3.1勾股定理的探究（1）导学案 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学导学案围绕勾股定理的探究展开，引导学生从回顾三角形三边关系、直角三角形性质入手，结合《周髀算经》“勾三股四弦五”及毕达哥拉斯定理等历史文化，搭建从已有知识到新定理的学习支架，经历从特殊到一般的探究过程。 资料特色在于注重探究与文化融合，通过动手作图、面积计算等活动发展合情推理能力，分层任务设计满足不同需求，三种语言转化培养数学表达，助力学生用数学眼光观察、数学思维思考，提升应用意识与创新意识。

3.1勾股定理的探究（1） 学习目标 学习任务 学习训练 自我评估 1. 经历勾股定理的探究过程，理解并掌握勾股定理的内容，发展合情推理能力；了解勾股定理的历史文化，感受数学文化价值，激发学习兴趣； 预学单 基础任务1 预学任务1 预学任务3 巩固迁移1 ☆☆☆ 2. 能应用勾股定理求直角三角形中未知边的长． 进阶认务2 巩固迁移2 ☆☆☆ 3. 能利用勾股定理构造含根号的无理数． 高阶任务3 巩固迁移3 ☆☆☆ 一、课前预学单-（20分钟 ） （一）预学任务1： 1.任意三角形的三边满足的基本不等关系是 . 2.直角三角形的最大角是________度，它所对的边是三角形中最_______的边. 3.我国古代数学著作《周髀算经》中记载，数学家__________与周公的对话中提到“勾三股四弦五”，这是勾股定理的早期体现. 4.在西方，勾股定理通常被称为____________定理，相传由古希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明. 5.若直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边的长为________. （二）预学任务2： 利用圆规和直尺作Rt△ABC，其中∠C＝90°， （1）直角三角形的三个角有怎样的数量关系？ （2）测量得边AB的长是 ； （3）根据三边长度，猜想三边之间具有怎样的数量关系？ （三）预学任务3： 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ （1）如何计算正方形ABDE的面积？ （2）还有其他方法吗？ （3）这两种方法有什么共同特征？ （4）通过三个正方形面积之间的数量关系，你有什么猜测？ （5）你有什么方法验证这个猜测？ （四）预学任务4： 1. 查阅历史上数学家对勾股定理的研究做出伟大贡献的史料． 2.在预学过程中，你遇到了什么困难？或者你想知道什么？ 3.我的疑问：_________________________________________________ 二.课中共学单-（40分） (一) 预学检测（5分） 1.我国最早记载勾股定理相关内容的数学著作是（ ） A. 《九章算术》 B. 《周髀算经》 C. 《几何原本》 D. 《缀术》 2.已知：如图，中，，，， （1）求斜边的长； （2）计算的面积． (二) 思辨任务（25分） 1、基础任务1： 活动：在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法找出三个正方形面积之间的关系，并与同学交流． 1．从实验的大量数据中，你对直角三角形三边之间数量关系有什么猜想？ 2．你对勾股定理有哪些认识？ 3．总结勾股定理． 4．勾股定理适用什么图形？ 勾股定理三种语言 文字语言 图形语言 符号语言 A B C a c b 巩固迁移1： 在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的钝角三角形，并分别以这个钝角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形.猜想钝角三角形三边的平方之间有什么关系？ 2、进阶任务2： 例1.如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长． 12 c 5 5 b 2 （1） （2） 巩固迁移2： 如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5m．求梯子顶端距地面的高度h． 3、高阶任务3： 例2 如图，在数轴上画出对应的点． 0 1 2 3 －1 －2 －3 －4 4 巩固迁移3： 在数轴上找出表示的点． (不写作法，保留作图痕迹) (三) 当堂检测-（10分） 1.求下列直角三角形中未知边的长． 2.求图中的值． 3.求图中的值． 4．在中，，，求的长. 三、课后续学单（40） （一）续学任务1： 1.下列对勾股定理的理解错误的是（ ） A. 直角三角形的三边必须满足a2 + b2= c2（c为斜边） B. 若三角形三边满足a2+ b2 = c2，则该三角形是直角三角形 C. “勾”“股”分别指直角三角形的两条直角边 D. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理 2.下列说法正确的是(　　) A.若a、b、c是△ABC的三边长,则a2+b2=c2 B.若a、b、c是Rt△ABC的三边长,则a2+b2=c2 C.若a、b、c是Rt△ABC的三边长,∠A=90°,则a2+b2=c2 D.若a、b、c是Rt△ABC的三边长,∠C=90°,则a2+b2=c2 3.下列关于勾股定理的说法错误的是（ ） A. 勾股定理适用于所有三角形 B. 勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系 C. “勾三股四弦五”是勾股定理的特例 D. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理 4．已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，下列说法错误的是（　　） A．∠C＝90°，则a2+b2＝c2 B．∠B＝90°，则a2+c2＝b2 C．∠A＝90°，则b2+c2＝a2 D．总有a2+b2＝c2 6.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=5，则斜边AC的长为（ ）。 A.9 B.11 C.13 D.15 6.若直角三角形的斜边为17，一条直角边为8，则另一条直角边的长为（ ）。 A.13 B.15 C.16 D.无法确定 7.如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为　　　　.  8.如图，△ABC中AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为_____. 9.如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度是cm,则的取值范围是 . 10.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大的正方形E的面积是 ． (第7题图) （第8题图） （第9题图） （第10题图） （二）续学任务2： 11.在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题： (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 12. 如图，一张长方形纸片宽AB＝8 cm，长BC＝10 cm．现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)，求EC的长． （三）续学任务3： 13.如图，设每个小方格的面积为1. （1）画出图中以格点为端点且长度分别为，，的线段； （2）图中以格点为端点且长度为5的线段有 条. （四）续学任务4： （1）如图1，以Rt△ABC的三边为直径的三个半圆的面积之间有什么关系？证明你的结论． （2）如图2，以Rt△ABC的三边为边的三个正三角形的面积之间有什么关系？证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $