8﹣7）2＝7（511﹣S8），即7S8﹣3528＝0，解得S8＝﹣56或S8＝63， 因为S4，S8﹣S4，S12﹣S8三者同号，所以S8＝63．故选：C． 5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3＝1，S6＝3，则S12＝（　　） A．7 B．8 C．15 D．16 解：因为Sn是等比数列{an}的前n项和且S3≠0， 可知S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9也成等比数列， 又因为S3＝1，S6＝3，则设公比q， 可得4，， 所以S9＝S6+4＝7，S12＝S9+8＝15， 故选：C． 6.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4+a5+a6＝6，则（　　） A． B． C． D． 解：∵Sn是等比数列{an}的前n项和，S3＝4，a4+a5+a6＝6， ∴S6＝4+6＝10， ∵{an}是等比数列，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6是等比数列， ∴（S9﹣S6）•S3＝（S6﹣S3）2，解得S9﹣S6＝9， ∴S9＝9+6+4＝19，∴．故选：B． 7.已知等比数列{an}满足a2＝10，a5＝80，则a4＝　40　 ． 接：设等比数列{an}的公比为q， 由a2＝10，a5＝80，可得80＝10q3，解得q＝2． 故（或）．故答案为：40． 8.设公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2025﹣S2023＝2，则a2023＝　　 ． 解：因为S2025﹣S2023＝2，所以a2025+a2024＝2， 因为等比数列{an}的公比为， 所以，解得． 故答案为：． 9.记Sn为公比大于1的等比数列{an}的前n项和，若，，则S6＝　　 ． 解：设等比数列{an}的公比为q，由，得，即， 由，得，即2q2﹣5q+2＝0， 解得q＝2或（舍去），所以， 所以． 故答案为：． 10.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a2•a6•a10＝3π，则的值是 　　 ． 解：数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列， a2•a6•a1033b6＝π，所以a6，b6， 则．故答案为：． 11.等比数列{an}中，a3•a4•a5＝8，a8＝8，则a6的值为　4　 ． 解：， 则， （负根舍去）． 故答案为：4． 12.在等比数列{an}中， （1）S2＝30，S3＝155，求Sn； （2）a1+a3＝10，a4+a6，求S5； （3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，前n项中最大的一项为54，求a1，q． 解：（1）S2＝30，S3＝155， ∴公比q≠1，，解得a1＝q＝5，或，a1＝180． ∴Sn或Sn． （2）∵a1+a3＝10，a4+a6，∴，解得， ∴S5． （3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，设公比为q≠1．则80，6560， 可得qn＝81，a1＝q﹣1． （q﹣1）＝8154，可得q≤3． ∵an＞0，∴1＜q≤3．解得a1＝2，q＝3，n＝4，满足前n项中最大的一项为54． 13.在等比数列{an}中 （1）S2＝30，S3＝155，求Sn； （2）若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n． 解：（1）S2＝30，S3＝155， ∴a3＝S3﹣S2＝155﹣30＝125，q＞1∴， 解得q＝5或q， 则当q＝5时，a1＝5，此时Sn（5n﹣1）． 当q时，a1＝180，此时Sn[1﹣（）n]． （2）若Sn＝189，q＝2，an＝96，则， 即， 第二个式子乘以2，代入第一个式子得96×2﹣a1＝189， 解得a1＝3，则2n﹣1，即n＝6． 14.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Tn为数列的前n项和，求Tn． 解：（1）设公差为d，则 ∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列 ∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d） ∵d≠0，∴d＝1，a1＝2， ∴an＝n+1 （2） ∴Tn． 15.已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）． （1）求证：数列{an+1}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和． 解：（1）∵an+1＝2an+1，（n∈N*）， ∴an+1+1＝2（an+1），∴2， ∴数列{an+1}是以2为公比的等比数列， （2）由（1）知，数列{an+1}是等比数列，且q＝2，首项为a1+1＝2， ∴an+1＝2•2n﹣1＝2n，∴an＝2n﹣1， ∴数列{an}的前n项和sn＝（2+22+…+2n）﹣nn＝2n+1﹣n﹣2 16.已知等比数列{an}的各项均为正数，且a6＝2，a4+a5＝12． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝a1a3a5…a2n﹣1，n∈N*，求数列{bn}的最大项． 解：（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞0）， 由a6＝2，a4+a5＝12，解得：或（舍去）， ∴an＝64×（）n﹣1＝27﹣n； （2）bn＝a1a3a5…a2n﹣1＝26×24×22×…×28﹣2n， ∴当n取3或4时，bn取得最大项212． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 等比数列 知识点一、等比数列的概念及通项公式 1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q表示 ( q≠0)。 2.等比数列的通项公式为，通项公式还可以写成。 3.如果成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且。 4.递推公式形式的定义：或。 5.一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*). 若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*)。 知识点二、等比数列的前n项和 1.等比数列的前n项和公式：（1）。 2.等比数列前n项和的三个常用性质: (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列。 (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)。 (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，当其项数是2n项时，则：。 题型一、等比数列的概念及通项公式 例1.在等比数列{an}中．（1）若它的前三项分别为5，﹣15，45，求a5； （2）若an＝625，n＝4，q＝5，求a1； （3）若a4＝2，a7＝8，求an． 例2.在等比数列{an}中， （1）已知a1＝3，a3＝27，求an； （2）已知a2+a5＝18，a3+a6＝9，an＝1，求n． 例3.（1）在等比数列{an}中，a1+a2＝324，a3+a4＝36，求a5+a6的值； （2）在等比数列{an}中，a3•a4•a5＝8，求a2•a3•a4•a5•a6的值． 跟踪训练： 1.在等比数列{an}中，如果a1+a2+a3＝24，a3+a4+a5＝48，那么a7+a8+a9＝（　　） A．124 B．144 C．168 D．192 2.已知等比数列{an}的公比q＝2，a4＝﹣8，则首项a1＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 3.在等比数列{an}中，a1•a2•a3＝27，a2+a6＝15，则a4＝（　　） A．±6 B．﹣6 C．36 D．6 4.各项均为正数的等比数列{bn}满足b1+b2＝3，b1+b4＝9，求bn． 题型二、等比数列前n项和 例1.等比数列{an}中，a2＝4，a5＝32，求a8，S4的值． 例2.在等比数列{an}中， （1）已知a1＝﹣4，公比q，求前10项和S10； （2）已知a1＝1，ak＝243，q＝3，求前k项和Sk． 跟踪训练： 1.等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2，4a1+a3＝8，则S5＝（　　） A．63 B．48 C．31 D．15 2.设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和Sn，若a1＝1，S5＝5S3﹣4，则S4＝（　　） A． B． C．15 D．40 3.在等比数列{an}中 （1）已知a1＝13，q＝﹣2，求a6； （2）已知a3＝20，a6＝160，求Sn 4.数列{an}满足：a1＝1，an+1＝2an+1；设bn＝an+1． （1）证明{bn}是等比数列，并求{an}的通项公式； （2）求{an}的前n项和Sn． 随堂演练—基础巩固： 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝6，则a5+a6＝（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 2.在正项等比数列{an}中，a3a5＝8，则a4＝（　　） A． B．3 C．4 D． 3.已知成等比数列，则x的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．5 4.在等比数列{an}中，a2+a4＝1，a7+a9＝﹣16，则（　　） A．﹣4 B．8 C．﹣16 D．16 5.已知等比数列{an}，其前n项和为Sn，a3+a6＝36，a4+a7＝18． （Ⅰ）求an； （Ⅱ）求Sn． 6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q． （1）如果S6，q，求a1； （2）如果S3＝14，a1＝2，求q； （3）如果a1+a3+a5＝21，a2+a4+a8＝42，求Sn； （4）如果S5＝15，S10＝60，求S15． 课时对点练—巩固加强： 1.在等比数列{an}中，a1+a2＝6，若a1，a2+3，a3成等差数列，则{an}的公比为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝1，S8＝17，则S12的值为（　　） A．81 B．145 C．256 D．273 3.已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．若q＝2，S2＝6，则a1＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝7，S12＝511，则S8＝（　　） A．56 B．﹣56 C．63 D．﹣63 5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3＝1，S6＝3，则S12＝（　　） A．7 B．8 C．15 D．16 6.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4+a5+a6＝6，则（　　） A． B． C． D． 7.已知等比数列{an}满足a2＝10，a5＝80，则a4＝　 　． 8.设公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2025﹣S2023＝2，则a2023＝　 　． 9.记Sn为公比大于1的等比数列{an}的前n项和，若，，则S6＝　 　． 10.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a2•a6•a10＝3π，则的值是　 　． 11.等比数列{an}中，a3•a4•a5＝8，a8＝8，则a6的值为　 　． 12.在等比数列{an}中，（1）S2＝30，S3＝155，求Sn； （2）a1+a3＝10，a4+a6，求S5； （3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，前n项中最大的一项为54，求a1，q． 13.在等比数列{an}中 （1）S2＝30，S3＝155，求Sn； （2）若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n． 14.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Tn为数列的前n项和，求Tn． 15.已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）． （1）求证：数列{an+1}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和． 16.已知等比数列{an}的各项均为正数，且a6＝2，a4+a5＝12． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝a1a3a5…a2n﹣1，n∈N*，求数列{bn}的最大项． 学科网（北京）股份有限公司 $