期中专题01：解一元二次方程 专项练习 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

期中专题01：解一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•召陵区月考）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（　　） A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣2 2．（2026•管城区校级模拟）若关于x的一元二次方程3kx2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且k≠0 B． C． D．且k≠0 3．（2026春•北碚区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2+7m＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1x2＝18，则m的值为（　　） A．﹣9 B．2 C．2或﹣9 D．﹣2或9 4．（2026秋•鲁山县月考）用公式法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0时，先找出a，b，c的值，则a，b，c依次为（　　） A．1，﹣4，3 B．1，4，﹣3 C．﹣1，﹣4，3 D．1，4，3 5．（2026秋•黄岛区月考）如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx＝6的根是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … ax2+bx … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A．0，1 B．﹣1，2 C．﹣2，3 D．﹣3，4 6．（2026秋•荔湾区校级月考）如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0 C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0 7．（2026秋•沁县月考）在解关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0时，佳佳将m的值写成了﹣m，有两个相等的实数根，则原方程（　　） A．没有实数根 B．无法判断根的情况 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 8．（2026秋•铜陵月考）小明在解一元二次方程：x2﹣4x+▇＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个实数根，则丢掉的常数项的最大值是（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•长春期末）已知一元二次方程x2﹣6x+a＝0有一个根为2，则另一根为 _____ ． 10．（2026秋•锡山区校级月考）若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2026＝0的两个实数根，则代数式m2﹣mn+3n的值为_________ ． 11．（2026秋•沈丘县月考）用配方法将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化为（x﹣a）2＝b的形式为_____________ ． 12．（2026秋•海淀区校级月考）如果关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根互为相反数，那么m的值为_______ ． 13．（2026秋•长春月考）关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的有_______ （填序号）． ①若b2﹣4ac＜0，则该方程没有实数根； ②若b＝0，则该方程的两个根互为相反数； ③若c＝0，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是，则另一个根是． 14．（2026秋•沈丘县月考）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，5}＝5，按照这个规定，方程Max{1，4x}＝x2﹣5的解为x＝__________________ ． 三．解答题（共5小题） 15．（2026秋•道里区校级月考）用适当方法解下列一元二次方程： （1）x（x﹣2）+x﹣2＝0； （2）x2﹣2x﹣12＝0． 16．（2026秋•和田市月考）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝p2，p为实数．求证：方程有两个不相等的实数根． 17．（2026秋•宿城区校级月考）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣m2＝0的两根． （1）当x1＝0时，求x2及m的值； （2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 18．（2025秋•荔城区校级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为α、β，且（α+1）（β+1）＝29，求k的值． 19．（2026秋•雨花台区校级月考）若方程的解是代数式的值，即当x＝m时，代数式ax2+bx+c的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当x＝0时，代数式x2﹣x的值为0；当x＝2时，代数式x2﹣x的值为2，所以0或2是x2﹣x的“x优值”． （1）代数式x2的“x优值”是________ ； （2）判断代数式x2﹣2x+n2+4是否存在“x优值”，并说明理由； （3）代数式x2﹣2x﹣n2+2n存在两个“x优值”且差为5，求n的值． 期中专题01：解一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•召陵区月考）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（　　） A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣2 【解答】解：∵3x2﹣2＝4x， ∴3x2﹣4x﹣2＝0， ∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2， 故选：C． 2．（2026•管城区校级模拟）若关于x的一元二次方程3kx2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且k≠0 B． C． D．且k≠0 【解答】解：由题意可知：Δ＝b2﹣4ac≥0， ∴（﹣2）2﹣4×3k×1≥0， 解得：， ∵关于x的一元二次方程3kx2﹣2x+1＝0中k≠0， ∴k的取值范围是且k≠0， 故选：A． 3．（2026春•北碚区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2+7m＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1x2＝18，则m的值为（　　） A．﹣9 B．2 C．2或﹣9 D．﹣2或9 【解答】解：已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2+7m＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1x2＝m2+7m， ∵x1x2＝18， ∴m2+7m＝18， 整理得：m2+7m﹣18＝0， 因式分解得：（m﹣2）（m+9）＝0， 解得：m1＝2，m2＝﹣9， 当m＝2时， 原方程为x2﹣6x+18＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×18＝﹣36＜0， ∴该方程没有实数根，不符合题意， 当m＝﹣9时， 原方程为x2+27x+18＝0， ∵Δ＝272﹣4×1×18＝657＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，符合题意， 则m的值为﹣9， 故选：A． 4．（2026秋•鲁山县月考）用公式法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0时，先找出a，b，c的值，则a，b，c依次为（　　） A．1，﹣4，3 B．1，4，﹣3 C．﹣1，﹣4，3 D．1，4，3 【解答】解：∵x2的系数为1，x的系数为﹣4，常数项为3， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝3． 故选：A． 5．（2026秋•黄岛区月考）如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx＝6的根是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … ax2+bx … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A．0，1 B．﹣1，2 C．﹣2，3 D．﹣3，4 【解答】解：当x＝﹣2和3时，ax2+bx＝6， ∴方程的根是：x1＝﹣2，x2＝3， 故选：C． 6．（2026秋•荔湾区校级月考）如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0 C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0 【解答】解：∵AB⊥BE，BD⊥BC，∴∠ABE＝∠DBC＝90°， 在Rt△ABE中，a2+b2＝c2， ∵DE＝BE＝a， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵∠EBD+∠EBC＝90°，∠EDB+∠C＝90°， ∴∠EBC＝∠C， ∴CE＝BE＝a， ∴AC＝AE+CE＝c+a， ∵AD+AC＝c﹣a+c+a＝2c，AD×AC＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2＝b2， ∴以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x2﹣2cx+b2＝0． 故选：A． 7．（2026秋•沁县月考）在解关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0时，佳佳将m的值写成了﹣m，有两个相等的实数根，则原方程（　　） A．没有实数根 B．无法判断根的情况 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【解答】解：∵写错后的方程x2﹣8x﹣m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4×1×（﹣m）＝0， 解得m＝﹣16； 原方程根的判别式为Δ＝（﹣8）2﹣4×1×m＝64﹣4m， 将m＝﹣16代入，得Δ＝64﹣4×（﹣16）＝128＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 8．（2026秋•铜陵月考）小明在解一元二次方程：x2﹣4x+▇＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个实数根，则丢掉的常数项的最大值是（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 【解答】解：设丢掉的常数项为c，则原方程为x2﹣4x+c＝0； 由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c≥0， 解得c≤4， 结合选项可知，符合条件的最大值为4． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•长春期末）已知一元二次方程x2﹣6x+a＝0有一个根为2，则另一根为 　4　 ． 【解答】解：设方程x2﹣6x+a＝0的另一个根为x0， 根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程x2﹣6x+a＝0，两根之和为x0+26， ∴解得x0＝6﹣2＝4， 故答案为：4． 10．（2026秋•锡山区校级月考）若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2026＝0的两个实数根，则代数式m2﹣mn+3n的值为　4061　 ． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2026＝0的两个实数根， ∴m2﹣3m＝2026，mn＝﹣2026，m+n＝3， ∴m2﹣mn+3n＝m2﹣3m+3（m+n）﹣mn＝2026+9+2026＝4061． 故答案为：4061． 11．（2026秋•沈丘县月考）用配方法将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化为（x﹣a）2＝b的形式为　（x﹣3）2＝4　 ． 【解答】解：x2﹣6x+5＝0， x2﹣6x＝﹣5， x2﹣6x+9＝﹣5+9， （x﹣3）2＝4， 所以用配方法将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化为（x﹣a）2＝b的形式为：（x﹣3）2＝4． 故答案为：（x﹣3）2＝4． 12．（2026秋•海淀区校级月考）如果关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根互为相反数，那么m的值为　﹣1　 ． 【解答】解：设该一元二次方程的两个根分别是x1、x2，则根据题意知 x1+x2＝﹣（m+1）＝0，即m+1＝0， 解得，m＝﹣1； 故答案为：﹣1． 13．（2026秋•长春月考）关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的有　①③　 （填序号）． ①若b2﹣4ac＜0，则该方程没有实数根； ②若b＝0，则该方程的两个根互为相反数； ③若c＝0，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是，则另一个根是． 【解答】解：根据一元二次方程根的判别式和方程根的性质逐项分析判断如下： ①对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），由根的判别式可知，若b2﹣4ac＜0，方程没有实数根，故①正确； ②若b＝0，举反例：a＝1，b＝0，c＝1，方程为x2+1＝0，没有实数根，不存在互为相反数的两个根，故②错误； ③若c＝0，原方程变形为ax2+bx＝0，此时判别式Δ＝b2≥0，方程一定有两个实数根，故③正确； ④该结论只有当a，b，c为有理数时才成立，系数为无理数不成立，另一个根不一定是，举反例：方程，一个根为，另一个根为0，故④错误， 因此正确的序号为①③． 故答案为：①③． 14．（2026秋•沈丘县月考）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，5}＝5，按照这个规定，方程Max{1，4x}＝x2﹣5的解为x＝　5或　 ． 【解答】解：当4x＞1，即时， 原方程即为x2﹣5＝4x， 整理得：x2﹣4x﹣5＝0， 因式分解得：（x﹣5）（x+1）＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣1（舍去）， 此时x＝5； 当4x＜1，即时， 原方程即为：x2﹣5＝1， 整理得：x2＝6， 解得：，（舍去）， 此时； 综上，原方程的解为x＝5或， 故答案为：5或． 三．解答题（共5小题） 15．（2026秋•道里区校级月考）用适当方法解下列一元二次方程： （1）x（x﹣2）+x﹣2＝0； （2）x2﹣2x﹣12＝0． 【解答】解：（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1； （2）x2﹣2x﹣12＝0， x2﹣2x＝12， x2﹣2x+1＝12+1， （x﹣1）2＝13， ， x﹣1或x﹣1， ∴，． 16．（2026秋•和田市月考）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝p2，p为实数．求证：方程有两个不相等的实数根． 【解答】证明：∵（x﹣2）（x﹣3）＝p2， ∴x2﹣5x+6﹣p2＝0， ∴a＝1，b＝﹣5，c＝6﹣p2， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2） ＝25﹣24+4p2 ＝1+4p2， ∵p为实数， ∴p2≥0， ∴4p2≥0， ∴Δ＝1+4p2≥1＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 17．（2026秋•宿城区校级月考）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣m2＝0的两根． （1）当x1＝0时，求x2及m的值； （2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 【解答】（1）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣m2＝0的两根， ∴， ∵x1＝0， ∴x2＝4，3﹣m2＝0， ∴； （2）证明：∵， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝3﹣m2﹣4+1＝﹣m2； ∵m2≥0， ∴﹣m2≤0， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 18．（2025秋•荔城区校级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为α、β，且（α+1）（β+1）＝29，求k的值． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+2）≥0， ∴； （2）∵（α+1）（β+1）＝αβ+（α+β）+1＝29，αβ＝k2+2，α+β＝2（k+1）， ∴k2+2+2（k+1）+1＝29， 整理得k2+2k﹣24＝0， 解得k＝﹣6或k＝4， ∵， ∴k＝4． 19．（2026秋•雨花台区校级月考）若方程的解是代数式的值，即当x＝m时，代数式ax2+bx+c的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当x＝0时，代数式x2﹣x的值为0；当x＝2时，代数式x2﹣x的值为2，所以0或2是x2﹣x的“x优值”． （1）代数式x2的“x优值”是　0或1　 ； （2）判断代数式x2﹣2x+n2+4是否存在“x优值”，并说明理由； （3）代数式x2﹣2x﹣n2+2n存在两个“x优值”且差为5，求n的值． 【解答】解：（1）由题意得x2＝x， 整理得：x2﹣x＝0， 因式分解得：x（x﹣1）＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 即代数式x2的“x优值”是0或1， 故答案为：0或1； （2）代数式x2﹣2x+n2+4不存在“x优值”，理由如下： 由题意得x2﹣2x+n2+4＝x， 整理得：x2﹣3x+n2+4＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4（n2+4） ＝9﹣4n2﹣16 ＝﹣4n2﹣7＜0， ∴该方程没有实数根， ∴代数式x2﹣2x+n2+4不存在“x优值”； （3）由题意得x2﹣2x﹣n2+2n＝x， 整理得：x2﹣3x﹣n2+2n＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4（﹣n2+2n） ＝9+4n2﹣8n ＝4（n2﹣2n）+9 ＝4（n2﹣2n+1﹣1）+9 ＝4（n﹣1）2+5＞0， ∴不论n取何值，该方程一定有两个不相等的实数根， 设它的两根分别为s，t， 则s+t＝3，st＝﹣n2+2n， ∵代数式x2﹣2x﹣n2+2n存在两个“x优值”且差为5， ∴|s﹣t|＝5， ∴（s﹣t）2＝25， ∴（s+t）2﹣4st＝25， 则32﹣4（﹣n2+2n）＝25， 整理得：4n2﹣8n﹣16＝0， 即n2﹣2n＝4， 配方得：n2﹣2n+1＝4+1， 即（n﹣1）2＝5， 则n﹣1＝±， 解得：n1＝1，n2＝1， 即n的值为1或1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $