4.2 等差数列（讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.2 等差数列 课标要点 1.理解等差数列的定义，能判断数列是否为等差数列，掌握通项公式与基本量的求法。 2.理解等差中项与下标和性质，能进行简单的证明与计算。 3.掌握前项和公式，理解与的关系，能求最值并解决简单的实际问题。 学习重难点 重点： 1.等差数列的定义、通项公式与前项和公式。 2.等差中项、下标和性质与和的关系。 难点： 1.由求时首项单独求与合并检验。 2.前项和最值的正整数约束与实际模型建模。 知识点一 等差数列的定义与判定 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示。 定义式：（），其中是与无关的常数。 （1）定义的等价形式 ①（，为常数）； ②（），即连续三项中中间项是前后两项的等差中项。 ③（为常数）等价于为等差数列，且公差。 （2）等差数列与一次函数 通项。当时，是一次函数在处的函数值，图象是直线上横坐标为正整数的孤立点；当时，数列为常数列。 判断对象 条件 结论 定义法 （常数）对一切成立 等差数列 中项法 对一切成立 等差数列 通项法 （为常数） 等差数列，公差 特别提醒 公差可以是正数、负数或。判断时不能只看前几项，必须证明对任意（或）都成立；有穷数列只需对使各项有意义的成立。 即学即练 1．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 知识点二 通项公式与基本量 等差数列的通项公式：。 基本量：首项、公差、项数、第项、前项和。已知其中若干量，可用通项公式和前项和公式求其余量。 （1）通项公式的变形 ①（）； ②（）。 （2）判断某数是否为数列的项 令等于这个数，解关于的方程。若解得的是正整数（有穷数列还要不超过项数），则这个数是数列的项；否则不是。 （3）基本量求解的常用思路 把已知条件都化为和的方程（组），解出和，再代入通项或求和公式；也可以利用等差中项、下标和性质整体消元。 已知 求 所用公式 先由②求，再 易错提醒 用时，下标差与项差对应，不能漏乘；解出的必须检验是否为正整数。 即学即练 2．（25-26高二下·云南曲靖·期末）若一个等差数列的公差为，且第5项为5，则该数列的首项为（    ） A．13 B．15 C．17 D．20 知识点三 等差中项、插项与下标和性质 如果成等差数列，那么叫做与的等差中项，且。 在等差数列中，若（），则。特别地，。 （1）等差中项 任意两个实数都有唯一的等差中项；成等差数列等价于。 （2）下标和性质 ①若，则； ②若，则； ③片段和性质见知识点六①。 （3）插项 在等差数列的每相邻两项之间都插入个数，使所得新数列仍为等差数列，则新数列的公差为；插入的个数与原两项构成公差为的等差数列。 性质 条件 结论 等差中项 成等差数列 下标和 特别提醒 下标和性质要求下标都是正整数；等和下标可以重复使用（如中用了两次）。该性质的逆命题一般不成立，不能由反推（如常数列）。 即学即练 3．（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）在等差数列中，若，则=______． 知识点四 前n项和公式与基本量 等差数列的前项和公式：。 基本量：。已知其中三个相互独立的量，一般可用通项公式和求和公式求其余量（注意解的取舍）。 （1）公式的推导 倒序相加法：，，两式相加得。 （2）的二次函数特征 。当时，是关于的二次函数，且常数项为；当时，。 （3）基本量求解的常用思路 把已知条件化为和的方程（组），解出，再代入求和公式；也可以利用的二次函数特征或片段和性质整体求解。 已知 求 所用公式 解关于的方程，取满足条件的正整数（可能有两解，按题意取舍） 易错提醒 使用公式时为正整数；时，不是二次函数。解出的要检验是否为正整数。 即学即练 4．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 知识点五 前n项和与通项的关系 由前项和的定义，，（），所以 ；当时，。 （1）由求的步骤 ①求首项：； ②当时，求； ③检验：把代入②中的式子，若结果等于，则两段可以合并为一个通项公式；否则写成分段的形式。 （2）是二次函数型 若（），则时，。当时两段可合并，此时是等差数列；当时须分段，此时从第2项起成等差，但整体不是等差数列。 （3）由求 先判断是否为等差数列；若是，用求和公式（为项数）；若不是，按题设的递推或分组关系求和。 条件 结论 注意 必须单独求 不能用于 （） 可合并，分段 易错提醒 公式只在时成立，必须单独求并检验。如时，，（），二者不能合并。 即学即练 5．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知正项数列满足，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 知识点六 前n项和的性质、最值与实际应用 等差数列前项和的常用性质： ①片段和：，，，…成等差数列； ②是等差数列，首项为，公差为； ③。 （1）前项和的最值 当，时，有最大值；当，时，有最小值。可由的符号变化确定最值点，也可用二次函数的对称轴，注意。 （2）实际应用 座位、阶梯、均匀变化、设备折旧等模型，先判断是否为等差数列：若是，确定首项、公差和项数，用通项公式或求和公式求解；若不是（如例8的快递车问题），先由递推关系求出通项，再用函数方法求最值。 （3）绝对值型求和 若数列是等差数列，求的前项和时，先求的变号点，再按的正负分段去绝对值：时，时。以为例，设，则时，时；若，设，则时，时。 类型 方法 注意 最值 看符号变化或对称轴 最值点必须是正整数 片段和 成等差 公差为 实际模型 等差则定套公式；否则求通项再求最值 写清首项、公差（若有）、项数的实际含义 特别提醒 最值点要检验正整数；实际模型要写清首项、公差和项数的实际含义，不能把连续函数的最值直接当数列的最值。 即学即练 6．（25-26高二下·河南南阳·期中）某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（    ） A．7.5kg B．6.5kg C．7kg D．6kg 题型01 等差数列的定义与判定 典｜例｜精｜析 【例1】已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】（多选）若数列是等差数列，公差为，则下列对数列的判断正确的有（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列是公差为的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【变式1-2】（多选）已知等差数列中，，其前项和为，若，则（    ） A．公差 B． C．当时，的最小值为57 D． 题型02 通项公式与基本量 典｜例｜精｜析 【例2】在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)试判断是否为数列中的项？ 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知等差数列满足，，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【变式2-2】已知等差数列的公差为，则（    ） A．2 B． C． D．20 题型03 等差中项与插项 典｜例｜精｜析 【例3】（1）已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项.求的通项公式； （2）已知等差数列的前三项依次为，，，求通项. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【变式3-2】（多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则下面选项正确的是（     ） A． B．是数列的第8项 C．不是数列的项 D．是数列的第9项 题型04 下标和性质 典｜例｜精｜析 【例4】在等差数列中，，则的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】（多选）设数列的前项和为，且，若，则下列结论正确的有（   ） A． B．当时，取得最小值 C．当时，的最小值为7 D．当时，取得最小值 【变式4-2】已知是等差数列的前项和，，则（     ） A． B． C．66 D．33 题型05 单调性与最值 典｜例｜精｜析 【例5】已知是等差数列，是的前项和，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】（多选）已知数列的通项公式，则其前项和取最小值时，（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式5-2】（多选）已知数列、均为等差数列，记数列、的前项和分别为，，下列说法中正确的有（    ） A．若数列是递增数列，则数列也是递增数列 B．若，则的值为 C．若，，则 D．若，则 题型06 前n项和与基本量 典｜例｜精｜析 【例6】记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知数列通项公式为，求数列的前项和． 【变式6-2】若一个等差数列的前5项和为25，前10项和为100，则该数列的公差为________． 题型07 前n项和与通项及和的性质 典｜例｜精｜析 【例7】（1）已知数列前项和为，求数列的通项公式； （2）已知是公差为正的等差数列，且，，求数列的通项公式. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 【变式7-3】记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型08 实际模型与综合 典｜例｜精｜析 【例8】一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列. (1)求，，并写出与的递推关系式； (2)求数列的通项公式，并求出的最大值. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式8-2】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面6节的容积共________升． 【变式8-3】设等差数列的公差不为0，，且． (1)求的通项公式： (2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值． 基础通关 一、单选题 1．已知数列满足，若数列是递减数列，则（    ） A． B． C． D． 2．若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（     ） A． B． C． D． 3．已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（ ） A． B． C．使成立的最小值为9 D．时有最大值 二、填空题 4．已知等差数列的公差不为零，且，则__________. 5．与的公共项从小到大构成新数列，则的通项公式为________________.则的最小项的值为____________. 6．若等差数列的首项，前项和，则______． 三、多选题 7．下列有关数列的说法正确的是（ ） A．已知数列为等差数列，若，则1013 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列的前项和为，已知，是递增数列 8．设是等差数列，下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 9．已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 四、解答题 10．已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式 (2)求 11．（1）在等差数列中，已知，求首项与公差d； （2）已知数列为等差数列，，，求的值． 12．（1）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项． （2）已知数列的前n项和，求的通项公式． 13．已知等差数列，公差，． (1)求的值； (2)记的前项和为，求． 14．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的最小值． 15．已知是等差数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)求数列的前n项和． 素养提升 1．已知数列的前n项和（p，q，），若，且对任意的，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，，．若表示不超过的最大整数，则（    ） A． B． C． D． 3．下表中数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列.记第行第列的数为（其中，），则______，数字2026在表中总计出现______次. 2 3 4 5 6 … 3 5 7 9 11 … 4 7 10 13 16 … 5 9 13 17 21 … 6 11 16 21 26 … … … … … … … 4．（多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为33 5．在等差数列中， (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 6．已知等差数列为递减数列，且，. (1)求数列的通项公式; (2)若数列的前项和，求的最小值. 7．在等差数列中，已知 (1)该数列的公差d； (2)设数列的前n项和为，当n为何值时，取得最小值?并求出该最小值. 8．记是等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值． 9．等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求和的等差中项. (3)求. 迁移创新 1．已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知等差数列满足，，求数列的通项公式． 4．等差数列中， (1)已知，求的值； (2)若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 4.2 等差数列 课标要点 1.理解等差数列的定义，能判断数列是否为等差数列，掌握通项公式与基本量的求法。 2.理解等差中项与下标和性质，能进行简单的证明与计算。 3.掌握前项和公式，理解与的关系，能求最值并解决简单的实际问题。 学习重难点 重点： 1.等差数列的定义、通项公式与前项和公式。 2.等差中项、下标和性质与和的关系。 难点： 1.由求时首项单独求与合并检验。 2.前项和最值的正整数约束与实际模型建模。 知识点一 等差数列的定义与判定 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示。 定义式：（），其中是与无关的常数。 （1）定义的等价形式 ①（，为常数）； ②（），即连续三项中中间项是前后两项的等差中项。 ③（为常数）等价于为等差数列，且公差。 （2）等差数列与一次函数 通项。当时，是一次函数在处的函数值，图象是直线上横坐标为正整数的孤立点；当时，数列为常数列。 判断对象 条件 结论 定义法 （常数）对一切成立 等差数列 中项法 对一切成立 等差数列 通项法 （为常数） 等差数列，公差 特别提醒 公差可以是正数、负数或。判断时不能只看前几项，必须证明对任意（或）都成立；有穷数列只需对使各项有意义的成立。 即学即练 1．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】由，可得数列是等差数列，公差， 又，. 故选：C. 知识点二 通项公式与基本量 等差数列的通项公式：。 基本量：首项、公差、项数、第项、前项和。已知其中若干量，可用通项公式和前项和公式求其余量。 （1）通项公式的变形 ①（）； ②（）。 （2）判断某数是否为数列的项 令等于这个数，解关于的方程。若解得的是正整数（有穷数列还要不超过项数），则这个数是数列的项；否则不是。 （3）基本量求解的常用思路 把已知条件都化为和的方程（组），解出和，再代入通项或求和公式；也可以利用等差中项、下标和性质整体消元。 已知 求 所用公式 先由②求，再 易错提醒 用时，下标差与项差对应，不能漏乘；解出的必须检验是否为正整数。 即学即练 2．（25-26高二下·云南曲靖·期末）若一个等差数列的公差为，且第5项为5，则该数列的首项为（    ） A．13 B．15 C．17 D．20 【答案】C 【详解】设该数列的首项为，由题意知，. 因为，所以. 知识点三 等差中项、插项与下标和性质 如果成等差数列，那么叫做与的等差中项，且。 在等差数列中，若（），则。特别地，。 （1）等差中项 任意两个实数都有唯一的等差中项；成等差数列等价于。 （2）下标和性质 ①若，则； ②若，则； ③片段和性质见知识点六①。 （3）插项 在等差数列的每相邻两项之间都插入个数，使所得新数列仍为等差数列，则新数列的公差为；插入的个数与原两项构成公差为的等差数列。 性质 条件 结论 等差中项 成等差数列 下标和 特别提醒 下标和性质要求下标都是正整数；等和下标可以重复使用（如中用了两次）。该性质的逆命题一般不成立，不能由反推（如常数列）。 即学即练 3．（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）在等差数列中，若，则=______． 【答案】 【详解】由，得. 知识点四 前n项和公式与基本量 等差数列的前项和公式：。 基本量：。已知其中三个相互独立的量，一般可用通项公式和求和公式求其余量（注意解的取舍）。 （1）公式的推导 倒序相加法：，，两式相加得。 （2）的二次函数特征 。当时，是关于的二次函数，且常数项为；当时，。 （3）基本量求解的常用思路 把已知条件化为和的方程（组），解出，再代入求和公式；也可以利用的二次函数特征或片段和性质整体求解。 已知 求 所用公式 解关于的方程，取满足条件的正整数（可能有两解，按题意取舍） 易错提醒 使用公式时为正整数；时，不是二次函数。解出的要检验是否为正整数。 即学即练 4．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】根据等差数列的前项和公式，，所以，解得. 知识点五 前n项和与通项的关系 由前项和的定义，，（），所以 ；当时，。 （1）由求的步骤 ①求首项：； ②当时，求； ③检验：把代入②中的式子，若结果等于，则两段可以合并为一个通项公式；否则写成分段的形式。 （2）是二次函数型 若（），则时，。当时两段可合并，此时是等差数列；当时须分段，此时从第2项起成等差，但整体不是等差数列。 （3）由求 先判断是否为等差数列；若是，用求和公式（为项数）；若不是，按题设的递推或分组关系求和。 条件 结论 注意 必须单独求 不能用于 （） 可合并，分段 易错提醒 公式只在时成立，必须单独求并检验。如时，，（），二者不能合并。 即学即练 5．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知正项数列满足，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【详解】，当时，，又是正项数列，. 当时，，整理得，，是以为首项，公差为的等差数列. ，. 知识点六 前n项和的性质、最值与实际应用 等差数列前项和的常用性质： ①片段和：，，，…成等差数列； ②是等差数列，首项为，公差为； ③。 （1）前项和的最值 当，时，有最大值；当，时，有最小值。可由的符号变化确定最值点，也可用二次函数的对称轴，注意。 （2）实际应用 座位、阶梯、均匀变化、设备折旧等模型，先判断是否为等差数列：若是，确定首项、公差和项数，用通项公式或求和公式求解；若不是（如例8的快递车问题），先由递推关系求出通项，再用函数方法求最值。 （3）绝对值型求和 若数列是等差数列，求的前项和时，先求的变号点，再按的正负分段去绝对值：时，时。以为例，设，则时，时；若，设，则时，时。 类型 方法 注意 最值 看符号变化或对称轴 最值点必须是正整数 片段和 成等差 公差为 实际模型 等差则定套公式；否则求通项再求最值 写清首项、公差（若有）、项数的实际含义 特别提醒 最值点要检验正整数；实际模型要写清首项、公差和项数的实际含义，不能把连续函数的最值直接当数列的最值。 即学即练 6．（25-26高二下·河南南阳·期中）某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（    ） A．7.5kg B．6.5kg C．7kg D．6kg 【答案】A 【详解】设该网店的衣服7个尺码最适合的人的体重从小到大为数列，则为等差数列， ，，所以该数列的公差， 故相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为7.5kg. 题型01 等差数列的定义与判定 典｜例｜精｜析 【例1】已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 所以. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】（多选）若数列是等差数列，公差为，则下列对数列的判断正确的有（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列是公差为的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【答案】ABD 【详解】选项A，若，则，为常数， 所以数列是等差数列，故A正确； 选项B，若，则，为常数， 所以数列是等差数列，故B正确； 选项C，若，则， ， 数列是公差为的等差数列，故C不正确 选项D，若，则， ， 数列是公差为的等差数列，故D正确． 故选：ABD 【变式1-2】（多选）已知等差数列中，，其前项和为，若，则（    ） A．公差 B． C．当时，的最小值为57 D． 【答案】BCD 【详解】因为，， 又为等差数列，设公差为，则， 所以， 若，由，得，则，不符合题意，所以，故A错误； 由A选项可知，所以，由，得，，故B正确； 由B选项，可知，若，则， 由，得，则当时，； 由，则，则当时，，所以当时，的最小值为57，故C正确； 由， 则 ， 所以，故D正确. 综上所述，选项BCD正确. 题型02 通项公式与基本量 典｜例｜精｜析 【例2】在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)试判断是否为数列中的项？ 【答案】(1) (2)不是 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，，∴， 解得，，∴. （2）令， ∴，不是数列中的项. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知等差数列满足，，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【答案】C 【详解】由题意可得， 又，所以，解得. 【变式2-2】已知等差数列的公差为，则（    ） A．2 B． C． D．20 【答案】C 【详解】由题可得， 则， 又因为， 所以. 题型03 等差中项与插项 典｜例｜精｜析 【例3】（1）已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项.求的通项公式； （2）已知等差数列的前三项依次为，，，求通项. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意，，， 又因公差为2，所以，得， . （2）由题意，公差， 又，解得， 所以等差数列的首项为， 所以. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】由的通项公式，得首项，公差， 则等差数列的首项，设其公差为， 由于相邻两项之间插入2个数，故，则， 根据等差数列通项公式，， 因此. 【变式3-2】（多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则下面选项正确的是（     ） A． B．是数列的第8项 C．不是数列的项 D．是数列的第9项 【答案】AB 【详解】设数列的公差为. 由题意可知，，，于是. 因为，所以，所以，则. 所以，数列的通项公式是，故A正确. 数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列， 则. 令，解得. 所以，是数列的第8项，故B正确，CD错误. 题型04 下标和性质 典｜例｜精｜析 【例4】在等差数列中，，则的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 整理得，即， 则. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】（多选）设数列的前项和为，且，若，则下列结论正确的有（   ） A． B．当时，取得最小值 C．当时，的最小值为7 D．当时，取得最小值 【答案】ABD 【详解】得， 所以， 累加得，， 所以， 当时，满足上式， 所以， 当时，，所以，故A正确； 由于函数，其图象对称轴为， 当时函数单调递增，故当时，单调递增， 又， 所以数列单调递增，且， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且， 所以当时，取得最小值，故B正确； 对于C，当时，单调递增，又， 所以当时，的最小值为8，故C错误； 对于D，当时，，当时，，当时，， 所以当时，考虑的最小值， 又， 所以时，取得最小值，故D正确． 【变式4-2】已知是等差数列的前项和，，则（     ） A． B． C．66 D．33 【答案】D 【详解】由题意得：，所以，解得， 所以. 题型05 单调性与最值 典｜例｜精｜析 【例5】已知是等差数列，是的前项和，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设公差为 ，则 ，解得， 故 . （2），， 当 时， 取得最大值 . 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】（多选）已知数列的通项公式，则其前项和取最小值时，（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】BC 【详解】由于可知是递增数列， 当时，，当时，，当时，， 所以，即的最小值为或， 则的前项和取最小值时，或12. 【变式5-2】（多选）已知数列、均为等差数列，记数列、的前项和分别为，，下列说法中正确的有（    ） A．若数列是递增数列，则数列也是递增数列 B．若，则的值为 C．若，，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，设的公差为，因是递增数列，故， 前项和，则，相邻两项差为，因此是递增数列，故A正确； 对于B，根据等差数列的前项和性质，是等差数列， 所以，由，可知，故B错误； 对于C，两个等差数列的和仍为等差数列，故是等差数列， 由于是和的等差中项，因此，得，故C正确； 对于D，等差数列中，故，同理，因此，故D正确. 题型06 前n项和与基本量 典｜例｜精｜析 【例6】记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则根据题目条件有， 解得，， 因此数列的通项公式为. （2）当时，，因此当时，，当时，， 设为数列的前项和， 则， 因为， 故 . 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知数列通项公式为，求数列的前项和． 【答案】 【详解】 时，，即，是首项为，公差为的等差数列； 时，，即，是首项为，公差为的等差数列； 当时，前项包含个奇数项，个偶数项： 奇数项和， 偶数项和， ， ，， 当时，前项包含个奇数项，个偶数项： 奇数项和， 偶数项和， ， ，， ． 【变式6-2】若一个等差数列的前5项和为25，前10项和为100，则该数列的公差为________． 【答案】 2 【详解】设该等差数列的首项为，公差为，前项和为（）， 根据等差数列前项和公式，结合题意列方程： 当时，，化简得 ； 当时，，化简得 . 联立，解得，即该数列的公差为2. 题型07 前n项和与通项及和的性质 典｜例｜精｜析 【例7】（1）已知数列前项和为，求数列的通项公式； （2）已知是公差为正的等差数列，且，，求数列的通项公式. 【答案】（1），（2）； 【详解】（1），当时，； 当时，，也满足； 故数列的通项公式. （2）是公差为正的等差数列，公差， ，， ，联立，解得，， ， 故数列的通项公式. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，故. 【变式7-2】设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 【答案】B 【详解】由等差数列的性质得：也成等差数列， ， ，解得 ． 【变式7-3】记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，， 联立，解得， 则，故， 且，故. （2）由（1）得， 当且时，，当且时，， 当且时，， 当且时，， 即， 综上，. 题型08 实际模型与综合 典｜例｜精｜析 【例8】一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列. (1)求，，并写出与的递推关系式； (2)求数列的通项公式，并求出的最大值. 【答案】(1)，，， (2)，. 【详解】（1）由题意可知，. 在第个快递站卸下件快递，同时装上件快递， 则，所以，. （2）由（1）知，. 可得 ，， 也符合上式，所以. 因为，故当时，的最大值为. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. 【变式8-2】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面6节的容积共________升． 【答案】 【详解】设竹子自上而下各节的容积分别为，，，，且其为等差数列， 根据题意得，， 即①，②， 而②①，得，解得， 把代入①，得，故． 【变式8-3】设等差数列的公差不为0，，且． (1)求的通项公式： (2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）设等差数列的公差为，． ，，解得或（舍）． 所以的通项公式为． （2）由题意可得， 令，解得或（舍）， 故使成立的的最小值为8． 基础通关 一、单选题 1．已知数列满足，若数列是递减数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知：， 两边除以：， 令，则.当，， ， ， 代入原式：，代入通项，满足. ，是首项，公差的等差数列. 数列递减，即. 2．若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设两个二次方程 、 的根分别为和， 由韦达定理可得：，，因此四个根的和为. 因为已知四个根组成一个首项的等差数列，设公差为， 由等差数列前项和公式：，解得 . 因此四个根按顺序为：​。 根据两组根的和都为，可知配对方式只能是​和​为一组、和为另一组. 由韦达定理，两根之积分别对应和，则可取，. ​ 故. 3．已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（ ） A． B． C．使成立的最小值为9 D．时有最大值 【答案】D 【详解】对于A，因为数列为等差数列，且，则，即，可得，则，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B错误； 对于C，，，要使，则，所以最小为19，故C错误； 对于D，由选项B知，已知，则，所以当时有最大值，故D正确. 二、填空题 4．已知等差数列的公差不为零，且，则__________. 【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为（）， 因为，所以，解得， 则. 5．与的公共项从小到大构成新数列，则的通项公式为________________.则的最小项的值为____________. 【答案】 【详解】取得， 则为2的倍数，即为偶数， 则为偶数， 令，代入得， ，即通项公式为； 当时，，此时，反之，当时，， 则的最小值在取到， 当时， 有， ，， 则， 当时，， 故的最小值为. 6．若等差数列的首项，前项和，则______． 【答案】 【详解】因为是等差数列，所以，解得. 三、多选题 7．下列有关数列的说法正确的是（ ） A．已知数列为等差数列，若，则1013 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列的前项和为，已知，是递增数列 【答案】ABC 【详解】数列为等差数列，则，所以1013，故A正确； 令，解得（舍去），即，故B正确； 因为数列1，，，2，，....，所以第8个数是，故C正确； 因为，所以，故， 所以不是递增数列，故D错误. 故选：ABC 8．设是等差数列，下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BC 【详解】设的公差为， 对于A，， 因为公差的正负不确定，所以的正负不确定，故A错误； 对于B，因为， 即异号， 当时，由等差数列的单调性可知，即， 当时，由等差数列的单调性可知，即， B正确， 对于C，，所以， 又，故不存在使原式取等情况，，故C正确； 对于D， ，D错误； 故选：BC. 9．已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 【答案】AC 【详解】选项A，，则，所以，所以A正确； 选项B，，则通项公式为，所以B错误； 选项C，由选项A知，所以C正确； 选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误. 故选：AC. 四、解答题 10．已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式 (2)求 【答案】(1) (2)60 【详解】（1）设为的公差，由题意得，解得， 故. （2）由题意得 . 11．（1）在等差数列中，已知，求首项与公差d； （2）已知数列为等差数列，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）在等差数列中，， ∴，解得； （2）数列为等差数列，，， ∴，则． 12．（1）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项． （2）已知数列的前n项和，求的通项公式． 【答案】（1）91为数列中的第43项；（2） 【详解】（1）因为，所以，解得， 因为，所以， 又因为，解得， 代入通项公式为：， 令，即，解得（为正整数）， 即91为数列中的第43项． （2）∵， ∴当时，， 当时，， 将代入，得，与一致， ∴的通项公式是． 13．已知等差数列，公差，． (1)求的值； (2)记的前项和为，求． 【答案】(1) (2)100 【详解】（1）由等差数列的性质可知； （2）设等差数列的首项为，所以， 得， 所以. 14．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：设等差数列的公差为，由，得， ，解得，所以． 方法二：设等差数列通项公式为，易得. 由,即，即. 解得：，，所以． （2）方法一：由题意知， ， 当时，取得最小值，为． 方法二：由可得． 当，即，解得. 所以的最小值为，所以的最小值为． 15．已知是等差数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2)的最小值为，无最大值； (3). 【详解】（1），，， ，； （2），， 对称轴为，故当时，取最小值， 且最小值为，无最大值； （3）当时，；当时，， 故当且时，；当且时，； 设数列的前n项和为， 当且时， 则， 当且时， . 故. 素养提升 1．已知数列的前n项和（p，q，），若，且对任意的，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 则， 因为，即，则， 可得，可知数列是以首项，公差的等差数列， 又因为，则，即， 可得，解得， 则， 所以的取值范围是. 2．已知等差数列的前项和为，，．若表示不超过的最大整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的公差为，由得，解得. 所以，，， 故当时，，当时，， 所以． 3．下表中数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列.记第行第列的数为（其中，），则______，数字2026在表中总计出现______次. 2 3 4 5 6 … 3 5 7 9 11 … 4 7 10 13 16 … 5 9 13 17 21 … 6 11 16 21 26 … … … … … … … 【答案】 37 15 【详解】依题意，数阵的第行等差数列公差为，第列等差数列的公差为， 则， 因此； 令，则，而， 设与表示的数对为，则可能有， ，共有个， 所以数字共出现次. 故答案为：； 4．（多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为33 【答案】AC 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为，则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得，， 由，可得，所以取得最小正值时为31，故D错误. 5．在等差数列中， (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为. 因为在等差数列中，， 所以，解得. 所以的通项公式为. （2）令，解得，令，解得. 当时，，则. 此时. 当时， 因此，的前项和 6．已知等差数列为递减数列，且，. (1)求数列的通项公式; (2)若数列的前项和，求的最小值. 【答案】(1)； (2)10 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为， 联立解得或， ∵等差数列为递减数列，，， . （2）由(1)知，故，可得， 化简整理得，解得或，又，所以的最小值为10. 7．在等差数列中，已知 (1)该数列的公差d； (2)设数列的前n项和为，当n为何值时，取得最小值?并求出该最小值. 【答案】(1). (2)当时，取得最小值. 【详解】（1）已知. 由，得 ， ，解得， 故公差. （2）， 当时，取得最小值. 8．记是等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值． 【答案】(1) (2)9． 【详解】（1）设的公差为． 由题可得，解得， 所以． （2）由（1）可知． 由，得， 整理得，解得或， 所以的最小值为9． 9．等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求和的等差中项. (3)求. 【答案】(1) (2) (3)195 【详解】（1）在等差数列中，，则公差， 由，得，因此，， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得和的等差中项为. （3）由（1）得. 迁移创新 1．已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得：，所以， 由得：，所以，又， 所以，所以， 由得， 当为正奇数时，，所以对任意恒成立， 令，又，即， 所以数列在正奇数集上单调递减，所以，所以， 当为正偶数时，，所以对任意恒成立， 令，又，所以， 所以数列在正偶数集上单调递增，所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 2．数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：， 所以 . 3．（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知等差数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）当时， 当时，， 故， 所以的通项公式是， （2）设等差数列公差为，， 则，又， 则，所以， 则 4．等差数列中， (1)已知，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，且， （2），，，， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $