4.2等差数列讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦高中数学等差数列核心知识点，从概念（定义、递推公式、单调性）出发，衔接等差中项、通项公式、前n项和公式，延伸至性质（项与和的关系、奇偶项特性）及最值问题，构建从基础到应用的完整学习支架。 资料以“概念辨析-性质应用-判定证明-综合问题”分层设计考点，如例3判定证明题培养推理意识，变式题提升抽象能力。融合数学眼光观察规律，数学思维构建逻辑，课中辅助分层教学，课后练习题助力查漏补缺，强化应用意识。

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 选修 第四章 数列 (二)等差数列 知识梳理 知识点1：等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这样的数列称为等差 数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母表示. 用递推公式表示为an-an-1=d(n≥2)或an+l-an=d(n≥l)。 说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性： d>0为递增数列，d=0为常数列，d<0为递减数列。 知识点2：等差中项的概念 若三个数a,4,b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，即A=a+b 2 a,A,b成等差数列台A=a+b 2 知识点3：等差数列的通项公式 若等差数列的首项为a，公差为d,则其通项an=a,+(n-1)d. 知识点4：等差数列前n项和公式 (①若{a是等差数列，则S可以用首项a和末项a,表示为S。=（a+a,n, 2 ②)若首项为4，公差为d,则s可以表示为S。=na,+nn-Da 2 知识点5：等差数列的性质 第1页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 设数列{an}是等差数列，公差为d,前n项和Sn,且n,n,p,,q∈N+ (1)若m+n=p+q,则am+an=ap+ag: (2)若m+n=2p,则am+an=2ap (3)2am=am-1+am+2am=amk+amtk (4)a,=an+(n-m)d,d=0。-a(m≠m): n-m (5)S2m-1=(2m-1)am (6)数列S,Sk-S,Sk-S2k,;是等差数列，其公差为k2d (7)数列 Sn是等差数列 n 特殊说明：设数列{an}是等差数列，且公差为d, （1)若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶-S奇=nd;② S数=a; S偶al （1)若项数为奇数，设共有21-1项，则0S着-S=以，=a:②、=九 S偶n-1 知识点6：等差数列的最值 (1)a1>0,d<0时，Sn有最大值： a<0,d>0时，Sn有最小值； (2)Sn最值的求法：①若己知Sn，可用二次函数最值的求法(n∈N,):②若已知an,则Sn最值时n的 an≥0an≤0 值(n∈N,)可如下确定 。或{ a1≤0a+120 第2页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 考点突破 考点一等差数列的概念 例1.若数列{an}的通项公式an=3-2n,则此数列() A.是公差为-2的等差数列 B.是公差为2的等差数列 C.是公差为3的等差数列 D.是首项为3的等差数列 变式1-1.己知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是 变式1-2.（多选题）给出下列命题，正确命题的是() A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列： B. 数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列； C.等差数列的通项公式一定能写成an=k+b的形式(k,b为常数)； D.数列(2n+}(n∈N）是等差数列， 考点二等差数列的性质 例2-1.在等差数列{an}中. (1)a1=56,an=-32,Sn=-5,求n和d (2)a1=4,S=172,求as和d. (3)已知d=2,an=11,Sm=35,求a1和n. 第3页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 例2-2.在等差数列{an}中，a1十a4十a7=58,a2十a5十as=44,则a3十a6十a的值为() A.30 B.27 C.24 D.21 变式2-1.在等差数列{an}中， (1)己知a1=2,d=3,n=10,求am: (2)已知41=3，an=21,d=2,求n; (3)已知a41=12,a6=27,求d (4)已知d},=8,求a和a 变式2-2.设等差数列{am}的前n项和为Sm,若S3=9,S6=36,则a,十as十a等于() A.63B.45C.36D.27 变式2-3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a,=14,则S,=() A.21 B.63 C.42 D.126 第4页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 变式24已知两个等差数列a,和6的前n项和分别为4，和B,且=5n+3, Bm+3，则方的值为( > A.2 B. C.4 D.5 考点三等差数列的判定及证明 1 例3.已知数列{an}满足a=2,a1=2-一（neN),令b,= a. a,-1 (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 第5页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 变式3已知数列a,中，a1，耳。。+0e》 1 (1)求证：数列 是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 考点四等差数列的综合问题 例4.等差数列{an}满足a+a5=10,a2=9 (I)求{an}的通项公式； (IⅡ)若{an}的前n项和为Sn,求Sn的最大值 第6页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 变式4.数列{an}中，41=8，a4=2,且满足a+2-2a+1十an=0(n∈N. (I)求数列{an}的通项公式： (2)设Tn=la1+la2+…+lanl,求Tm. 课后巩固 C 1.己知数列{an}是等差数列，且满足a+a,=50,则a。+a,+a等于() A.84 B.72 C.75 D.56 2.已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn,若S6=S12,则下列结论中错误的是(） 第7页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A.a1:d=-17:2 B.S18=0 C.当d>0时，a6+a14>0 D.当d<0时，a>a 3.(多选题)等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a41>0,S1o=S2o,则() A.d<0 B.a16<0 C.SSS15 D.当且仅当Sn<0时232 4.在数列{an)中，若√a=√a,+V2,a=8,则数列{an)的通项公式为 5.已知S,是等差数列a,的前n项和，5，=126，a,+a。=40,则25，+60的最小值为 n 6.在数列{an}中，a1=1,3anau-1十an一an-1=0(n22,n∈N*). (1)求证：数列 是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 第8页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 7.在公差为d的等差数列{a}中，已知a,=10,且5a,a,=(2a2+2)2 (1)求公差d和通项公式a; (2)若d<0,求数列{an}的前n项和Sn,并证明数列 S为等差数列 n 8.在①a2=3a1,S-S2=42,②S4=32,a,=18,③41=2，a1-an=VS,-2这三个条件中任选一个，补充 在下面问题中并作答.己知等差数列an}的前n项和为Sn且·（填写序号） (1)求数列{am}的通项公式； 第9页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ (2)设b,=1 。,求证数列b,的前项和7< a 8 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 第10页共10页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第四章 数 列 （二）等差数列 知识点1：等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这样的数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 用递推公式表示为或。 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性： 为递增数列，为常数列， 为递减数列。 知识点2：等差中项的概念 若三个数，A，b构成等差数列，则A叫做与b的等差中项，即. ，，成等差数列。 知识点3：等差数列的通项公式 若等差数列的首项为，公差为d，则其通项. 知识点4：等差数列前n项和公式 (1)若{an}是等差数列，则Sn可以用首项和末项表示为； (2)若首项为，公差为d，则Sn可以表示为 知识点5：等差数列的性质 设数列是等差数列，公差为，前n项和Sn ，且，，，k, （1）若，则； （2）若m+n=2p, 则 （3） （4），； （5） （6）数列…；是等差数列，其公差为 （7）数列是等差数列 特殊说明：设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①偶奇； ② ； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。 知识点6：等差数列的最值 （1），时，有最大值； ，时，有最小值； （2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。 考点一 等差数列的概念 例1.若数列的通项公式，则此数列（ ） A．是公差为-2的等差数列 B．是公差为2的等差数列 C．是公差为3的等差数列 D．是首项为3的等差数列 ，是公差为，首项为的等差数列．选：A. 变式1-1.已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________． 【答案】6　 变式1-2.（多选题）给出下列命题，正确命题的是（ ） A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； B．数列是公差为的等差数列； C．等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)； D．数列是等差数列． 【答案】BCD 【详解】等差数列的定义知，数列6，4，2，0为等差数列，但公差为，A错误； 等差数列的定义知，数列为等差数列且公差为，B正确； 等差数列的通项公式，得，令，则，C正确；，数列是等差数列，D正确. 故选：BCD 考点二 等差数列的性质 例2-1.在等差数列{an}中． (1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d. (3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 例2-2.在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ） A．30 B．27 C．24 D．21 【答案】A【详解】设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30. 变式2-1.在等差数列{an}中， （1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an； （2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n； （3）已知a1＝12，a6＝27，求d； （4）已知d＝－，a7＝8，求a1和an. 【解析】（1）an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29. （2）由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10. （3）由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3. （4）由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，所以an＝a1＋(n－1)d＝10－ (n－1)＝－n＋. 变式2-2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A.63 B.45 C.36 D.27 【答案】　B　∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45. 变式2-3.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】.故选：B. 变式2-4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为和，且＝，则的值为（ ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【详解】∵两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝， ∴.故选：C． 考点三 等差数列的判定及证明 例3.已知数列满足，（），令. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明略；（2）（）. 【详解】（1）=是一个常数， 所以数列是等差数列.（2）由题得，数列是公差为1的等差数列， 所以. 变式3.已知数列中，，且 （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 【解析】因为，所以，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，所以 考点四 等差数列的综合问题 例4.等差数列满足. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若的前项和为，求的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36解：（Ⅰ）①，② 由①②得，，；（Ⅱ），的最大项的值为36，在时取到； 变式4.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 【解析】　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2.∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.∴当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.∴Tn＝ 1. 已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ） A．84 B．72 C．75 D．56 得，所以.故选：C. 2.已知等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C．当时， D．当时， 因为是等差数列，前项和为，由得：，即，即，对于选项A：由得，可得，故选项A正确；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C：，若，则，故选项C正确；对于选项D：当时，，则，因为，所以，，所以，故选项D不正确，故选：D 3.（多选题）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则（　　） A．d＜0 B．a16＜0 C．Sn≤S15 D．当且仅当Sn＜0时n≥32 【答案】ABC 【详解】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝S20，∴10a1+45d＝20a1+190d， ∴2a1+29d＝0，∵a1＞0，∴d＜0，故A正确；∴a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0， ∵d＜0，∴a15＞a16，∴a15＞0，a16＜0，故B正确；∴Sn≤S15，故C正确； 又，，∴当且仅当Sn＜0时，n≥31，故D错误.故选：ABC． 4.在数列｛an｝中，若，a1=8，则数列｛an｝的通项公式为_________． 【答案】##【详解】解：∵，，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴，∴． 故答案为： 5.已知是等差数列的前n项和，，，则的最小值为___________． 【答案】28【详解】由题设，，可得，即，∴，则，∴，当且仅当时等号成立，而，且，当时，，当时，. 故当或5时，的最小值为.故答案为： 6.在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）an＝． 【详解】 （1）证明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，整理得－＝3(n≥2)， 所以数列是以1为首项，以3为公差的等差数列． （2）解：由（1）可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝． 7.在公差为的等差数列中，已知，且. （1）求公差和通项公式； （2）若，求数列的前项和，并证明数列为等差数列. 【答案】（1）或；或；（2），证明见解析. 【详解】（1）因为，所以，即，化简得，解得或.故或.（2）因为，所以由（1）得，，则.所以，当时，.于是，故有.故数列是以10为首项，为公差的等差数列. 8.在① ,,② ,, ③ , 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知等差数列的前项和为且_________.（填写序号） （1）求数列的通项公式； （2）设，求证数列的前项和 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】（1）方案一：选条件①.设等差数列的公差为.因为，，所以,解得所以. 方案二：选条件②.设等差数列的公差为.因为，，所以,解得所以. 方案三：选条件③.设等差数列的公差为，所以.因为，，所以，，所以，所以. （2）由（1）知，所以=＜ 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $