2026-2027学年高一上学期数学期中预测卷（基础卷·一）

2026-2027学年高一数学上学期期中预测卷 （基础卷·一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章（集合与常用逻辑用语；一元二次函数、方程和不等式；函数的概念与性质）． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （热点） 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 5．若，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为（　　） A． B． C． D． （易错） 7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （易错） 9．下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 11．已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．是奇函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，则满足的集合的个数为______． 13．已知幂函数在上单调递减，则______． 14．已知正数，满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 16．已知命题：“，”为真命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若实数满足，，且，求的取值范围． （新情境） 18．某企业计划投资生产一种新型环保设备．已知生产该设备每年的固定成本为万元，每生产台需另投入成本万元，且已知每台设备的售价为万元，且该企业当年生产的设备能全部售完． (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数解析式（利润销售收入总成本）； (2)当年产量为多少台时，该企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ （压轴） 19．已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最小值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高一数学上学期期中预测卷（基础卷·一）》参考答案及详细解析 【试卷定位】基础卷（夯实双基，面向全体学生）；预估难度系数约0.75．本卷紧扣教材例题、习题，重点考查“三个二次”、基本不等式、函数单调性的定义证明等通性通法，适合期中前第一轮查漏补缺． 一、选择题与多选题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C A B D C B D BCD BD ABD 二、填空题答案：12．　　13．　　14． 三、命题双向细目表 题号 题型 分值 考查内容（核心知识点） 难度 1 单选题 5 一元二次不等式的解法与集合的交集运算 易 2 单选题 5 存在量词命题的否定 易 3 单选题 5 充分条件与必要条件的判断 易 4 单选题 5 具体函数的定义域 易 5 单选题 5 不等式的基本性质 易 6 单选题 5 基本不等式求最值（配凑法） 易 7 单选题 5 利用函数的奇偶性求函数值 易 8 单选题 5 三个“二次”的关系（由解集求系数） 中 9 多选题 6 不等式的性质与作差比较 易 10 多选题 6 函数的概念（同一个函数的判断） 易 11 多选题 6 函数奇偶性与单调性的综合应用 中 12 填空题 5 集合的并集与集合的个数 易 13 填空题 5 幂函数的概念与单调性 易 14 填空题 5 基本不等式“1”的代换 中 15 解答题 13 集合的运算；由并集关系求参数（含空集讨论） 易 16 解答题 15 存在量词命题的真假；充分不必要条件求参数 易 17 解答题 15 单调性的定义证明；利用单调性求最值、解不等式 中 18 解答题 17 分段函数模型；二次函数与基本不等式求最值 中 19 解答题 17 待定系数法求解析式；二次函数动区间最值；恒成立问题 难 四、详细解析 （一）单项选择题 1．【答案】A 【分析】先解一元二次不等式化简集合，再根据交集的定义求解． 【详解】由，得，解得，所以． 又，所以．故选：A． 2．【答案】C 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：改变量词，否定结论，量词的范围不变． 【详解】命题“，”的否定为“，”，所以原命题的否定是“，”．故选：C． 【点睛】常见错误：只否定结论而不改变量词（错选A），或错误地改变了量词后的范围（错选D）． 3．【答案】A 【分析】分别判断“”与“”是否成立． 【详解】由，得或． 若，则一定成立，充分性成立；若，取，不满足，必要性不成立． （集合角度：，小范围推出大范围．） 所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A． 4．【答案】B 【分析】偶次根式的被开方数非负，分式的分母不为零． 【详解】要使函数有意义，需满足解得且． 所以函数的定义域为．故选：B． 5．【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐项判断，注意乘以负数时不等号要改变方向． 【详解】对于A，因为，，所以，A错误； 对于B，因为，所以，在两边同乘得，B错误； 对于C，由得，又，所以，C错误； 对于D，由B知，又，所以，D正确．故选：D． 6．【答案】C 【分析】将配凑成，利用基本不等式求解，注意“一正二定三相等”． 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时等号成立．所以所求最小值为．故选：C． 7．【答案】B 【分析】利用奇函数的性质，以及定义在上的奇函数满足求解． 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，， 所以．故选：B． 【点睛】易错点：误把代入时的解析式得，从而错选C． 8．【答案】D 【分析】由解集得且，是方程的两根，利用根与系数的关系将，用表示，再代入所求不等式． 【详解】因为不等式的解集为，所以，且和是方程的两个根， 由根与系数的关系得，，所以，． 不等式可化为， 因为，两边同除以得，即，即，解得．故选：D． （二）多项选择题 9．【答案】BCD 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，由，得；由，得，所以，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由得，又，所以，D正确．故选：BCD． 【点睛】求的范围时，应先求的范围再用同向不等式相加，不能直接相减． 10．【答案】BD 【分析】两个函数是同一个函数，当且仅当定义域和对应关系都相同，与自变量用什么字母表示无关． 【详解】对于A，，与的对应关系不同，A错误； 对于B，两函数的定义域都是，且，对应关系相同，B正确； 对于C，的定义域为，的定义域为，C错误； 对于D，两函数的定义域都是，对应关系也相同，D正确．故选：BD． 11．【答案】ABD 【分析】将写成分段函数，结合图象判断性质，再利用奇偶性与单调性解不等式． 【详解】 对于A，定义域为，，所以是奇函数，A正确； 对于B，当时，单调递增；当时，单调递增，且在处两段衔接，所以在上单调递增，B正确； 对于C，当时，当时，所以值域为，C错误； 对于D，由得，又在上单调递增，所以，解得，D正确．故选：ABD． （三）填空题 12．【答案】 【分析】由确定集合中必含的元素与可含的元素． 【详解】因为，所以，且，而元素，可以属于，也可以不属于， 所以可以为，，，，共个． 13．【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，即，解得或． 当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，在上单调递减，符合题意．所以． 【点睛】幂函数的系数必须为；当时，在上单调递减． 14．【答案】 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，结合得，． 所以的最小值为． （四）解答题 15．【答案】(1)，；(2) 【分析】(1)先化简集合，再按交、并、补的定义运算；(2)，分与两种情况讨论． 【详解】(1)由得，解得，所以． 2分 当时，，所以． 4分 又，所以． 6分 (2)因为，所以． ①当时，，解得，满足； 8分 ②当时，需满足解得． 11分 综上，实数的取值范围是． 13分 【点睛】由或转化为时，切勿遗漏的情形． 16．【答案】(1)；(2) 【分析】(1)命题为真即方程有实根，；(2)充分不必要条件转化为． 【详解】(1)因为命题为真命题，所以关于的方程有实数根， 2分 所以，解得，故． 6分 (2)因为“”是“”的充分不必要条件，所以． 8分 因为恒成立，所以， 10分 则，解得． 13分 经检验，当时，，符合题意． 所以实数的取值范围是． 15分 17．【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)最大值为，最小值为；(3) 【详解】(1)在上单调递增．证明如下： 1分 任取，且，则 ． 4分 因为，所以，，， 5分 所以，即，所以在上单调递增． 7分 (2)由(1)知在上单调递增， 所以，． 10分 (3)由已知，都在区间内，又在上单调递增， 所以解得． 14分 所以的取值范围是． 15分 【点睛】定义法证明单调性的步骤：取值→作差→变形（通分、因式分解）→定号→下结论，“变形”要化到能直接判断符号为止． 18．【答案】(1)(2)年产量为台时，年利润最大，最大年利润为万元． 【分析】(1)根据“利润销售收入固定成本另投入成本”分段写出解析式；(2)分段求最值：第一段用二次函数配方，第二段用基本不等式，最后比较大小． 【详解】(1)当时，； 3分 当时，． 6分 所以 7分 (2)当时，，所以当时，取得最大值； 10分 当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以，即当时，取得最大值． 15分 因为，所以当年产量为台时，该企业所获年利润最大，最大年利润为万元． 17分 19．【答案】(1)；(2)(3) 【详解】(1)设，由得． 1分 则， 3分 所以对任意恒成立，故解得，， 所以． 5分 (2)，图象开口向上，对称轴为直线． ①当，即时，在上单调递减，； 7分 ②当，即时，； 9分 ③当时，在上单调递增，． 11分 综上， 12分 (3)不等式即对任意恒成立． 13分 令，则在上单调递减，所以， 16分 所以，即实数的取值范围是． 17分 【点睛】二次函数在区间上的最值问题，关键是讨论对称轴与区间的相对位置；恒成立问题常用分离参数法转化为函数的最值问题． 答案第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $