精品解析：江苏省海安高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 直线与直线相交于点，且点为、的中点，则线段的中垂线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线的交点在直线上，则实数（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. 若，，且点在过点、的直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为圆：的弦，点，若直线，直线的斜率之积为，则的面积（ ） A. 有最小值 B. 有最大值1 C. 有最小值 D. 有最大值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A. 直线始终过定点 B. 点到直线距离的最大值为 C. 若，则或 D. 当时，直线始终不过第三象限 10. 已知圆：，圆：，，分别是圆与圆上的动点，则有（ ） A. 若圆与圆无公共点，则 B. 当时，两圆公共弦所在直线方程为 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则不可能等于 11. 直线系：，则（ ） A. 中所有直线均与一定圆相切 B. 当或时，直线在、轴上截距相等 C. 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D. 对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线：与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为______． 13. 已知圆：，过原点的直线与圆相交于两个不同的点，，点，则的最大值为______． 14. 圆：与圆：相交于，，且，则实数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于，两点，面积记为． （1）若，，求的最小值； （2）若时，求直线的斜截式方程． 16. 已知圆的方程为，直线：． （1）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值； （2）圆交轴于点，斜率为的直线交圆于，（异于点），直线，的斜率分别为，且，过作直线的垂线，垂足为，平面内求一定点，使得为定值． 17. 如图，已知的顶点，，，直线：． （1）若，某人在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程； （2）若直线等分的面积，求的值． 18. 如图，已知圆的方程为（），直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，时，求证：； （2）求证： ①； ②． 19. 已知圆：，，过点的直线被圆所截得的弦的中点为，点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线相交于，两点． （1）求曲线的方程； （2）若点，的面积为，求的取值范围； （3）是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简直线方程判断直线类型，结合倾斜角的定义确定对应倾斜角 【详解】由于，所以化简直线方程得到，该直线为垂直于x轴的竖直线，因此该直线的倾斜角为. 2. 直线与直线间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知直线与直线， 满足，且，故两直线平行． 将直线两边同乘，可得， 由平行直线间的距离公式，可得平行直线间的距离． 3. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线平行的充要条件求出使的的取值集合，再结合充分必要条件的定义判断可得. 【详解】已知，， 因为，所以，，解得或. 因此的充要条件是或. 充分性：当时，可推出，充分性成立； 必要性：当时，可取，不一定为，必要性不成立. 因此，“”是“”的充分不必要条件. 4. 直线与直线相交于点，且点为、的中点，则线段的中垂线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线相交于点，且为、的中点，求得关于参数、、、的方程组，通过整体代入求得取值，线段所在直线的斜率，再借助两直线垂直时的斜率关系，求得线段的中垂线的斜率，然后利用点斜式方程即可求解． 【详解】已知直线与直线的相交于点， 则将点坐标代入两直线方程，可得． 又有为、的中点， 则由中点坐标公式，可得，即． 由，可得， 将代入，可得， 还可得，即． 所以直线的斜率为， 则由于两直线斜率存在时，若两直线垂直，斜率之积为，可得线段的中垂线的斜率为， 由点斜式方程，可得中垂线的方程为，即． 5. 若直线与直线的交点在直线上，则实数（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与直线的交点，再代入求解作答. 【详解】解方程组，得直线与直线的交点， 依题意，，解得， 所以实数. 故选：A 6. 若，，且点在过点、的直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】已知点、，直线斜率，由点斜式得直线方程为， 代入约束条件得，则， 该二次函数开口朝上，对称轴，故. 7. 已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用轴对称求出点关于直线的对称点的轨迹，再利用两圆的有公共点关系列式求出范围. 【详解】设点关于直线的对称点，则线段的中点在直线上， 又，直线的方向向量，而， 因此，即， 消去得， 整理得，即，于是点在以点为圆心，1为半径的圆上， 而曲线是以点为圆心，为半径的圆，， 依题意，点在曲线上，则曲线与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， 因此，即，解得， 所以r的取值范围为. 故选：C 8. 已知为圆：的弦，点，若直线，直线的斜率之积为，则的面积（ ） A. 有最小值 B. 有最大值1 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】先设出直线，与圆的方程联立，根据列出方程，结合韦达定理可得直线过定点，因此可重设直线，再根据点到直线的距离表示出弦长与点到直线的距离，即可表示出三角形的面积，再运用换元法与基本不等式，即可得解. 【详解】 由题易知，直线的斜率必存在，故可设直线，. 联立直线与圆，，得， ， 得. 若，则，经过点，显然不符题意，故. 由韦达定理，可得. . 因此有，解得， 即，因此直线过定点， 故重设直线， 因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离，解得. 弦长， 点到直线的距离，故. 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立，即的面积有最大值. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A. 直线始终过定点 B. 点到直线距离的最大值为 C. 若，则或 D. 当时，直线始终不过第三象限 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，将直线变形，联立方程组即可求出定点坐标；B选项，根据直线恒过定点，利用两直线垂直时距离最大求解；C选项，根据两直线垂直列方程求解；D选项，将直线方程变形为斜截式，然后根据斜率和截距符号判断. 【详解】对于A选项，直线：可整理为， ，所以过定点，故A选项正确. 对于B选项，设直线过的定点为， 点到直线距离的最大值为点到的距离， 最大距离为， 此时直线与直线垂直，， 则直线的斜率应为，的值不存在，故B选项错误. 对于C选项，若，则， 即，解得或，故C选项正确. 对于D选项，当时，直线可转化为：，斜率为， 在轴上的截距为1，大于0，所以直线过一、二、三象限，故D选项错误. 10. 已知圆：，圆：，，分别是圆与圆上的动点，则有（ ） A. 若圆与圆无公共点，则 B. 当时，两圆公共弦所在直线方程为 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则不可能等于 【答案】BC 【解析】 【分析】先计算两圆圆心距，由两圆无公共点可得两圆相离或内含，由几何法可得或，从而可得A错误；对B直接由两圆的方程相减可得相交弦方程；对C直接由解得；对D由可得是正方形，进而可得，再由点是圆上得，从而可得存在点. 【详解】圆：圆心为，半径； 圆：圆心为，圆心距. 选项A：因为圆心距，， 若圆与圆无公共点，则两圆相离或内含， 当两圆相离时，，解得，且，所以； 当两圆内含时，，解得或，因为，所以. 因此圆与圆无公共点，则或，故A不正确； 选项B：当时，圆：，， 所以两圆相交. 因为①，②， 得，即. 因此两圆公共弦所在直线方程为，B正确； 选项C：当时，圆：， 因为，分别是圆与圆上的动点，且， 所以，即. 因此的取值范围为，C正确； 选项D：当时，圆：. 若，因为是圆的切线，所以， 所以，且， 因此四边形是边长为的正方形，所以. 因为点是圆上的动点，所以，得， 即. 显然，因此存在圆上的点使得，D错误. 11. 直线系：，则（ ） A. 中所有直线均与一定圆相切 B. 当或时，直线在、轴上截距相等 C. 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D. 对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 【答案】AD 【解析】 【分析】结合平方关系求解A选项；B选项只需要将角度代入求解即可；C选项结合A选项可以判断；D选项结合A选项以及逐个代入可以求解. 【详解】直线变形为， 点到直线的距离为，即所有直线到点的距离恒为1， 因此所有直线都与定圆相切，选项A正确； 当时，原直线为，即， 当时，，当时，，截距相等； 当时，原直线为，这是轴，不满足直线在、轴上截距相等，选项B错误. 因为直线系中所有直线都是圆的切线，用这些切线围成正三角形有两种情况： 情况一：正三角形的3条边都在圆的外侧，三角形整体在圆外，圆是这个正三角形的内切圆， 如图，此时正三角形的边长，； 情况二：三条切线分布在圆的同一侧，围成更小的正三角形，如图， 因为，即，显然， 所以中的直线所能围成的正三角形面积不一定都相等，选项C错误； 对于任意整数，因为圆都存在外切正边形，正边形的边都是圆的切线，也就是属于直线系，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线：与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线与轴交点的坐标，再由直线的斜率得到其倾斜角，计算旋转后直线的倾斜角和斜率，最后由斜截式写出方程并整理为一般式即可. 【详解】在直线中令，解得，因此， 将直线的方程变形为斜截式，可得其斜率，设直线的倾斜角为，，由得， 将绕点顺时针旋转，因此直线的倾斜角为，其斜率， 由斜截式得直线的方程为，整理为一般式为. 13. 已知圆：，过原点的直线与圆相交于两个不同的点，，点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量中点性质将转化为（为中点），结合垂径定理确定的轨迹，再求轨迹上点到的最大距离即可得解. 【详解】将圆方程化为标准方程可得，故圆心为，半径为， 设中点坐标为，又直线过原点，则由垂径定理可得， 即，即， 故点的轨迹为圆在圆内部的圆弧部分， 设圆的圆心为， 则， 当且仅当、、共线且点在线段上时，等号成立， 即的最大值为. 14. 圆：与圆：相交于，，且，则实数______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】对已知等式变形推出原点在公共弦的垂直平分线上，即两圆圆心连线过原点，利用三点共线的斜率关系求解. 【详解】 由，得 ，整理得， 即，说明原点在弦的垂直平分线上， 根据两圆相交的几何性质，公共弦的垂直平分线为两圆圆心的连线，因此、、三点共线， 由两圆的标准方程得圆心坐标，，三点共线则斜率相等，即 ，代入坐标得，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于，两点，面积记为． （1）若，，求的最小值； （2）若时，求直线的斜截式方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由直线过点得到、的约束关系，结合基本不等式求解面积最小值； （2）设直线斜截式方程，结合过点的条件和面积公式列方程求解. 【小问1详解】 由题意可设直线，则有， 有，即， 当且仅当、时，等号成立， 故，即的最小值为； 【小问2详解】 由题意可设的斜截式方程为，则有，且有， ，故， 当时，有，解得或， 当时，有，无解； 故或，当时，，当时，， 故直线的斜截式方程为或. 16. 已知圆的方程为，直线：． （1）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值； （2）圆交轴于点，斜率为的直线交圆于，（异于点），直线，的斜率分别为，且，过作直线的垂线，垂足为，平面内求一定点，使得为定值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求点关于直线的对称点坐标，后将问题转化为在直线上找点，使得距离最小，利用对称点即可求最小距离 . （2）先求点坐标，再设出直线的方程，将其与圆的方程联立，列出韦达定理，根据，代入韦达定理即可求出直线过的定点，再根据确定点的轨迹方程，根据为定值进而确定点的坐标. 【小问1详解】 圆的方程为，圆心，半径， 设点关于直线的对称点， 则，的中点在上， 可列方程，解得， 所以， ， ， 所以的最小值为. 【小问2详解】 对于圆的方程， 令，得， 所以坐标为， 设直线的方程为，，， 直线的方程与圆的方程联立得： ， 判别式 ， 由韦达定理，，， 由题意，，， 因为， 所以， 代入韦达定理，化简得： 所以， 即， 代入判别式，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 因为，且恒过定点， 所以， 因为直径所对的圆周角为直角， 所以的轨迹是以为直径的圆的部分圆弧， 圆心为中点， 半径为， 因为点在圆周上运动，要使为定值， 点即为该圆的圆心， 所以，此时为定值. 17. 如图，已知的顶点，，，直线：． （1）若，某人在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程； （2）若直线等分的面积，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)采用镜像对称转化法：先利用光的反射规律，对点关于反射面作对称点，再对点关于反射面作对称得到二次对称点，再连接一次对称点与二次对称点，其连线与交于反射点，连接得到入射光线，求出斜率，最后用点斜式写出直线方程即可；(2)先提取直线的恒过定点，判断直线与三角形两边的有效相交场景，再结合面积等分的约束列方程求解参数 【小问1详解】 作关于（轴）的对称点， 再作关于直线的对称点，由对称性质得： ，解得， 直线的斜率：， 直线方程：，令，解得， 入射光线为，， 由点斜式：，整理得：， 即入射光线的直线方程为. 【小问2详解】 直线整理为， 令，解得定点，且在△ABC内部， ，高为，因此， 等分面积后，小三角形面积为. 若直线与直线BC相交，且过定点， 设直线交直线BC于 ，交AB于D, AB的方程为,直线PM 的方程为， 联立直线 PM 与AB，解得交点D的坐标， D在线段AB上需满足 ，推导得有效范围 ， 小三角形面积为， 令 （对应 ），面积变形为， 由对勾函数的单调性，得，无法达到等分面积; 设直线交直线BC于 ，交AC于E, AC的方程为， 联立直线 PM 与 AC，解得交点E的坐标， E 在线段AC上需满足 ，推导得有效范围 ， 小三角形面积， 令 （对应 ），面积变形为， 由对勾函数的单调性，得 ，超过等分面积; 所以直线只能交直线AB和直线AC， 直线AB：，直线AC：， 设直线l的斜率为，方程为， 与AB交点D的横坐标：， 与AC交点E的横坐标：， 以A为顶点的△ADE面积满足， 即，代入交点横坐标得， 化简得，解得， 当时，交点D在AB延长线上，不符合题意，舍去； 当时，两交点均在三角形边上，符合条件. 直线l的斜率为，因此， 所以. 18. 如图，已知圆的方程为（），直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，时，求证：； （2）求证： ①； ②． 【答案】（1）证明：直线与圆方程联立得：， 由韦达定理得：，，则， 同理，直线与圆方程的交点满足， 即； （2）①由（1）知，，则，同理可得：； ②设，，因为三点共线，所以，即， 又，，； 同理，因为三点共线，， 由①知，，即， 所以，即，所以， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）由直线与圆联立可得，，且，代入可得，同理，，即可证明； （2）由三点共线可得，同理，由可得出，即可证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 19. 已知圆：，，过点的直线被圆所截得的弦的中点为，点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线相交于，两点． （1）求曲线的方程； （2）若点，的面积为，求的取值范围； （3）是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 存在，点坐标为或或. 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，利用是弦中点，可得，利用向量数量积为0即可求得曲线的方程. （2）设出直线的方程，与圆的方程联立，列出韦达定理，表示出弦长，再求出点到直线的距离，即可用表示出面积，换元之后，利用导数判断增减性，即可求的范围. （3）分别表示出和，求出，代入韦达定理并化简，让得到的式子与无关，即可解出的值，从而求出点的坐标. 【小问1详解】 因为圆：，所以圆心，半径， 设， 因为点是过点的直线被圆所截得的弦的中点， 所以， 所以，，， 即， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， ，解得或， 所以不妨设点，， ，此时； 当直线的斜率存在时，设过点的直线方程为， 联立，得， 设点，，由韦达定理得：，， 弦长 ， 点到直线的距离为， 所以面积， 令， 则， 令， ， 所以在上单调递增， 当时，即，直线趋近于轴，，此时三点共线，所以， 当时，即直线趋近于竖直线，， ， 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 存在， 点在圆上，所以有， 所以， 同理可得：， ， 代入韦达定理， 要使其为定值，即结果与无关， 即分子中的系数需等于常数项， 即， 即， 解得或或， 所以存在三个点满足要求，即，，.. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $