第2章 实数的初步认识 知识清单 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

第2章　实数的初步认识　知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共四节：2.1平方根；2.2立方根；2.3实数；2.4近似值。本章在有理数的基础上，引入平方根、算术平方根与立方根，把数的范围扩充到实数，并学习实数与数轴的对应关系、实数的运算以及近似数的精确度。 【考点地位】平方根与算术平方根的概念、立方根的性质、无理数与实数的分类、实数与数轴的对应是中考数与代数的基础内容，也是后续学习二次根式、一元二次方程与函数的预备知识，属必考内容。 【学习目标】①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示；②会求非负数的平方根、算术平方根与实数的立方根；③了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；④会求实数的相反数、绝对值，会进行实数的简单运算；⑤了解近似数与精确度的意义。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下图按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第2章　实数的初步认识 2.1　平方根 平方根：若x的平方等于a(a≥0)，x叫a的平方根，记作正负根号a；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 算术平方根：正数a的正根号；双重非负；根号a平方等于a的绝对值 2.2　立方根 若x的立方等于a，x叫a的立方根，记作三次根号a；正数、负数、0都有唯一立方根 三次根号(−a)＝−三次根号a；立方根的符号与被开方数一致 2.3　实数 有理数和无理数统称实数；实数与数轴上的点一一对应 相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一致；实数可比较大小并进行运算 2.4　近似值 四舍五入到哪一位就精确到哪一位；按精确度取近似值 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念与性质集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 概念·性质 说明与易错提示 平方根 若＝a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作± 正数有两个平方根且互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 算术平方根 正数a的正平方根叫做a的算术平方根，记作 ≥0且a≥0，双重非负；＝|a|，不等于a 立方根 若＝a，则x叫做a的立方根，记作 每个实数都有唯一立方根；＝− 无理数 无限不循环小数叫做无理数 含开方开不尽的根、π类、构造的无限不循环数；带根号的不一定是无理数 实数 有理数和无理数统称实数 实数与数轴上的点一一对应；相反数、绝对值意义同有理数 三、考点知识梳理 （一）2.1　平方根 【平方根】如果一个数x的平方等于a，即＝a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）。正数a的平方根记作±，读作“正、负根号a”。 【算术平方根】正数a的正平方根叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根是0。算术平方根具有双重非负性：被开方数a≥0，且≥0。 图1 面积为a的正方形求边长（算术平方根的几何意义） 【性质】①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根；④＝|a|，即当a≥0时等于a，当a<0时等于−a，不能直接写成a。 （二）2.2　立方根 【立方根】如果一个数x的立方等于a，即＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫三次方根），记作，读作“三次根号a”。 图2 棱长为1与棱长为x的正方体（立方根的几何意义） 【性质】①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；②＝−，即求负数的立方根可以转化为求其相反数的立方根再取负；③每个实数都有且只有一个立方根。 （三）2.3　实数 【无理数】无限不循环小数叫做无理数。常见类型：开方开不尽的数（如、）；含π的数（如π、−π）；按一定规律构造的无限不循环小数。 【实数及其分类】有理数和无理数统称实数。实数可按定义分为有理数（整数、分数）和无理数，也可按符号分为正实数、0、负实数。 【实数与数轴】实数与数轴上的点是一一对应的：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来数轴上每一个点都表示一个实数。 图3 数轴上表示的点 【相反数·绝对值】实数a的相反数是−a；一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。实数的相反数、倒数、绝对值意义与有理数一致。 （四）2.4　近似值 【精确度】在实际问题中，按四舍五入取近似值时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。取近似值时只需看下一位数字进行四舍五入。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】平方根：正数有两个，互为相反数；0的平方根是0，负数没有平方根。算术平方根只取正值，双重非负要记牢。立方根：正数正、负数负，每个实数唯一根，负号可外移。 【对比记忆】相关概念对比如下表。 名称 表示与个数 符号与性质 平方根 记作±(a≥0)，正数有两个，互为相反数 负数没有平方根 算术平方根 记作(a≥0)，只有一个非负值 双重非负：a≥0且≥0 立方根 记作，每个实数只有一个 ＝−，符号与被开方数一致 【易混对比】平方根与算术平方根：正数a的平方根有两个（±），而算术平方根只有一个正值；＝|a|，当a<0时结果应为−a，不能直接写成a。 五、解题方法总结 题型1　求一个数的平方根、算术平方根与立方根 【解题方法】①先判断被开方数是非负数还是任意实数；②平方根、算术平方根只对非负数求，正数有两个平方根；③立方根对任意实数求，先定符号再定绝对值。 【数学思想】分类思想：按被开方数的正负与0分类处理。 题型2　识别无理数并对实数分类 【解题方法】①先化简再判断，带根号的数看化简结果是否无限不循环；②无理数常见三类：开方开不尽的数、含π的数、构造的无限不循环小数；③按定义或符号给实数分类。 【数学思想】数形结合思想：借助数轴理解实数与数轴上的点一一对应。 题型3　利用非负数之和为0求值 【解题方法】①≥0、|x|≥0都是非负数；②几个非负数之和为0，则每个非负数都为0，据此列方程（组）求字母的值。 【数学思想】方程思想：把非负数为0转化为方程求解。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 混淆平方根与算术平方根，把平方根只写成正值 正数平方根有两个（±），算术平方根只有一个正值，按所求概念书写 误认为负数也有平方根 负数没有平方根，只有非负数才有平方根 把直接写成a ＝|a|，a为负时结果应为−a，不能直接写成a 立方根符号判断错误 ＝−，负数的立方根仍是负数 误认为带根号的数都是无理数 先化简再判断，、都是有理数，看结果是否无限不循环 七、高频考点速记 ①正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 ②算术平方根具有双重非负性：a≥0且≥0；＝|a|。 ③每个实数都有且只有一个立方根，且＝−。 ④无限不循环小数叫做无理数；有理数和无理数统称实数。 ⑤实数与数轴上的点一一对应；相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一致。 ⑥四舍五入到哪一位，就说近似数精确到哪一位。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共12题） 1．下列各数中，是无理数的是（ ） A．7 B．0.5 C． D．0.5151151115…（两个5之间依次多个1） 2．1的平方根是（ ） A．0 B．1 C．±1 D．−1 3．数轴上所有的点表示的数是（ ） A．全体有理数 B．全体无理数 C．全体实数 D．全体正数和全体负数 4．−8的立方根与4的平方根的和是（ ） A．0 B．0或4 C．4 D．0或−4 5．若x−3是4的平方根，则x的值为（ ） A．2 B．±2 C．1或5 D．16 6．下列各数是无理数的是（ ） A．3.14 B．− C．π D． 7．如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（ ） A．±1 B．0 C．1 D．0和1 8．若＋＝0，则x和y的关系是（ ） A．x＝y＝0 B．x和y互为相反数 C．x和y相等 D．不能确定 9．1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根中，整数的个数为（ ） A．12个 B．11个 C．9个 D．10个 10．如图，已知实数a＞0，b＜0且|b|＞|a|，c＜0，化简a＋|a＋b|−的结果是（ ） A．−b−c B．c−b C．2(a−b＋c) D．2a＋b＋c 11．若的算术平方根是2，则2x−3的平方根是（ ） A．5 B．±5 C．25 D．±25 12．下列各数中，是有理数的是（ ） A．−π B． C． D． （二）填空题（每空2分，共2题） 1．数轴上表示−的点到原点的距离为______。 2．的平方根是______；若−是x的一个平方根，则另一个平方根是______，x的值是______。 （三）解答题（共2题） 1．若|x−3|＋＋＝0，求3x＋y＋z的值。 2．一个正方体盒子的棱长为6 cm，现在要做一个体积比原来正方体的体积大127 cm³的新正方体盒子，求新盒子的棱长。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】D 解题步骤： ①7、0.5、都是有理数； ②0.5151151115…是无限不循环小数，是无理数，选D。 【知识点睛】无理数识别：无限不循环小数才是无理数，有限小数、分数都是有理数。 2．【答案】C 解题步骤： ①1²＝1，故1的平方根为±1； ②一个正数有两个互为相反数的平方根，选C。 【知识点睛】平方根概念：1的平方根是±1，不要只写1（那是算术平方根）。 3．【答案】C 解题步骤： ①实数与数轴上的点一一对应，数轴上每一点都表示一个实数； ②故数轴上所有点表示全体实数，选C。 【知识点睛】实数与数轴：数轴既表示有理数也表示无理数，全体实数与数轴一一对应。 4．【答案】D 解题步骤： ①−8的立方根是−2；4的平方根是±2； ②两数之和为−2＋2＝0或−2−2＝−4，选D。 【知识点睛】立方根与平方根综合：先分别求出立方根−2和平方根±2，再分两种情况求和。 5．【答案】C 解题步骤： ①x−3是4的平方根，故x−3＝±2； ②解得x＝5或x＝1，选C。 【知识点睛】平方根列方程：由平方根等于±2列方程，注意平方根有正负两个值。 6．【答案】C 解题步骤： ①3.14是有限小数，−＝−3，是分数，均为有理数； ②π是无限不循环小数，是无理数，选C。 【知识点睛】无理数判断：化简后为整数或分数的都是有理数，π是典型无理数。 7．【答案】B 解题步骤： ①平方根与立方根相同：±1的平方根与立方根不相等，1的平方根为±1而立方根为1； ②只有0的平方根和立方根都是0，选B。 【知识点睛】平方根与立方根相同：唯有0满足，注意1的平方根是±1。 8．【答案】B 解题步骤： ①由＋＝0得＝−＝； ②立方根唯一，故x＝−y，x与y互为相反数，选B。 【知识点睛】立方根性质：＝则x＝−y，两数互为相反数。 9．【答案】D 解题步骤： ①算术平方根为整数，即原数是完全平方数； ②1²，2²，…，10²＝100，共10个完全平方数，选D。 【知识点睛】完全平方数：1~100中整数平方根对应1²到10²，共10个。 10．【答案】B 解题步骤： ①a＞0，b＜0且|b|＞|a|，故a＋b＜0，|a＋b|＝−a−b；c＜0，＝|c|＝−c； ②原式＝a＋(−a−b)−(−c)＝c−b，选B。 【知识点睛】绝对值与根式化简：先由符号判断a＋b的正负，再去绝对值和根号。 11．【答案】B 解题步骤： ①的算术平方根是2，故＝4，x＋2＝16，x＝14； ②2x−3＝25，25的平方根是±5，选B。 【知识点睛】算术平方根递进：先由算术平方根为2反推＝4，再求2x−3的平方根，注意平方根有正负。 12．【答案】C 解题步骤： ①−π、、都是无理数； ②＝2是有理数，选C。 【知识点睛】有理数判断：化简为整数2，带根号但为有理数。 【填空题】 1．【答案】 解题步骤： ①数轴上表示−的点到原点的距离等于|−|； ②距离为。 【知识点睛】实数的绝对值：数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，|−|＝。 2．【答案】±；；5 解题步骤： ①的平方根是±； ②−是x的一个平方根，另一个平方根与它互为相反数，为；x＝()²＝5。 【知识点睛】平方根成对：正数的两个平方根互为相反数，平方后即得原数x＝5。 【解答题】 1．【答案】3 解题步骤： ①绝对值、平方、算术平方根均为非负数，三者之和为0，则每一项都为0； ②故x−3＝0，4＋y＝0，z＋2＝0，得x＝3，y＝−4，z＝−2； ③3x＋y＋z＝9−4−2＝3。 【知识点睛】非负数之和为0：|x−3|、、均非负，各自为0再代入求值。 2．【答案】新盒子的棱长为7 cm 解题步骤： ①原正方体体积为＝216 cm³； ②新盒子体积为216＋127＝343 cm³； ③设新棱长为a，＝343，a＝＝7 cm。 【知识点睛】立方根应用：由体积和求出新体积，再由立方根＝7求棱长。 学科网（北京）股份有限公司 $