期中培优：容斥原理的应用、集合新定义问题培优专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

期中培优：容斥原理的应用、集合新定义问题培优专项训练 期中培优：容斥原理的应用、集合新定义问题培优专项训练 考点目录 容斥原理的应用 集合新定义问题培优 考点一 容斥原理的应用 例1．（26-27高一上·安徽安庆·阶段检测）某社区需要招募志愿者进行连续3天的志愿工作，第一天有人参加，第二天有人参加，第三天有人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人，则这三天参加的人数最少为（     ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】A 【分析】先设三天都参加人数为，第一天第三天都参加为，再画出三个集合韦恩图，根据题意写出每一块区域的表达式，由人数非负确定取值范围，最后列出总人数的式子，即可求解． 【详解】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合， 设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为． 已知第一天有人参加，第二天有人参加，第三天有人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人， 可作韦恩图如图： 依题意必有，，均为自然数， 所以，， 故这三天参加的志愿者总人数为：， 当时，这三天参加的人数最少，最少人数为． 例2．（26-27高一上·湖南·阶段检测）某科技公司对名职场人士进行“工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过类（写作助手）、类（绘图工具）、类（会议助手）三类工具中的一类.调查数据显示使用过类工具的有人，使用过类工具的有人，使用过类工具的有人；类和类工具都使用过的有人，类和类工具都使用过的有人；三类工具都使用过的有人，则类和类工具都使用过的人数为（    ） A．5 B．13 C．15 D．20 【答案】B 【分析】作出文氏图，由集合容斥原理可得． 【详解】设仅只使用过类工具的职场人士的人数为， 由图可得： ，解得， 所以类和类工具都使用过的人数为. 例3．（26-27高一上·河北保定·阶段检测·多选）某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（    ） A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B．仅参加跳远比赛的有8人 C．仅参加跑步比赛的有7人 D．同时参加两项比赛的有10人 【答案】ACD 【分析】根据已知条件作出韦恩图即可求解 【详解】设同时参加跳远和跑步比赛的有x人，由题意画出韦恩图，如图， 则，解得，故A正确； 仅参加跳远比赛的人数为，故B错误； 仅参加跑步比赛的人数为，故C正确； 同时参加两项比赛的人数为，故D正确； 故选：ACD 例4．（26-27高一上·北京昌平·阶段检测）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有，，三类，那么.某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有_______人. 【答案】 【分析】根据题意设参加各类课外活动的学生的集合，找出各类课外活动的人数，然后代入定义中求解即可. 【详解】设集合参加舞蹈课外活动的学生，集合参加唱歌课外活动的学生，集合参加体育课外活动的学生， 由题意可得，，，， 设总人数为，图中三块阴影区域的人数分别为， 即，，，， 所以 ， 所以接受调查的小学生共有人. 变式1．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）某高中学生运动会，某班60名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有16人，参加径赛的有24人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】结合Venn图即可求解. 【详解】由题可得参加比赛的学生共有30人， 设参加田赛的学生为集合，参加径赛的学生为集合， 则，，， 如图， 因为， 所以田赛和径赛都参加的学生人数为10. 变式2．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程，他们在三个模块中进行选择，每个学生至少需要选择1个模块，具体选择的情况如下表： 模块 选择的学生人数 模块 选择的学生人数 28 与 11 26 与 12 26 与 13 则三个模块都选择的学生人数是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设三个模块都选择的学生人数为，用Venn图表示集合，在各部分写出人数，由总人数计算可得． 【详解】设三个模块都选择的学生人数为，则各部分的人数如图所示， 则有，解得， 即三个模块都选择的学生人数为6. 变式3．（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测·多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（    ） A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B．只参加跑步比赛的人数为26 C．只参加拔河比赛的人数为16 D．只参加篮球比赛的人数为22 【答案】BCD 【分析】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得集合的元素个数关系． 【详解】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为. 故选：BCD． 变式4．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手：既参加了测量又参加了计算的有8人，既参加了测量又参加了绘图的有6人，既参加了计算又参加了绘图的有4人，其中三项工作都参加的有3人．则这支测绘队有________人． 【答案】45 【详解】设集合， 根据三集合的容斥原理，测绘队总人数为三集合并集的元素个数， 所以 即这支测绘队有45人. 考点二 集合新定义问题 例1．（25-26高一上·广东梅州·期末·多选）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】准确理解集合的新定义，结合元素与集合的关系、集合间的关系求解即可. 【详解】选项A：根据函数的定义，当时，. 已知集合，因为，所以，A正确； 选项B：. 因为，根据函数的定义可得，B错误； 选项C：表示与异号，即属于但不属于，或属于但不属于， 所以，所以，C错误； 选项D：，， 所以，而， 所以，D正确. 故选：AD 例2．（25-26高一上·湖北·阶段检测·多选）对任意，记，并称为集合A，B的对称差.下列命题中，是真命题的为（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若A，且，则；若A，且，则 D．存在A，，使得；存在A，，使得 【答案】AC 【分析】先分析出，分别求出和，再求出，即可判断A，B；根据的定义，分别求出当和时，及的结果，进而得到集合的关系，即可判断C；根据的定义，验证是否成立，即可判断D. 【详解】对于选项A，因为，，， 所以，故A正确； 对于选项B，因为，， 所以，故B错误； 对于选项C， 若，则， 因为，而， 所以要使，必须有，即， 此时等式变为，这意味着，又由，可知； 若，则， 所以且. 由可得，由可得，所以. 故C正确； 对于选项D，对于任意集合， 恒成立， 所以存在A，，使得是假命题； 当时，，， 所以存在A，，使得是真命题，故D错误. 故选：AC 例3．（26-27高一上·上海浦东·阶段检测）已知集合，其中．若对于任意的，总有，则称集合A具有性质P．由A中的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对．集合S和T中的元素个数分别为m和n． (1)检验集合与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T； (2)对任何具有性质P的集合A，n的最大值为多少？（直接写出答案，无需写出理由） (3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)具有性质P，此时，；不具有性质P． (2)． (3)．证明：定义映射：，． ①定义合理：若，则a，且，于是、，且，故． ②是单射：若），则，从而，由得，故． ③是满射：任取，则x，且．令，，则，故，且． 综上，是S到T的一一对应，所以． 【分析】（1）由性质的定义，代入检验即可得到结果；（2）由A中共个元素，性质保证互为倒数的元素不能同时出现，则的有序对最多可取组，即可证明；（3）根据题意，构造映射，证明其是一一对应，一一对应的两个元素个数必然相等，即可证明. 【详解】（1）对集合：，，都不属于该集合，故它具有性质P． 此时满足的有序数对为、； 满足的有序数对为、．所以，． 对集合，因为，且，不满足“对任意，总有”，故它不具有性质P． （2）n的最大值为．（简证：任取A中两个不同元素a，b，若，则由性质P知，故每一对不同的元素至多产生T中一个有序数对；又，故形如的数对都不计入，所以．当时，对任意有，此时．） （3）略 例4．（26-27高一上·北京昌平·阶段检测）设数集由实数构成，且满足①，；②若，则． (1)若，则在中必含有其他两个数，试求出这两个数； (2)判断集合中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合中的元素个数不超过，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 【答案】(1)、 (2)至少含个元素，理由如下： 任取，由条件②知，，， 若、、中有两个相等，不妨设，可得， ，则方程无实数解， 同理可知，，即、、两两不相等，故中至少含个元素． (3) 【分析】（1）利用集合递推规则，将反复代入迭代计算，求出另外两个元素； （2）任取集合内元素连续迭代生成三个表达式，证明三者互不相等，确定集合至少3个元素； （3）根据元素个数为的倍数先锁定元素数量，再结合乘积条件确定属于集合，利用总和求出另一组三元循环，合并得到集合． 【详解】（1）已知，由条件②，将代入： ， 将代入：， 故中必含的另外两个数为、． （2）略 （3）集合元素为的倍数，且不超过，则元素个数为或， 若元素个数为，三元组乘积为，其中一个元素的平方等于总乘积， 即，无实数解，舍去； 若元素个数为，是组三元组循环，总乘积为，由得， 又，故， 含的三元组为，元素的和为， 已知所有元素和为，故另一组三元组的和为， 设另一组初始元素为，则， 则，解得，，， 对应三元组， 故． 变式1．（25-26高一上·重庆·阶段检测·多选）对于给定的非空集合，定义集合，，若，则称集合满足性质．则（   ） A．集合满足性质 B．集合满足性质 C．若集合满足性质且，则 D．若集合且，则 【答案】ACD 【分析】根据定义计算出，验证即可判断A、B；根据定义计算，利用可分析出的范围，得最小值即可判断C；根据定义计算出,由及，根据集合相等及集合中元素的互异性可求得从而判断D 【详解】对于A，由可知此时，， 满足性质.故A正确； 对于B，由可知， 不满足性质.故B不正确； 对于C，，由集合元素的互异性可知， 欲使，须使，即， ∴的最小值为7.故C正确； 对于D，由，可知， 由得 ，此时，，符合题意，故D正确. 故选：ACD. 变式2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测·多选）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积，两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合所给新定义与集合交集、并集定义逐一分析选项即可得. 【详解】对A：的元素是有序对，，， 而的元素是有序对，，，故A错误； 对B：的元素是有序对，，，， 而的元素是有序对，，，，故B错误； 对C：若，则，， 若，则，若，则， 则，即， 即，故C错误； 对D：若，则，， 则且，则且， 即，故； 若，则且， 则，且，故，则； 故，故D正确. 故选：ABC. 变式3．（26-27高一上·湖南·阶段检测）已知集合是由正整数构成的非空集合，定义集合，集合. (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求集合中元素个数的最大值. 【答案】(1)， (2)由题意知，中的最小元素为，即对于任意，都有．     中包含的相邻元素的差：，． 根据条件可知，，．     由，得，所以． 由，得，所以． 综上所述，得证． (3)1013 【分析】（1）直接枚举求解即可； （2）利用，分析出，从而求证； （3）利用（2）中分析得出的结论，写出的表达式从而分析求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，． （2）略. （3）设集合的元素个数为，将中元素从小到大排列为，，…，． 由（2）中的分析可知，（），所以． 所以． 因为，所以且． 所以，解得． 因为为整数，所以的最大值为1013． 验证存在性：取（即1到2025的所有奇数），此时． 因为奇数与奇数的和、差都是偶数，所以，． 显然中元素除了0以外，都在中，即． 故集合中元素个数的最大值为1013． 变式4．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）设A是正实数集的非空子集，称集合为集合的孪生集． (1)当时，写出集合A的孪生集合B； (2)若A是由4个正实数构成的集合，求其孪生集B的元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由． 【答案】(1)； (2)5； (3)不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，令； 则； 则最小乘积，最大乘积；则； 且必有，则，则，矛盾， 故假设不成立； 故不存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集． 【分析】（1）根据孪生集的概念写出集合B； （2）根据集合元素的互异性判断孪生集B的元素个数的最小值； （3）假设存在，根据所给孪生集合倒推集合A中的元素是否存在． 【详解】（1）根据题意得：因为，故； （2）设，令； 则，故中至少有5个元素； 故孪生集B的元素个数的最小值为5； 取，此时共5个元素， 故孪生集B的元素个数的最小值为5. （3）略． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：容斥原理的应用、集合新定义问题培优专项训练 期中培优：容斥原理的应用、集合新定义问题培优专项训练 考点目录 容斥原理的应用 集合新定义问题培优 考点一 容斥原理的应用 例1．（26-27高一上·安徽安庆·阶段检测）某社区需要招募志愿者进行连续3天的志愿工作，第一天有人参加，第二天有人参加，第三天有人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人，则这三天参加的人数最少为（     ） A．29 B．30 C．31 D．32 例2．（26-27高一上·湖南·阶段检测）某科技公司对名职场人士进行“工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过类（写作助手）、类（绘图工具）、类（会议助手）三类工具中的一类.调查数据显示使用过类工具的有人，使用过类工具的有人，使用过类工具的有人；类和类工具都使用过的有人，类和类工具都使用过的有人；三类工具都使用过的有人，则类和类工具都使用过的人数为（    ） A．5 B．13 C．15 D．20 例3．（26-27高一上·河北保定·阶段检测·多选）某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（    ） A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B．仅参加跳远比赛的有8人 C．仅参加跑步比赛的有7人 D．同时参加两项比赛的有10人 例4．（26-27高一上·北京昌平·阶段检测）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有，，三类，那么.某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有_______人. 变式1．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）某高中学生运动会，某班60名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有16人，参加径赛的有24人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 变式2．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程，他们在三个模块中进行选择，每个学生至少需要选择1个模块，具体选择的情况如下表： 模块 选择的学生人数 模块 选择的学生人数 28 与 11 26 与 12 26 与 13 则三个模块都选择的学生人数是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式3．（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测·多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（    ） A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B．只参加跑步比赛的人数为26 C．只参加拔河比赛的人数为16 D．只参加篮球比赛的人数为22 变式4．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手：既参加了测量又参加了计算的有8人，既参加了测量又参加了绘图的有6人，既参加了计算又参加了绘图的有4人，其中三项工作都参加的有3人．则这支测绘队有________人． 考点二 集合新定义问题 例1．（25-26高一上·广东梅州·期末·多选）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·湖北·阶段检测·多选）对任意，记，并称为集合A，B的对称差.下列命题中，是真命题的为（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若A，且，则；若A，且，则 D．存在A，，使得；存在A，，使得 例3．（26-27高一上·上海浦东·阶段检测）已知集合，其中．若对于任意的，总有，则称集合A具有性质P．由A中的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对．集合S和T中的元素个数分别为m和n． (1)检验集合与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T； (2)对任何具有性质P的集合A，n的最大值为多少？（直接写出答案，无需写出理由） (3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论． 例4．（26-27高一上·北京昌平·阶段检测）设数集由实数构成，且满足①，；②若，则． (1)若，则在中必含有其他两个数，试求出这两个数； (2)判断集合中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合中的元素个数不超过，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 变式1．（25-26高一上·重庆·阶段检测·多选）对于给定的非空集合，定义集合，，若，则称集合满足性质．则（   ） A．集合满足性质 B．集合满足性质 C．若集合满足性质且，则 D．若集合且，则 变式2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测·多选）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积，两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高一上·湖南·阶段检测）已知集合是由正整数构成的非空集合，定义集合，集合. (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求集合中元素个数的最大值. 变式4．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）设A是正实数集的非空子集，称集合为集合的孪生集． (1)当时，写出集合A的孪生集合B； (2)若A是由4个正实数构成的集合，求其孪生集B的元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $