第25-26章 阶段复习卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25-26章阶段复习卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•丹徒区月考）把方程2x2﹣5x＝3化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，5，0 B．2，﹣5，3 C．2，﹣5，﹣3 D．2，﹣5，0 2．（2026春•思明区校级期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（　　） A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2﹣1＝0 D．x21 3．（2026秋•东阳市月考）若二次函数y＝2x2﹣8x+k的图象与x轴只有一个交点，则实数k的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 4．（2026秋•宝应县月考）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的两根之和是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 5．（2026秋•南海区校级月考）若方程（m+1）x|m﹣1|+mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝3 D．m＝﹣1或m＝3 6．（2026秋•越秀区校级月考）关于y＝2（x+3）2﹣5的图象，下列叙述正确的是（　　） A．顶点坐标为（﹣3，5） B．对称轴为直线x＝3 C．当x≥﹣2时，y随x增大而增大 D．函数的最大值为﹣5 7．（2025秋•庐江县期末）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+2）2+4 B．y＝3（x+2）2﹣4 C．y＝3（x﹣2）2﹣4 D．y＝3（x﹣2）2+4 8．（2025秋•惠安县期末）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A．（45﹣2x）（25﹣x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625 C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 9．（2025秋•广阳区期末）若二次函数y＝ax2+2ax+1（a＞0）的图象经过A（﹣2，y1），B（2，y2）C（3，y3）三点，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 10．（2026秋•巴南区月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中，正确的是（　　） A．abc＞0 B．2a﹣b＝0 C．4a+2b+c＞0 D．3a+c＞0 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•丹阳市期末）若关于x的方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____________________ ． 12．（2026秋•厦门月考）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于_________ ． 13．（2026秋•越秀区校级月考）某超市购进某商品，2024年每件商品进价为125元，随着生产成本的降低，2026年每件商品进价为80元，设两年中每件商品的平均下降率为x，可列方程为_________________ ． 14．（2026秋•文山市月考）已知二次函数y＝x2+bx+3，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，则b的值是_______ ． 15．（2026秋•临泉县月考）小明以二次函数y＝2x2﹣4x+8的图象为灵感，为2017年，北京房山国际葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE的长为 _______ ． 16．（2026秋•大连月考）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝_______ ． 三．解答题（共9小题） 17．（2026秋•馆陶县月考）用适当的方法解下列一元二次方程． （1）3x2+2x﹣5＝0； （2）2x+6＝（x+3）2； （3）x2﹣4x+1＝0； （4）3x（x﹣1）＝2﹣2x． 18．（2026秋•临泉县月考）已知是关于x的二次函数． （1）求满足条件的k的值． （2）k为何值时，该二次函数有最大值？最大值是多少？ 19．（2026秋•越秀区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0． （1）判断该一元二次方程的根的个数情况，并证明． （2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 20．（2026•海门区校级模拟）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率； （2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？ 21．（2026秋•越秀区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 4 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 5 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是________ （填序号）． ①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③当x＝1时，y有最小值为﹣4；④当x＞0时，y的值随x值的增大而增大． （3）若将该二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，求平移后的函数表达式． 22．（2026秋•杭州校级月考）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点A（2，6）在函数y＝2x+1图象上，点A的“纵横值”为6﹣2＝4，函数y＝3x+2图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝3x+2﹣x＝2x+2，当﹣2≤x≤4时，2x+2的最大值为8+2＝10，所以函数y＝3x+2（﹣2≤x≤4）的“最优纵横值”为10． 根据定义，解答下列问题： （1）点B（﹣5，3）的“纵横值”为 _____ ； （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求b、c的值； （3）若二次函数y＝﹣（x﹣h）2+3的顶点在直线上，当﹣1≤x≤3时，求该二次函数的纵横值的范围． 23．（2026秋•巴南区月考）如图①，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）求点A，点B，点C的坐标； （2）如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且△ABD的面积为8时，求点D的坐标． 24．（2026秋•衡阳月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是_____ ； ①x2+6x+8＝0； ②x2﹣4＝0； ③x2﹣7x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，则c＝_____ ； （3）若关于x的方程x2﹣（m+4）x﹣2m＝0（m是常数）是“倍根方程”，试求出m的值； （4）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“倍根方程”，令t＝9a﹣4b+1，试求t的最小值． 25．（2026秋•东城区校级月考）如图所示将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系． 水平距离x（m） 0 0.5 1 竖直高度y（m） 10 11.25 10 （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝﹣5t2+k． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.5s的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，求出a的取值范围． 第25-26章阶段复习卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•丹徒区月考）把方程2x2﹣5x＝3化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，5，0 B．2，﹣5，3 C．2，﹣5，﹣3 D．2，﹣5，0 【解答】解：将方程2x2﹣5x＝3移项，得2x2﹣5x﹣3＝0， ∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣3． 故选：C． 2．（2026春•思明区校级期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（　　） A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2﹣1＝0 D．x21 【解答】解：A、方程未知数是1次，不是一元二次方程； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程； C、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； D、不是整式方程，不是一元二次方程； 故选：C． 3．（2026秋•东阳市月考）若二次函数y＝2x2﹣8x+k的图象与x轴只有一个交点，则实数k的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣8x+k的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4×2k＝0， 解得k＝8． 故选：B． 4．（2026秋•宝应县月考）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的两根之和是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【解答】解：两根之和为． 故选：C． 5．（2026秋•南海区校级月考）若方程（m+1）x|m﹣1|+mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝3 D．m＝﹣1或m＝3 【解答】解：∵方程（m+1）x|m﹣1|+mx+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：m＝3． 故选：C． 6．（2026秋•越秀区校级月考）关于y＝2（x+3）2﹣5的图象，下列叙述正确的是（　　） A．顶点坐标为（﹣3，5） B．对称轴为直线x＝3 C．当x≥﹣2时，y随x增大而增大 D．函数的最大值为﹣5 【解答】解：∵y＝2（x+3）2﹣5， ∴该函数的开口向上，顶点坐标为（﹣3，﹣5），对称轴为直线x＝﹣3， ∴函数有最小值﹣5，当x≥﹣3时，y随x增大而增大， ∴当x≥﹣2时，y随x增大而增大， 故选：C． 7．（2025秋•庐江县期末）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+2）2+4 B．y＝3（x+2）2﹣4 C．y＝3（x﹣2）2﹣4 D．y＝3（x﹣2）2+4 【解答】解：y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位， ∴y＝3（x+2）2﹣4． 故选：B． 8．（2025秋•惠安县期末）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A．（45﹣2x）（25﹣x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625 C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 【解答】解：∵剪去小正方形的边长为xcm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45﹣2x）cm，宽为（25﹣2x）cm． 依题意得：（45﹣2x）（25﹣2x）＝625． 故选：D． 9．（2025秋•广阳区期末）若二次函数y＝ax2+2ax+1（a＞0）的图象经过A（﹣2，y1），B（2，y2）C（3，y3）三点，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 【解答】解：∵y＝ax2+2ax+1（a＞0）， ∴图象的开口向上，对称轴是直线x1， ∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大， ∵点A（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（0，y1）， ∵0＜2＜3， ∴y1＜y2＜y3， 故选：A． 10．（2026秋•巴南区月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中，正确的是（　　） A．abc＞0 B．2a﹣b＝0 C．4a+2b+c＞0 D．3a+c＞0 【解答】解：∵图象开口向下，图象交y轴于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， ∴abc＜0，故选项A错，不符合题意； ∵b＝﹣2a， ∴b+2a＝0，故选项B错，不符合题意； 根据图象可知，当x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，故选项C正确，符合题意； 由图象知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故选项D错，不符合题意； 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•丹阳市期末）若关于x的方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m　 ． 【解答】解：由条件可知Δ＝32﹣4×1×m＞0， 解得m， 故答案为：m． 12．（2026秋•厦门月考）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于　2026　 ． 【解答】解：由条件可得：m2+m﹣2027＝0，m+n＝﹣1， ∴m2+m＝2027， ∴m2+2m+n＝（m2+m）+（m+n）＝2027﹣1＝2026． 故答案为：2026． 13．（2026秋•越秀区校级月考）某超市购进某商品，2024年每件商品进价为125元，随着生产成本的降低，2026年每件商品进价为80元，设两年中每件商品的平均下降率为x，可列方程为　125（1﹣x）2＝80　 ． 【解答】解：根据题意可列方程：125（1﹣x）2＝80． 故答案为：125（1﹣x）2＝80． 14．（2026秋•文山市月考）已知二次函数y＝x2+bx+3，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，则b的值是　﹣2　 ． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+3中，二次项系数1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 对于二次函数y＝ax2+bx+c，对称轴公式为直线， 将a＝1，对称轴直线x＝1代入公式得：， 解得b＝﹣2． 故答案为：﹣2． 15．（2026秋•临泉县月考）小明以二次函数y＝2x2﹣4x+8的图象为灵感，为2017年，北京房山国际葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE的长为 　11　 ． 【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+8＝2（x﹣1）2+6， ∴抛物线顶点D的坐标为（1，6）， ∵AB＝4， ∴B点的横坐标为x＝3， 把x＝3代入y＝2x2﹣4x+8，得到y＝14， ∴CD＝14﹣6＝8， ∴CE＝CD+DE＝8+3＝11． 故答案为：11． 16．（2026秋•大连月考）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝　﹣1　 ． 【解答】解：根据题意有：，对称轴， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x1＝3， ∴x2＝2﹣3＝﹣1． 三．解答题（共9小题） 17．（2026秋•馆陶县月考）用适当的方法解下列一元二次方程． （1）3x2+2x﹣5＝0； （2）2x+6＝（x+3）2； （3）x2﹣4x+1＝0； （4）3x（x﹣1）＝2﹣2x． 【解答】解：（1）3x2+2x﹣5＝0， ∵a＝3，b＝2，c＝﹣5， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣5）＝64＞0， ∴， 解得x1＝1，； （2）2x+6＝（x+3）2， （x+3）2﹣2（x+3）＝0， （x+3）（x+1）＝0， x+3＝0或x+1＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣1； （3）x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝﹣1+4， （x﹣2）2＝3， ， 解得，； （4）3x（x﹣1）＝2﹣2x， 3x（x﹣1）﹣（2﹣2x）＝0， 3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x+2）＝0， x﹣1＝0或3x+2＝0， 解得x1＝1，． 18．（2026秋•临泉县月考）已知是关于x的二次函数． （1）求满足条件的k的值． （2）k为何值时，该二次函数有最大值？最大值是多少？ 【解答】解：（1）由题意可得： ， 解得：k＝±2， ∴满足条件的k的值为2或﹣2； （2）当二次函数有最大值时，其图象的开口向下， ∴k+1＜0，即k＜﹣1， 由（1）得k＝±2， ∴k＝﹣2， ∴该二次函数为y＝﹣x2﹣2， ∴二次函数最大值为﹣2， ∴当k＝﹣2时，该二次函数有最大值，最大值为﹣2． 19．（2026秋•越秀区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0． （1）判断该一元二次方程的根的个数情况，并证明． （2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 【解答】解：（1）该一元二次方程一定有实数根，证明过程如下： 已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0， ∵Δ＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2 ＝16m2﹣12m2 ＝4m2≥0， ∴该一元二次方程一定有实数根； （2）x2﹣4mx+3m2＝0， 因式分解得：（x﹣m）（x﹣3m）＝0， 解得：x1＝m，x2＝3m， ∵m＞0， ∴m＜3m， ∵该方程的两个实数根的差为2， ∴3m﹣m＝2， 解得：m＝1． 20．（2026•海门区校级模拟）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率； （2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？ 【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x， 依题意得：40（1﹣x）2＝32.4． 解方程得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意舍去）． 答：每次降价的百分率为10%； （2）设每件应降价y元， 依题意得：（40﹣30﹣y）（48+8y）＝504． 整理得y2﹣4y+3＝0． 解方程得：y1＝1，y2＝3． 要尽快减少库存，所以取y＝3． 答：每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价3元． 21．（2026秋•越秀区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 4 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 5 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是　①②③　 （填序号）． ①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③当x＝1时，y有最小值为﹣4；④当x＞0时，y的值随x值的增大而增大． （3）若将该二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，求平移后的函数表达式． 【解答】解：（1）如图，二次函数图象即为所求： （2）由函数图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，①正确； 抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，②正确； 由图象可得，当x＝1时，y有最小值为﹣4，③正确； 由图象可得，当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③； （3）根据函数图象可得，顶点坐标为（1，﹣4），故设表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 将点（0，﹣3）代入得，a﹣4＝﹣3，解得a＝1， ∴抛物线表达式为y＝（x﹣1）2﹣4， ∴该二次函数的图象先向左平移3个单位长度后的抛物线表达式为y＝（x﹣1+3）2﹣4＝（x+2）2﹣4， 再向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为y＝（x+2）2﹣4﹣6，即为y＝（x+2）2﹣10． 22．（2026秋•杭州校级月考）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点A（2，6）在函数y＝2x+1图象上，点A的“纵横值”为6﹣2＝4，函数y＝3x+2图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝3x+2﹣x＝2x+2，当﹣2≤x≤4时，2x+2的最大值为8+2＝10，所以函数y＝3x+2（﹣2≤x≤4）的“最优纵横值”为10． 根据定义，解答下列问题： （1）点B（﹣5，3）的“纵横值”为 　8　 ； （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求b、c的值； （3）若二次函数y＝﹣（x﹣h）2+3的顶点在直线上，当﹣1≤x≤3时，求该二次函数的纵横值的范围． 【解答】解：（1）3﹣（﹣5）＝8， 故答案为：8； （2）∵二次函数的顶点在直线上， ∴，即b＝3， ∴y＝﹣x2+3x+c， 则y﹣x＝﹣x2+3x+c﹣x＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1≤c+1， 即二次函数的最优纵横值为c+1， ∴c+1＝5， ∴c＝4， ∴b＝3，c＝4； （3）二次函数的顶点坐标为（h，3）， ∵顶点在直线上， ∴，解得h＝2， 故二次函数为y＝﹣（x﹣2）2+3＝﹣x2+4x﹣1， 则， 当﹣1≤x≤3时，当时，y﹣x的最大值为， 当x＝﹣1时，y﹣x有最小值﹣5， ∴当﹣1≤x≤3时，求该二次函数的纵横值的范围是． 23．（2026秋•巴南区月考）如图①，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）求点A，点B，点C的坐标； （2）如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且△ABD的面积为8时，求点D的坐标． 【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴C（0，3）； （2）设D（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）， ∵△ABD的面积为8， ∴（1+3）×（﹣t2﹣2t+3）＝8， 整理得t2+2t+1＝0， 解得t1＝t2＝﹣1， ∴点D的坐标为（﹣1，4）． 24．（2026秋•衡阳月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是　①　 ； ①x2+6x+8＝0； ②x2﹣4＝0； ③x2﹣7x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　8　 ； （3）若关于x的方程x2﹣（m+4）x﹣2m＝0（m是常数）是“倍根方程”，试求出m的值； （4）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“倍根方程”，令t＝9a﹣4b+1，试求t的最小值． 【解答】解：（1）求解各方程的根，结合倍根方程的定义判断如下： ①解方程x2+6x+8＝0， 因式分解得（x+2）（x+4）＝0， 即x+2＝0或x+4＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣4， ∵﹣4＝2×（﹣2）， ∴该方程是倍根方程； ②解方程x2﹣4＝0， 移项，得x2＝4， 解得x1＝2，x2＝﹣2， 不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； ③解方程x2﹣7x+12＝0， 因式分解得（x﹣3）（x﹣4）＝0， 即x﹣3＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝3，x2＝4， 不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； 综上，是倍根方程的是①； 故答案为：①； （2）设方程的两根为t和2t，则t+2t＝6， 解得t＝2， ∴c＝t•2t＝2×4＝8； 故答案为：8； （3）设方程的两根为t和2t，则t+2t＝m+4，t•2t＝﹣2m， 即3t＝m+4，t2＝﹣m， 将代入t2＝﹣m，得： ， 解得m1＝﹣1，m2＝﹣16， 经检验，m＝﹣1和m＝﹣16均使方程有两个实数根，符合题意， ∴m的值为﹣1或﹣16； （4）设方程的两根为k和2k，则，， 即，， 由得，代入，得： ， 整理得2b2＝9a， 将9a＝2b2代入t＝9a﹣4b+1，得： t＝2b2﹣4b+1＝2（b﹣1）2﹣1， ∴当b＝1时，t取得最小值，最小值为﹣1， 此时，符合题意， ∴t的最小值为﹣1． 25．（2026秋•东城区校级月考）如图所示将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系． 水平距离x（m） 0 0.5 1 竖直高度y（m） 10 11.25 10 （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝﹣5t2+k． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.5s的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，求出a的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点（0，10），（1，10）， ∴抛物线的对称轴是直线x， ∵抛物线经过点（，）， ∴抛物线的顶点坐标是（，）， ∵跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分， ∴设抛物线解析式为，将点（0，10）代入得： ， 解得：a＝﹣5， 抛物线解析式为； （2）解：当y＝0时，得：， 解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米； （3）解：①运动员甲能成功完成此动作；理由如下： 运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为， 即， 把h＝0代入， 得， 解得t1＝1.5，t2＝﹣1.5（不合题意，舍去）， ∵1.5＝1.5， ∴运动员甲能成功完成此动作； ②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0）， 该抛物线的顶点为， ∴， ∴， 把h＝0代入， 整理得：， 由运动员甲在达到最高点后需要1.5s的时间才能完成极具难度的270C动作， 得t≥1.5， 则t2≥1.52，即， 解得a≤﹣5.1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $