期中仿真模拟题（一）[范围：第1-3章] 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

期中仿真模拟题（一）[范围：第1-3章] 2026-2027学年湘教版数学八年级上册 一、选择题 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x－y）＝ax－ay B．a2－b2＝（a+b）（ a－b） C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（ x+3）＝x2+4x+3 2．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．若是二次根式，则a的值可以是（　　） A．0 B．－1 C．－2 D．－3 4．我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，根据题意可列分式方程为（　　） A． B． C． D． 5． 分式方程的解是（　　） A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝1 D．x＝3 6．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图)，可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中a，b均为整数).下列算式中，能用这种方法进行计算的是 （　　) A．25×25 B．33×27 C．46×44 D．85×58 8．张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为元，根据题意可列分式方程为（　　） A． B． C． D． 9．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 10．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（　　） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 二、填空题 11．因式分解： 　 　． 12．若分式的值为0，则x的值是　 　 13．若分式有意义，则实数的取值范围是　 　． 14．若关于x的分式方程 有增根，则a的值为 　 　. 15．若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是　 　. 16．若，，则代数式　 　． 17． 近期，某研究团队在厚度仅为（）的二硫化钼超薄材料上，成功研制出世界首颗二硫化钼多位并行微处理器．这一突破性进展，标志着我国“二维芯片”应用研究实现里程碑式跨越．请用科学记数法表示　 　． 18． 若 则 　 　 三、解答题 19．分解因式： （1）； （2）． 20．解分式方程： 21． 计算： （1）； （2）． 22．因式分解： （1） a2（m-n）+b2（n-m） （2） 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x-1）（x-9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x-2）（x-4），请将原多项式分解因式 23．为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《经典常谈》和《昆虫记》两种书籍，分别花费了1500元和1000元，并且订购的两种书籍数量相同，已知《经典常谈》的订购单价比《昆虫记》的订购单价多5元. （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书籍总费用不超过1200元，则最多可购买多少本《经典常谈》? 24．海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 （1）根据海啸的行进速度公式，完成上表： （2）如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ （3）下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 25．【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型来量化，其中F表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万）；d表示购物中心到居民区的距离（单位：）；k为常数且． （1）【模型应用】 已知当万，时，次，则　 　； （2）甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离； （3）【模型修正】 实际调研发现，当距离km时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型（k与基础模型一致）： 【模型分析】 现规划在某居民区附近新建一个占地面积约35万的购物中心，且到居民区距离d限定在，建成后居民每季度平均购物次数的期望值不少于70次，求整数d的值． 26．解决问题“已知 求 的值”时，小明是这样分析与解答的：， 。 即 4a l。 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： （1）化简： （2）若 求 的值。 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意； B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意； C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意； D、是整式的乘法，故D不符合题意； 故答案为：B． 【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解”，再逐一分析即可得到答案． 2．【答案】B 【知识点】分式的概念 【解析】【解答】解：分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个. 故答案为：B. 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此一一判断得出答案. 3．【答案】A 【知识点】二次根式有无意义的条件 【解析】【解答】解：∵是二次根式， ∴， ∴a的值可以是0． 故选：A． 【分析】 依据二次根式存在意义的条件，就可以算出正确结果。 4．【答案】A 【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用 【解析】【解答】设椴总数为x株， 剩余椴运费：3(x−1)， 单株椴价格：， 等式：3(x−1)=. 故答案为：A. 【分析】设椴总数为x株，总价 6210 文，单株椴价钱 = 总价钱 ÷ 总株数 =；少拿 1 株，剩余(x−1)株，每株运费 3 文，剩余椴总运费 = 3(x−1)；等量关系：少拿一株后的总运费 = 一株椴的价钱，据此列方程. 5．【答案】A 【知识点】去分母法解分式方程 【解析】【解答】解：去分母得： 解得： 经检验，是原分式方程的根 故答案为：A. 【分析】解分式方程的一般步骤是，先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程，再验根，最后再根据验根的结果写根. 6．【答案】C 【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；幂的乘方运算 【解析】【解答】解：A、，原计算错误，A不符合题意； B、，原计算错误，B不符合题意； C、， 原计算正确，C符合题意； D、，原计算错误，D不符合题意． 故答案为：C. 【分析】根据，同底数幂的乘法，二次根式的乘法，幂的乘方等，逐项求解即可得到答案. 7．【答案】B 【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解-平方差公式 【解析】【解答】解：根据图形可知，(10a+b)(10a-b)=(10a)2-b2，（a，b 均为整数）且符合平方差公式， A、25×25，无法运用平方差公式，A不符合题意； B、33×27=(30+3)(30-3)=302-32，则 a=3，b=3，B符合题意； C、46×44=(45+1)(45-1)=452-12，则 a=4.5，b=1，所以 a 不是整数，C不符合题意； D、85×58=(71.5+13.5)(71.5-13.5)，则 a，b 均不是整数，D不符合题意， 故答案为：B. 【分析】根据题意，由图形的变化，得到平方差公式 (10a+b)(10a-b)=(10a)2-b2，（a，b 均为整数），逐一判断各选项，可得到结果． 8．【答案】A 【知识点】列分式方程 【解析】【解答】解：根据题意可得： 故答案为：A. 【分析】设哲学书单价为x元，则史学书单价为1.2x元，根据“史学书比哲学书少2本”列方程即可． 9．【答案】D 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法 【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、不能合并，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故答案为：D. 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法的法则进行计算即可． 10．【答案】D 【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题 【解析】【解答】解：解不等式组，得， 不等式组无解， ， ， 分式方程， 方程的两边同时乘， 得，， 整理得，， ， 方程有整数解， 或或或， 或或或或或或或， ，， ， 或或， 故答案为：D． 【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，可得到关于a的不等式，求出a的取值范围；再解分式方程，根据分式方程的解为整数，可确定出a的值. 11．【答案】a（a+2）（a-2） 【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法 【解析】【解答】解：原式=a（a+2）（a-2）. 故答案为a（a+2）（a-2）. 【分析】根据因式分解的提公因式法和公式法中的平方差公式即可得出答案. 12．【答案】2 【知识点】分式的值为零的条件 【解析】【解答】解：由分式的值为0，则有： ， ∴， 故答案为：2． 【分析】本题考查分式的值为0．根据分式的值为0的条件为：分子为零，且分母不为0，据此可列出方程组，解方程组可求出x的值. 13．【答案】 【知识点】分式有无意义的条件 【解析】【解答】解：由题意可得： x+6≠0，解得：x≠-6 故答案为： 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案. 14．【答案】7 【知识点】分式方程的增根 【解析】【解答】解：先将原方程变形，把分母统一为： 方程两边同时乘以最简公分母，去分母得： ∵分式方程有增根，∴最简公分母为0，即，解得。 将代入去分母后的整式方程： 解得。 故答案为：7 【分析】本题考查分式方程增根的概念与计算。解题时先明确增根的定义：使分式方程最简公分母为0的根，由此先确定增根；再将分式方程去分母转化为整式方程，最后把增根代入整式方程，即可求出参数的值。 15．【答案】m≥3 【知识点】二次根式有无意义的条件 【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数非负。 解得 故答案为： 【分析】本题考查二次根式有意义的条件。二次根式在实数范围内有意义，必须满足，因此只需令并解不等式。 16．【答案】 【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：∵， 将，代入， 则原式， ， ， ． 故答案为：． 【分析】利用平方差公式可以得到，将对应数值代入公式，进行计算得到最终结果. 17．【答案】​​​​​​​ 【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数 【解析】【解答】解： 故答案为：. 【分析】用科学记数法常把一个绝对值较小的数字表示成的形式，其中取这个数字小数部分左边第一个非0数字前面0的个数. 18．【答案】15 【知识点】分母有理化；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：， 所以，两边平方，得， 则，即， ∴， ∴， ， ∴： ， 故答案为：15． 【分析】先化简a得到，即可得到得 ，整理得．然后将多项式化简代入降次解答即可． 19．【答案】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案. （2）提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案. （1）解：原式； （2）解：原式 ． 20．【答案】解：等式两边同乘以（3x-6），得：9x-(3x-6)=x+1， ∴ 9x-3x+6=x+1， ∴ 9x-3x-x=1-6， ∴ 5x=-5， ∴ x=-1. 经检验：x=-1时，左边=右边， ∴x=-1是该分式方程的解. 【知识点】解分式方程；去分母法解分式方程 【解析】【分析】本题考查解分式方程. 通过去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1依次求解即可，注意最后一定要检验. 21．【答案】（1）解： （2）解： 【知识点】二次根式的混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式 【解析】【分析】(1)根据二次根式化简规则，同类二次根式合并法则计算即可； (2)根据完全平方公式，平方差公式计算即可． 22．【答案】（1）解：原式=a2（m-n）-b2（m-n） =（m-n）（a2-b2） =（m-n）（a+b）（a-b） （2）解：2（x-1）（x-9）=2x2-20x+18，根据看错的项确定原多项式的各项正确系数如下： ∵看错一次项系数时，二次项系数与常数项正确， ∴原多项式的二次项为2x2，常数项为18， 2（x-2）（x-4）=2x2-12x+16， ∵看错常数项时，二次项系数与一次项系数正确， ∴原多项式的一次项为-12x， ∴原多项式为2x2-12x+18， ∴2x2-12x+18=2（x2-6x+9）=2（x-3）2 【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式 【解析】【分析】（1）本题考查因式分解，先将 变形为 ，使多项式出现公因式 ，提取公因式后得到平方差的形式，再利用平方差公式继续分解到不能再分解为止； （2）本题考查因式分解的错中求解问题，根据看错一次项系数时二次项系数与常数项正确，展开第一个分解结果得到正确的二次项系数与常数项；根据看错常数项时二次项系数与一次项系数正确，展开第二个分解结果得到正确的一次项系数，从而确定原多项式，再对原多项式提取公因式后用完全平方公式完成分解。 23．【答案】（1）解：设《昆虫记》的订购单价为元，则《经典常谈》的订购单价为元， ∵ 订购的两种书籍数量相同， ∴， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：《昆虫记》的单价为10元，《经典常谈》的单价为15元； （2）解：设购买本《经典常谈》，则购买本《昆虫记》， ∵ 两种书籍总费用不超过1200元， ∴， 解得， ∵为非负整数， ∴的最大值为40， 答：最多可购买40本《经典常谈》． 【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设《昆虫记》的单价为元，则《经典常谈》的单价为元，根据"数量=总价÷单价"分别表示出两种书籍的订购数量；由两种书籍数量相同列出分式方程，解方程后检验根是否符合题意，进而求出两种书籍的单价； （2）设购买本《经典常谈》，则购买本《昆虫记》，根据"总价=单价×数量"分别表示出两种书籍的费用，结合总费用不超过1200元列出一元一次不等式；解不等式得到的取值范围，结合为非负整数，求出的最大值，即为最多可购买的《经典常谈》的数量。 24．【答案】（1）解：当时： ， 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 （2）解：设两处海水深度为、，由得： 当时，， ， ； 当时，， ， ； 深度差值为米， （3）①③ 【知识点】二次根式的实际应用；算术平方根的实际应用 【解析】【解答】（3）①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大” 海啸速度公式为（，是常数）． 从函数角度看，是关于的算术平方根函数，形式为（，是正数）． 根据算术平方根函数的性质：当被开方数增大时，递增，因此也递增．． ∴随着海水深度增加，海啸速度必然逐渐增大，描述①正确． ②：“当海水的深度是的倍时，海啸的行进速度是” 设海水深度，代入速度公式： 化简： 而题目中表述为“”，描述②错误； ③：速度公式可变形为，其中是常数（记为），即． 从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数的增速趋势是逐渐变缓的．当较小时，增加，的增量较大；当很大时，同样增加，的增量会变小， 当时，； 当时，，增量； 当时，； 当时，，增量； 可见，越大，相同增量下的增量越小）． ∴描述③正确． 故答案为①③． 【分析】（1）把已知条件直接代入速度计算公式，算出对应数值，完成表格数据填写。 （2）设两处的深度分别为两个未知数、，分别将和代入公式，建立方程分别求出两处深度d1，d2，两个深度相减，得到深度之差。 （3）①观察速度函数，属于算术平方根型函数，被开方数变大，函数值随之增大，由此判断命题正误； ②设出深度，代入公式进行化简推导，对照题干给出的式子，从计算过程、单位两个角度核对，判断该说法是否成立； ③对原式进行变形，结合算术平方根函数增长越来越平缓的特点：自变量同等幅度增加时，函数值的增加量会越来越小，再搭配具体数值验算，完成对错判断． （1）解：当时： ， 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 （2）解：设两处海水深度为、，由得： 当时，， ， ； 当时，， ， ； 深度差值为米， （3）①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大” 海啸速度公式为（，是常数）． 从函数角度看，是关于的算术平方根函数，形式为（，是正数）． 根据算术平方根函数的性质：当被开方数增大时，递增，因此也递增．． ∴随着海水深度增加，海啸速度必然逐渐增大，描述①正确． ②：“当海水的深度是的倍时，海啸的行进速度是” 设海水深度，代入速度公式： 化简： 而题目中表述为“”，描述②错误； ③：速度公式可变形为，其中是常数（记为），即． 从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数的增速趋势是逐渐变缓的．当较小时，增加，的增量较大；当很大时，同样增加，的增量会变小， 当时，； 当时，，增量； 当时，； 当时，，增量； 可见，越大，相同增量下的增量越小）． ∴描述③正确． 故答案为①③． 25．【答案】（1）80 （2）解：设甲购物中心到此居民区的距离为2xkm，乙购物中心到此居民区的距离为3xkm 已知k＝80， 居民到乙的平均购物次数 居民到甲的平均购物次数 由题意得 经检验x=2是原分式方程的解， ∴2x=4，3x=6 答：甲购物中心到此居民区的距离为4km，乙购物中心到此居民区的距离为6km （3）解：已知4≤d≤7，要S=35，k=80，求F≥70 分两种情况讨论：当5<d≤7时， 解得d2≤40，即 结合5<d≤7，得满足条件的整数d=6，d=7不满足条件； 当4≤d≤5时， 解得d≤40， 结合4≤d≤5 得整数d＝4，5都满足条件； 综上，满足条件的整数d为4，5，6 【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解： 解：（1）将S=3，d=4，F=60代入 得 解得k=80， 故答案为：80 【分析】（1）将S=3，d=4代入关系式即可求出答案. （2）设甲购物中心到此居民区的距离为2xkm，乙购物中心到此居民区的距离为3xkm，根据题意求出居民到甲，乙平均购物次数F，再建立方程，解方程即可求出答案. （3）分情况讨论：当5<d≤7时，当4≤d≤5时，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案. 26．【答案】（1）解： （2）解： 即 1-1=2 【知识点】分母有理化；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【分析】(1)将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； (2)将a分母有理化得移项并平方得到 变形后代入求值. 学科网（北京）股份有限公司 $