精品解析：山东部分校2027届高三标准学术能力诊断性测试2026年10月测试数学试题

标准学术能力诊断性测试2026年10月测试 数学试卷 本试卷共150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，得. 2. 若复数，其中i为虚数单位，则 = A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念 【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一. 3. 已知、为单位向量，它们的夹角为，则下列向量中与垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，它们的夹角为，故， 对于，有，则与不垂直； 同理得：，则与不垂直； ，则与垂直； ，则与不垂直. 4. 已知函数是定义域为、周期为2的奇函数，当时，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设. 5. 已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得，，设点，则， 由，可得，因为，所以解得. 6. 已知函数的最大值为1，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题设可得，通过研究函数可得，随后分，两种情况讨论的最大值可得答案. 【详解】由题意，故可得：， 令，则， ， 得在单调递减，在上单调递增，从而. 当时，. 令，则在上单调递减. 注意到，则，使. 则，. 则在上单调递增，在上单调递减. 则，则时不满足题意. 当时，，令， 则在上单调递减，又， 则，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，满足题意. 综上可得：. 7. 已知数列是公差不为0的无穷等差数列，且满足：对于中任意两项、，在中都存在一项，使得，若，则满足条件的数列的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由题设结合赋值法，可得为的正因数，据此可得答案. 【详解】设数列公差为，因，则. 取，由，可得， 又，则，因为该式对任意成立， 则取，得，因为，得，结合，得. 再取，可得：， 从而，又由以上分析可得均为正整数，则为正整数， 从而为的正因数，即可为共计个数， 则满足题意的有个. 8. 已知集合，，记集合中元素的最小值为．设满足条件的所有集合所组成的集合为．从中随机抽取一个集合，定义随机变量为，则的期望为（ ） A. 1.4 B. 1.5 C. 2.1 D. 2.4 【答案】B 【解析】 【分析】设，，由，可得，从而得，求出、时，对应的集合，再由期望公式求解即可. 【详解】由题意可知集合是的三元子集，元素互不相等， 不妨设， 表示实数到三个数的距离的最小值， 设， 则， 则对任意，均存在，使得， 且对任意，， 又因为， 所以，且， 由，可得， 因为 所以， 当时，，只能取其中的三个数，不满足题意； 当时： 当时， ，满足题意； 此时； 当时， ，满足题意； 此时； 当时， ，满足题意； 此时； 当时， ，满足题意； 此时； 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选或不选的得0分． 9. 若为样本数据，，，，的中位数，则的取值可以为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 【答案】ABC 【解析】 【详解】由题意，数据从小到大排列为，即，故均有可能，不可能. 10. 已知点的坐标为，点、在圆：上，，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由直角关系把与到的距离挂钩，再用坐标展开求出的轨迹圆，从而得到的范围并判断B、C；D用"直角三角形面积不超过斜边平方的四分之一"取上界并验证等号. 【详解】由 知. 设的中点为，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得. 又，所以 ， 在中， 代入上式得，即. 设，由、得，， 代入上式得，即， 化简得，所以点在以为圆心、为半径的圆上. 对于A，，所以点在圆内，A正确. 对于B、C，由得，且，即， 于是， 所以，即， 故的最大值为（不是），最小值为（不是），B、C都错误. 对于D，为直角三角形，， 当、时、，面积恰为，D正确. 所以正确的选项是A、D. 11. 已知正方体，点为的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 经过点有且只有一条直线与直线和都相交 C. 存在个平面，过点且与正方体每个面所成锐二面角都相等 D. 几何体绕一条直线旋转一定角度后与自身重合，则称这条直线为该几何体的旋转对称轴．正方体共有条旋转对称轴 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求线面角判断A；由三点共线的向量平行条件判断与，都相交的直线条数判断B；根据法向量与各面锐二面角相等确定平面个数判断C；将旋转对称轴分三类分别计数判断D. 【详解】设正方体棱长为，以为原点建立空间直角坐标系，则 为中点， 对于A：平面的法向量是竖直方向，， 线面角：直线与平面所成角，是直线和它在面内射影夹角，范围满足，故A正确； 对于B：直线：， 直线：， 设过点，的直线交于，交于，则三点共线，，， ， 解得：，， 唯一，也就是唯一，因此满足条件的直线只有一条，故B正确； 对于C：设过点的平面法向量为，正方体三组对面的法向量分别为，，，该平面与每个面所成锐二面角相等，等价于.符号组合共种，而与表示同一平面，故共个平面，故C正确； 对于D：正方体旋转对称轴分类： 过对面中心：条，上下、前后、左右面中心连线，旋转重合， 过对顶点：条，体对角线，旋转重合， 过对棱中点：条，对棱中点连线，旋转重合， 合计：条，不是条，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线（）的一条渐近线为，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程为求解即可. 【详解】由题知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 因为双曲线（）的一条渐近线为， 所以，解得 13. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数在区间上单调，则或在上恒成立，然后利用三角函数性质分析即可. 【详解】若函数在区间上单调， 则或在上恒成立， 由， 若在上恒成立，即，整理得：， 当时，，则， 因为，所以，从而， 所以要使在上恒成立，则， 当时，，则， 因为，所以，从而， 所以要使在上恒成立，则， 当时，，对任意实数均成立， 若在上恒成立，即，整理得：， 当时，，则， 由时， 无上限值，故不存在满足条件的实数， 当时，，则， 由时，无下限值，故不存在满足条件的实数， 当时，，不成立， 综上所述，实数的取值范围为. 14. 对于无穷数列，定义集合存在正整数，使得且，集合存在正整数，使得且．设，，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意确定数列最大项，再根据集合的包含关系以及三角函数性质，建立不等式，可得答案. 【详解】由于，故，从而为数列最大项． 反之，若为数列最大项．任取，则存在，必然不是数列最大项， 故必有，从而，即． 所以的充要条件是为数列最大项． 由周期性，只需考虑的情况，利用单位圆可知， 故的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，． （1）证明：直线平面； （2）点在线段上，直线平面，求三棱锥的体积． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 由，，，， 所以，所以，在中，，即， 因为，平面 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明结论； （2）设与交于点，由题知，进而得，设，点在棱上，则平面，再计算体积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与交于点， 因为直线平面，平面平面，平面 所以 因为，所以， 所以，即为三等分点靠近点的点， 设，点在棱上，则， 因为平面，所以平面 的面积为，， 三棱锥的体积 16. 在中，，． （1）若，求； （2）边的中点为，若，求外接圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理把化为边的关系，求出，再用余弦定理求,进而用正弦定理求. （2）在中用余弦定理建立关于的方程，求出,在中求,再用正弦定理求外接圆半径. 【小问1详解】 由正弦定理,.因为,所以.又,所以. 由余弦定理,,所以. 由正弦定理,.又,所以. 【小问2详解】 设，则，且. 在中，由余弦定理得. 代入已知量,. 化简得，所以(负值舍去). 在中，由余弦定理得,所以. 由正弦定理得外接圆半径. 又,所以. 17. 某生物种群，经过年后一个自然种群分解为个自然种群的概率为，继续保持个自然种群的概率为，假设每个自然种群经过年后均按此规律分解，并且自然种群分解互相独立．某地区最初该生物只有一个自然种群，设经过个年后该地区这种生物自然种群总数为． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到的分布列，结合期望公式即可求解； （2）根据题意，要使需使中的个种群有个种群分解，个种群继续保持，由二项分布公式即可求解； （3）根据题意，设事件为在第个年种群分解为个，由即可求解. 【小问1详解】 根据题意可知的分布为，， 所以期望. 【小问2详解】 根据题意，要使需使中的个种群有个种群分解，个种群继续保持， 由二项分布公式可得. 【小问3详解】 事件“”为：个年中，只有个年生物种群分解为个种群， 记事件为在第个年种群分解为个，则， 事件“”为：前个年有个种群，第年开始有个种群，则， 因此. 18. 椭圆经过点． （1）求的离心率； （2）斜率为的直线与交于不同于点的两点，直线分别与轴交于点． （ⅰ）设直线与轴交于点，且，为坐标原点，求的面积； （ⅱ）若关于原点对称，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可求出椭圆的离心率； （2）（ⅰ）设，通过向量关系求出，从而得出直线的方程，联立直线与椭圆方程，得出，然后利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而得出的面积；（ⅱ）设，得出相应的直线方程，联立解出相关的参数，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合题意分析即可得出结论. 【小问1详解】 由，得，半焦距， 所以椭圆的离心率为：. 【小问2详解】 （ⅰ）设， 因为，所以， 所以，直线的方程为即：， 代入椭圆方程，得，由，得， 代入直线方程，得，即， 所以， 又到直线的距离， 所以的面积为. （ⅱ）设，方程为， 直线方程为，得， 同理， 因为，所以， 整理得，① 将直线方程代入椭圆方程，得，② 所以，， 代入①式得，整理得， 当时，直线经过点，不符合题意， 当时，直线，此时该直线经过轴上定点， 方程②可化为， 由，得， 当时，直线方程为，经过点，不符合题意， 所以的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为，集合，若对于任意，任意，总有，则称函数具有“性质”． （1）设，，，判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，，，若具有性质，求实数的范围； （3）函数的定义域为，其导函数为，当时，恒有，，证明：具有性质的充分条件为具有性质． 【答案】（1）函数具有性质，理由如下： 设，因为， 即对任意，都有，故函数具有性质. （2） （3） 假设存在，，使得， 令，则， 因为具有性质，所以恒成立，在上单调递增， 设，由，得， 当，时，， ，，，……，， 将上述各式相加，得， 令，且，则，且， 与题设当时，均有矛盾， 所以对任意，及任意，均有， 即具有性质，所以具有性质的充分条件为具有性质． 【解析】 【分析】（1）直接利用函数新定义即可判断； （2）利用导数得到函数的单调性，再结合函数新定义即可求解； （3）根据题意，令，用反证法得到矛盾即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 已知，，，则，， 所以当时，；当时，， 即在上单调递减，在单调递增， 设，当时，因为，所以，函数具有性质， 当时，令，由，得，函数不具有性质， 综上所述，若函数具有性质，则实数的范围为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 标准学术能力诊断性测试2026年10月测试 数学试卷 本试卷共150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，其中i为虚数单位，则 = A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i 3. 已知、为单位向量，它们的夹角为，则下列向量中与垂直的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义域为、周期为2的奇函数，当时，．则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数的最大值为1，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知数列是公差不为0的无穷等差数列，且满足：对于中任意两项、，在中都存在一项，使得，若，则满足条件的数列的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 已知集合，，记集合中元素的最小值为．设满足条件的所有集合所组成的集合为．从中随机抽取一个集合，定义随机变量为，则的期望为（ ） A. 1.4 B. 1.5 C. 2.1 D. 2.4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选或不选的得0分． 9. 若为样本数据，，，，的中位数，则的取值可以为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 10. 已知点的坐标为，点、在圆：上，，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 11. 已知正方体，点为的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 经过点有且只有一条直线与直线和都相交 C. 存在个平面，过点且与正方体每个面所成锐二面角都相等 D. 几何体绕一条直线旋转一定角度后与自身重合，则称这条直线为该几何体的旋转对称轴．正方体共有条旋转对称轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线（）的一条渐近线为，则__________． 13. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围为__________． 14. 对于无穷数列，定义集合存在正整数，使得且，集合存在正整数，使得且．设，，若，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，． （1）证明：直线平面； （2）点在线段上，直线平面，求三棱锥的体积． 16. 在中，，． （1）若，求； （2）边的中点为，若，求外接圆的半径． 17. 某生物种群，经过年后一个自然种群分解为个自然种群的概率为，继续保持个自然种群的概率为，假设每个自然种群经过年后均按此规律分解，并且自然种群分解互相独立．某地区最初该生物只有一个自然种群，设经过个年后该地区这种生物自然种群总数为． （1）求； （2）求； （3）求． 18. 椭圆经过点． （1）求的离心率； （2）斜率为的直线与交于不同于点的两点，直线分别与轴交于点． （ⅰ）设直线与轴交于点，且，为坐标原点，求的面积； （ⅱ）若关于原点对称，求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，集合，若对于任意，任意，总有，则称函数具有“性质”． （1）设，，，判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，，，若具有性质，求实数的范围； （3）函数的定义域为，其导函数为，当时，恒有，，证明：具有性质的充分条件为具有性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $