期中专题02：实际问题与一元二次方程-2026-2027学年人教版数学九年级上册

期中专题02：实际问题与一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•雁塔区校级月考）一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．5% B．10% C．15% D．20% 2．（2026秋•平阴县月考）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为5cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为500cm3，则原铁皮的边长为（　　） A．20cm B．13cm C．14cm D．16cm 3．（2026•禄丰市二模）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 4．（2026秋•南充校级月考）2023年青山村种水稻平均每公顷产7200kg，2024和2025年水稻平均每公顷产量和为16450kg，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（　　） A．7200（1﹣x）2＝16450 B．7200（1+x）2＝16450 C．7200（1+2x）2＝16450 D．7200（1+x）+7200（1+x）2＝16450 5．（2026秋•道里区校级月考）某晶圆加工厂2023年生产芯片500万片，2025年生产芯片720万片，若2024年、2025年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（　　） A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720 C．500（1+x2）＝720 D．720（1+x）2＝500 6．（2026秋•铜陵月考）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．15x2＝50 B．15（1+x2）＝50 C．15（1+x）2＝50 D．x（15﹣x）＝50 7．（2026秋•宣威市月考）某校九年级同学在“数学与生活”实践活动中了解到：某商店销售一种文创产品，每件进价为40元，售价为60元时，每月可售出200件．为了促销，商店决定降价销售．经调查发现，每降价1元，每月可多售出20件．若要使每月利润达到4200元，设每件降价x元，则x满足的方程是（　　） A．（20﹣x）（200+20x）＝4200 B．（20﹣x）（200﹣20x）＝4200 C．（60﹣x）（200+20x）＝4200 D．（40﹣x）（200+20x）＝4200 8．（2026春•那坡县校级期末）为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为x米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（　　） A．π（x+3）2﹣x2＝72 B． C．π（x+6）2﹣x2＝72 D． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•永顺县期末）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得____________________ ． 10．（2026秋•道里区校级月考）香坊区篮球友谊赛采用单循环赛制（即每支球队与其他球队各赛1场），共赛36场，则参加本次比赛的队伍数量为_____ ． 11．（2026秋•南充校级月考）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有_______ 支队参加比赛． 12．（2026秋•道里区校级月考）如图，某小区规划在一个长为36米、宽为22米的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分铺草坪，要使草坪的总面积为640平方米，则通道的宽为_____ 米． 13．（2026秋•沈丘县月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CD向点D以1cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动，连接PQ．当△PCQ的面积为矩形ABCD面积的时，运动时间为_____ s． 14．（2026秋•汾阳市月考）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为19，则该方程的正数解为____________________ ． 三．解答题（共5小题） 15．（2026•榆树市三模）2026年农历马年伊始，一只产自浙江义乌、因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红．某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为尽快减少库存，商家决定降价促销．为使日销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 16．（2025秋•张家川县期末）如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地ABCD（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏BC的长为x米，解答下列问题： （1）AB＝____________ 米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形场地ABCD面积为240平方米，求栅栏BC的长． 17．（2026秋•道里区校级月考）囤秋菜是东北标志性民俗，十月份街上大车开始卖秋菜，全家一起挑菜、装车、运回家、晾晒秋菜，是独有的市井烟火气，属于冰城入秋的标志性场景．“遇数临风”数学活动小组利用十一假期调查市场白菜行情，帮菜农解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调研发现：市面上某品种白菜的成本价约为0.3元/千克．售价为0.8元/千克，每天可销售1250千克．若每千克白菜每涨价0.1元，每天少销售50千克． （1）某天一菜农正好销售1050千克的白菜，则白菜的售价为多少元/千克？ （2）若菜农想一天销售白菜获利1000元，同时为让顾客更省钱，则白菜的售价为多少元/千克？ 18．（2026秋•双流区校级月考）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5～6.5米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为A，B，C，D，E等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为544m2时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 19．（2026秋•沈丘县月考）你知道怎样用几何方法求一元二次方程的正数解吗？以x2﹣2x﹣3＝0为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为x2﹣2x＝3，即x（x﹣2）＝3； 第二步：构造一个长为x，宽为（x﹣2）的长方形，长比宽长2，且面积为3，如图1所示； 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示； 第四步：计算大正方形的面积； 第五步：根据大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和列方程； 第六步：两边开方可求得该方程的解． （1）大正方形的面积为____________ （用含x的代数式表示），小正方形的面积为_____ ； （2）请你根据第五、六步的信息求这个方程的正数解． 期中专题02：实际问题与一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•雁塔区校级月考）一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．5% B．10% C．15% D．20% 【解答】解：设每次降价的百分率为x，原价200元，连续两次降价后售价为162元，则： 200（1﹣x）2＝162， 解得x＝0.1＝10%或x＝1.9＝190%（不符合题意，舍去）． ∴x＝10%． 故选：B． 2．（2026秋•平阴县月考）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为5cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为500cm3，则原铁皮的边长为（　　） A．20cm B．13cm C．14cm D．16cm 【解答】解：设原正方形铁皮的边长为xcm．根据长方体容积公式可得： 5（x﹣10）2＝500， 解得：x1＝20，x2＝0． 边长不能为0，舍去x2＝0， ∴原铁皮边长为20cm． 故选：A． 3．（2026•禄丰市二模）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 【解答】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝90． 故选：D． 4．（2026秋•南充校级月考）2023年青山村种水稻平均每公顷产7200kg，2024和2025年水稻平均每公顷产量和为16450kg，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（　　） A．7200（1﹣x）2＝16450 B．7200（1+x）2＝16450 C．7200（1+2x）2＝16450 D．7200（1+x）+7200（1+x）2＝16450 【解答】解：∵青山村2023年水稻平均每公顷的产量为7200kg，且设水稻每公顷产量的年平均增长率为x， ∴青山村2024年水稻平均每公顷的产量为7200（1+x）kg，2025年水稻平均每公顷的产量为7200（1+x）2kg， 根据题意得：7200（1+x）+7200（1+x）2＝16450． 故选：D． 5．（2026秋•道里区校级月考）某晶圆加工厂2023年生产芯片500万片，2025年生产芯片720万片，若2024年、2025年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（　　） A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720 C．500（1+x2）＝720 D．720（1+x）2＝500 【解答】解：由题意可得：500（1+x）2＝720， 故选：B． 6．（2026秋•铜陵月考）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．15x2＝50 B．15（1+x2）＝50 C．15（1+x）2＝50 D．x（15﹣x）＝50 【解答】解：由题意得x（15﹣x）＝50， 故选：D． 7．（2026秋•宣威市月考）某校九年级同学在“数学与生活”实践活动中了解到：某商店销售一种文创产品，每件进价为40元，售价为60元时，每月可售出200件．为了促销，商店决定降价销售．经调查发现，每降价1元，每月可多售出20件．若要使每月利润达到4200元，设每件降价x元，则x满足的方程是（　　） A．（20﹣x）（200+20x）＝4200 B．（20﹣x）（200﹣20x）＝4200 C．（60﹣x）（200+20x）＝4200 D．（40﹣x）（200+20x）＝4200 【解答】解：由题意得（20﹣x）（200+20x）＝4200． 故选：A． 8．（2026春•那坡县校级期末）为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为x米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（　　） A．π（x+3）2﹣x2＝72 B． C．π（x+6）2﹣x2＝72 D． 【解答】解：根据题意可得：． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•永顺县期末）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得　x（x﹣1）＝45　 ． 【解答】解：由题意列方程得， x（x﹣1）＝45． 故答案为：x（x﹣1）＝45． 10．（2026秋•道里区校级月考）香坊区篮球友谊赛采用单循环赛制（即每支球队与其他球队各赛1场），共赛36场，则参加本次比赛的队伍数量为　9　 ． 【解答】解：设参加本次比赛的队伍数量为x，根据题意可得： ， 整理得x2﹣x﹣72＝0， ∴（x﹣9）（x+8）＝0， 解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去）， 故答案为：9． 11．（2026秋•南充校级月考）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有　10　 支队参加比赛． 【解答】解：设共有x支队参加比赛， 根据题意可得：x（x﹣1）＝90， 解方程得x＝10或x＝﹣9（舍去）， ∴共有10支队参加比赛． 故答案为：10． 12．（2026秋•道里区校级月考）如图，某小区规划在一个长为36米、宽为22米的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分铺草坪，要使草坪的总面积为640平方米，则通道的宽为　2　 米． 【解答】解：设通道的宽为x米，则其余部分可合成长为（36﹣2x）米，宽为（22﹣x）米的长方形， 根据题意得：（36﹣2x）（22﹣x）＝640， 整理得：x2﹣40x+76＝0， 解得：x1＝2，x2＝38（不符合题意，舍去）， ∴通道的宽为2米． 故答案为：2． 13．（2026秋•沈丘县月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CD向点D以1cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动，连接PQ．当△PCQ的面积为矩形ABCD面积的时，运动时间为　2　 s． 【解答】解：设运动时间为ts， 根据题意得：BP＝2tcm，CQ＝tcm，其中0＜t≤4，则CP＝（8﹣2t）cm， ∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴CD＝AB＝6cm，∠C＝90°， 由题意可得：， ∴， 解得：t1＝t2＝2， 即运动时间为2秒． 故答案为：2． 14．（2026秋•汾阳市月考）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为19，则该方程的正数解为　　 ． 【解答】解：∵阴影部分的面积为19， ∴， ∴x2+6x+9＝28， ∴正方形的面积为28，边长为， ∴． ∴该方程的正数解为：． 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 15．（2026•榆树市三模）2026年农历马年伊始，一只产自浙江义乌、因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红．某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为尽快减少库存，商家决定降价促销．为使日销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 【解答】解：设每件应降价x元，售价每降低1元，日销量可增加10件， （30﹣15﹣x）（70+10x）＝1200， 解得：x1＝3，x2＝5． 由题意可得：x＝5． 答：每件应降价5元． 16．（2025秋•张家川县期末）如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地ABCD（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏BC的长为x米，解答下列问题： （1）AB＝　（54﹣3x）　 米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形场地ABCD面积为240平方米，求栅栏BC的长． 【解答】解：（1）根据题意，AB＝52﹣3x+2＝（54﹣3x）米， 故答案为：（54﹣3x）； （2）依题意得：x（54﹣3x）＝240， 整理得：x2﹣18x+80＝0， 解得：x1＝8，x2＝10． 当x＝8时，54﹣3x＝54﹣3×8＝30＞25，不合题意，舍去； 当x＝10时，54﹣3x＝54﹣3×10＝24＜25，符合题意． 答：栅栏BC的长为10米． 17．（2026秋•道里区校级月考）囤秋菜是东北标志性民俗，十月份街上大车开始卖秋菜，全家一起挑菜、装车、运回家、晾晒秋菜，是独有的市井烟火气，属于冰城入秋的标志性场景．“遇数临风”数学活动小组利用十一假期调查市场白菜行情，帮菜农解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调研发现：市面上某品种白菜的成本价约为0.3元/千克．售价为0.8元/千克，每天可销售1250千克．若每千克白菜每涨价0.1元，每天少销售50千克． （1）某天一菜农正好销售1050千克的白菜，则白菜的售价为多少元/千克？ （2）若菜农想一天销售白菜获利1000元，同时为让顾客更省钱，则白菜的售价为多少元/千克？ 【解答】解：（1）设白菜的售价为x元/千克，根据题意可得： 1250﹣501050， ∴x＝1.2， 答：白菜的售价为1.2元/千克； （2）设白菜的售价为y元/千克，根据题意可得： （y﹣0.3）（1250﹣50）＝1000， ∴y1＝1.3，y2＝2.3（不合题意，舍去）． 答：菜农想一天销售白菜获利1000元，同时为让顾客更省钱，则白菜的售价为1.3元/千克． 18．（2026秋•双流区校级月考）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5～6.5米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为A，B，C，D，E等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为544m2时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【解答】解：（1）∵A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，且停车场内车道宽度均为x米， ∴停车位部分可合成长为（40﹣x）米，宽为（22﹣x）米的矩形． 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝544， 整理得：x2﹣62x+336＝0， 解得：x1＝6，x2＝56（不符合题意，舍去）， ∵5.5＜6＜6.5， ∴车道宽度符合标准； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则每个车位的月租金为（200+y）元，租出的车位数量为（50）个， 根据题意得：（200+y）（50）＝10125， 整理得：y2﹣50y+625＝0， 解得：y1＝y2＝25． 答：每个车位月租金上涨25元． 19．（2026秋•沈丘县月考）你知道怎样用几何方法求一元二次方程的正数解吗？以x2﹣2x﹣3＝0为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为x2﹣2x＝3，即x（x﹣2）＝3； 第二步：构造一个长为x，宽为（x﹣2）的长方形，长比宽长2，且面积为3，如图1所示； 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示； 第四步：计算大正方形的面积； 第五步：根据大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和列方程； 第六步：两边开方可求得该方程的解． （1）大正方形的面积为　（2x﹣2）2 （用含x的代数式表示），小正方形的面积为　4　 ； （2）请你根据第五、六步的信息求这个方程的正数解． 【解答】解：（1）根据正方形的面积公式可知大正方形边长为x+（x﹣2）＝2x﹣2，则面积为 （2x﹣2）2； 小正方形边长为：x﹣（x﹣2）＝2，则面积为4； 故答案为：（2x﹣2）2；4； （2）由题意列方程：（2x﹣2）2＝4×3+4， 整理得：（2x﹣2）2＝16， 两边开方得：2x﹣2＝±4， 解得：x1＝3，x2＝﹣1， 即这个方程的正数解为x＝3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $