26.3 解直角三角形+26.4 解直角三角形的应用 7大题型（分层作业练题型）数学新教材冀教版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 26.3解直角三角形+26.4解直角三角形的应用 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01解直角三角形的相关计算 题型02解非直角三角形 题型03求不规则图形的边长或面积 题型04仰角俯角问题 题型05方位角问题 题型06坡度坡比问题 题型07其他问题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01解直角三角形的相关计算 1.MN/NM PN/NP PNINP MN/NM 2.D 3.8 4.60° 题型02解非直角三角形 5.A. 6.D. 7.9+33. 8.3 32 2 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03求不规则图形的边长或面积 93,32 2· 10.【详解】(1)解：如图，过点B作BP⊥CD,垂足为点P,则∠BPC=∠BPD=90°， B EA D 在Rt△BPC中，c0sC=c0s30°=CP BC ,BC=40 :CP=BCos30°=40×5=20R5=20×1.732≈34640 2 .:∠ABC=150°，∠BCD=30°， ∴.∠ABC+∠BCD=180°， ∴.ABCD ∴.∠PBE=180°-∠BPD=90. 又ED⊥CD,即∠PDE=90°， ∴.四边形BPDE是矩形， ∴BE=DP ∴.AE=AB-BE =AB-PD =AB-CD-CP =AB+CP-CD =58+34.640-78 =14.640 =14.64cm 答：甲同学的成绩是14.64cm. (2)解：如图，过点B作BM⊥CD,垂足为点M,交AE的延长线于点N, B D M 在Rt△BMC中，∠BMC=90°， cosC=cos45=CM , BC=41. 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CM=BCco5450=41×2_412≈41×1414-28.987. 22 2 又.'ED⊥CD,AE⊥ED则∠EDM=∠DEN=∠NMD=90, ∴.四边形NMDE是矩形，则NE=MD,∠ANB=90°. 在Rt△BMC中，∠C=45°，则∠CBM=45°， 又.：∠ABC=122°， ∴.∠ABN=∠ABC-∠CBM=77 在Rt△ANB中，∠ANB=90, AB AB-61, sin∠ABN=sin77=AN .∴.AN=ABsin77°=61×0.974=59.414， .∴.AE=CM+AN-CD=28.987+59.414-78.5=9.901≈9.90cm. 答：乙同学的成绩是9.90cm. 题型04仰角俯角问题 11.C 12.D 13.解：根据题意，得∠ABC=18°， :sin∠ABC=AC AB' .AB= AC 1500≈4854(m), sin∠ABC sin18° 答：A,B两点间的距离约为4854m.· 14.解：如图， 126° 35 米 110米 由题意得：AD⊥CE,AB=CD=35米，AD=BC=110米， 在Rt△ADE中，∠EAD=26°， ∴.DE=AD·tan26°≈110×0.488=53.68（米）， .EC=ED+CD=53.68+35≈89（米）， 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.乙楼的高约为89米. 题型05方位角问题 15.c 16.51.2 17.102 18.解：.海船速度为32.6km,航行时间为0.5h, ∴.AB=32.6×0.5=16.3(nmile) ,`点到直线的距离中垂线段最短，航行至B处时灯塔Q与海船距离最短， ∴.BQ⊥AB,△ABQ为直角三角形，∠ABQ=90°. .在A处看灯塔Q在北偏东30处， ∴.∠BAQ=30°. 在Rt△ABQ中，tan∠BAQ=B AB ∴.BQ=AB·tan30o f代入AB=16.3 mmite,.tan30-3≈0.577. 3 得BQ≈16.3×0.577≈9.4 nmile). 答：灯塔Q到B处的距离约为9.4 nmile,. 题型06坡度坡比问题 19.B 20.A 21.2/3m. 22.解：延长过点B的铅直直线交水平面于点C, 根据题意，得AC=5m,∠BAC=21°， :cos∠BAC=AC AB cAmmmm .∴.AB= c0s∠BACc0s210=5.356≈5.41m AC 5 答：相邻两树间的坡面距离约为5.4m. 4/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07其他问题 23.A 24.A 25.【详解】(1)解：过点A作AH⊥CH,交CB的延长线于点H, E C B .∠ABC=120°， ∠ABH=60, 在Rt△ABH中，AB=30cm, 、BH=AB·cos∠ABH=30×5=15cm ∴.点B与点A在水平方向上的距离为l5cm. (2)解：过点C作CM⊥AM,交AB的延长线于点M, E A B AH=AB-6in∠ABH=30×5=1533m B C .∠ABC=135°， ∴.∠CBM=45°， BC=B C=20cm, :CM=CB-5in∠CBM=20×2=10321am. 2 “点C与点C在竖直方向上的距离为：AH+CM=153+10/2≈40cm. 5/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 6 1.A 2.C 3.C 4.1或3 5.3 6.68.3 7.【详解】(1)解：过点A作AH⊥BC,垂足为H, B H D C 在Rt△ABH中，∠B=45°， ..sin 45=AH AB cos45=BH AB .AH=AB·sin45°=2V2,BH=AB·cos45°=2只2」 在Rt△ACH中，tanC=A以=1 HC 4 .HC=4AH=82. .BC=BH+HC=2V2+8V2=10V2: (2)解：已知D是BC中点， :BD=号BC=x102=5V2 2 2 BH=22, ..DH=BD-BH=52-22=32 在Rt△AHD中，an∠ADB=AE=22_2 DH 32 3 8.【详解】(1)解：由题意，得AB=60米，∠ACB=45°，∠ABC=90°， .BC= AB =60 an∠ACBtan45。=60(米)， 即线段BC的长为60米. (2)解：如图，延长BC,ED交于点F,则EF⊥BF C 37y45 D 7777777777777777 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意得∠ABC=∠BAE=∠EFA=90°， .∴四边形ABFE为矩形， ∴.EF=AB=60米，BF=AE=71米， .CF=BF-BC=11米， ,在Rt△DFC中，∠DCF=37°， :.FD=CF·tan∠FCD=11×tan37o=11×0.75=8.25(米)， .DE=EF-FD=60-8.25=51.75(米). 即大剧院的高度为51.75米。 9.【详解】(1)解：作AH⊥BC于点H, D 0 B P H .AB=AC=5,BC=6, .BH-CH-BC-3, ∴AH=VAB2-BH=52-32=4, .tan z ABC=AH_4 BH 3 (2)证明：：AB=AC, ∠B=∠C, :∠DPQ+∠CPQ=∠ABC+∠BDP,∠DPQ=∠ABC, ∴.∠CPQ=∠BDP, .∴△BDP△CPQ; (3)解：作QG⊥BC于点G, A D B P G 设BP=X,则CP=6-X, 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PQ‖AB, ∴∠CPQ=∠B,△CPQ~△CBA, PQ CPPQ_6-x ·ABBC,即5 6, PQ=56-x, 6 ,∠CPQ=∠BDP, ∴，∠C=∠B=∠BDP, ∴.QP=QC,PD=BP=X, ..CG=PG. .△BDP~△CPQ, 5-2 BD_DP ·CpPQ 即6-x 6-x 6 饰多 2.CP .BP= 2 :.CG=PG-1CP-7 2 tan∠C=tan∠ABC=QC=4 CG 3' QG-4 73, QG-7 177_49 ·.△CPQ的面积= 22312 (4)解：当∠DQP=90°时，如图， D B 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DPQ=∠ABC, os∠DPq=as∠nc-号B品-g .△BDP~△CPQ, CPPQ_3 ∴BDDP5 设BP=a,则CP=6-a, ,6-a_3 .35 921 5’ BP=2 : 当∠PDQ=90时，如图， D B C 同理，cos∠DPQ=cos∠ABC=3 即 DP3 PQ 5 ,△BDP-△CPQ, CP_PQ_5 BD DP 3' 设BP=a,则CP=6-a, .6-a=5 .33 .a=1, ∴.BP=1: 1 综上， BP的长为1或5 C组 思维拔高 1.A 2.2V13 3.6V17 9115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.【详解】(1)解：将△ABC绕点E按顺时针方向旋转90°，得到△DBC,D是点A的对应点，则 ∠AED=90°， .∴.∠AEC=90」 C是点C的对应点， 点C在线段AE上. (2)解：由旋转可知，AE=DE,∠AED=90°. ,在Rt△AED中，AE2+DE2=AD=42, ∴.AE=DE=22. DE=2CE, .CE=2, .在Rt△AEC中，AC2=AE2+CE2=22}+R2P=10, ∴.AC=V10(负值已舍去). (3)解：如图，过点C作CF⊥AD于点F. 设CE=x,则AE=DE=2x,CE=X, ∴AC=X .∠AED=90, ∴.∠EAD=∠EDA=45° V2 在Rt△C'FA中，CF=AC·sin∠EAD= 2大 在Rt△C'ED中，CD=CE2+DE2=V5x. 在Rt△CFD中，DF=CD'.CF_32X 2七， .tan 4 BDC'=CF=2 X 1 DF323 -X 2 由旋转可知，∠BAC=∠BDC, .tan∠BAC= 3 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分 B B E O 5.解：选择方案一： 如图1，延长BA交CD于点F,则AF⊥CF E A价 I230 CE 号 D 图1 斜坡 的坡比为， ∴.设CF=5a,则AF=12a .AC=13,.5a2+12a2=132, 解得a=1(负值已舍去). .AF=12,CF=5」 ∴.BF=AF+AB=13 设CD=xm,则DF=x+5m. 在Rt△BDF中，∠BDF=23°，BF=DF·tan23°， .13≈0.42x+5, 解得X=26 答：河流的宽度CD约为26m. 或选择方案二： 如解图2，过点N作NE⊥CD于点E,则四边形CMNE为矩形 11/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 689 65 E 图2 依题意，∠NCE=68°，∠NDE=65°. .∴.NE=CM=30 在Rt△CNE中，CE=, NE =30 ≈12.1 tan∠NCE tan68o 在Rt△DNE中，DE= NE -30 -≈14.0 tan∠NDE tan65o .∴.CD=CE+DE≈26m. 答：河流的宽度CD约为26m. 拓展 链接中考 1.C 2.B 3.221 4.2米 5.解：设AG=xm,FG=ym,由题意知CD=200m, :AB⊥BC,CE⊥BC,DF⊥BC, ..BG DF CE, 又：CE=DF=BG, 即CEDF且CE=DF, ∴.四边形CEFD为平行四边形， ,CE⊥BC,即∠C=90°， ∴.四边形CEFD为矩形， 同理可得四边形FGBD、四边形ECBG也为矩形， ∴.EF=CD=200m,∠BGF=90°，∠AGF=180°-∠BGF=90°， an∠AEG=AGX X EG EF+FG 200+y tan∠AFG=AC=X≈0.72， FG y 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan∠AEG=200+y=y_≈0.36=1 tan∠AFG X 200+y0.722 y 解得y≈200， ∴.x≈0.72y=144, ∴.AB=AG+BG=x+1.5=145.5m. 6.解：如图，过点C作CF⊥AD,垂足为F,过点E作EG⊥BD,垂足为G, B C E -1-109 G 15°d D 由题意得四边形CFDG是矩形， ∴.CF=DG 在直角三角形ACF和直角三角形BEG中， sin∠A-Cg.sin∠BEG= AC EB' ..sin 15= 100、sin10°=BG CE 150 ∴.CF=100×sin15°≈100×0.26=26=DG、BG=150×sin10°≈150×0.17=25.5， .BD=BG+DG=26+25.5=51.5(米). 答：小亮沿垂直方向上升了51.5米. 7.【答案】一定能，理由如下： 在Rt△ABC中，∠C=90°，5in∠A=BC-47=0.47, AB-10 .sin28°0.47， .∴.∠A≈28°， .28°<35°， ∴.该机器人一定能爬上斜坡AB. 8.【详解】(1)解：由愿意得：PN=15m,tan∠MCN= ,PM⊥AM, 3 .∠MCN=30, .NC=12m, ∴.MN=NC,sin30°=6m, ∴.PM=PN+MN=21m; 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：无人机距河面的高度PM的长为21m (2)解：由题意得：∠PBM=52.4°，∠PAM=42.3°， 由(1)可知：PM=21m, 在Rt△PMB中，BM= PM_≈21 tan52.4°1.30 ≈16.2m, 在R△PMA中，AM=PW2.2≈23.1m, tan42.3°0.91 AB=AM-BM=6.9≈7m; 答：两艘皮划艇之间的距离AB的长为7m. 9.解：过点B作BF⊥AD于F,过点C作CG⊥AD于G,交BE于点H. B A GD 由题意可得：AD‖BE, CH⊥BE, ∴四边形BFGH为矩形，故GH=BF, 在Rt△ABF中，AB=300米，∠BAF=42°， BF=300×sin42°≈300×0.67=201（米） ∴.HG=201米 在Rt△BCH中，BC=200米，∠CBE=30°， CG=200×sin30°=200×号-100（米） 小山高度CG=CH+HG=100+201=301(米). 答：这座小山的高度301米。 10.解：方案一：过点A作AH⊥BC于点H, B .∠ABC=45°，∠ACB=63.4° .在Rt△ABH中，AH=BH×tan∠ABC=BH, 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ACH中，CH=AH AH tan∠ACB2 BH +CH=BC,BC=120m :AH+号AH=120,解得AH=80m, .∴，这段河道的宽度为80m: 方案二：过点A作AG⊥DE于点G,交BC于点H, G E ,DE‖BC .△ABC一△ADE,AH⊥BC, 能船 .BC=120m,DE=150m,h=HG=20m, 120AG-20 150=AG,解得AG=100, .AH=100-20=80m, 答：这段河道的宽度为80m. 15/15 分层作业 26.3解直角三角形+26.4解直角三角形的应用 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 解直角三角形的相关计算 题型02 解非直角三角形 题型03 求不规则图形的边长或面积 题型04 仰角俯角问题 题型05 方位角问题 题型06 坡度坡比问题 题型07 其他问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 解直角三角形的相关计算 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则 的对边是____，的邻边是__________； 的对边是_____，的邻边是_________． 【答案】 / / / / 【难度】0.95 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】根据直角三角形定义确定直角顶点，区分斜边与直角边，结合锐角对边与邻边的概念进行识别． 【详解】解：由题意得的对边是，的邻边是 的对边是，的邻边是． 2. （26-27九年级上·北京·课后作业）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、已知余弦求边长、解直角三角形的相关计算 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 3. 已知：如图，在中，，，，则的长为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】特殊三角形的三角函数、解直角三角形的相关计算 【分析】过点作于点，在中利用三角函数求出，在中利用三角函数求出． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴． 4.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知在中，，，，则的值为__________． 【答案】/度 【难度】0.65 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、特殊角三角函数值的混合运算、根据特殊角三角函数值求角的度数、解直角三角形的相关计算 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出三角形三边长度，再根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，最后根据三角函数定义求出，即可得出的值． 【详解】解：，，， ∴， ， ∴为直角三角形，且， ， ． 题型02 解非直角三角形 5．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】点到直线的距离、解非直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 6．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】含30度角的直角三角形、解非直角三角形 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 7. 如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、解非直角三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 8. 如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、解非直角三角形、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 题型03 求不规则图形的边长或面积 9. 如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、解非直角三角形、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 10. （2026·山东济南·中考真题）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 【答案】(1)甲同学的成绩是 (2)乙同学的成绩是 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过点作，在中，根据三角函数的定义求出，再证，则可得，再证四边形是矩形，则可得，进而可得，即可得解． （2）过点作，垂足为点，交的延长线于点．在中，根据三角函数的定义求得．再证明四边形是矩形，则，．在中，根据三角函数的定义求得，由即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点，则， 在中，，， ． ，， ， ， ． 又，即， 四边形是矩形， ， ． 答：甲同学的成绩是． （2）解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点， 在中，， ，， ． 又，则， 四边形是矩形，则，． 在中，，则． 又， ． 在中，， ，， ， ． 答：乙同学的成绩是． 题型04 仰角俯角问题 11. （26-27九年级上·北京·课堂例题）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】特殊三角形的三角函数、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 12. （26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】设，得，，在中可求出． 【详解】解：设， 在中，， ， ， 在中，， 解得． 13. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某飞机在空中A处时的高度，此时，从飞机上看地面目标B的俯角为．求A，B两点间的距离．（结果精确到） 【答案】 【难度】0.7 【知识点】求一个数的近似数、已知正弦值求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据题意，得，结合，变形计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ， （）， 答：A，B两点间的距离约为．． 14.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，两幢大楼相距，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为．如果甲楼高，那么乙楼的高为多少米？（精确到） 【答案】乙楼的高约为89米 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据题意可得：，米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：，米，米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴乙楼的高约为89米． 题型05 方位角问题 15. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（     ）（参考数据：） A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时 【答案】C 【难度】0.85 【分析】利用中的三角函数关系求出的长，再用路程除以速度得到轮船行驶时间． 【详解】解：由题意可得，，，千米， ∴在中，，即，解得千米， ∴行驶时间（小时）， 取，得（小时）， 故C选项符合题意． 16.（2026·湖南长沙·三模）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【难度】0.74 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】在中，通过解直角三角形求解即可． 【详解】解：由题意得海里，，，， ∴， ∴在中，（海里） 即P处与B处的距离约是海里． 17. （2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，港口在观测站的正东方向千米处，某船从港口出发，沿北偏东方向匀速航行小时后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，求该船航行的速度是______千米/小时．（结果保留根号） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点作于，根据方向角的定义及三角形内角和定理可得出，，根据含角的直角三角形的性质得出千米，利用的正弦函数可求出千米，进而可求出该船航行的速度． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知，，，千米， ∴，， ∴， ∵千米， ∴（千米）， ∴， ∴该船航行的速度是（千米/小时）． 18.（26-27九年级上·全国·课后作业）海船以的速度向正北方向航行，在处看灯塔在海船的北偏东处，半小时后航行到处，发现此时灯塔与海船的距离最短．画出相应的图形，并计算灯塔到处的距离．（精确到） 【答案】作图： ； 灯塔到处的距离约为． 【难度】0.65 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】点到直线最短得，结合方位角构造直角三角形，利用三角函数求解的长度． 【详解】解：海船速度为，航行时间为， ． 点到直线的距离中垂线段最短，航行至处时灯塔与海船距离最短， ，为直角三角形，． 在处看灯塔在北偏东处， ． 在中，， ． 代入，， 得． 答：灯塔到处的距离约为．． 题型06 坡度坡比问题 19. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（     ） A．米 B．4米 C．米 D．8米 【答案】B 【难度】0.85 【分析】根据坡度比等于垂直距离与水平距离的比，列出关系式即可求解． 【详解】解：∵传送带和地面所成斜坡的坡度比为， ∴， ∴（米）， 即传送带的水平距离为4米． 20. （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，水坝的横截面为四边形，，高，迎水坡面的坡度，则迎水坡面的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【分析】过点A作，先用三角函数求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：过点A作，垂足为F，如下图所示， 由题意可知， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 迎水坡面的坡度， ， 即， ， 在中，，，，由勾股定理得： ． 21. 如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】利用坡角的度数结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 在中，， ， ， ， 即坡面的长度是． 22. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在山坡上植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为．现测得斜坡的坡角为，求相邻两树间的坡面距离．（结果精确到） 【答案】 【难度】0.7 【知识点】求一个数的近似数、已知余弦求边长、解直角三角形的相关计算、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】延长过点B的铅直直线交水平面于点C，利用，求解即可． 【详解】解：延长过点B的铅直直线交水平面于点C， 根据题意，得，， ， 答：相邻两树间的坡面距离约为． 题型07 其他问题 23. 如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【详解】解：由题意可知，则为直角三角形， 在中，，，， ， ． 24. 如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】过点作于点，解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ． 25. （2026·江苏淮安·中考真题）我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)15 (2) 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过点作，交的延长线于点,可知，进而根据余弦值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点,可知，进而可知,点与点在竖直方向上的距离为． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点, ∵， ∴, 在中，， ∴ ∴点与点在水平方向上的距离为． （2）解：过点作，交的延长线于点, ， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点与点在竖直方向上的距离为：． B组 能力进阶 1. （2026九年级上·全国·专题练习）如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 2. （26-27九年级上·山东潍坊·阶段检测）为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【难度】0.65 【分析】根据解直角三角形和相似三角形的判定和性质，逐项判断即可． 【详解】解：①已知和，则在中，，即，故①可以； ②在中，，即， 在中，，即， ， ，可求出，故②可以； ③ ，， ， ， ， ， ，故③可以； ④已知，，，则，只知道和，求不出，故④不可以； 综上所述，求出，间距离的有3组． 3. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图是某公园秋千的侧面示意图，已知静止时秋千的拉绳的长为，为，为了安全起见，秋千设置的成人“安全角度”不超过，则成人离地面的最高距离（即点，到地面的最高距离）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】作，作垂直于底面，再根据题意可得，然后根据，求出，最后根据可得答案． 【详解】解：过点A作于点E，作垂直于底面，垂足为点F， 根据题意可得． 在中，， ∴， 即， ∴， ∴， 即成人离地面的最高距离为． 4. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长为________． 【答案】或 【难度】0.65 【分析】根据题意，首先排除不是直角三角形，然后分两种情况：当为锐角时或当为钝角时，过点作，构造直角三角形，利用三角函数定义与勾股定理求出相关线段长度，计算的长即可． 【详解】解：由题意可知，不是直角三角形； 当为锐角时，过点作，垂足为，如图所示： 在中，，即， 设，则，则由勾股定理得， ，则， 解得或（负值舍去）， ，， 在中，由勾股定理得， ； 当为钝角时，过点作，垂足为，如图所示： 在中，，即， 设，则，则由勾股定理得， ，则， 解得或（负值舍去）， ，， 在中，由勾股定理得， ； 综上所述，的长为或． 5. （26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知的面积是3，则的面积为_____． 【答案】 【难度】0.65 【分析】根据相似的性质得到，，，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵用12个相似的直角三角形组成的图案， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴． 6. （26-27九年级上·北京·课后作业）如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 【答案】68.3 【难度】0.55 【分析】过点D作垂直于H，因为D处在A处南偏西、在B处南偏东，所以和都是等腰直角三角形，得，因为海警船速度为25海里/时，航行1小时从B到C，所以海里，那么．因为D处在C处南偏东，所以，在中，结合正切函数的定义，建立与的关系式，求解， 由即可得解． 【详解】过点D作于H，则， 由题意可知A、B、C三点在同一条东西向直线上． 在A处望见D在南偏西， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在B处望见D在南偏东， 同理，也是等腰直角三角形，． ∴， ∴． 已知海警船速度为25海里/时，从B航行1小时到C， ∴海里． ∵在C处望见D在南偏东， ∴， 在中，， 即． 又∵， ∴ ， 整理得， 解得． ， 代入， 得（海里）． 7. （26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】（1）过点作，垂足为，根据三角函数得到，，，进而计算即可； （2）根据题意得到，即，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴，， ∴，． 在中，， ∴， ∴； （2）解：已知是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，． 8．（2026·河北廊坊·二模）【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 【答案】(1)60 (2)51.75米 【难度】0.65 【分析】（1）在中解直角三角形即可； （2）延长，交于点F，则，可得四边形为矩形，因此米，米，米，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得米，，， ∴（米）， 即线段的长为60米． （2）解：如图，延长，交于点F，则． 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴米． ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）． 即大剧院的高度为米． 9. （26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，，点为线段上一点（不与点，重合），将射线绕点顺时针旋转，交于点，且，连结． (1)_____； (2)求证：； (3)当时，求的面积； (4)当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) (4)的长为或． 【难度】0.55 【分析】（1）作于点，利用等腰三角形的性质和三角函数的定义求解即可； （2）求得，结合，即可证明； （3）作于点，设，则，证明，求得，求得，，由，求得，利用，求得，据此计算即可求解； （4）分两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质结合解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：作于点， 设，则， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； （4）解：当时，如图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 同理，，即， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． C组 思维拔高 1．（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、特殊三角形的三角函数、解直角三角形的相关计算、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，得出四边形是矩形，可得，再解直角三角形，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图是容器倾斜时的截面图，由题意得，，，， ，， 过点作于点，交于点，过点作于点， ∴， ∵ ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即容器最高处距离地面的高度是． 2．（2026·山东东营·中考真题）如图，在中，D，E分别为，的中点，于点，，交的延长线于点．若，，，则的长为__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】过点A作于点H，根据三角形的中位线性质得出，，证明四边形是矩形，得出，解直角三角形得出，证明，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点H，如图所示： ∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．若观察哨所发现走私船从处以海里／小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，则缉私艇的速度为______海里／小时时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，） 【答案】 【难度】0.4 【分析】过点作于点，根据题意可得、、三点共线，由三角形的内角和定理可得，再根据三角函数求出，进而利用三角函数求出、，再求出，根据勾股定理求出，利用线段和差求出，然后求出走私船从到所用时间，最后根据速度路程时间，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，海里，方向为正东，方向为正北， ，， 、、三点共线， 海里， 海里，海里， 海里， 海里，海里， 走私船从到所用时间为小时，缉私艇的速度为海里／小时． 4. （2026·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点． (1)点在线段__________上．（填“””或“”） (2)若，求的长． (3)若点在边上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.55 【分析】（1）由题意可知，，，则点的对应点必在线段上． （2）在中利用勾股定理可求得，从而得到，再在中利用勾股定理即可求得的长． （3）过点作于点，设，则，，从而得到．在中利用锐角三角函数可求得的长，在和中利用勾股定理可依次求得，的长，再由锐角三角函数的定义即可求得的值，由旋转可知，，即可求得的值． 【详解】（1）解：将绕点按顺时针方向旋转，得到，是点的对应点，则， ． 是点的对应点， 点在线段上． （2）解：由旋转可知，，． 在中，， ． ， ， 在中，， （负值已舍去）． （3）解：如图，过点作于点． 设，则，， ． ， ． 在中，． 在中，． 在中，， ． 由旋转可知，， ． 5. （2026·河南平顶山·三模）数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 【答案】选择方案一，河流的宽度约为 【难度】0.4 【分析】（1）选择方案一：延长交于点，则．根据斜坡的坡比为，设，则．根据，求得，进而可得的长，在中，设，则，根据建立方程，解方程，即可求解； （2）过点作于点，则四边形为矩形，依题意，，，解，分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：选择方案一： 如图1，延长交于点，则． 斜坡的坡比为， 设，则． ，， 解得（负值已舍去）． ，． ． 设，则． 在中，，， ， 解得． 答：河流的宽度约为． 或选择方案二： 如解图2，过点作于点，则四边形为矩形 依题意，，． ． 在中，． 在中，． ． 答：河流的宽度约为． 拓展 链接中考 1．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行， 等于俯角，即， 在中，，， ， ， ． 3．（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【难度】0.65 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 4．（2026·浙江·中考真题）如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 【答案】米 【难度】0.77 【分析】利用正切函数定义即可解答． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形，且，，米， 在中，， （米）， 即智能车无法采样的距离为 2 米． 5．（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【难度】0.65 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． 6．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【难度】0.65 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 7．（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 【答案】一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 【难度】0.74 【分析】根据正弦函数的定义计算，求出，与比较，结合题意即可得出结论． 【详解】略 8．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 9. （2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 【答案】米 【难度】0.65 【分析】通过构造直角三角形，分别求出、，利用分段垂直高度累加法，由即可求解． 【详解】解：过点作于，过点作于，交于点． 由题意可得：， ∴， ∴四边形为矩形，故， 在中，米，， （米） ∴米． 在中，米，， （米） 小山高度（米）． 答：这座小山的高度米． 10. （2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 【答案】这段河道的宽度为 【难度】0.65 【分析】方案一：过点作于点，解和求解即可；方案二：过点作于点，交于点，可得，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解即可． 【详解】解：方案一：过点作于点， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵，， ∴，解得， ∴这段河道的宽度为； 方案二：过点作于点，交于点， ∵ ∴，， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 答：这段河道的宽度为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 26.3解直角三角形+26.4解直角三角形的应用 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 解直角三角形的相关计算 题型02 解非直角三角形 题型03 求不规则图形的边长或面积 题型04 仰角俯角问题 题型05 方位角问题 题型06 坡度坡比问题 题型07 其他问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 解直角三角形的相关计算 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则 的对边是____，的邻边是__________； 的对边是_____，的邻边是_________． 2. （26-27九年级上·北京·课后作业）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 3. 已知：如图，在中，，，，则的长为________． 4.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知在中，，，，则的值为__________． 题型02 解非直角三角形 5．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 7. 如图，在中，，则的长为___________． 8. 如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． 题型03 求不规则图形的边长或面积 9. 如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． 10. （2026·山东济南·中考真题）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 题型04 仰角俯角问题 11. （26-27九年级上·北京·课堂例题）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 12. （26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 13. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某飞机在空中A处时的高度，此时，从飞机上看地面目标B的俯角为．求A，B两点间的距离．（结果精确到） 14.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，两幢大楼相距，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为．如果甲楼高，那么乙楼的高为多少米？（精确到） 题型05 方位角问题 15. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（     ）（参考数据：） A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时 16.（2026·湖南长沙·三模）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 17. （2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，港口在观测站的正东方向千米处，某船从港口出发，沿北偏东方向匀速航行小时后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，求该船航行的速度是______千米/小时．（结果保留根号） 18.（26-27九年级上·全国·课后作业）海船以的速度向正北方向航行，在处看灯塔在海船的北偏东处，半小时后航行到处，发现此时灯塔与海船的距离最短．画出相应的图形，并计算灯塔到处的距离．（精确到） 题型06 坡度坡比问题 19. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（     ） A．米 B．4米 C．米 D．8米 20. （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，水坝的横截面为四边形，，高，迎水坡面的坡度，则迎水坡面的长为（     ） A． B． C． D． 21. 如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 22. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在山坡上植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为．现测得斜坡的坡角为，求相邻两树间的坡面距离．（结果精确到） 题型07 其他问题 23. 如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 24. 如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（     ） A． B． C． D． 25. （2026·江苏淮安·中考真题）我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） B组 能力进阶 1. （2026九年级上·全国·专题练习）如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 2. （26-27九年级上·山东潍坊·阶段检测）为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图是某公园秋千的侧面示意图，已知静止时秋千的拉绳的长为，为，为了安全起见，秋千设置的成人“安全角度”不超过，则成人离地面的最高距离（即点，到地面的最高距离）为（     ） A． B． C． D． 4. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长为________． 5. （26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知的面积是3，则的面积为_____． 6. （26-27九年级上·北京·课后作业）如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 7. （26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 8．（2026·河北廊坊·二模）【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 9. （26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，，点为线段上一点（不与点，重合），将射线绕点顺时针旋转，交于点，且，连结． (1)_____； (2)求证：； (3)当时，求的面积； (4)当为直角三角形时，直接写出的长． C组 思维拔高 1．（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东东营·中考真题）如图，在中，D，E分别为，的中点，于点，，交的延长线于点．若，，，则的长为__________． 3．如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．若观察哨所发现走私船从处以海里／小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，则缉私艇的速度为______海里／小时时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，） 4. （2026·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点． (1)点在线段__________上．（填“””或“”） (2)若，求的长． (3)若点在边上，求的值． 5. （2026·河南平顶山·三模）数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 拓展 链接中考 1．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 4．（2026·浙江·中考真题）如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 5．（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 6．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 7．（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 8．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 9. （2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 10. （2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $