（备战期中）第15章 轴对称 单元练习-2026-2027学年人教版数学八年级上册

（备战期中）轴对称-2026-2027学年数学八年级上册人教版 基础巩固 1．（2026秋•渝中区校级月考）中华文化博大精深，其中汉字的书写极具美感，以下汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•南关区期末）若等腰三角形的一个外角是70°，则它的一个底角的大小为（　　） A．15° B．70° C．110° D．35° 3．（2025秋•张北县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AD是中线，AB＝AC，∠B＝55°，则∠CAD的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 4．（2025秋•增城区期末）下列选项中，直线l是一条河，A、B是两个新农村定居点，欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•梅县区期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB边的垂直平分线，AD＝12，则CD的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 6．（2025秋•丰满区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，若∠C＝70°，则∠AFB的度数为（　　） A．70° B．100° C．110° D．120° 7．（2025秋•浦北县期末）如图，在正方形网格中，点M，N均在格点上，且直线l经过格点A，B，C，D．若在直线l上求作一点P，使得PM+PN最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 8．（2025秋•平房区期末）下列说法正确的是（　　） A．等腰三角形中线、高线、角平分线互相重合 B．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．两个全等的三角形一定关于某直线对称 9．（2025秋•营口期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（4，0），若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．8 B．7 C．4 D．3 10．（2025秋•长沙期末）如图，在等边三角形ABC中，CD是中线，点M，N分别在AC，AB上，且AN＝DN＝CM＝3，动点E在CD上，则NE+ME的最小值为（　　） A．9 B．9.5 C． D．6 11．（2025秋•鄞州区期末）已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是_______ ． 12．（2025秋•双流区期末）已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则a+b的值为 _______ ． 13．（2025秋•建湖县期末）在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，点D在直线BC上，连接AD，若AC＝DC，则∠BAD的度数为___________ ． 14．（2026秋•昆山市校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 _______ ． 15．（2025秋•南京期末）如图，△ABC为边长为4的等边三角形，D，E分别为AB，BC上两点，连接AE，CD交于点F，连接BF，若AD＝BE，∠BFC＝150°，则AF＝____________________ ． 16．（2025秋•张家川县期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于E，已知AE＝1cm，△ACD的周长为10cm，则△ABC的周长是_______ cm． 能力巩固 17．（2026秋•龙凤区校级月考）如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，BD＝CE，∠A＝∠ADE． （1）求证：点D在BE的垂直平分线上； （2）求证：∠BEC＝3∠ABE． 18．（2025秋•三明期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长． 19．（2026秋•天桥区月考）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，1），C（﹣2，0）． （1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C（点A与点A1，点B与点B1是对应点），并直接写出B1的坐标． （2）点D为第一象限内的点，且点D的横坐标、纵坐标均为整数，连接AD、CD，△ADC是以AC为腰的等腰三角形，直接写出D的坐标． 20．（2025秋•龙亭区校级期末）如图（1），△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝BC． （1）求∠A的度数； （2）若点E为线段AB的中点，连接DE，如图（2），判断直线DE与AB的位置关系，并说明理由． 思维巩固 21．（2025春•上海期末）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”． 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD _____ 均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在△ABC中，CD为∠ACB的角平分线，∠A＝75°，∠B＝35°，试说明CD为△ABC的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在△ABC中，∠A＝47°，CD是△ABC的均等分割线，若△ACD是等腰三角形，则∠ACB的度数为 _______________ ． （备战期中）轴对称-2026-2027学年数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 1．（2026秋•渝中区校级月考）中华文化博大精深，其中汉字的书写极具美感，以下汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A，C，D不是轴对称图形，B是轴对称图形， 故选：B． 2．（2025秋•南关区期末）若等腰三角形的一个外角是70°，则它的一个底角的大小为（　　） A．15° B．70° C．110° D．35° 【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为70°， ∴与它相邻的内角＝180°﹣70°＝110°， ∴这个内角不能为等腰三角形的底角，应该是顶角， ∴这个三角形底角的度数35°， 故选：D． 3．（2025秋•张北县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AD是中线，AB＝AC，∠B＝55°，则∠CAD的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝55°， ∴∠B＝∠C＝55°， ∴∠BAC＝180°﹣55°﹣55°＝70°， ∵AD是BC边上的中线， ∴AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝35°， 故选：C． 4．（2025秋•增城区期末）下列选项中，直线l是一条河，A、B是两个新农村定居点，欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：作A关于l的对称点A′，连接A′B交直线l于点M，如图所示， 则AM+BM＝A′M+BM≥A′M， 根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，则所需管道最短． 故选：C． 5．（2026春•梅县区期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB边的垂直平分线，AD＝12，则CD的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【解答】解：∵DE为AB边的垂直平分线， ∴BD＝AD＝12， ∴∠DBE＝∠A＝30°， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣30°＝30°， ∴， 故选：C． 6．（2025秋•丰满区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，若∠C＝70°，则∠AFB的度数为（　　） A．70° B．100° C．110° D．120° 【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴∠ADB＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∵∠C＝70°， ∴∠EBC＝90°﹣∠C＝20°， ∵∠AFB是△BFD的一个外角， ∴∠AFB＝∠EBC+∠ADB＝110°， 故选：C． 7．（2025秋•浦北县期末）如图，在正方形网格中，点M，N均在格点上，且直线l经过格点A，B，C，D．若在直线l上求作一点P，使得PM+PN最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【解答】解：如图，取点N关于直线l的对称点Q，连接CN、QN、MQ，则MQ经过点C， ∵直线l垂直平分QN， ∴CN＝CQ， ∴CM+CN＝CM+CQ＝MQ， ∴此时CM+CN的值最小， ∴当点P位于点C处，则PM+PN的值最小， 故选：C． 8．（2025秋•平房区期末）下列说法正确的是（　　） A．等腰三角形中线、高线、角平分线互相重合 B．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．两个全等的三角形一定关于某直线对称 【解答】解：由题知， 因为等腰三角形底边上的中线、高线和顶角的平分线互相重合， 所以A选项不符合题意； 因为角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 所以B选项不符合题意； 因为线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等， 所以C选项符合题意； 因为两个全等三角形不一定关于某直线对称， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 9．（2025秋•营口期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（4，0），若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．8 B．7 C．4 D．3 【解答】解：∵A（0，4），B（4，0）， ∴OA＝OB＝4， 如图： 以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴于C3，得到以A为顶点的等腰△ABC3， 以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于C1，C2，得到以B为顶点的等腰△ABC1，△ABC2， 作AB的垂直平分线，交坐标原点于C4，得到以C4为顶点的等腰△ABC4， 综上所述，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，符合条件的一共有4个， 故选：C． 10．（2025秋•长沙期末）如图，在等边三角形ABC中，CD是中线，点M，N分别在AC，AB上，且AN＝DN＝CM＝3，动点E在CD上，则NE+ME的最小值为（　　） A．9 B．9.5 C． D．6 【解答】解：作点N关于CD的对称点N′， ∵等边三角形ABC中，CD是中线， ∴CD垂直平分AB， ∴点N′在AB上， 连接M、N′交CD于点E，则NE+ME＝N′E+ME＝N′M， 由“两点之间线段最短”，NE+ME的最小值为N′M， ∵AN＝DN＝CM＝3， ∴AD＝BD＝6，DN′＝DN＝3， ∴等边三角形的边长为12，AN′＝9， ∴AM＝AC﹣CM＝9， ∵∠A＝60°， ∴△AMN′是等边三角形， ∴此时MN′＝9， ∴NE+ME的最小值为9． 故选：A． 11．（2025秋•鄞州区期末）已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是　10　 ． 【解答】解：当4为腰时，三边为4，4，2，符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2＝10； 当2为腰时，三边为2，2，4，2+2＝4，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形． 故答案为：10． 12．（2025秋•双流区期末）已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则a+b的值为 　﹣1　 ． 【解答】解：∵M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称， ∴a＝﹣4，b＝3， ∴a+b＝﹣4+3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 13．（2025秋•建湖县期末）在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，点D在直线BC上，连接AD，若AC＝DC，则∠BAD的度数为　5°或95°　 ． 【解答】解：当点D在点C左侧时，如图： ∵AC＝DC， ∴∠CAD＝∠CDA（180°﹣∠ACB）（180°﹣50°）＝65°， 又∵∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝∠CDA﹣∠ABC＝65°﹣60°＝5°； 当点D在点C右侧时，如图： ∵AC＝DC， ∴∠CAD＝∠CDA∠ACB＝25°， ∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣50°＝70°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+25°＝95°． 故答案为：5°或95°． 14．（2026秋•昆山市校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　16　 ． 【解答】解：如图，连接BE， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△CBE中，CE＝8，∠CBE＝30°， ∴BE＝2CE＝16， ∴AE＝BE＝16， 故答案为：16． 15．（2025秋•南京期末）如图，△ABC为边长为4的等边三角形，D，E分别为AB，BC上两点，连接AE，CD交于点F，连接BF，若AD＝BE，∠BFC＝150°，则AF＝　　 ． 【解答】解：作AG⊥CD于点G， ∵AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°， ∴AD＝BE， ∴BD＝CE， ∵∠CBD＝∠ACE＝60°，BC＝AC， ∴△CBD≌△ACE（SAS）， ∴∠BCD＝∠CAE， ∴∠AFD＝∠ACF+∠CAE＝∠ACF+∠BCD＝60°， ∵∠BFC＝150°， ∴∠BFD＝30°， ∴∠AFB＝90°， ∵∠BCD＝∠CAE， ∴∠ACG＝∠BAF， ∵∠AGC＝∠BFA＝90°，AB＝AC， ∴△ACG≌△BAF（AAS）， ∴AF＝CG， ∵∠AFG＝60°， ∴∠FAG＝30°， ∴AF＝2FG， ∴FG＝CF，， 设FG＝CF＝x，则， ∴AG2+CG2＝AC2， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 16．（2025秋•张家川县期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于E，已知AE＝1cm，△ACD的周长为10cm，则△ABC的周长是　12　 cm． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AB＝2AE＝2×1＝2cm；DB＝DA， ∴△ABC的周长为： BA+AC+CD+DB＝BA+（AC+CD+DA）＝2+10＝12cm． △ABC的周长是12cm． 故答案为：12． 17．（2026秋•龙凤区校级月考）如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，BD＝CE，∠A＝∠ADE． （1）求证：点D在BE的垂直平分线上； （2）求证：∠BEC＝3∠ABE． 【解答】（1）证明：∵BE是边AC上的中线， ∴AE＝EC， 又∵∠A＝∠ADE， ∴AE＝ED， ∵BD＝CE， ∴BD＝CE＝AE＝ED， ∴点D在BE的垂直平分线上； （2）证明：∵BD＝ED， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴∠A＝∠ADE＝∠DBE+∠DEB＝2∠ABE， ∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝2∠ABE+∠ABE＝3∠ABE． 18．（2025秋•三明期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠AED＝∠AFD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴DE＝DF，AE＝AF， ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵BC＝6，△ABC的周长为18， ∴AB+AC＝12， 由（1）得△ADE≌△ADF， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， ∴， ∴， ∴若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，则DE＝4． 19．（2026秋•天桥区月考）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，1），C（﹣2，0）． （1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C（点A与点A1，点B与点B1是对应点），并直接写出B1的坐标． （2）点D为第一象限内的点，且点D的横坐标、纵坐标均为整数，连接AD、CD，△ADC是以AC为腰的等腰三角形，直接写出D的坐标． 【解答】解：（1）如图：△A1B1C即为所求作，点B1的坐标为（﹣4，﹣1）； （2）如图：△AD1C，△AD2C，△AD3C是等腰三角形， 由图可得D的坐标为（3，5）或（3，3）或（2，1）． 20．（2025秋•龙亭区校级期末）如图（1），△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝BC． （1）求∠A的度数； （2）若点E为线段AB的中点，连接DE，如图（2），判断直线DE与AB的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）设∠ABD＝x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝x， ∴∠ABC＝∠C＝2x， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C＝2x， 由三角形内角和定理可得，2x+2x+x＝180°， 解得：x＝36°， ∴∠A＝∠BDC﹣∠ABD＝2x﹣x＝x＝36°； （2）DE⊥AB， 理由：根据（1）可得∠A＝∠ABD， ∴AD＝BD， ∵点E为线段AB的中点， ∴DE⊥AB． 21．（2025春•上海期末）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”． 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD　是　 均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在△ABC中，CD为∠ACB的角平分线，∠A＝75°，∠B＝35°，试说明CD为△ABC的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在△ABC中，∠A＝47°，CD是△ABC的均等分割线，若△ACD是等腰三角形，则∠ACB的度数为 　94°或113.5°　 ． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠ADC＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∴∠A＝∠BCD， ∴△BCD和△ACD是均等三角形， 故答案为：是； （2）在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝35°， ∴∠ACB＝70°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝35°， ∴∠BCD＝∠B， ∴CD＝DB， ∴△BDC是等腰三角形； ∵∠ACD＝∠BCD＝∠B，∠B＝35°， ∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝70°， ∴∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD和△ABC是均等三角形， ∴CD为△ABC的均等分割线； （3）分三种情况： ①当DA＝DC时，如图，∠ACD＝∠A＝47°， ∵CD是△ABC的均等分割线， ∴∠ACB＝∠BDC＝47°+47°＝94°； ②当DA＝AC时，如图，∠ACD＝∠ADC（180°﹣∠A）＝66.5°， ∵CD是△ABC的等角分割线， ∴∠BCD＝∠A＝47°， 则∠ACB＝66.5°+47°＝113.5°； ③当AC＝DC时，∠ADC＝∠A＝47°，则∠BDC＝180°﹣47°＝133°＝∠ACB， 那么∠B＝180°﹣47°﹣130°＝0°（舍去）， 故∠ACB的度数为94°或113.5°， 故答案为：94°或113.5°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $