4.3 等比数列 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3 等比数列 知识点一 等比数列有关的概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2= . 知识点二 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an= . (2)等比数列通项公式的推广：an= . (3)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn= . 知识点三 等比数列的四种常用判定方法 (1)定义法：若 (q为非零常数，且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列. (2)等比中项法：若在数列{an}中， (n∈N*)，则{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成 (c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列. (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和 (k为常数，且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列. 知识点四 等比数列的常用性质 (1)若m+n=p+q，则 ，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则 ，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为 (k，m∈N*). (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0). (4)若等比数列{an}的 前n项和为Sn，则Sn， ， 仍成等比数列(公比q=-1且n为偶数除外)，其公比为 . （5）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． ①若共有项，则 ；②若共有项， ． (6)若或则等比数列{an}递 . 若或则等比数列{an}递 . 考点一 等比数列基本量的运算 【例1】在等比数列中， (1)若，，，求和； (2)若，，求和； (3)若，，求和公比. 【变式1】设等比数列的前项和为，已知，，则（　  ） A． B． C． D． 【变式2】设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1=1，S5=5S3-4，则S4等于(　　) A. B. C.15 D.40 【变式3】设数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1=-1，b5=8b2，(1-2n)Sn=n(n+1)Tn，则an=　　　　　　.  考点二 等比数列的判断与证明 【例2】已知数列，，，. (1)求证：是等比数列； (2)设()，求数列的前项和. 【变式1】(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A.若b2=ac，则a，b，c成等比数列 B.若{an}为等差数列，则{}为等比数列 C.若Sn=3n-1，则数列{an}为等比数列 D.若a1=1，a2=2，3an+1=an+2an+2(n∈N*)，则{an+1-an}为等比数列 【变式2】已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*)． (1)求证：{ bn }是等比数列； (2)求{ an }的通项公式． 【变式3】已知数列{an}的首项a1=，且满足an+1=. ①求证：数列为等比数列； ②若+++…+<2 025，求满足条件的最大正整数n. 考点三 项的性质的应用 【例3】已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=　　　　.  【变式1】已知等比数列的公比，该数列前9项的乘积为1，则______． 【变式2】已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则 ． 【变式3】等比数列满足：，则的最小值为 ． 考点四 和的性质的应用 【例4】数列为各项都是正数的等比数列，为前项和，且，，那么( ) A．150 B．-200 C．150或-200 D．400或-50 【变式1】设Sn是等比数列{an}的前n项和，，则等于( ) A． B． C． D． 【变式2】已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若=，则等于(　　) A. B.8 C.9 D.16 【变式3】已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为__________. 考点五 奇偶项性质的应用 【例5】已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为( ) A．5 B．7 C．9 D．11 【变式1】已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为( ) A． B． C． D． 【变式2】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则( ). A．11 B．12 C．13 D．14 【变式3】已知数列满足，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六 等比数列的范围与最值问题 【例6】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是( ) A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【变式1】在等比数列{an}中，且a8＞a9，则使得的自然数n的最大值为( ) A．10 B．9 C．8 D．7 【变式2】等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足下面条件，，，.给出下列结论：①；②；③的值是中最大的；④成立最大的自然数等于198.其中正确的结论是__________. 【变式3】已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14， 则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________． 考点七 等比数列的实际应用 【例7】我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题(意为)：“有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”那么，此人第天和第天共走路程是( ) A． 里 B．里 C．里 D．里 【变式1】《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意是：有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走7天，共走了700里路.若该马按此规律继续行走7天，则它14天内所走的总路程为( )里. A．950 B．1055 C．1164 D． 【变式2】(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是(　　) A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路 【变式3】公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为( ) A．米 B．米 C．米 D．米 考点八 等差数列与等比数列的综合 【例8】已知数列为各项均不相等的等比数列，其前项和为，且成等差数列，则 . 【变式1】记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列，则的最小值为 . 【变式2】已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式3】已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为 . 题组A 基础过关练 1.下列命题中正确的是( ) A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列 B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列 C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列 D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列 2.等比数列的前项和，则的值为( ) A．3 B．1 C． D． 3.“”是“，，，成等比数列”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.记正项等比数列的前n项和为，若，，则( ) A．2 B．－21 C．32 D．63 5.设是等比数列的前项和，若，，则( ) A． B． C． D． 6.在正项等比数列中，已知，，，则等于( ) A． B． C． D． 7.(多选)已知等比数列中，满足，公比，则( ) A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列是等比数列 D．数列是等差数列 8.已知等比数列的前项和，则__________，__________． 9.已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______. 10.在等比数列{an}中. (1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 题组B 能力提升练 11.已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 12.(多选)设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D．与均为的最大值 13.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+t，则t=-1 B.若{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=6，则a1a2a3…a8=81 C.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等比数列 D.项数为奇数的等比数列{an}，a1=2，S奇=，S偶=，则公比q= 14.在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=-，a3=-，则++++=　　　　.  15.已知数列{an}满足an(an-1+3an+1)=4an-1an+1(n≥2，n∈N*)，且a1=1，a2=. (1)证明：数列是等比数列； (2)求{an}的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 等比数列 知识点一 等比数列有关的概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab. 知识点二 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1. (2)等比数列通项公式的推广：an=amqn-m. (3)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn==. 知识点三 等比数列的四种常用判定方法 (1)定义法：若=q(q为非零常数，且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列. (2)等比中项法：若在数列{an}中，an≠0且=anan+2(n∈N*)，则{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an=cqn-1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列. (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k(k为常数，且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列. 知识点四 等比数列的常用性质 (1)若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0). (4)若等比数列{an}的 前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列(公比q=-1且n为偶数除外)，其公比为qn. （5）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． ①若共有项，则；②若共有项，． (6)若或则等比数列{an}递增. 若或则等比数列{an}递减. 考点一 等比数列基本量的运算 【例1】在等比数列中， (1)若，，，求和； (2)若，，求和； (3)若，，求和公比. 【答案】(1)，；(2)，；(3)或. 【解析】(1)等比数列中，，，， ，解得，． (2)等比数列中，，， ，解得，， ． (3)当时，，所以，所以； 当时，，，即 ∴， (舍去)，∴，所以；综上所述：或 【变式1】设等比数列的前项和为，已知，，则（　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以.所以， 解得.，，解得.故选：D 【变式2】设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1=1，S5=5S3-4，则S4等于(　　) A. B. C.15 D.40 【答案】　C 【解析】方法一　若该数列的公比q=1，代入S5=5S3-4中， 有5=5×3-4，不成立，所以q≠1. 由=5×-4，化简得q4-5q2+4=0，所以q2=1(舍)或q2=4， 因为此数列各项均为正数，所以q=2，所以S4==15. 方法二　由题知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)-4， 即q3+q4=4q+4q2，即q3+q2-4q-4=0，即(q-2)(q+1)(q+2)=0. 由题知q>0，所以q=2.所以S4=1+2+4+8=15. 【变式3】设数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1=-1，b5=8b2，(1-2n)Sn=n(n+1)Tn，则an=　　　　　　.  【答案】　2n 【解析】设等比数列{bn}的公比为q， 由b5=8b2，则q3=8，解得q=2，又b1=-1，所以bn=-2n-1， 所以Tn==1-2n，代入(1-2n)Sn=n(n+1)Tn，解得Sn=n(n+1)， 当n=1时，a1=S1=2，当n≥2，n∈N*时，an=Sn-Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2n， a1=2满足上式，所以an=2n，n∈N*. 考点二 等比数列的判断与证明 【例2】已知数列，，，. (1)求证：是等比数列； (2)设()，求数列的前项和. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】(1)依题意，， 所以，是首项为2、公比为2的等比数列. (2)由(1)得：，， 数列的前项和为. 【变式1】(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A.若b2=ac，则a，b，c成等比数列 B.若{an}为等差数列，则{}为等比数列 C.若Sn=3n-1，则数列{an}为等比数列 D.若a1=1，a2=2，3an+1=an+2an+2(n∈N*)，则{an+1-an}为等比数列 【答案】BCD 【解析】对于A，当a=b=c=0时，b2=ac，此时a，b，c不成等比数列，故A错误； 对于B，若{an}为等差数列，设其公差为d，则此时有==2d>0，所以数列{}为等比数列，故B正确； 对于C，若Sn=3n-1，则a1=S1=2，an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=3n-3n-1=2·3n-1(n≥2)，a1=2显然满足an=2·3n-1，所以数列{an}为等比数列，故C正确； 对于D，因为3an+1=an+2an+2，所以2(an+2-an+1)-(an+1-an)=0，而a1=1，a2=2， 因此数列{an+1-an}是首项为1，公比为的等比数列，故D正确. 【变式2】已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*)． (1)求证：{ bn }是等比数列； (2)求{ an }的通项公式． 【答案】(1)证明见解析；(2)an＝2n－1. 【解析】(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn， ∵b1＝＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴＝2，∴{bn}是等比数列． (2)由(1)知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列， ∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1. 【变式3】已知数列{an}的首项a1=，且满足an+1=. ①求证：数列为等比数列； ②若+++…+<2 025，求满足条件的最大正整数n. ①证明　由an+1=，得=1+·，则-2=， 又a1=-2=≠0，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ②解　由①可得-2=，所以=+2， 则++…+=+2n=+2n=1-+2n， 由+++…+<2 025，得1-+2n<2 025，即2n-<2 024， 又函数y=2n-为增函数，所以满足2n-<2 024的最大正整数为1 012. 考点三 项的性质的应用 【例3】已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=　　　　.  【答案】-2 【解析】方法一　{an}为等比数列，∴a4a5=a3a6，∴a2=1， 又a2a9a10=a7a7a7，∴1×(-8)=(a7)3，∴a7=-2. 方法二　设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q，显然an≠0， 则a4=q2，即a1q3=q2，则a1q=1，∵a9a10=-8，则a1q8·a1q9=-8， 则q15=(q5)3=-8=(-2)3，则q5=-2，则a7=a1q·q5=q5=-2. 【变式1】已知等比数列的公比，该数列前9项的乘积为1，则______． 【答案】16 【解析】由题意得：，故，故，所以.故答案为：16 【变式2】已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则 ． 【答案】 【解析】由等差数列的性质可知，，即，而， 根据等比数列的性质可知，，则，，所以. 【变式3】等比数列满足：，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】依题意，等比数列满足：，所以，且，所以，当且仅当时等号成立，此时. 所以的最小值为. 考点四 和的性质的应用 【例4】数列为各项都是正数的等比数列，为前项和，且，，那么( ) A．150 B．-200 C．150或-200 D．400或-50 【答案】A 【解析】解：∵数列为各项都是正数的等比数列， 设公比为，则，由已知数据可知， ∴，①，，② ①②两式相除可得，解得或(舍去)， 把代入①可得，∴.故选：A. 【变式1】设Sn是等比数列{an}的前n项和，，则等于( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设公比为q，∵，∴q≠1. 故选：B 【变式2】已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若=，则等于(　　) A. B.8 C.9 D.16 【答案】B 【解析】设等比数列{an}的公比为q，由=，得S6-S3=3S3，则q3==3， 又Sn为{an}的前n项和，则S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9成等比数列，公比为q3=3， 于是S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=S3+3S3+32S3+33S3=40S3， 所以==8. 【变式3】已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为__________. 【答案】40 【解析】因为，，所以，， 则等比数列的公比，所以，，也是等比数列，所以，，也是等比数列，所以，即， 解得或，又，所以.故答案为：40. 考点五 奇偶项性质的应用 【例5】已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为( ) A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【解析】根据题意，数列为等比数列，设， 又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则， 故；故选： 【变式1】已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这个等比数列共有项，公比为， 则奇数项之和为， 偶数项之和为， ， 等比数列的所有项之和为，则， 解得，因此，这个等比数列的项数为. 故选：C. 【变式2】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则( ). A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴， 设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即， ∴，∵,∴解得， 又前3项之积，解得，∴.故选:B. 【变式3】已知数列满足，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，当为奇数时，，此时为偶数，则 ，所以，即，所以， 即，即.故选：B. 考点六 等比数列的范围与最值问题 【例6】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是( ) A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】B 【解析】若，因为，所以，则与矛盾， 若，因为，所以，则，与矛盾， 所以，故B正确； 因为，则，所以，故A错误； 因为，，所以单调递增，故C错误； 因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；故选：B 【变式1】在等比数列{an}中，且a8＞a9，则使得的自然数n的最大值为( ) A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【解析】因为，即，所以， 又因为，所以数列为单调递减， 因为， 所以，所以.又因为为整数，故.故选：C 【变式2】等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足下面条件，，，.给出下列结论：①；②；③的值是中最大的；④成立最大的自然数等于198.其中正确的结论是__________. 【答案】①④ 【解析】①：由，得，即，又且， ∴，即，故正确； ②：由且，知：，即，故错误； ③：且，知：，故错误； ④： ，故正确. 故答案为：①④. 【变式3】已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14， 则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________． 【答案】4 【解析】设等比数列首项为，公比为q，则，，得，即或(舍)，得，所以，则an·an＋1·an＋2，即，所以，最大正整数n的值为4. 考点七 等比数列的实际应用 【例7】我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题(意为)：“有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”那么，此人第天和第天共走路程是( ) A．里 B．里 C．里 D．里 【答案】A 【解析】设这个人第天所走的路程为里，可知是公比的等比数列， 由，得，解得， . 所以此人第天和第天共走了里.故选：A. 【变式1】《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意是：有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走7天，共走了700里路.若该马按此规律继续行走7天，则它14天内所走的总路程为( )里. A．950 B．1055 C．1164 D． 【答案】D 【解析】由题意，设该匹马首日路程为，公比，， ，解得，所以.故选：D 【变式2】(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是(　　) A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路 【答案】ABD 【解析】设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为的等比数列， 由等比数列前n项和公式得：，解得a1＝192， A：，故此人第二天走了九十六里路，正确； B：后五天所走的路程为里，则第一天比后五天多走里，正确； C：，而，错误； D：，正确．故选：ABD 【变式3】公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为( ) A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列， 其中，且， 所以乌龟爬行的总距离为. 故选：A. 考点八 等差数列与等比数列的综合 【例8】已知数列为各项均不相等的等比数列，其前项和为，且成等差数列，则 . 【答案】【解析】设数列公比为，则，成等差数列，， 即，整理得，解得，或（舍去），∴ 【变式1】记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列，则的最小值为 . 【答案】【解析】设等差数列的公差为，由，成等比数列，得，，即，解得，即，因此所以当或时，有最小值. 【变式2】已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解析】设方程的四个根由小到大依次为，，，， 不妨设的一根为1，则另一根为27，所以，由等比数列的性质可知，所以，，所以等比数列，，，的公比为，所以，，由韦达定理得，可得. 【变式3】已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为 . 【答案】5【解析】设等差数列的公差为，因为，可知，且，则，即，所以；又因为是等比数列，且，则，显然，可得，则，所以最小值为5. 题组A 基础过关练 1.下列命题中正确的是( ) A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列 B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列 C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列 D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列 【答案】C 【解析】若，则对数无意义，A,B错误； 对C，若a，b，c是等差数列，则，所以，正确； 对D，若，则，显然，错误. 故选：C. 2.等比数列的前项和，则的值为( ) A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，， ∵成等比数列，∴，解得， 此时，也满足．故选：D． 3.“”是“，，，成等比数列”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，不能推出，，，等比数列，例如，，， 时，故充分性不成立．若，，，等比数列，则，所以，故必要性成立． 综上，“”是“，，，成等比数列”的必要不充分条件，故选：． 4.记正项等比数列的前n项和为，若，，则( ) A．2 B．－21 C．32 D．63 【答案】D 【解析】设正项等比数列的公比为， 因为，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 5.设是等比数列的前项和，若，，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，若，则，矛盾. 所以，，故，则， 所以，， ，因此，. 故选：B. 6.在正项等比数列中，已知，，，则等于( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，则，，所以，，则,因为，则，即，解得.故选：C. 7.(多选)已知等比数列中，满足，公比，则( ) A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列是等比数列 D．数列是等差数列 【答案】CD 【解析】等比数列中，满足，公比，. 对于A，，不是等比数列，故A错误； 对于B，，是等比数列，故B错误； 对于C，，是等比数列，故C正确； 对于D，，是等差数列，故D正确.故选：CD. 8.已知等比数列的前项和，则__________，__________． 【答案】 【解析】因等比数列的前项和， 于是得，，， 数列公比，解得， 此时，当时，，满足上式， 即，有是非零常数，则是等比数列， 所以.故答案为：6；. 9.已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______. 【答案】 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， 由，得，因为，所以，所以，. 故答案为：. 10.在等比数列{an}中. (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 【答案】(1)；(2)；(3)2或 【解析】(1)由题意知解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. (2)由题意知解得从而S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根.从而或又Sn＝＝126，所以q为2或. 题组B 能力提升练 11.已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】因为等比数列{an}有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为q， 得到奇数项的和为1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+…+q2n-1)=85，偶数项的和为q+q3+q5+…+q2n-1=42，整体代入得q=2，所以前2n+1项的和为=85+42=127，解得n=3. 12.(多选)设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D．与均为的最大值 【答案】BD 【解析】由题意知，：由得，由得， 所以，又，所以，故错误； ：由得，故正确； ：因为是各项为正数的等比数列，， 有 所以，所以，故错误； ：，则与均为的最大值，故正确.故选： 13.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+t，则t=-1 B.若{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=6，则a1a2a3…a8=81 C.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等比数列 D.项数为奇数的等比数列{an}，a1=2，S奇=，S偶=，则公比q= 【答案】BD 【解析】对于A，因为Sn=2n-1+t=t+×2n，由等比数列的前n项和公式Sn==-qn，知t=-，所以A错误； 对于B，由a2a7+a3a6=6，得到a2a7=a3a6=3，所以a1a2a3…a8==81，故B正确； 对于C，当q=-1，n为偶数时，Sn=0，显然Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…不成等比数列，所以C错误； 对于D，设数列{an}共有2m+1项，由题意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=，S偶=a2+a4+…+a2m=，则S奇=a1+a2q+…+a2mq=2+q(a2+a4+…+a2m)=2+q=，解得q=，故D正确. 14.在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=-，a3=-，则++++=　　　　.  【答案】-44 【解析】设T5=++++，则2T5=++++ =++++===-88，所以T5=-44. 15.已知数列{an}满足an(an-1+3an+1)=4an-1an+1(n≥2，n∈N*)，且a1=1，a2=. (1)证明：数列是等比数列； (2)求{an}的通项公式. (1)证明　∵an(an-1+3an+1)=4an-1an+1(n≥2，n∈N*)， ∴an·an-1+an·3an+1=4an-1an+1，∴+=， ∴-=3，又-=4-1=3≠0， ∴数列是首项为3，公比为3的等比数列. (2)解　由(1)得-=3×3n-1=3n， ∴当n≥2时，++…+=3n-1+3n-2+…+31==，即-=， ∴=+=+1=，∴an=， 学科网（北京）股份有限公司 $