28.2解直角三角形及其应用（题型专练）数学人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形及其应用”，涵盖基础计算、构造直角三角形及仰角俯角、方位角等实际应用题型，通过从直角三角形边长与三角函数值计算，到非直角三角形构造转化，再到现实情境问题解决的递进设计，搭建清晰学习支架。 其亮点是融入大量生活实例，如测量水杉树高度、轮船航行距离、斜坡改造等，培养学生用数学眼光观察现实世界。题型从基础到综合，渗透几何直观与模型意识，助力学生形成解决实际问题的思维，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

28.2 解直角三角形及其应用 题型一 解直角三角形的有关计算 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意可知，先求得，然后由，即可解答； （2）先用勾股定理求得，然后由直接计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解答的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵， ∴在中，； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，过点B作于点D． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，利用三角形面积求三角形的高． （1）根据已知条件利用勾股定理即可求得的长； （2）由已知条件利用三角形的面积公式即可求出的长度． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， 即的长为10． （2）解：∵， ∴， ， ∴． 4．（2025·浙江温州·三模）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据题意得出，进一步得出，再由点F在的垂直平分线上得出，据此求出的度数即可解决问题． （2）由的长得出的长，再进一步求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， 点F在BC的垂直平分线上， ， ， ， 是等边三角形． （2）解：，， 在中， 在中， ． 题型二 构造直角三角形求边长或面积 1．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 2．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 题型一 仰角俯角问题 1．（2024·广东中山·一模）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，则，，因为，，故，再代入数值到，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，， ∴， 答：乙建筑物的高为． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度．他站在距离水杉树的E处，测得树顶的仰角，已知测角器的架高，问树高为多少？（精确到0.1米，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，由题意知，四边形是矩形，利用锐角三角函数解求出，进而即可求解． 【详解】解：由题意知，四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 即树高为． 3．（2025·甘肃定西·模拟预测）山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图1是位于山西大同的应县木塔．如图2，小方站在点C处操纵无人机到与C水平距离为10米的D处，无人机在D处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点B的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为60米，点A，B，C，D在同一平面上，求应县木塔的高度．（参考数据，，，） 【答案】应县木塔的高度为米 【分析】过点D作于点E，交的延长线于点F．根据仰角，俯角计算即可． 本题考查了仰角，俯角的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点E，交的延长线于点F． 根据题意得四边形是矩形，． 在中，， ∵， ∴（米）， ∵， ∴，， ∴（米）， ∴（米）． 答：应县木塔的高度为米． 4．（2025·宁夏银川·一模）如图，大楼高，附近有一座塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶处测得塔顶的仰角为，求塔高及大楼与塔之间的距离（结果精确到，参考数据：） 如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测 【答案】塔高为45米，大楼与塔之间的距离为25.98米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是通过构建直角三角形，利用三角函数关系列方程求解． 设塔高为，通过借助仰角构造直角三角形，利用正切函数关系建立方程求解塔高及楼与塔之间的距离，用到数形结合思想与方程思想． 【详解】设塔高为． 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解，得， 这时，（ 答：塔高为45米，大楼与塔之间的距离约是25.98米． 题型二 方位角问题 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【答案】(1)不能穿过，理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了分式方程的工程问题，方位角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设，先分别求得，，再利用解直角三角形求得 ，再根据列出关于的方程求解，通过比较，再得出结论； （2）设原计划每天完成修建a米公路，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：不能穿过，理由如下： 如图，过作于， 设， ，，，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：(米)(米)， 不会穿过古建筑保护群； （2）设原计划每天完成修建a米公路， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：原计划每天完成修建米公路． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离灯塔有多远？（结果取整，）        【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于，根据余弦的定义求出，再根据余弦的定义求出即可． 【详解】解：作于， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， 答：处距离灯塔有． 3．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，一艘轮船位于灯塔北偏东方向与灯塔距离为海里的处，它沿正南方向航行小时后，到达位于灯塔北偏东方向的处．    (1)求此时轮船所在处与灯塔的距离． (2)求轮船航行的速度为多少海里/小时． （参考数据：，，，结果保留根号） 【答案】(1)此时轮船所在处与灯塔的距离是海里 (2)轮船的航行的速度为海里/小时 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握 三角函数的定义是解题的关键； （1）过点作的延长线于点，解，，即可求解； （2）解，，分别求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：过点作的延长线于点， 由题意，知，，海里， 在中，， 海里， 在中，， 海里， 答：此时轮船所在处与灯塔的距离是240海里．    （2）在中，， 海里， 在中，， 海里， 海里， 轮船的航行的速度为：海里/小时， 答：轮船的航行的速度为海里/小时． 4．（2025·湖南邵阳·三模）为增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织了一次越野拉练活动．如图是行进过程中某时刻A，B，C三个小组所在的位置，B在A的北偏东方向上，B与A相距，C在A的北偏东方向上，且在B的南偏东方向上． (1)求的度数； (2)求此时A，C两个小组之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）过点作于点，求出，得；通过解直角三角形得出，，从而可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵， ∴ （2）解：过点作于点，如图， ∴， ∴； ∵， ∴， 又， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， 所以，此时A，C两个小组之间的距离为． 题型三 坡度坡比问题 1．（2025·河北唐山·三模）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键． 根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 3．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）风力发电是一种清洁的能源，一风力发电机的主塔建造在一顶部推平的小山上，在小山的边沿测得塔顶的仰角，且点到塔底的距离为40米，小山斜坡的坡度为5：12，在小山底部测得塔顶的仰角，求塔顶到水平线的距离．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，．）    【答案】塔顶到水平线的距离为188米 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 延长交于点，则，作于点，根据矩形的性质及解三角形，结合图形求解即可． 【详解】解：延长交于点，则，作于点， 四边形为矩形， 米，．     斜坡的坡度为5：12，即， 设米，则米，米． 在中， ， ， 米， 米，     在中， ， ， ， 解得， 米，     （米）． 答：塔顶到水平线的距离为188米． 4．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）为了方便居民出入小区．小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1）． 米． 米．斜坡的坡角为 计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示）．坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 【答案】(1)米 (2)立方米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键． （1）过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到（米），（米），由，得到（米），于是得到米； （2）根据三角形的面积公式得到平方米，于是得到结论． 【详解】（1）解：过作交的延长线于，如图所示： ∵米，， （米），（米）， 在中，， ∴（米）， 米， 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米； （2）解：平方米， 立方米， 答：改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料． 题型四 其他问题 1．（25-26九年级上·吉林长春·月考）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【答案】此河流的宽度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，解表示出，再解求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 设，则由题意得， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：此河流的宽度为米． 4．（2025·河南郑州·三模）如图是一辆停放在水平地面上的车载起重机的侧面示意图，吊杆一端固定在车厢上的点处，伸缩支撑杆一端固定在车厢上的点处，另一端固定在上的点处．在某次作业过程中，测得吊钩到车厢尾部点的水平距离为2米（即米)，．已知平行于地面，且距地面米，米，求此时吊钩距地面的高度．（结果精确到米．参考数据：） 【答案】吊钩距地面的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在中，解直角三角形求出，然后进一步计算即可． 【详解】解：由题意得：，米，米， ∴米， ∴在中，， ∴米， ∵平行于地面，且距地面米， ∴此时吊钩距地面的高度为米． 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，内接于，为直径，延长至点，连接，为上方圆上一点，连接．若，，．    (1)求的值； (2)若，求证： 为的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、切线的判定、矩形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理得，由勾股定理可得，再由正弦的定义计算即可得出答案； （2）连接，，作于，则，证明四边形为矩形，得出，即可得证． 【详解】（1）解：为直径， ，即， 由勾股定理得：， ； （2）证明：如图，连接，，作于，则，   为直径， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 为的切线． 2．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点A和给出如下定义：若过点A可以作的两条切线，（切点分别为B，C），且，则称点A是的完美点． (1)如图，的半径为1． ①在点，，中，点________是的完美点； ②直线上存在的完美点，求m的取值范围； (2)已知点，，，经过原点，若线段上存在的完美点，直接写出t的取值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①求出的长即可求解； ②先确定以O为圆心，为半径作圆，则该圆上的点都是的完美点，得出，将代入整理得：，令即可求解； （2）由的半径为t，设点T到的完美点的距离为d，得到，令点K的坐标为,,得到，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，当时，则， 连接， 则， ∵， ∴， 故点是的完美点； ②以O为圆心，为半径作圆，则该圆上的点都是的完美点， ∴， 将代入得：， 整理得：， 令，得， 解得：， 所以直线上存在的完美点时，m的取值范围为； （2）由题意得，的半径为t， 设点T到的完美点的距离为d， 由①可得，， ∴， ∴， 令在线段上的完美点为点K，并设它的坐标为,, ∵，，， ∴， ∵, ∴或． 【点睛】本题考查了圆的切线有关的性质，涉及到了新定义问题，解题关键是理解题目意思，将其转化为数学问题，本题计算较麻烦，属于压轴题，考查了学生综合分析与计算的能力． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，为边上一动点(不与点重合)，过点作于，以为边向右作正方形． (1)___________； (2)当时，求的长； (3)当落在上时，求的长； (4)当到的距离等于到的距离的一半时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或． 【分析】（）由勾股定理得，然后通过即可求解； （）由四边形是正方形，则，所以，由（）得，，即，求出即可； （）由四边形是正方形，则，，即，，所以，，则有，设，，则，通过勾股定理得，然后代入，求出即可； （）分当在内部时，当在外部时两种情况，再通过解直角三角形，勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当落在上， ∵四边形是正方形， ∴，，即，， ∴，， ∴， 由（）得，，， ∴， 设，，则， ∴， ∴，解得：， ∴； （4）解：如图，当在内部时，过作于点，作于点，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， 由（）得，，， ∴， 设，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵到的距离等于到的距离的一半，即， ∴， 解得：， ∴， 如图，当在外部时，过作于点，作于点，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， 由（）得，，， ∴， 设，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵到的距离等于到的距离的一半，即， ∴， 解得：， ∴， 综上可得：的长为或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）图1是一款落地式三杆折叠晾衣架，该晾衣架固定杆，，，的长度都相同，加粗杆，的长度也都相同，使用中，加粗杆始终与水平地面垂直，晾衣架的宽度最宽可拉伸到，最窄可拉伸到，点，始终在加粗杆的相同高度上，且，图2是其最窄状态下的示意图，此时固定杆与加粗杆的夹角，．（固定杆及加粗杆的厚度忽略不计） (1)求固定杆的长度． (2)将晾衣架从最窄拉伸到最宽，此时，求，两点之间缩短的距离． （计算过程和结果都精确到；参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，求出，判断四边形是矩形，得， 由正弦定义即得的长度约为． （2）当晾衣架最宽时，，，由勾股定理求出；当晾衣架从最窄时，，由正切定义求出．即得E、F之间的距离大约缩短了． 【详解】（1）解：连接． 由题意知，，． ∴． ∵垂直于， ∴． ∴ ∵A，E始终在加粗杆的相同高度上， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． 答：固定杆的长度约为． （2）当晾衣架从最宽时， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 当晾衣架最窄时， ∵， ∴． ∴E、F间缩短的距离为． ∴． 答：E、F之间的距离大约缩短了． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，按比例分配，平行线判定和性质，单位之间的换算，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 解直角三角形及其应用 题型一 解直角三角形的有关计算 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 2．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，过点B作于点D． (1)求的长； (2)求的长． 4．（2025·浙江温州·三模）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 题型二 构造直角三角形求边长或面积 1．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 2．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 题型一 仰角俯角问题 1．（2024·广东中山·一模）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度．他站在距离水杉树的E处，测得树顶的仰角，已知测角器的架高，问树高为多少？（精确到0.1米，） 3．（2025·甘肃定西·模拟预测）山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图1是位于山西大同的应县木塔．如图2，小方站在点C处操纵无人机到与C水平距离为10米的D处，无人机在D处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点B的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为60米，点A，B，C，D在同一平面上，求应县木塔的高度．（参考数据，，，） 4．（2025·宁夏银川·一模）如图，大楼高，附近有一座塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶处测得塔顶的仰角为，求塔高及大楼与塔之间的距离（结果精确到，参考数据：） 如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测 题型二 方位角问题 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离灯塔有多远？（结果取整，）        3．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，一艘轮船位于灯塔北偏东方向与灯塔距离为海里的处，它沿正南方向航行小时后，到达位于灯塔北偏东方向的处．    (1)求此时轮船所在处与灯塔的距离． (2)求轮船航行的速度为多少海里/小时． （参考数据：，，，结果保留根号） 4．（2025·湖南邵阳·三模）为增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织了一次越野拉练活动．如图是行进过程中某时刻A，B，C三个小组所在的位置，B在A的北偏东方向上，B与A相距，C在A的北偏东方向上，且在B的南偏东方向上． (1)求的度数； (2)求此时A，C两个小组之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 题型三 坡度坡比问题 1．（2025·河北唐山·三模）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 3．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）风力发电是一种清洁的能源，一风力发电机的主塔建造在一顶部推平的小山上，在小山的边沿测得塔顶的仰角，且点到塔底的距离为40米，小山斜坡的坡度为5：12，在小山底部测得塔顶的仰角，求塔顶到水平线的距离．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，．）    4．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）为了方便居民出入小区．小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1）． 米． 米．斜坡的坡角为 计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示）．坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 题型四 其他问题 1．（25-26九年级上·吉林长春·月考）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 4．（2025·河南郑州·三模）如图是一辆停放在水平地面上的车载起重机的侧面示意图，吊杆一端固定在车厢上的点处，伸缩支撑杆一端固定在车厢上的点处，另一端固定在上的点处．在某次作业过程中，测得吊钩到车厢尾部点的水平距离为2米（即米)，．已知平行于地面，且距地面米，米，求此时吊钩距地面的高度．（结果精确到米．参考数据：） 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，内接于，为直径，延长至点，连接，为上方圆上一点，连接．若，，．    (1)求的值； (2)若，求证： 为的切线． 2．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点A和给出如下定义：若过点A可以作的两条切线，（切点分别为B，C），且，则称点A是的完美点． (1)如图，的半径为1． ①在点，，中，点________是的完美点； ②直线上存在的完美点，求m的取值范围； (2)已知点，，，经过原点，若线段上存在的完美点，直接写出t的取值． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，为边上一动点(不与点重合)，过点作于，以为边向右作正方形． (1)___________； (2)当时，求的长； (3)当落在上时，求的长； (4)当到的距离等于到的距离的一半时，直接写出的长． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）图1是一款落地式三杆折叠晾衣架，该晾衣架固定杆，，，的长度都相同，加粗杆，的长度也都相同，使用中，加粗杆始终与水平地面垂直，晾衣架的宽度最宽可拉伸到，最窄可拉伸到，点，始终在加粗杆的相同高度上，且，图2是其最窄状态下的示意图，此时固定杆与加粗杆的夹角，．（固定杆及加粗杆的厚度忽略不计） (1)求固定杆的长度． (2)将晾衣架从最窄拉伸到最宽，此时，求，两点之间缩短的距离． （计算过程和结果都精确到；参考数据：，，） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $