精品解析：山东省济南市平阴县高级中学2026-2027学年高三10月阶段测试数学试题

平阴县实验高中2027届高三第一学期 10月份阶段检测数学试题2026.10 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔填涂答题卡上对应题目的答案标号.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本试卷共4页，考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 3. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数a，b，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知实数，则（ ） A. 无最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 6. 函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. C. D. 7. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则有关函数的说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为 11. 已知定义在R上的函数满足，，且为奇函数，则（　　） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 是一个周期为3的周期函数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的定义域，则的定义域是______. 13. 已知且，则的最小值为__________. 14. 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）若角的终边经过点，求的值. 16. （1）若不等式的解集为，求、的值； （2）求关于的不等式（其中）的解集. 17. 已知函数的最大值为3，最小值为1. （1）求和的值； （2）把的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递减区间. （3）在（2）的条件下，求在上的值域. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 19. 对于定义在上的函数，若存在，使恒成立，则称为“型函数”；若存在，使恒成立，则称为“型函数”.已知函数. （1）设函数.若，且为“型函数”，求的取值范围； （2）设函数.证明：当，为“（1）型函数”； （3）若，证明存在唯一整数，使得为“型函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平阴县实验高中2027届高三第一学期 10月份阶段检测数学试题2026.10 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔填涂答题卡上对应题目的答案标号.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本试卷共4页，考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用集合的交运算即可求得结果. 【详解】由题意知，. 故选：C. 2. 已知i是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以的虚部为. 3. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题为全称量词命题， 其否定为存在量词命题，即为. 故选：C 4. 已知实数a，b，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由且，根据不等式性质可得， 反之，取满足，此时和不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件. 5. 已知实数，则（ ） A. 无最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】B 【解析】 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，有最大值. 6. 函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 7. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用两角和的余弦公式展开已知等式，化简得到的值，再通过二倍角公式计算所求表达式的值. 【详解】易知 ， 代入已知等式可得 ， 即 ，可得. 显然， 所以 . 8. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A；由对数函数性质可判断B； 由幂函数性质可判断C；由不等式的性质可判断D. 【详解】对于A选项，因为，幂函数在上单调递增， 又，故，故A错误； 对于B选项，因为，函数在上单调递减，又， 所以，所以，即，故B错误； 对于C选项，因为，所以，所以幂函数在上单调递减， 又，所以，所以，故C正确； 对于D选项，由B选项可知，，又， 所以，所以，故D错误. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合不等式的性质，以及特殊验证，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，当时，，错误； 对于B，因为，所以，又，所以，正确； 对于C，由，可得，根据不等式的性质，可得，正确； 对于D，取，满足，而，错误. 故选：BC 10. 已知函数，则有关函数的说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简的表达式，即，将和代入验证可判断;由三角函数周期公式求得的最小正周期，判断B;求得函数最大值，判断D. 【详解】由题意可知, 当时， ，，故函数的图象关于点对称，故A正确； 函数的最小正周期，故B正确； 当时, ，,所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； 函数的最大值为1，故D错误, 故选:. 11. 已知定义在R上的函数满足，，且为奇函数，则（　　） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 是一个周期为3的周期函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A,因为函数的定义域为R，且，则不可能是奇函数，故A错误； 对于B,因为定义在R上的函数满足， 变形可得， 而为奇函数， 则 ， 则， 则有， 即函数为偶函数，故B正确； 对于C,因为函数满足， 即， 则有， 即函数是一个周期为3的周期函数，故C正确； 对于D,因为是偶函数且周期为3， 则，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的定义域，则的定义域是______. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的定义域， 对于函数，则有，解得， 故函数的定义域为. 13. 已知且，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据“1”的代换，化简整理可得，然后根据基本不等式，求解即可得出答案. 【详解】 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 14. 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解； 【详解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）若角的终边经过点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对数化为底数相同，再逐步化简即可； （2）先根据诱导公式化简，再代入数值即可。 【小问1详解】 【小问2详解】 由于角终边过点，, 则,， . 16. （1）若不等式的解集为，求、的值； （2）求关于的不等式（其中）的解集. 【答案】（1），；（2）当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 【解析】 【分析】 (1)根据一元二次不等式的解得出，再解不等式求出的值； (2)讨论参数的值利用一元二次不等式不等式的解法求解即可. 【详解】（1）将代入，可得， 所以不等式即为不等式，可转化为， 所以原不等式的解集为 所以. （2）不等式可化为，即. 当，即时，原不等式的解集为或； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为或 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 【点睛】本题主要考查了解含有参数的一元二次不等式以及根据一元二次不等式的解确定参数，属于中档题. 17. 已知函数的最大值为3，最小值为1. （1）求和的值； （2）把的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递减区间. （3）在（2）的条件下，求在上的值域. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式的定义即可求解； （2）先根据平移得到新函数，再根据图像判断单调递减区间即可； （3）可画出图像看区间最值所在范围. 【小问1详解】 因为，由题意可得，解得. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 由，，得，， 所以的单调递减区间为. 【小问3详解】 因为，则， 那么，即 则的值域为. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 19. 对于定义在上的函数，若存在，使恒成立，则称为“型函数”；若存在，使恒成立，则称为“型函数”.已知函数. （1）设函数.若，且为“型函数”，求的取值范围； （2）设函数.证明：当，为“（1）型函数”； （3）若，证明存在唯一整数，使得为“型函数”. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将代入，依题意，即恒成立，设，求出函数的最小值即可得解； （2）分析可知，即证，令，，方法一：由不等式的性质可知在上单调递减，在上单调递增，故，即得证；方法二：令，再对函数求导，可得当时，，当时，，进而得到的单调性，由此得证； （3）问题等价于证明存在唯一整数，恒成立，易知当及时，不合题意，故只需证明时符合题意即可，方法一：记，分当或以及当时证明即可； 方法二：记，利用导数求其最大值小于0即可得证. 【详解】（1）时，. 因为为“型函数”， 所以恒成立，即恒成立. 设，则恒成立， 所以在，上单调递减， 所以（1）， 所以的取值范围是； （2）证明：当时，要证为“（1）型函数”， 即证，即证. 令，则， 方法一：当时，，，则； 当时，，，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 则（1），又（1），所以， 所以为“（1）型函数”. 方法二：令，则， 所以函数在上单调递增，又（1）， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 以下同方法一. （3）证明：函数为“型函数”等价于恒成立， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时， 方法一：， ①当或时，； ②当时，，由（2）知， 所以， 综上，存在唯一整数，使得为“型函数”. 方法二：，， 记，则， 所以在上单调递减. 易得， 所以； 又因为， 所以存在唯一零点，使得， 且为的最大值点， 所以， 注意到在上单调递增， 所以，所以. 综上，存在唯一整数，使得为“型函数”. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查构造思想，分类讨论思想，函数与方程等数学思想，考查推理论证能力，运算求解能力等，属于较难题目. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $