期中专题06：反比例函数的图像和性质-2026-2027学年人教版数学九年级上册

期中专题06：反比例函数的图像和性质-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2026春•金山区期末）已知反比例函数的图象经过点（1，﹣2），那么这个反比例函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 2．（2026秋•单元）函数y＝kx与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•武隆区二模）已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D．k＞0 4．（2025秋•尉氏县月考）已知y与x成反比例，且当x＝3时，y＝﹣2，那么当y＝3时，x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 5．（2026•江阳区校级二模）已知一次函数y＝kx+2与函数的图象有两个交点，则关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0根的情况是（　　） A．无实数根 B．有2个相等的实数根 C．有2个不相等的实数根 D．无法确定 6．（2026•漳州模拟）如图，点A是函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．下列结论中正确的是（　　） A．AB与AC一定相等 B．△AOB与△AOC的面积一定相等 C．OB与OC一定相等 D．△BOC与△ABC的面积一定相等 7．（2026•天长市三模）如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），连接OA，把线段OA向上平移m个单位得到线段BC，BC与反比例函数的图象交于点D．若点D是BC的中点，则m的值等于多少？（　　） A． B． C．1 D． 8．（2026•让胡路区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，顶点B的坐标为（4，3）．已知该反比例函数图象上有一点P，连接PA，PC，若△PAC的面积是菱形AOBC面积的，则点P的横坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 二．填空题（共6小题） 9．（2026春•杨浦区期末）如果一个反比例函数的图象在它所在的每一个象限内，y的值随x的值增大而减小，那么这个反比例函数的表达式可以是____________________ （只需写一个）． 10．（2026春•虹口区期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且y1＜y2＜0，那么x1_____ x2（填“＞”或“＜”或“＝”）． 11．（2026春•闵行区期末）已知反比例函数的解析式为（m是常数），如果在每一象限内函数值y随着x的增大而减小，那么m的取值范围是________ ． 12．（2026春•郸城县期中）如图，Rt△OAB的直角顶点B在x轴上，反比例函数的图象经过OA的中点D，且与边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣4，6），则点C的坐标是____________________ ． 13．（2025秋•澄迈县期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B．若C为x轴上任意一点，则△ABC的面积为_____ ． 14．（2026•青岛）我们约定：在平面直角坐标系中，点P（a，b）的“伴点”是点Q（﹣b，a）（其中a，b不同时为0）．例如，点（3，2）的“伴点”是点（﹣2，3）．下列结论：①点（﹣5，1）的“伴点”是点（﹣1，﹣5）；②存在点P（a，b），使点P与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点P（a，b），使点P与它的“伴点”均在一次函数y＝3x+2的图象上；④有且只有一个点P（a，b），使点P与它的“伴点”均在二次函数y＝2x2﹣3的图象上．正确的是_______ （填写序号）． 三．解答题（共5小题） 15．（2026秋•西城区校级月考）如图，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，求k的值． 16．（2025秋•城关区校级期末）如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（﹣4，﹣1）和点B（n，4） （1）求反比例函数表达式y1和一次函数表达式y2； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出y1＞y2时，x的取值范围． 17．（2026•七里河区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数的图象交于点B（﹣2，a），射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求△ABC的面积． 18．（2026•甘肃）如图，一次函数y＝3x+b的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（2，3），与x轴交于点C．在反比例函数图象上有一点B（﹣3，m），过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD，BC． （1）求一次函数y＝3x+b与反比例函数y（k≠0）的表达式； （2）求四边形BDAC的面积． 19．（2026•内江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为（6，﹣1），DE＝3． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于8，求P点的坐标； （3）当一次函数y＝ax+b（a≠0）的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 期中专题06：反比例函数的图像和性质-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026春•金山区期末）已知反比例函数的图象经过点（1，﹣2），那么这个反比例函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：将x＝1，y＝﹣2代入解析式得， 解得k＝﹣2， ∴反比例函数的表达式为． 故选：D． 2．（2026秋•单元）函数y＝kx与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当k＜0时，正比例函数的图象经过第二、四象限，反比例函数的图象经过第二、四象限，D正确，符合题意． 当k＞0时，正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象经过第一、三象限，无正确选项，不符合题意； 故选：D． 3．（2026•武隆区二模）已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D．k＞0 【解答】解：由题意得，2k﹣3＞0， 解得． 故选：A． 4．（2025秋•尉氏县月考）已知y与x成反比例，且当x＝3时，y＝﹣2，那么当y＝3时，x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【解答】解：∵y与x成反比例， ∴设，（k≠0）， ∵当x＝3时，y＝﹣2， ∴， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y， ∴当y＝3时，3， ∴x＝﹣2， 故选：B． 5．（2026•江阳区校级二模）已知一次函数y＝kx+2与函数的图象有两个交点，则关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0根的情况是（　　） A．无实数根 B．有2个相等的实数根 C．有2个不相等的实数根 D．无法确定 【解答】解：由条件可知方程有两个不相等的实数根， 方程整理得kx2+2x+1＝0， ∵一次函数y＝kx+2中k≠0， ∴关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0根的情况是有2个不相等的实数根， 故选：C． 6．（2026•漳州模拟）如图，点A是函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．下列结论中正确的是（　　） A．AB与AC一定相等 B．△AOB与△AOC的面积一定相等 C．OB与OC一定相等 D．△BOC与△ABC的面积一定相等 【解答】解：如图所示，延长AB交y轴于点E，延长AC交x轴于点F， 由条件可知， ∵S△AOB＝S△AOE﹣S△BOE＝1，S△AOC＝S△AOF﹣S△COF＝1， ∴S△AOB＝S△AOC； 设点，则点， A、，a不确定， ∴AB，AC之间的关系无法确定，不符合题意； B、S△AOB＝S△AOC，符合题意； C、∵， ∴， ∵a不确定， ∴OB，OC之间的关系无法确定，不符合题意； D、∵， ， ∴不符合题意． 故选：B． 7．（2026•天长市三模）如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），连接OA，把线段OA向上平移m个单位得到线段BC，BC与反比例函数的图象交于点D．若点D是BC的中点，则m的值等于多少？（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，1）， ∴1， 解得k＝2， ∴反比例函数的解析式为，OA的中点坐标为． ∵BC由OA向上平移得到，BC与反比例函数的图象交于点D，点D是BC的中点， ∴点D的横坐标为1，则点D的坐标为（1，2）． ∴线段OA向上平移了个单位，即m的值为． 故选：A． 8．（2026•让胡路区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，顶点B的坐标为（4，3）．已知该反比例函数图象上有一点P，连接PA，PC，若△PAC的面积是菱形AOBC面积的，则点P的横坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【解答】解：当P在C的下方时，过点B作x轴的垂线，垂足为D，则BD∥OA，如图所示． ∵点B的坐标为（4，3）， ∴OD＝4，DB＝3， ∴OB5， ∵四边形AOBC为菱形， ∴BC＝OA＝5，BC∥OA， ∴C，B，D三点共线， ∴点C坐标为（4，8）． ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴k＝4×8＝32； ∴y， ∵△PAC的面积是菱形AOBC面积的， ∴B到AC的距离等于P到AC的距离， ∴BP∥AC， ∴P在直线OB上， ∵点B的坐标为（4，3）， ∴直线OB为yx， 解方程x得x或x（舍去）， ∴P的横坐标为， 当P在C的上方时， 将yx向上平移10个单位，得到yx+10， 解方程x+10得x或x＝﹣16（舍去）， ∴P的横坐标为， 综上，P的横坐标为或． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 9．（2026春•杨浦区期末）如果一个反比例函数的图象在它所在的每一个象限内，y的值随x的值增大而减小，那么这个反比例函数的表达式可以是　（答案不唯一）　 （只需写一个）． 【解答】解：设反比例函数的解析式为． ∵反比例函数的图象在它所在的每一个象限内，y的值随x的值增大而减小， ∴k＞0． ∴k＝1， ∴这个反比例函数的表达式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 10．（2026春•虹口区期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且y1＜y2＜0，那么x1　＞　 x2（填“＞”或“＜”或“＝”）． 【解答】解：由条件可知反比例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵y1＜y2＜0， ∴点A（x1，y1），B（x2，y2）都在第三象限， ∴x1＞x2． 故答案为：＞． 11．（2026春•闵行区期末）已知反比例函数的解析式为（m是常数），如果在每一象限内函数值y随着x的增大而减小，那么m的取值范围是m＞1　 ． 【解答】解：由题意得，m﹣1＞0 解得m＞1． 故答案为：m＞1． 12．（2026春•郸城县期中）如图，Rt△OAB的直角顶点B在x轴上，反比例函数的图象经过OA的中点D，且与边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣4，6），则点C的坐标是　　 ． 【解答】解：∵A（﹣4，6），D是OA的中点， ∴D，即（﹣2，3）， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数解析式为：， 根据题意得：AB⊥x轴， ∴C点的横坐标为﹣4， 把x＝﹣4代入得：， ∴点C的坐标是． 故答案为：． 13．（2025秋•澄迈县期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B．若C为x轴上任意一点，则△ABC的面积为　2　 ． 【解答】解：连接OA， 由条件可知AB∥x轴，即AB∥OC， ∴△ABC的面积等于△AOB的面积， ∴△AOB的面积； ∴△ABC的面积为2； 故答案为：2． 14．（2026•青岛）我们约定：在平面直角坐标系中，点P（a，b）的“伴点”是点Q（﹣b，a）（其中a，b不同时为0）．例如，点（3，2）的“伴点”是点（﹣2，3）．下列结论：①点（﹣5，1）的“伴点”是点（﹣1，﹣5）；②存在点P（a，b），使点P与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点P（a，b），使点P与它的“伴点”均在一次函数y＝3x+2的图象上；④有且只有一个点P（a，b），使点P与它的“伴点”均在二次函数y＝2x2﹣3的图象上．正确的是　①③　 （填写序号）． 【解答】解：根据伴点的定义逐项分析判断如下： ①对于点（﹣5，1），a＝﹣5，b＝1，其伴点为（﹣1，﹣5），因此①正确，符合题意； ②由P（a，b）在图象上，可得ab＝6， 由Q（﹣b，a）在图象上，可得（﹣b）•a＝6，即﹣ab＝6， 联立得6＝﹣6，矛盾，不存在满足条件的点，因此②错误，不符合题意； ③由条件可知， 解得， ∴存在这样的点P，使点P与它的“伴点”均在一次函数y＝3x+2的图象上，因此③正确，符合题意； ④若P（a，b）和Q（﹣b，a）都在y＝2x2﹣3的图象上， 可得方程组 ， 两式相减得b﹣a＝2（a2﹣b2）＝2（a+b）（a﹣b）， 整理得（a﹣b）（2a+2b+1）＝0， 分两种情况讨论： 当b＝a时，代入b＝2a2﹣3得2a2﹣a﹣3＝0， 解得a或a＝﹣1，对应点为（，）、（﹣1，﹣1）； 当2a+2b+1＝0时，即b＝﹣a，代入方程b＝2a2﹣3得： ， 该方程判别式大于0，有两个不同实根，对应两个不同的点P，综上共有4个不同的点P满足条件，不符合“有且只有一个点”的描述，因此④错误，不符合题意． 故答案为：①③． 三．解答题（共5小题） 15．（2026秋•西城区校级月考）如图，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，求k的值． 【解答】解：由一次函数解析式可知：A（0，3），即OA＝3， ∵AO＝3BO， ∴OB＝1， ∴点C的横坐标为﹣1， 将x＝﹣1，代入一次函数解析式得y＝﹣（﹣1）+3＝4， ∴点C（﹣1，4）， ∴k＝﹣1×4＝﹣4． 16．（2025秋•城关区校级期末）如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（﹣4，﹣1）和点B（n，4） （1）求反比例函数表达式y1和一次函数表达式y2； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出y1＞y2时，x的取值范围． 【解答】解：（1），反比例函数的图象与一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（﹣4，﹣1）和点B（n，4）， 将点A（﹣4，﹣1）代入反比例函数，得： ， 解得m＝4， ∴反比例函数， 将点B（n，4）代入反比例函数，得： ， 解得n＝1， ∴B（1，4）， 将点A（﹣4，﹣1），B（1，4）分别代入一次函数y2＝kx+b（k≠0），得 ， 解得， ∴一次函数y2＝x+3； 答：反比例函数表达式和一次函数表达式y2＝x+3． （2）令直线AB交x轴于点M，如图 将y＝0代入y2＝x+3，得 x+3＝0， 解得x＝﹣3， ∴M（﹣3，0）， ∵A（﹣4，﹣1），B（1，4）， ∴． （3）由图象及A（﹣4，﹣1），B（1，4），可知，当x＜﹣4或0＜x＜1时，y1＞y2． 17．（2026•七里河区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数的图象交于点B（﹣2，a），射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴0＝﹣k﹣2， 解得：k＝﹣2， ∴该一次函数的表达式为：y＝﹣2x﹣2， ∴一次函数y＝﹣2x﹣2的图象与反比例函数的图象交于点B（﹣2，a）， ∴， 解得：， ∴该反比例函数的表达式为：，点B的坐标为（﹣2，2）， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x﹣2，反比例函数的表达式为； （2）∵点B的坐标为（﹣2，2），点A的坐标为（﹣1，0）， ∴根据函数的图象得：不等式的解集为：﹣2＜x＜﹣1； （3）过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示： ∵点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标为（﹣2，2）， ∴OA＝1，BE＝2， ∴S△OABOA×BE1， 设直线OB的表达式为：y＝tx， ∴﹣2t＝2， 解得：t＝﹣1， ∴直线OB的表示为：y＝﹣x， 解方程组：，得：，， ∴点C的坐标为（2，﹣2）， ∴CF＝2， ∴S△OACOA×CF1， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC＝2， 即△ABC的面积为2． 18．（2026•甘肃）如图，一次函数y＝3x+b的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（2，3），与x轴交于点C．在反比例函数图象上有一点B（﹣3，m），过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD，BC． （1）求一次函数y＝3x+b与反比例函数y（k≠0）的表达式； （2）求四边形BDAC的面积． 【解答】解：（1）由题意，∵点A（2，3）在一次函数 y＝3x+b 的图象上， ∴3×2+b＝3， ∴b＝﹣3， ∴一次函数的表达式为 y＝3x﹣3， ∵点A（2，3）在反比例函数的图象上， ∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数的表达式为； （2）由题意，∵点B（﹣3，m）在反比例函数的图象上， ∴m＝﹣2， ∴点B（﹣3，﹣2）． ∵BD⊥x轴于点D， ∴DO＝3，BD＝2． ∵一次函数y＝3x﹣3与x轴交于点C， ∴点C（1，0）， ∴OC＝1， ∴DC＝3+1＝4， ∴． 过点A作AE⊥x轴于点E，则EA＝3， ∴， ∴S四边形BDAC＝S△BCD+S△ACD＝4+6＝10． 19．（2026•内江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为（6，﹣1），DE＝3． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于8，求P点的坐标； （3）当一次函数y＝ax+b（a≠0）的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 【解答】解：（1）将C（6，﹣1）代入得， ∴k＝6×（﹣1）＝﹣6， ∴反比例函数的关系式为． ∵点D在反比例函数的图象上，DE⊥x轴于点E，且DE＝3， ∴当y＝3时，即， 解得x＝﹣2， ∴点D的坐标为（﹣2，3）， ∴根据题意，将C（6，﹣1），D（﹣2，3）分别代入y＝ax+b（a≠0）得： ， 解得，， ∴一次函数的关系式为． （2）根据题意，设点P的坐标为，（n≠0）， 把y＝0代入， 解得x＝4，即A（4，0）， ∴OA＝4． ∵△POA的面积等于8， ∴，即， 解得，n＝±4， ∴当n＝4时，； 当n＝﹣4时，， ∴点P的坐标是或． （3）由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜6时，， ∴当一次函数y＝ax+b（a≠0）的值大于反比例函数的值时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $