（备战期中）一元二次方程 专项练习 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

（备战期中）一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册人教版 基础巩固 1．（2026•安徽模拟）下列四个方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x＝1 B．x2﹣2＝0 C．x+y＝﹣1 D． 2．（2026•河南）已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx＝6的一个根，则m的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 3．（2026秋•江津区校级月考）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝3 B．（x﹣2）2＝﹣3 C．（x﹣4）2＝3 D．（x﹣4）2＝﹣3 4．（2026•深圳校级模拟）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　） A．x2﹣1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣2x＝0 D．x2﹣2x+1＝0 5．（2026春•桥西区期末）将关于x的一元二次方程x（x﹣1）＝0化为一般形式为（　　） A．x2+x＝0 B．x2﹣x＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2+1＝0 6．（2025秋•聊城期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝12000 B．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 C．8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 7．（2026春•江北区期末）设x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 8．（2026春•岑溪市期末）如表是小明输入某AI软件的对话，AI软件在思考几秒后，给出的正确答案是（　　） 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（　　） A．45% B．50% C．55% D．60% 9．（2026秋•顺德区月考）已知代数式ax2+bx的取值如下所示，由表中数据可得，关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的解是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ax2+bx ﹣6 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣6 A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣2，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝1，x2＝﹣2 10．（2026秋•仁寿县校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），给出下列说法： ①若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ②若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ③若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2； ④存在实数m，n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c． 其中正确的个数为（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2026秋•朝阳区校级月考）若关于x的方程x2+3x﹣m＝0有一个实数根是x＝1，则m的值是_____ ． 12．（2026秋•玄武区校级月考）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝_____ ． 13．（2026秋•江阳区校级月考）设a，b是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式a2﹣a﹣2b+3ab的值为_____ ． 14．（2026秋•崇州市月考）已知方程x2﹣9x+14＝0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是_____ ． 15．（2026秋•皇姑区校级月考）已知关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等实数根，则实数k的取值范围是____________________ ． 16．（2026秋•汾阳市月考）已知方程x2+mx+n＝0和x2+nx+m＝0，有且只有一个公共根，且两个方程的非公共根之积等于﹣2，则mn＝_______ ． 能力巩固 17．（2026秋•重庆月考）解方程： （1）x（x+3）＝2（x+3）； （2）． 18．（2026秋•集宁区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x1x2﹣（x1+x2）＝m2﹣9，求m的值． 19．（2026秋•江阳区校级月考）如图，是用防护网与墙围成的矩形养鸡场ABCD，其中AD边利用现有的一段墙（墙的最大长度为15米），AB、BC、CD边用长度为30米的防护网（全部用完），且在BC边开一个2米宽的门，若养鸡场的面积为126平方米，求AB边的长． 20．（2026秋•番禺区校级月考）阅读材料：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，那么有x1+x2，x1x2．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题．例x1，x2是方程x2+6x﹣3＝0的两根，求的值．解法可以这样：∵x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣3，则（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣6）2﹣2×（﹣3）＝42． 请你根据以上解法解答下题： 已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根，求： （1）x1+x2＝_____ ； （2）x1•x2＝_____ ； （3）_____ ； （4）（x1﹣x2）2＝_____ ． 思维巩固 21．（2026春•合肥校级期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． （备战期中）一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 1．（2026•安徽模拟）下列四个方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x＝1 B．x2﹣2＝0 C．x+y＝﹣1 D． 【解答】解：A、x＝1是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、x2﹣2＝0符合一元二次方程的定义，符合题意； C、x+y＝﹣1含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：B． 2．（2026•河南）已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx＝6的一个根，则m的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【解答】解：把x＝2代入关于x的方程x2﹣mx＝6中，得22﹣2m＝6， 解得m＝﹣1， 故选：D． 3．（2026秋•江津区校级月考）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝3 B．（x﹣2）2＝﹣3 C．（x﹣4）2＝3 D．（x﹣4）2＝﹣3 【解答】解：x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3． 故选：A． 4．（2026•深圳校级模拟）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　） A．x2﹣1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣2x＝0 D．x2﹣2x+1＝0 【解答】解：A、∵a＝1，b＝0，c＝﹣1， ∴Δ＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、∵a＝1，b＝﹣2，c＝2， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，不符合题意； C、∵a＝1，b＝﹣2，c＝0， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、∵a＝1，b＝﹣2，c＝1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，符合题意． 故选：D． 5．（2026春•桥西区期末）将关于x的一元二次方程x（x﹣1）＝0化为一般形式为（　　） A．x2+x＝0 B．x2﹣x＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2+1＝0 【解答】解：∵原方程为x（x﹣1）＝0， 得x2﹣x＝0， ∴该方程的一般形式为x2﹣x＝0． 故选：B． 6．（2025秋•聊城期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝12000 B．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 C．8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 【解答】解：根据题意可列方程为8000（1+x）2＝12000． 故选：C． 7．（2026春•江北区期末）设x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【解答】解：根据根与系数关系得x1+x2，x1x2， 所以2． 故选：A． 8．（2026春•岑溪市期末）如表是小明输入某AI软件的对话，AI软件在思考几秒后，给出的正确答案是（　　） 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（　　） A．45% B．50% C．55% D．60% 【解答】解：设该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为x， 根据题意得：36（1+x）2＝81， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去）， 即该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为50%． 故选：B． 9．（2026秋•顺德区月考）已知代数式ax2+bx的取值如下所示，由表中数据可得，关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的解是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ax2+bx ﹣6 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣6 A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣2，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝1，x2＝﹣2 【解答】解：由数据可得，当x＝﹣1或2时，ax2+bx＝﹣2， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2． 故选：C． 10．（2026秋•仁寿县校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），给出下列说法： ①若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ②若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ③若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2； ④存在实数m，n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c． 其中正确的个数为（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴此方程的Δ＝﹣4ac＞0． ∵方程ax2+bx+c＝0的Δ＝b2﹣4ac＝b2+（﹣4ac）中b2≥0， 又﹣4ac＞0， ∴b2+（﹣4ac）＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根， 故①说法正确； ∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴将x＝c代入此方程得： ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0， ∴c＝0或ac+b+1＝0， ∴ac+b+1可能为0也可能不为0， 故②说法不正确； ∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴把x＝x0代入此方程得： bx0+c＝0， ∴cbx0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a（bx0）＝4a24abx0+b2＝（2ax0+b）2， 故③说法正确； 若am2+bm+c＝an2+bn+c，两边同时减去c得： am2+bm＝an2+bn， 移项因式分解得： a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝0， （m﹣n）（am+an+b）＝0， ∵m≠n， ∴am+an+b＝0， ∴m+n， ∴存在无数组不相等的实数m、n满足该条件，故④说法正确． ∴说法正确的有三个， 故选：C． 11．（2026秋•朝阳区校级月考）若关于x的方程x2+3x﹣m＝0有一个实数根是x＝1，则m的值是　4　 ． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+3x﹣m＝0得1+3﹣m＝0， 解得m＝4． 故答案为：4． 12．（2026秋•玄武区校级月考）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　2　 ． 【解答】解：由题意，∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1． ∴x1+x2+x1x2＝3+（﹣1）＝2． 故答案为：2． 13．（2026秋•江阳区校级月考）设a，b是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式a2﹣a﹣2b+3ab的值为　0　 ． 【解答】解：已知方程x2+x﹣1＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∵它的两根分别为a，b， ∴a2+a﹣1＝0，a+b＝﹣1，ab＝﹣1， ∴a2＝1﹣a， ∴a2﹣a﹣2b+3ab ＝1﹣a﹣a﹣2b+3ab ＝1﹣2（a+b）+3ab ＝1﹣2×（﹣1）+3×（﹣1） ＝1+2﹣3 ＝0， 故答案为：0． 14．（2026秋•崇州市月考）已知方程x2﹣9x+14＝0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是　7　 ． 【解答】解：∵x2﹣9x+14＝0， ∴（x﹣2）（x﹣7）＝0， ∴x﹣2＝0，x﹣7＝0， 解得：x1＝2或x2＝7， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 故答案为：7． 15．（2026秋•皇姑区校级月考）已知关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等实数根，则实数k的取值范围是　且k≠1　 ． 【解答】解：由条件可得：Δ＞0且k﹣1≠0， 即22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0且k﹣1≠0， 解得：且k≠1． 故答案为：且k≠1． 16．（2026秋•汾阳市月考）已知方程x2+mx+n＝0和x2+nx+m＝0，有且只有一个公共根，且两个方程的非公共根之积等于﹣2，则mn＝　﹣2　 ． 【解答】解：设两个方程的公共根为a， ∴， 解得：（m﹣n）a＝m﹣n， 由条件可知m≠n， ∴， 设方程x2+mx+n＝0的非公共根为x1，方程x2+nx+m＝0的非公共根为x2， ∴1•x1＝n，即x1＝n；1•x2＝m，即x2＝m， ∵两个非公共根之积等于﹣2， ∴x1x2＝mn＝﹣2，即mn＝﹣2． 故答案为：﹣2． 17．（2026秋•重庆月考）解方程： （1）x（x+3）＝2（x+3）； （2）． 【解答】解：（1）x（x+3）＝2（x+3）， x（x+3）﹣2（x+3）＝0， （x+3）（x﹣2）＝0， x+3＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝2； （2）， a＝1，b＝﹣2，c＝2， 24﹣8＝16＞0， 即， 解得，． 18．（2026秋•集宁区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x1x2﹣（x1+x2）＝m2﹣9，求m的值． 【解答】解：（1）根据题意可知： Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0， 解得m＜2． （2）由条件可知x1+x2＝2，x1x2＝m﹣1， ∵， ∴m﹣1﹣2＝m2﹣9，即m2﹣m﹣6＝0， （m﹣3）（m+2）＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣2， 由（1）可知m＜2， ∴m＝﹣2，即m的值为﹣2． 19．（2026秋•江阳区校级月考）如图，是用防护网与墙围成的矩形养鸡场ABCD，其中AD边利用现有的一段墙（墙的最大长度为15米），AB、BC、CD边用长度为30米的防护网（全部用完），且在BC边开一个2米宽的门，若养鸡场的面积为126平方米，求AB边的长． 【解答】解：设AB边的长为x米，则BC边的长为（30+2﹣2x）米， 根据题意得：（30+2﹣2x）x＝126， 整理得：x2﹣16x+63＝0， 解得：x1＝7，x2＝9， 当x＝7时，30+2﹣2x＝30+2﹣2×7＝18＞15，不符合题意，舍去； 当x＝9时，30+2﹣2x＝30+2﹣2×9＝14＜15，符合题意． 答：AB边的长为9米． 20．（2026秋•番禺区校级月考）阅读材料：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，那么有x1+x2，x1x2．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题．例x1，x2是方程x2+6x﹣3＝0的两根，求的值．解法可以这样：∵x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣3，则（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣6）2﹣2×（﹣3）＝42． 请你根据以上解法解答下题： 已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根，求： （1）x1+x2＝　4　 ； （2）x1•x2＝　2　 ； （3）　2　 ； （4）（x1﹣x2）2＝　8　 ． 【解答】解：（1）已知方程x2﹣4x+2＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∵它的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝4， 故答案为：4； （2）x1x2＝2， 故答案为：2； （3）∵x1+x2＝4，x1x2＝2， ∴ ＝2， 故答案为：2； （4）∵x1+x2＝4，x1x2＝2， ∴（x1﹣x2）2 ＝（x1+x2）2﹣4x1x2 ＝42﹣4×2 ＝16﹣8 ＝8， 故答案为：8． 21．（2026春•合肥校级期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10，BC＝6， ∴AB＝8． ∴BQ＝x，PB＝8﹣2x； （2）由题意，得 8﹣2x＝x， ∴x． ∴当x时，△PBQ为等腰三角形； （3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2， 则， 解得x1＝x2＝2． 假设成立，所以当x＝2时，四边形APQC的面积等于20cm2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $