期中专题07：实际问题与反比例函数 专项练习 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

期中专题07：实际问题与反比例函数-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2026•青秀区校级模拟）已知某物体的质量mkg与其体积Vm3成反比例关系，即，当体积是2m3时，质量为10kg．则m与V的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•鼓楼区模拟）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（　　） A．150 B．200 C．250 D．300 3．（2026•东西湖区模拟）某智能空调的制冷功率y（单位：W）与用户设定的温度x（单位：℃）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（　　） A．3 B．1 C．0 D．﹣2 4．（2026•自贡）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强P（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）存在函数关系．如表是他们实验的几组数据： S（单位：m2） 1 2 4 8 P（单位：Pa） 80 40 20 10 则压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数关系式是（　　） A．P B．P＝80S C．P D．P 5．（2026•仪陇县模拟）为携带方便，人们通常利用真空压缩袋压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有反比例函数关系如图所示，已知图象经过点（16，25），当压缩到密度等于20g/cm3时，其体积是（　　） A．0cm3 B．16cm3 C．20cm3 D．24cm3 6．（2026•青羊区校级模拟）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．则下列说法正确的是（　　） A．当I＝0.2时，R＝1000 B．当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25 C．当R＞500时，I＞0.44 D．I与R的函数表达式是 7．（2026•宁夏模拟）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当I＝0.2A时，R＝1000Ω B．I与R的函数关系式是 C．当I＜0.25A时，R＜880Ω D．当R＜440Ω时，I＞0.5A 8．（2026•项城市模拟）体重超标已影响部分学生的身心健康，为了方便学生测量体重，某科技创新小组设计了一台由电压表改装而成的简易体重计，其电路如图1所示．已知电源电压恒定，定值电阻R0＝15Ω，R为压敏电阻，其阻值与所受压力关系如图2所示，踏板重力不计．闭合开关，体重计空载时，电压表的示数为3V，下列说法错误的是（　　） 信息知识 1．串联电路中电流处处相等，电源电压等于各电阻两端电压之和； 2．，R总＝R+R0． A．压敏电阻阻值随压力的增大而减小 B．体重计空载时压敏电阻的阻值为45Ω C．电源电压U总＝12V D．重为600N的同学站在水平放置的体重计上时，电压表的示数为3V 二．填空题（共6小题） 9．（2026•临安区一模）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为100KWh（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率P（单位：KW）与充满电所需的时间t（单位：h）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的1.5倍，则充满电所需的时间将缩短___________________ h（用含t的代数式表示）． 10．（2026•十堰二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是 ________ m． 11．（2026•武汉一模）某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为5N时，玩具汽车的速度为_____ m/s． 12．（2026•温江区校级模拟）某电路的电源电压U（单位：V），电阻R（单位：Ω），电流I（单位：A）三者之间的关系为．当电源电压U恒定不变时，根据如表，“Δ”处应填_______ ． R（单位：Ω） 110 100 Δ J（单位：A） 2 2.2 2.5 13．（2026•海沧区校级一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到100℃时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：℃）随时间x（单位：m）变化的大致图象（由线段AB与双曲线一部分BC组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃及以上的时间为_________ 分钟． 14．（2026•山阳县二模）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率f（Hz）是琴弦张力T（N）的反比例函数，其函数图象如图所示，若要使频率为440Hz（即达到标准音高A4），则张力为________ N． 三．解答题（共5小题） 15．（2025秋•新乡期末）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上． （1）求F（N）与s（m）之间的函数关系式； （2）当力达到10N时，求物体在力的方向上移动的距离． 16．（2026秋•雨花台区校级月考）如图，一次函数y1＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于第一象限的点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）． （1）求k与m的值； （2）当y2＜3时，x的取值范围是________ ； （3）当y1＞y2时，x的取值范围是________ ； （4）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值． 17．（2026秋•单元）如图，小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高ycm是物距（小孔到蜡烛的距离）xcm的反比例函数，已知当物距为6cm时，像高为2cm． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离． 18．（2026秋•东台市月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于4mg，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ （3）当空气中每立方米含药量不低于6mg且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 19．（2025秋•新民市期末）在矩形ABCD中，BC＝a，CD＝b，当a+b＝ab时，我们把这个矩形称为“等和积矩形”，根据此定义，解答下列问题： （1）如图1，若矩形ABCD是“等和积矩形”，且2a＝3b，则a＝__________________ ； （2）分别以矩形ABCD的边BC，AB所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，点D在第一象限，点B与点O重合，若“等和积矩形ABCD”的面积为8，则点D的坐标为____________________ ； （3）从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为x，y（x＞1）． ①直接写出y与x之间的函数表达式； ②请直接在图2中画出①中函数的图象，研究①中的函数表达式，请说明该函数的图象可以通过反比例函数的图象经过怎样的平移得到？并观察图象，写出该函数的一条性质； ③若将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，则这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由． 期中专题07：实际问题与反比例函数-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026•青秀区校级模拟）已知某物体的质量mkg与其体积Vm3成反比例关系，即，当体积是2m3时，质量为10kg．则m与V的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：某物体的质量mkg与其体积Vm3成反比例关系，即，当体积是2m3时，质量为10kg，代入得： ， 解得：k＝20， ∴m与V的函数关系式为， 故选：D． 2．（2026•鼓楼区模拟）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（　　） A．150 B．200 C．250 D．300 【解答】解：设y（k≠0）， ∵（0.2，500）在图象上， ∴k＝500×0.2＝100， ∴函数解析式为：y， 当x＝0.25时，y400， 当x＝0.5时，y200， ∴度数减少了400﹣200＝200（度）， 故选：B． 3．（2026•东西湖区模拟）某智能空调的制冷功率y（单位：W）与用户设定的温度x（单位：℃）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（　　） A．3 B．1 C．0 D．﹣2 【解答】解：根据y随x的变化趋势确定比例系数的取值范围如下： x是设定温度，故x＞0，又x增大时y随之减小，对于反比例函数，当m＞0时，y随x增大而减小． m＝k﹣2， ∴k﹣2＞0， 解得k＞2， 选项中只有3＞2，符合要求． 故选：A． 4．（2026•自贡）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强P（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）存在函数关系．如表是他们实验的几组数据： S（单位：m2） 1 2 4 8 P（单位：Pa） 80 40 20 10 则压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数关系式是（　　） A．P B．P＝80S C．P D．P 【解答】解：当压力一定时，压强P（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）存在反比例函数关系， 设压强P（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）的函数解析式为P（≠0）k， 把S＝1，P＝80代入解析式得： 80 解得：k＝80， ∴压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数关系式是P． 故选：C． 5．（2026•仪陇县模拟）为携带方便，人们通常利用真空压缩袋压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有反比例函数关系如图所示，已知图象经过点（16，25），当压缩到密度等于20g/cm3时，其体积是（　　） A．0cm3 B．16cm3 C．20cm3 D．24cm3 【解答】解：由题意得，v， 当ρ＝16时，v＝25，则25，解得m＝400， ∴v， ∴当ρ＝20时，v20， 故选：C． 6．（2026•青羊区校级模拟）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．则下列说法正确的是（　　） A．当I＝0.2时，R＝1000 B．当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25 C．当R＞500时，I＞0.44 D．I与R的函数表达式是 【解答】解：由已知得IR＝0.25×880＝220， A．当I＝0.2时，R＝1100； B．当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25； C．当R＞500时，0＜I＜0.44； D．I与R的函数表达式是I（R＞0）； 故选：B． 7．（2026•宁夏模拟）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当I＝0.2A时，R＝1000Ω B．I与R的函数关系式是 C．当I＜0.25A时，R＜880Ω D．当R＜440Ω时，I＞0.5A 【解答】解：设反比例函数的解析式为I， 把点P坐标代入得：0.25，解得：k＝220， 即函数解析式为：I，故B不正确； 当I＝0.2时，即，解得：R＝1100；故A不正确； 当I＝0.5A时，R440（Ω）， 当R＜440Ω时，I＞0.5A，故D正确． 当I＝0.25A时，R880（Ω）， ∴当I＜0.25A时，R＞880Ω，故C不正确； 故选：D． 8．（2026•项城市模拟）体重超标已影响部分学生的身心健康，为了方便学生测量体重，某科技创新小组设计了一台由电压表改装而成的简易体重计，其电路如图1所示．已知电源电压恒定，定值电阻R0＝15Ω，R为压敏电阻，其阻值与所受压力关系如图2所示，踏板重力不计．闭合开关，体重计空载时，电压表的示数为3V，下列说法错误的是（　　） 信息知识 1．串联电路中电流处处相等，电源电压等于各电阻两端电压之和； 2．，R总＝R+R0． A．压敏电阻阻值随压力的增大而减小 B．体重计空载时压敏电阻的阻值为45Ω C．电源电压U总＝12V D．重为600N的同学站在水平放置的体重计上时，电压表的示数为3V 【解答】解：结合函数图象可知压敏电阻阻值随压力的增大而减小， 故A正确，不符合题意； 闭合开关，定值电阻和压敏电阻串联，电压表测量定值电阻两端的电压， 当体重计空载时，电压表的示数为3V， 根据欧姆定律可知此时电路中的电流为I0.2A， 此时压敏电阻两端的阻值为45Ω， 根据电阻串联的特点可知总电阻R总＝R空+R0＝45Ω+15Ω＝60Ω， 根据欧姆定律可知电源电压为U＝IR总＝0.2A×60Ω＝12V； 故B，C正确，不符合题意； 当F＝600N时，由图2可知压敏电阻R＝15Ω， 电路电流：I'0.4A， 电压表的示数（R0两端电压）：U0'＝I'R0＝0.4A×15Ω＝6V， 示数为6V，不是3V，因此D错误， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•临安区一模）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为100KWh（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率P（单位：KW）与充满电所需的时间t（单位：h）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的1.5倍，则充满电所需的时间将缩短　t h（用含t的代数式表示）． 【解答】解：由题意，电池总电量：W＝100kW•h， ∵电量＝功率×时间， ∴． ∵功率提升至1.5P， ∴新时间t'． ∴时间缩短量． ∴充满电所需的时间将缩短th． 故答案为：t． 10．（2026•十堰二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是 　1.2　 m． 【解答】解：设函数的表达式F， 将点P的坐标代入上式得：3，解得k＝12， 则反比例函数表达式为F， 当F＝10时，即F10， 解得s＝1.2（m）， 故答案为：1.2． 11．（2026•武汉一模）某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为5N时，玩具汽车的速度为　4　 m/s． 【解答】解：设，则， 解得：k＝20， ∴， ∴当F＝5时，， 即当该玩具汽车受到的阻力为5N时，玩具汽车的速度为4m/s． 故答案为：4． 12．（2026•温江区校级模拟）某电路的电源电压U（单位：V），电阻R（单位：Ω），电流I（单位：A）三者之间的关系为．当电源电压U恒定不变时，根据如表，“Δ”处应填　88　 ． R（单位：Ω） 110 100 Δ J（单位：A） 2 2.2 2.5 【解答】解：∵R＝110时，I＝2， ∴U＝2×110＝220， ∴IR＝220， ∴当I＝2.5时，， ∴根据下表，“Δ”处应填88． 故答案为：88． 13．（2026•海沧区校级一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到100℃时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：℃）随时间x（单位：m）变化的大致图象（由线段AB与双曲线一部分BC组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃及以上的时间为　31.5　 分钟． 【解答】解：设直线AB解析式为：y＝kx+b，则， 解得：， ∴温度上升段（AB）的解析式为：， 当y＝40时，即， 解得x＝3.5； 设反比例函数的表达式为：， 将点B（14，100）的坐标代入上式得：， 解得：k＝1400， 故温度下降段（BC段）函数表达式：， 当y＝40时，即， 解得x＝35； 则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间为35﹣3.5＝31.5（分钟）， 故答案为：31.5． 14．（2026•山阳县二模）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率f（Hz）是琴弦张力T（N）的反比例函数，其函数图象如图所示，若要使频率为440Hz（即达到标准音高A4），则张力为　100　 N． 【解答】解：设f与T的函数解析式为， 由图象可知，函数图象经过点（200，220）， 将T＝200，f＝220代入，得， 解得k＝44000， ∴函数解析式为， 当f＝440时，， 解得T＝100， 检验，T＝100是原方程的解且符合题意， 故答案为：100． 三．解答题（共5小题） 15．（2025秋•新乡期末）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上． （1）求F（N）与s（m）之间的函数关系式； （2）当力达到10N时，求物体在力的方向上移动的距离． 【解答】解：（1）根据题意可设， 将点P（4，3）代入上式得：． 解得k＝12， ∴F（N）与s（m）之间的函数关系式为； （2）当力F＝10N时，， 解得s＝1.2， 答：当力达到10N时，物体在力的方向上移动的离为1.2m． 16．（2026秋•雨花台区校级月考）如图，一次函数y1＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于第一象限的点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）． （1）求k与m的值； （2）当y2＜3时，x的取值范围是x＞2　 ； （3）当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2　 ； （4）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值． 【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2得：0＝﹣4k+2， 解得：k， 把A（2，n）代入y＝kx+2得：n＝3． ∴A（2，3）． 把A（2，3）代入y得：m＝6． ∴k的值为，m的值为6． （2）由（1）知，y2， 当y2＜3时，即3， 解得x＞2， 故答案为：x＞2； （3）由图象可知：当 x＞2时，yx+2的图象在y的上方， ∴当y1＞y2时，x的取值范围是：x＞2． 故答案为：x＞2． （4）当x＝0时，yx+2＝2． ∴B（0，2）， ∵P（a，0）为x轴上的一动点， ∴PC＝|a+4|． ∴S△CBPPC•OB|a+4|×2＝|a+4|， S△CAPPC•yA|a+4|×3|a+4|， ∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP， ∴|a+4||a+4|， ∴a＝1或a＝﹣9． 17．（2026秋•单元）如图，小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高ycm是物距（小孔到蜡烛的距离）xcm的反比例函数，已知当物距为6cm时，像高为2cm． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离． 【解答】解：（1）根据题意，设火焰的像高y（cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（cm）的反比例函数解析式为y， 当x＝6时，y＝2， ∴2， 解得，k＝12， ∴反比例函数解析式为y； （2）火焰的像高为3cm，即y＝3时，， 解得，x＝4， ∴小孔到蜡烛的距离为4cm， 18．（2026秋•东台市月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于4mg，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ （3）当空气中每立方米含药量不低于6mg且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【解答】解：（1）设正比例函数表达式为y＝kx（k≠0），反比例函数表达式为（m≠0）， 将点（24，8）代入中得：， 解得：m＝192． ∴反比例函数的表达式为． 把y＝12代入中得：， 解得：x＝16， ∴A（16，12）． 将点A（16，12）代入y＝kx得：12＝16k， 解得：． ∴正比例函数的表达式为； （2）将y＝4代入中得：， 解得：x＝48， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）有效， 理由：把y＝6代入中得：， 解得：x＝8， 把y＝6代入得：， 解得：x＝32， ∴32﹣8＝24＞20， ∴此次消毒有效． 19．（2025秋•新民市期末）在矩形ABCD中，BC＝a，CD＝b，当a+b＝ab时，我们把这个矩形称为“等和积矩形”，根据此定义，解答下列问题： （1）如图1，若矩形ABCD是“等和积矩形”，且2a＝3b，则a＝　　 ； （2）分别以矩形ABCD的边BC，AB所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，点D在第一象限，点B与点O重合，若“等和积矩形ABCD”的面积为8，则点D的坐标为　或　 ； （3）从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为x，y（x＞1）． ①直接写出y与x之间的函数表达式； ②请直接在图2中画出①中函数的图象，研究①中的函数表达式，请说明该函数的图象可以通过反比例函数的图象经过怎样的平移得到？并观察图象，写出该函数的一条性质； ③若将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，则这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由． 【解答】解：（1）∵2a＝3b， ∴， ∵a+b＝ab， ∴， 整理得，3b2﹣5b＝0， 解得：，b2＝0（舍去）， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得a+b＝ab＝8， ∴b＝8﹣a， ∴a（8﹣a）＝8， ∴a2﹣8a+8＝0， 解得：，， ∴BC或BC， ∴CD或CD＝4， ∵点D在第一象限， ∴点D的坐标或； 故答案为：或； （3）①∵x+y＝xy， ∴； ②列表如下： x 2 3 4 3 2 如图所示， 该函数的图象可以通过反比例函数y（x＞0）的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到； 性质：当x＞1时，y随x的增大而减小； ③新矩形不一定是“等和积矩形”； 理由：x+y＝xy ∴x+1+y+1＝x+y+2， （x+1）（y+1）＝xy+x+y+1＝2（x+y）+1， 当x+y＝1时，x+y+2＝2（x+y）+1， 当x+y≠1时，x+y+2≠2（x+y）+1， ∴将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形不一定是“等和积矩形”． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $