1.1锐角三角函数（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦锐角三角函数概念与应用，通过概念辨析-计算应用-综合拓展的三层递进设计，强化数学抽象与几何直观，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念辨析|正弦、余弦、正切定义理解|题量占比高（如正弦辨析8题），通过边长缩放、多图形变式题强化抽象能力| |计算应用|求三角函数值、已知值求边长|结合网格图与直角三角形，设置选择、填空、解答题，培养运算能力与几何直观| |综合拓展|比较大小、判断范围及几何综合|融入梯子、杠杆等实际情境及矩形翻折等复杂图形，发展推理意识与应用意识|

1.1锐角三角函数 题型一 正弦的概念辨析 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正弦函数，熟练掌握“在直角三角形中，锐角的正弦值等于其对边长度与斜边长度的比值"是解题的关键. 【详解】解：由图可知直角的斜边是， 的对边是 根据正弦函数的定义可知：. 故选：． 2．（2025·吉林·二模）若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（    ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．在中，各边都扩大4倍，其相应边长的比值不变，因此锐角A的正弦函数值也不会改变． 【详解】解：锐角三角函数值是随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角A的正弦函数值不会随着边长的扩大而变化， 即若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值无变化， 故选：D． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， A、在中，故A正确； B、在中，故B正确； C、在中，故C正确； D、在中，故D错误； 故选：D． 4．（2025·上海·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 5．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 6．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 7．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的正弦值，根据正弦值的定义即可得出答案，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， 故选：C． 8．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，作边上的高，可知，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】证明：如下图所示，作边上的高， 则， ． 题型二 余弦的概念辨析 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦的概念，熟练掌握余弦概念辨析是解题关键． 3．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，求角的正切值等知识点，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据，设，则，利用勾股定理可得，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 5．（23-24九年级上·贵州·阶段练习）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 6．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的定义，根据锐角三角函数的定义解答即可，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由， ∴是， 故选：． 7．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴． ∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意， 故选：D． 8．（2023·福建泉州·一模）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义得到，设，，利用勾股定理得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 9．（21-22九年级上·山东济宁·期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】A．∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ADB=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴cosB=， 故A不符合题意； B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意； C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=， ∵∠A≠45°， ∴∠B≠45°， ∴∠B≠∠BCD， ∴cosB≠， 故C符合题意； D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键． 题型三 正切的概念辨析 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，余弦函数，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．根据已知，，不妨设，则，根据正切函数的定义解答即可． 【详解】解：根据已知，，不妨设，则， 故． 故选：B． 2．（2025·四川成都·一模）在中，，，则 ． 【答案】60° 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的对边与邻边的比叫做的正切．根据正切的定义得到，再根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使． (2)在图②中画一个钝角，使． (3)在图③中画一个锐角，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了利用网格作图，正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用网格作，，则； （2）利用网格特点，结合，为钝角三角形，作图即可； （3）利用网格特点，结合，为锐角三角形，作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求， （2）解：如图②、图③、图④，即为所求， （3）解：如图⑤，即为所作， 取格点，连接， 由勾股定理可得：，，， ∴，，， ∴为直角三角形， ∴． 4．（2023·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．要求： (1)在图①中画一个锐角三角形，且面积为4； (2)在图②中画一个直角三角形，且面积为3； (3)在图③中画一个钝角三角形，且面积为2，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用设计作图，三角形的高，平行四边形的判定及性质，正切值等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用数形结合的射线画出图形即可； （2）取格点，连接，取格点，作射线交与点，连接，即为所求； （3）取格点，，作直线， 取格点，连接，交网格线于，连接，延长交于点，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求； （2）解：取格点，连接，取格点，作射线交与点，连接， 可知，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图②中，即为所求； （3）解：取格点，，作直线，同（2）可知四边形为平行四边形， 则， 取格点，连接，交网格线于， 则是中点，，， ∵， ∴， 连接，延长交于点，连接，即为所求． 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在的正方形网格中，点都在格点上，请用无刻度直尺作图． (1)在图1中，在线段上找一点，使与的面积比为． (2)在图2中，在线段上找一点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】 （1）结合网格特征，证明，相似比为，结合等高，与的面积比即为底长的比，即，满足与的面积比为，故点P即为所求； （3）结合网格特征，证明，得，连接，与的交点为点Q，理由如下：则，运用勾股逆定理，即，得，此时，即可作答． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格，勾股逆定理，以及正切值，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（2023·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中作，使． (2)在图②中作，使． (3)在图③中作，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由于，因此作一个以B为直角顶点或以C为直角顶点的等腰直角三角形即可； （2）由于，因此作一个以D为直角顶点的直角三角形，其中，； （3）由于，因此作一个以E为直角顶点的直角三角形，其中，． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形． 或 （2）解：如图，为所求作的三角形． （3）解：如图，为所求作的三角形． 【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，在网格中作直角三角形，解题的关键是熟练掌握正切函数的定义，网格中作垂线的方法． 题型四 求角的正弦值 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理，求正弦，证明是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，进而根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：根据网格可得： ，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，利用勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，是边上的高，已知．下列线段中，则与的比值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握正弦函数是对边与斜边的比是解题的关键． 先说明，然后根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即C选项符合题意． 故选C． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，为等腰三角形，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 过点A作于点D，过点B作于点E，根据勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式进行表示求解即可． 【详解】解：过点A作于点D，过点B作于点E， ∵， ∴是边上的中线， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 故选C． 5．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点D，在中，利用勾股定理求得线段的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴， 故选：D． 6．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如果一个三角形中的两个锐角之和为，那么我们称这个三角形为“优三角形”，若是优三角形，是锐角，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理、“优三角形”的定义、等腰直角三角形的性质、勾股定理及锐角三角函数的定义，解题的关键是根据“优三角形”定义确定钝角位置，通过构造辅助线（过钝角顶点作对边延长线的垂线）形成等腰直角三角形，再结合勾股定理和锐角三角函数定义计算． 先由“优三角形”定义（两个锐角之和为）及三角形内角和为，确定的钝角为；因是锐角，钝角分或两种情况；分别过钝角顶点作对边延长线的垂线，构造等腰直角三角形，设出边长参数，利用勾股定理求垂线长度，再在含的直角三角形中，根据“”计算结果． 【详解】解：∵是“优三角形”，   ∴中两个锐角之和为，   又∵三角形内角和为，   ∴的钝角为，且是锐角，故钝角为或． 情况1：钝角 过点作，交延长线于点；   ∵，，   ∴，即是等腰直角三角形，故；   设，由勾股定理得，则；   已知，代入得；   在中，． 情况2：钝角， 过点作，交延长线于点；   ∵，，   ∴，即是等腰直角三角形，故；   设，由勾股定理得，则；   已知，代入得；   此时， 由勾股定理得；   在中，． 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键． 直接利用锐角三角函数关系得出的值． 【详解】解：如图， 在中，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解直角三角形，解题的关键是作出合理的辅助线；先连接，根据勾股定理分别算出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，进而得到答案； 【详解】解：如图，连接， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理可得：，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形底边长为，周长为，则底角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，求角的正弦值，根据等腰三角形的性质，求出腰长，三线合一，结合勾股定理和正弦的定义，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形底边长为，周长为， ∴等腰三角形的腰长为； 如图，， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 10．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，． 若，求和的值． 【答案】，； 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 设，，由勾股定理得，然后利用三角函数即可求解. 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴，. 题型五 求角的余弦值 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，于，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，求角的余弦值，先利用勾股定理求出的长，进而求出的值，再证明即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义；一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；其逆定理为如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角；利用格点分别求出、、，可判断出是直角三角形，进而求出的余弦值. 【详解】解：∵由图可知，，，， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴ 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在中，，于点，，，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的性质证明，根据勾股定理，利用余弦的定义计算即可． 本题考查了余角的性质，勾股定理，余弦的定义，熟练掌握定义和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，相交于点E，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点C作，连接，从而可得，然后根据勾股定理的逆定理可证是等腰直角三角形，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：过点C作，连接， ， 由题意得：，，， ， 为直角三角形， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余弦值（    ）． A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，根据将三角形的各边长度都扩大为原来的2倍后，变化后的三角形和原三角形相似，的度数不变，即可得出结果． 【详解】解：∵将三角形的各边长度都扩大为原来的2倍，变化后的三角形和原三角形相似， ∴的度数不变， ∴的余弦值不变； 故选A． 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在中，，那么的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，求余弦值． 根据勾股定理求出，进而可求出的值． 【详解】∵在中，， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，于点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数．先由勾股定理求出的长，再由，可得的长，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故选：B 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 由交于点E，得，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：交于点E， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格中利用勾股定理求线段长度，结合直角三角形的余弦定义计算角度的余弦值． 根据网格的特征，连接构造，利用勾股定理计算线段和的长度，再通过中，求得的值即可． 【详解】解：连接，由题可知，此时， 在网格中，由勾股定理可得：，， ∴在中，． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了正切、正弦、余弦的定义，勾股定理，由正切的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 题型六 求角的正切值 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键． 根据正切的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数定义，根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，如果， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期末）在中，，如果，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切等于对边与邻边的比是解题的关键； 如图，根据代入求值即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 5．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求角的正切值，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求得、两点的坐标，再求得，，从而可求得的值． 【详解】解：∵直线与、轴分别交于、两点， 令，得， ∴， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理求出的三边的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格的特点和勾股定理可得， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求正切函数，勾股定理的逆定理．连接，利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接． 根据勾股定理可得， ， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，放在正方形网格纸的位置如图，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．连接，利用勾股定理分别计算出、、的长，然后根据勾股定理逆定理得出，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型一 已知正弦值求边长 1．（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（2024·广东·二模）在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．理解正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义得到，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 3．（18-19九年级上·山东烟台·阶段练习）在中，，，，则的长度为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的意义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了已知正弦值求边长，解题关键是掌握正弦的定义式． 根据正弦的定义式可知，再根据，，求出的长． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故选：C． 5．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 6．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了利用正弦函数求线段长，掌握正弦的定义是解题的关键． 根据三角函数正弦函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即，解得：． 故答案为5． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，已知的三条边，，，满足，且，． (1)求，，的值． (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)84 【分析】本题考查了比例的性质，一元一次方程的解法，解直角三角形，设出未知数并表示出与c是解决本题的关键． （1）设，则依次用x表示与c的值，再由即可求解； （2）作出三角形的高，由即可求解三角形的高，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ 设， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ， ； （2）解：过点C作交于点D，如图， 在中，， 由（1）知，，， ∴，解得， ∴． 题型二 已知余弦值求边长 1．（20-21九年级上·广东深圳·阶段练习）在中，，如果，，那么的长为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查余弦定义，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即， 解得， 故选：D． 2．（2022·广东潮州·二模）如图，在中，，、分别是、的中点，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线，解直角三角形的应用，掌握三角形中位线定理和直角三角形的性质是解题关键．根据题意得到是的中位线，从而得出，则，由直角三角形的性质：斜边中线等于斜边一半，得到，再利用特殊角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 4．（2019·上海长宁·一模）在中，，如果，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理； 先根据余弦的定义求出，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知边求余弦值→已知余弦值求边在中，则AC的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理；熟练掌握锐角三角函数值求解是解题的关键. 【详解】解：， ， ， ， 由勾股定理可得：, , 故答案为：6. 7．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用余弦的定义先求出，进而求出即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，已知，在中，，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识；由等腰三角形性质得；由余弦函数可求得的长，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值为12． 9．（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据垂直定义可得在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用同角的余角相等，得，把角转化掉再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 在中，； （2）解：， ， 为的中点， ， ， ， ， ． 题型三 已知正切值求边长 1．（2025·山东聊城·三模）如图，平行四边形中，点E是对角线上的一点，连接，，且，若，，则四边形的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．连接交于，先证明，得到，再证明，得到，则四边形是菱形，得到，，在中， ，，，求出，，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：B． 2．（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了正切的定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论，再利用正切的定义即可求解． 【详解】解：①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，坐标与图形，根据点A的坐标可得的长，解直角三角形求出的长，利用勾股定理求出的长，再根据菱形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为；8． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定．设，通过作辅助线，得到，，，进而得出对应边成比例，再根据，，得出对应边之间关系，先后用表示，，，的长，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，延长交于点N， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知在中，，则AB的长为 ． 【答案】. 【分析】本题主要考查了勾股定理和锐角三角函数定义，解题的关键是正确把握锐角三角函数的定义． 根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义及勾股定理求出即可. 【详解】解：如图所示： 在中， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，熟练掌握“ 在中，，是的对边，是的对边，是的对边，正切函数就是，即”是解题的关键. 【详解】解：在中， ， 故答案为：. 7．（2025·江西·模拟预测）如图，在平行四边形中，，点E是的中点，． (1)在图1中，作出一个以为边的矩形； (2)在图2中，作出一个以为边的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查矩形和正方形的作图，解题关键是利用平行四边形的性质、三角函数以及垂直等条件，结合矩形和正方形的定义来作出相应图形． （1）在延长线上取，连接，四边形为所求矩形； （2）连接，相交于点G，连接，并延长交于点H，则四边形为所求正方形． 【详解】（1）解：如图1，在延长线上取，连接，四边形即为所求矩形； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：连接，相交于点G，连接，并延长交于点H，则四边形为所求正方形． ∵四边形是平行四边形， ∴点G是的中点， ∵四边形是矩形， ∴点E是的中点，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，是的高线．若，求的长． 【答案】或 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 分两种情况进行讨论：高在内部；高在外部． 【详解】解：如图，分以下两种情况讨论： ①当高在内部时， 在Rt中，． 在Rt中， ∴， ； ②当高在外部时， 综上所述：的长为或． 题型四 已知角度比较三角函数值的大小 1．（2025九年级上·山东·专题练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．首先明确，再根据余弦值是随着角的增大而减小进行分析． 【详解】解：解：∵较接近1，， 又余弦值是随着角的增大而减小， 故越接近的值才对． 故选：C． 3．（2025·广东·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余弦函数值的变化，根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在到的区间内，当取最小值时，取得最大值． 【详解】解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小．已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选A． 4．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 6．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）比较大小： ．(填“”，“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．根据正弦函数是～范围内是单调递增的，即可得到结果． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 8．（2024·广东茂名·一模）物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 （填“大”或“小”）． 【答案】小 【分析】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．根据杠杆原理及的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案． 【详解】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0， ∴动力随动力臂的增大而减小， ∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时的值越来越大，β的度数越来越大，此时的值越来越小， ∴阻力臂越来越小，阻力不变， ∴动力×动力臂越来越小，而动力臂越来越大， ∴此时动力越来越小， 故答案为：小． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）比较大小（用连接），，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，试比较的正弦值、余弦值、正切值之间的大小关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】利用三角函数的性质，分别分析在时，的正弦值、余弦值和正切值的大小关系. 【详解】解：．理由如下： 又 ∴的值最大； 又 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，解题的关键是理解当与互余时，. 题型五 根据三角函数值判断锐角的取值范围 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若，则的度数在那个范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦函数的性质，由，随着的增大而增大，即可求解． 【详解】解：在，随着的增大而增大，，， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律，解题的关键是掌握正弦函数值在锐角内随角度增大而增大的性质． 先找出特殊角的正弦值，再根据正弦函数值的变化规律确定的取值范围． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，． ∵， ∴， 则的取值范围是． 故选∶A． 3．（19-20九年级上·北京昌平·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及、、的正弦值可求解． 【详解】解：是锐角，且， ， 故选：A． 4．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选A． 5．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 6．（23-24九年级上·广东·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 7．（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理，依次得到，，，由，，得到，， 由，，得到（三角形的三条高相交于同一点），结合，得到，即可求解， 本题考查了，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握通过三角函数比较角的大小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴（三角形的三条高相交于同一点）， 又∵， ∴， 故选：A． 8．（23-24九年级下·浙江·自主招生）设点与点为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标是关于x的方程的两个实数根．点C在y轴正半轴上，设，，若都是锐角，则两角的大小关系为（    ） A． B． C． D．与k的取值有关 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、正切等知识，正确判断出是解题关键．设点的坐标为，先判断出，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后根据正切的定义可得，由此即可得． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，，且都是锐角，，，， ， ∵是关于的方程的两个实数根， ，， ， ， ， 又，， ， ， 故选：B． 9．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若为锐角，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解一元一次不等式，根据锐角三角函数的范围即可得到一个关于的不等式，解不等式即可求解，理解锐角的正弦值的范围，从而转化为解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵为锐角， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型一 锐角三角函数的几何运用 1．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在矩形中，，点E是射线上一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，交的延长线于点M，则 ． 【答案】5或16 【分析】①如图当点在线段上时，设交于．②如图当点在线段的延长线上时，设交于．分别求解即可解决问题； 【详解】解：情形①如图，当点在线段上时， ，， ，， 四边形是矩形， ，，， ， ， 设， 在中，，，， ， ， ， ， ， ； 情形②如图，当点在线段的延长线上时， ，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 设， 在中，，，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：5或16． 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质，角的正切等知识，解题的关键是分类讨论． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，以为斜边向下构造，且，连接，则线段的最大值为 【答案】/ 【分析】本题主要考查了圆的有关性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定、正弦的定义等知识点，添加辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 如图：以为斜边作含的，连接，证明得出Ｄ在以Ｅ为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线时，最大，据此求解即可． 【详解】解：如图，以为斜边作含的，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴ ∴D在以E为圆心，为半径的圆上运动， ∵ 当三点共线时，最大，最大值为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，，点是的中点，点是的中点，，垂足为，，垂足为． (1)求的值； (2)求证：； (3)求证：经过的中点． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定； （1）根据已知得出，在中，，证明，即可求解； （2）延长，使，连接，证明得出，，根据，则，得出是等腰直角三角形，，进而证明，，即可证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）设，交于点，证明，根据，结合即可得出是的中点，即可得证． 【详解】（1）∵，点是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：如图所示，延长，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵ ∴，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵，则， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设，交于点 由（2）可得，又， ∴， ∵在中，，，点是的中点 ∴，， 即， ∴， ∵， ∴，则， ∴，即， 又∵， ∴是的中点，即经过的中点． 4．（2025·安徽·模拟预测）如图矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接；F为中点，连接． (1)， ①求的长； ②求． (2)若恰好平分，延长交于M，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由矩形的性质和折叠的性质可得，进而得到、，然后运用勾股定理求解即可；②如图：过C作延长线于点G，易证，根据相似三角形的性质可得，，进而得到，然后根据正切的定义求解即可； （2）如图：延长交于M，过E作交于N，则，易证可得，易证为等腰直角三角形，设，则， ，然后根据平行线分线段定理即可解答． 可得， 【详解】（1）解：①∵矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接， ∴，， ∴，   ∴， ∴； ②如图：过C作延长线于点G， ∴，       ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵F为中点， ∴， ∴． （2）解：如图：延长交于M，过E作交于N，则 ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形 设，则， ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1锐角三角函数 题型一 正弦的概念辨析 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林·二模）若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（    ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·上海·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 5．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 6．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 7．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 题型二 余弦的概念辨析 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·贵州·阶段练习）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·福建泉州·一模）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（21-22九年级上·山东济宁·期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 题型三 正切的概念辨析 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·一模）在中，，，则 ． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使． (2)在图②中画一个钝角，使． (3)在图③中画一个锐角，使． 4．（2023·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．要求： (1)在图①中画一个锐角三角形，且面积为4； (2)在图②中画一个直角三角形，且面积为3； (3)在图③中画一个钝角三角形，且面积为2，． 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在的正方形网格中，点都在格点上，请用无刻度直尺作图． (1)在图1中，在线段上找一点，使与的面积比为． (2)在图2中，在线段上找一点，使． 6．（2023·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中作，使． (2)在图②中作，使． (3)在图③中作，使． 题型四 求角的正弦值 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，是边上的高，已知．下列线段中，则与的比值相等的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，为等腰三角形，，，则（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如果一个三角形中的两个锐角之和为，那么我们称这个三角形为“优三角形”，若是优三角形，是锐角，且，则 ． 7．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，则 ． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为 ． 9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形底边长为，周长为，则底角的正弦值为 ． 10．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，． 若，求和的值． 题型五 求角的余弦值 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，于，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在中，，于点，，，的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，相交于点E，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余弦值（    ）． A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在中，，那么的值是（    ） A． B． C． D．2 7．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，于点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 9．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则 ． 10．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，的值． 题型六 求角的正切值 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期末）在中，，如果，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 7．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则的值为 ． 8．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，放在正方形网格纸的位置如图，则的值为 ． 题型一 已知正弦值求边长 1．（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 2．（2024·广东·二模）在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 3．（18-19九年级上·山东烟台·阶段练习）在中，，，，则的长度为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 4．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ）米． A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 8．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，已知的三条边，，，满足，且，． (1)求，，的值． (2)求的面积． 题型二 已知余弦值求边长 1．（20-21九年级上·广东深圳·阶段练习）在中，，如果，，那么的长为（　　） A． B． C．8 D．10 2．（2022·广东潮州·二模）如图，在中，，、分别是、的中点，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 4．（2019·上海长宁·一模）在中，，如果，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知边求余弦值→已知余弦值求边在中，则AC的长为 ． 7．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 8．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，已知，在中，，，求的值． 9．（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 题型三 已知正切值求边长 1．（2025·山东聊城·三模）如图，平行四边形中，点E是对角线上的一点，连接，，且，若，，则四边形的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 2．（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）是直角三角形，，，则的长为 ． 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为 ． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知在中，，则AB的长为 ． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，，且，则 ． 7．（2025·江西·模拟预测）如图，在平行四边形中，，点E是的中点，． (1)在图1中，作出一个以为边的矩形； (2)在图2中，作出一个以为边的正方形． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，是的高线．若，求的长． 题型四 已知角度比较三角函数值的大小 1．（2025九年级上·山东·专题练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）比较大小： ．(填“”，“”或“”) 8．（2024·广东茂名·一模）物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 （填“大”或“小”）． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）比较大小（用连接），，，，则 ． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，试比较的正弦值、余弦值、正切值之间的大小关系，并说明理由． 题型五 根据三角函数值判断锐角的取值范围 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若，则的度数在那个范围（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 3．（19-20九年级上·北京昌平·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·广东·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级下·浙江·自主招生）设点与点为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标是关于x的方程的两个实数根．点C在y轴正半轴上，设，，若都是锐角，则两角的大小关系为（    ） A． B． C． D．与k的取值有关 9．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若为锐角，且，则的取值范围是 ． 题型一 锐角三角函数的几何运用 1．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在矩形中，，点E是射线上一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，交的延长线于点M，则 ． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，以为斜边向下构造，且，连接，则线段的最大值为 3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，，点是的中点，点是的中点，，垂足为，，垂足为． (1)求的值； (2)求证：； (3)求证：经过的中点． 4．（2025·安徽·模拟预测）如图矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接；F为中点，连接． (1)， ①求的长； ②求． (2)若恰好平分，延长交于M，求的值． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $