期中专题04：二次函数与一元二次方程-2026-2027学年人教版数学九年级上册

期中专题04：二次函数与一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•虹口区月考）观察下列表格，可知一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个近似解可能是（　　） x 1.5 2 2.5 3 3.5 y＝x2﹣2x﹣2 ﹣2.75 ﹣2 ﹣0.75 1 3.25 A．1.5和2之间 B．2和2.5之间 C．2.5和3之间 D．3和3.5之间 2．（2026秋•余杭区月考）若二次函数y＝mx2+x+1的图象与x轴没有交点，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（2026秋•睢阳区月考）二次函数y＝x2﹣9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．6 B．8 C．9 D．18 4．（2026秋•鹿城区校级月考）已知二次函数y＝x2+bx+1（b＞0），下列说法正确的是（　　） A．二次函数的最小值为1 B．二次函数图象的对称轴为 C．二次函数图象与x轴有两个交点 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 5．（2026秋•大连月考）对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（﹣1，3） C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．抛物线与x轴没有交点 6．（2026秋•武昌区校级月考）四位同学研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与性质时，甲发现函数的最大值是4；乙发现当x＝2时，y＝2；丙发现x＝﹣1是方程ax2+bx+3＝0的一个根；丁发现函数图象关于直线x＝1对称，已知这四个同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（2026•毕节市模拟）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），对称轴x＝1与抛物线交于点C，则下列结论错误的是（　　） A．点C的坐标为（1，4） B．当0＜x＜3时，则y＞0 C．连接AB、AC、BC，则S△ABC＝2 D．直线AC的关系式为：y＝2x+2 8．（2025秋•江西校级期末）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象（如图所示）是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①2a+b＝0；②c＝﹣3；③abc＜0；④将图象向下平移1个单位长度后与直线y＝3有3个交点，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③④ 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•平江县期末）抛物线y＝x2﹣6x+c与x轴只有一个交点，则c＝_____ ． 10．（2026秋•闵行区月考）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+7x+3与x轴有两个交点，m的取值范围是____________________ ． 11．（2025秋•潼南区期末）二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程﹣x2+bx+c＝0的根是_________ ． 12．（2026秋•深圳校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的正半轴交于点A（5，0），与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x＝1．则图象与x轴的另一个交点坐标为___________ ． 13．（2026秋•虹口区月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，它的顶点坐标为（﹣1，﹣3），如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是x1＝1.3，则另一个根是x2＝_________ ． 14．（2026秋•西城区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，x与y的部分对应值如下表： x ﹣2 0 t y m ﹣1 n 当m＞3时，有下列5个结论：①b＜0；②；③若t＞4，则m＜n；④抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点横坐标分别为0和﹣2；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间．其中一定正确的结论有_________ ． 三．解答题（共6小题） 15．（2026秋•浦东新区校级月考）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个交点； （2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值． 16．（2026秋•荔湾区校级月考）如图，以点C为顶点的抛物线y＝a（x﹣2）2+3与y轴交于点，与x轴的正半轴交于点B． （1）求△ABC的面积； （2）若P为抛物线上一点，△POA的面积为，求点P的坐标； （3）当﹣4＜x≤m时，函数y有最大值，求m的值． 17．（2026秋•厦门校级月考）已知抛物线的顶点为（1，4），且与y轴交于点（0，3）． （1）求抛物线的解析式，并画出函数图象； （2）点P为抛物线上的点且在第四象限，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 18．（2026秋•北京校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：y＝（x+3）（ax+1）（a≠0）， （1）若抛物线C1对称轴为x＝﹣1，求a的值； （2）已知M是抛物线C1上的点，M的横坐标是t，抛物线C2的顶点为M，且可以由抛物线C1平移得到（特别地，当M是C1的顶点时，C2即为C1），若对于﹣2＜t＜﹣1，抛物线C2都与x轴有两个交点，求a的取值范围． 19．（2026•上栗县模拟）在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的“伴随直线”为y＝a（x﹣h）+k．例如：抛物线y＝2（x+1）2﹣3的“伴随直线”为y＝2（x+1）﹣3，即y＝2x﹣1． （1）在上面规定下，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的“伴随直线”为___________ ． （2）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4a（a≠0）与x轴交于点A，B，与其“伴随直线”相交于点C，D（点C在点D的左侧）． ①求点A，B，C，D的坐标（其中点C，D的坐标可用含a的代数式表示）； ②如果点P（x，y）是直线AD上方抛物线上的一个动点，△PAD的面积记为S，求当a＝﹣2时，S取得的最大值． 20．（2026春•拱墅区期末）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的距离相差1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数y＝x2﹣5x+6的与x轴的两个交点分别是（2，0），（3，0），两点的距离为1，则此函数y＝x2﹣5x+6是“邻交函数”． （1）判断二次函数y＝4x2﹣1是不是“邻交函数”． （2）若二次函数y＝x2﹣2ax+2是“邻交函数”，求a的值． （3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）是“邻交函数”，令t＝10a﹣b2，求t的最大值． 期中专题04：二次函数与一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•虹口区月考）观察下列表格，可知一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个近似解可能是（　　） x 1.5 2 2.5 3 3.5 y＝x2﹣2x﹣2 ﹣2.75 ﹣2 ﹣0.75 1 3.25 A．1.5和2之间 B．2和2.5之间 C．2.5和3之间 D．3和3.5之间 【解答】解：根据表格得，当2.5＜x＜3时，﹣0.75＜y＜1， 则方程x2﹣2x﹣2＝0一个近似解在2.5和3之间． 故选：C． 2．（2026秋•余杭区月考）若二次函数y＝mx2+x+1的图象与x轴没有交点，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵二次函数y＝mx2+x+1的图象与x轴没有交点， ∴， 解得． 故选：D． 3．（2026秋•睢阳区月考）二次函数y＝x2﹣9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．6 B．8 C．9 D．18 【解答】解：令y＝0，得x2﹣9＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣3， ∴A，B两点的坐标为（﹣3，0）和（3，0）， ∴线段AB的长为3﹣（﹣3）＝6， 故选：A． 4．（2026秋•鹿城区校级月考）已知二次函数y＝x2+bx+1（b＞0），下列说法正确的是（　　） A．二次函数的最小值为1 B．二次函数图象的对称轴为 C．二次函数图象与x轴有两个交点 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【解答】解：∵y＝x2+bx+1＝（x）2+1， ∴当x时，y有最小值1，所以A选项不符合题意； 抛物线的对称轴为直线x，所以B选项不符合题意； ∵当Δ＝b2﹣4＝0时，即b＝2，抛物线与x轴只有一个公共点， 当Δ＝b2﹣4＜0时，抛物线与x轴没有公共点， 当Δ＝b2﹣4＞0时，抛物线与x轴有两个公共点，所以C选项不符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x0， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，所以D选项符合题意． 故选：D． 5．（2026秋•大连月考）对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（﹣1，3） C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．抛物线与x轴没有交点 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3， ∴a＝2＞0， ∴抛物线开口向上，故A错误，不符合题意； 顶点坐标为（1，3），故B错误，不符合题意； 对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故 C 错误，不符合题意； ∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，3），顶点在第一象限， ∴抛物线与x轴没有交点，故D正确，符合题意． 故选：D． 6．（2026秋•武昌区校级月考）四位同学研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与性质时，甲发现函数的最大值是4；乙发现当x＝2时，y＝2；丙发现x＝﹣1是方程ax2+bx+3＝0的一个根；丁发现函数图象关于直线x＝1对称，已知这四个同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：当丙丁正确时， ∵x＝﹣1是方程ax2+bx+3＝0的一个根， ∴抛物线y＝ax2+bx+3与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， ∵对称轴为直线x＝1， ∴抛物线y＝ax2+bx+3与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 即y＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3， 当x＝1时，y有最大值4，甲正确， 当x＝2时，y＝3，乙错误， 实际上当甲丙丁中有2个正确，第3个也正确， ∵这四个同学中只有一位发现的结论是错误的， ∴乙错误． 故选：B． 7．（2026•毕节市模拟）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），对称轴x＝1与抛物线交于点C，则下列结论错误的是（　　） A．点C的坐标为（1，4） B．当0＜x＜3时，则y＞0 C．连接AB、AC、BC，则S△ABC＝2 D．直线AC的关系式为：y＝2x+2 【解答】解：由题意可得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴点C的坐标为（1，4），则选项A正确，不符合题意； ∵点A（﹣1，0），对称轴x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），由图象得当﹣1＜x＜3时，则y＞0， ∴当0＜x＜3时，则y＞0，则选项B正确，不符合题意； ∵A（﹣1，0），C（1，4）， ∴设直线AC的解析式为y＝kx+n， ∴，解得， ∴直线AC的关系式为：y＝2x+2，则选项D正确，不符合题意； 设直线AC与y轴交于点D，令x＝0，则y＝2， ∴D（0，2），如图， ∴BD＝3﹣2＝1， ∴，则选项C错误，符合题意． 故选：C． 8．（2025秋•江西校级期末）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象（如图所示）是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①2a+b＝0；②c＝﹣3；③abc＜0；④将图象向下平移1个单位长度后与直线y＝3有3个交点，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③④ 【解答】解：由图知，函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（3，0）， ∴函数对称轴为直线， ∴， 则b＝﹣2a，2a+b＝0，故①正确； ∵函数图象与y轴交于（0，3）， 由翻折性质可知，c＝﹣3，故②正确； ∵a＞0，对称轴为直线x＝1， ∴b＜0， ∵c＝﹣3， ∴abc＞0，故③错误； 由图知，y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣3）， ∵函数y＝|ax2+bx+c|图象与y轴交于（0，3）， ∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣3）过点（0，﹣3）， 即a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3， 解得a＝1， ∴函数y＝ax2+bx+c为y＝x2﹣2x﹣3， 即y＝|ax2+bx+c|＝|x2﹣2x﹣3|， 当x＝1时，y＝|12﹣2﹣3|＝4， 即y＝|ax2+bx+c|的顶点坐标为（1，4）， 将图象向下平移1个单位长度后y＝|ax2+bx+c|的顶点坐标为（1，3）， ∴将图象向下平移1个单位长度后与直线y＝3有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•平江县期末）抛物线y＝x2﹣6x+c与x轴只有一个交点，则c＝　9　 ． 【解答】解：令y＝0，则x2﹣6x+c＝0， 依题意得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4c＝0， 解得：c＝9， 故答案为：9． 10．（2026秋•闵行区月考）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+7x+3与x轴有两个交点，m的取值范围是　且m≠2　 ． 【解答】解：二次项系数不能为0：m﹣2≠0， ∴m≠2， 抛物线y＝（m﹣2）x2+7x+3与x轴有两个交点， 等价于方程（m﹣2）x2+7x+3＝0有两个不相等的实数根， 即Δ＝b2﹣4ac＞0， 代入a＝m﹣2，b＝7，c＝3， Δ＝72﹣4（m﹣2）×3＝49﹣12（m﹣2）＝49﹣12m+24＝73﹣12m， 由73﹣12m＞0， 得12m＜73， ∴ 故答案为：且m≠2． 11．（2025秋•潼南区期末）二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程﹣x2+bx+c＝0的根是　﹣3和1　 ． 【解答】解：设y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为（x0，0）， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴， 解得x0＝﹣3， 故两个根分别是﹣3，1， 故答案为：﹣3，1． 12．（2026秋•深圳校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的正半轴交于点A（5，0），与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x＝1．则图象与x轴的另一个交点坐标为　（﹣3，0）　 ． 【解答】解：由图象知，对称轴为：x＝1， ∵抛物线与x轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为（5，0）， ∴另一个与x轴的交点为（﹣3，0）， 故答案为：（﹣3，0）． 13．（2026秋•虹口区月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，它的顶点坐标为（﹣1，﹣3），如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是x1＝1.3，则另一个根是x2＝　﹣3.3　 ． 【解答】解：∵顶点坐标为（﹣1，﹣3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1，x2， ∴， ∵x1＝1.3， ∴， ∴x2＝﹣3.3． 故答案为：﹣3.3． 14．（2026秋•西城区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，x与y的部分对应值如下表： x ﹣2 0 t y m ﹣1 n 当m＞3时，有下列5个结论：①b＜0；②；③若t＞4，则m＜n；④抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点横坐标分别为0和﹣2；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间．其中一定正确的结论有　①②③⑤　 ． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为（0，﹣1），x＝﹣2时，函数值m＞3， ∴抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵1， ∴b＝﹣2a＜0，所以①正确； ∵x＝0时，y＝﹣1， ∴c＝﹣1， ∵当x＝﹣2时，m＝4a﹣2b+c＝8a﹣1＞3， ∴a，所以②正确； ∵抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵（﹣2，m）关于对称轴的对称点为（4，m），抛物线过点（t，n），t＞4， ∴m＜n，所以③正确； ∵y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2）， ∴此抛物线经过点（0，0），（2，0）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点横坐标分别为0和2，所以④错误； ∵x＝2时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝4a﹣4a﹣1＝﹣1＜0， x＝3时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝9a﹣6a﹣1＝3a﹣1， ∵a， ∴3a﹣1＞0 ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间，所以⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 三．解答题（共6小题） 15．（2026秋•浦东新区校级月考）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个交点； （2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值． 【解答】（1）证明：令y＝0，得方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0， ∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m＝1＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与x轴必有两个交点； （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在y轴上， ∴该交点的横坐标为0， 将x＝0代入抛物线解析式，得y＝m2﹣m， 将x＝0代入直线解析式，得y＝﹣3m+4， ∴m2﹣m＝﹣3m+4，整理得m2+2m﹣4＝0， 解得，， 综上所述，m的值为或． 16．（2026秋•荔湾区校级月考）如图，以点C为顶点的抛物线y＝a（x﹣2）2+3与y轴交于点，与x轴的正半轴交于点B． （1）求△ABC的面积； （2）若P为抛物线上一点，△POA的面积为，求点P的坐标； （3）当﹣4＜x≤m时，函数y有最大值，求m的值． 【解答】解：（1）由题意，∵在抛物线y＝a（x﹣2）2+3上， ∴，则． ∴，则顶点C为（2，3）． 令0， ∴x1＝5，x2＝﹣1， ∴B（5，0）． 过点C作CD⊥x轴，垂足为D，则D（2，0）． ， ∴； （2）由题意，∵点， ∴， ∵△POA的面积OA•|xP|， ∴|xP|＝2， ∴xP＝2或xP＝﹣2． ∴当x＝2时，y（2﹣2）2+3＝3，则P1（2，3）； 当x＝﹣2时，y（﹣2﹣2）2+3，则． 综上，P为（2，3）或； （3）由题意知，抛物线对称轴为直线x＝2，开口向下． ①当m≥2时，区间包含对称轴，最大值为顶点y＝3． 由题意得，m＝3， ∴2，符合题意； ②当m＜2时，y随x的增大而增大，最大值取x＝m， （m﹣2）2+3m， ∴m2＝5， ∴（舍去），． 综上，m或． 17．（2026秋•厦门校级月考）已知抛物线的顶点为（1，4），且与y轴交于点（0，3）． （1）求抛物线的解析式，并画出函数图象； （2）点P为抛物线上的点且在第四象限，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 【解答】解：（1）抛物线的顶点为（1，4），且与y轴交于点（0，3），则： 可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4， 把点（0，3）代入，得3＝a+4， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4， 列表： x …… ﹣1 0 1 2 3 …… y …… 0 3 4 3 0 …… （2）当y＝0时，﹣（x﹣1）2+4＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 由题意可得：A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， ∵，且P在第四象限， ∴yP＝﹣5， ∴﹣（x﹣1）2+4＝﹣5， ∴x1＝4，x2＝﹣2（舍去）， ∴P（4，﹣5）． 18．（2026秋•北京校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：y＝（x+3）（ax+1）（a≠0）， （1）若抛物线C1对称轴为x＝﹣1，求a的值； （2）已知M是抛物线C1上的点，M的横坐标是t，抛物线C2的顶点为M，且可以由抛物线C1平移得到（特别地，当M是C1的顶点时，C2即为C1），若对于﹣2＜t＜﹣1，抛物线C2都与x轴有两个交点，求a的取值范围． 【解答】解：（1）对于抛物线C1：y＝（x+3）（ax+1），令y＝0， 则（x+3）（ax+1）＝0， 解得x1＝﹣3，， ∴抛物线C1y＝（x+3）（ax+1），与x轴的交点的坐标为（﹣3，0），， ∴对称轴为直线， ∵抛物线C1y＝（x+3）（ax+1），对称轴为x＝﹣1， ∴， 解得a＝﹣1； （2）M是抛物线C1上的点，M的横坐标是t，抛物线C2的顶点为M，且可以由抛物线C1平移得到（特别地，当M是C1的顶点时，C2即为C1），则： ∵M是抛物线C1：y＝（x+3）（ax+1）上的点，M的横坐标是t， ∴M（t，（t+3）（at+1））， ∵抛物线，抛物线C2的顶点为M（t，（t+3）（at+1）），且可以由抛物线C1平移得到， ∴抛物线C2的解析式为y＝a（x﹣t）2+（t+3）（at+1）． ①若a＞0，则抛物线C2开口向上， ∵对于﹣2＜t＜﹣1，抛物线C2都与x轴有两个交点， ∴顶点M在x轴的下方， ∴（t+3）（at+1）＜0， ∵﹣2＜t＜﹣1时，t+3＞0， ∴at+1＜0， ∴， ∴， ∴a≥1． ②若a＜0，则抛物线C2开口向下， ∵对于﹣2＜t＜﹣1，抛物线C2都与x轴有两个交点， ∴顶点M在x轴的上方， ∴（t+3）（at+1）＞0， ∵﹣2＜t＜﹣1时，t+3＞0，at+1＞0， ∴（t+3）（at+1）＞0恒成立． 综上所述，a的取值范围是a≥1或a＜0． 19．（2026•上栗县模拟）在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的“伴随直线”为y＝a（x﹣h）+k．例如：抛物线y＝2（x+1）2﹣3的“伴随直线”为y＝2（x+1）﹣3，即y＝2x﹣1． （1）在上面规定下，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的“伴随直线”为y＝﹣x+3　 ． （2）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4a（a≠0）与x轴交于点A，B，与其“伴随直线”相交于点C，D（点C在点D的左侧）． ①求点A，B，C，D的坐标（其中点C，D的坐标可用含a的代数式表示）； ②如果点P（x，y）是直线AD上方抛物线上的一个动点，△PAD的面积记为S，求当a＝﹣2时，S取得的最大值． 【解答】解：（1）根据“伴随直线”的定义可知，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的“伴随直线”为y＝﹣（x﹣1）+2＝﹣x+3； 故答案为：y＝﹣x+3； （2）①对于y＝a（x﹣1）2﹣4a（a≠0）， 令y＝0，即a（x﹣1）2﹣4a＝0， ∴（x﹣1）2＝4， 解得x＝﹣1或x＝3， 观察图象可知，点A在点B的左侧， ∴B（3，0），A（﹣1，0）， 由“伴随直线”定义可得：y＝a（x﹣1）2﹣4a的伴随直线为y＝a（x﹣1）﹣4a＝ax﹣5a， 联立， 解得或， ∵点C在点D的左侧， ∴D（2，﹣3a），C（1，﹣4a）， ②当a＝﹣2时，y＝﹣2（x﹣1）2﹣4×（﹣2）＝﹣2x2+4x+6， 点D的坐标为（2，6）， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AD解析式为y＝2x+2， 如图，过点P作x轴的垂线交AD于点Q， ∵点P（x，y）是直线AD上方抛物线上的一个动点， ∴Q（x，2x+2），﹣1＜x＜2，P（x，﹣2x2+4x+6）， ∴PQ＝﹣2x2+4x+6﹣（2x+2）＝﹣2x2+2x+4， ∴ ＝﹣3x2+3x+6 ， ∵﹣3＜0，﹣1＜x＜2， ∴当时，S取得最大值． 20．（2026春•拱墅区期末）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的距离相差1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数y＝x2﹣5x+6的与x轴的两个交点分别是（2，0），（3，0），两点的距离为1，则此函数y＝x2﹣5x+6是“邻交函数”． （1）判断二次函数y＝4x2﹣1是不是“邻交函数”． （2）若二次函数y＝x2﹣2ax+2是“邻交函数”，求a的值． （3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）是“邻交函数”，令t＝10a﹣b2，求t的最大值． 【解答】（1）证明：二次函数y＝4x2﹣1是“邻交函数”，理由如下： 令4x2﹣1＝0，解得x＝±， ∵， ∴二次函数y＝4x2﹣1是“邻交函数”； （2）解：设二次函数y＝x2﹣2ax+2与x轴的两个交点的横坐标分别为m、n， 则根据根系关系可得：1， 解得：a； （3）解：∵二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）是“邻交函数”， ∴由根系关系可得1， 整理可得：b2＝a2+4a， 则t＝10a﹣b2＝10a﹣（a2+4a）＝﹣a2+6a＝﹣（a﹣3）2+9， 则t的最大值为9． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $