第5章 一次函数 知识清单 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

第5章　一次函数　知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共五节：5.1变量与函数；5.2一次函数的概念；5.3一次函数的图象与性质；5.4用一次函数解决问题；5.5一次函数与二元一次方程。本章从实际变化关系出发，建立函数概念，研究一次函数的解析式、图象、性质及其应用。 【考点地位】函数概念、一次函数与正比例函数、待定系数法、图象性质、一次函数与方程、实际建模是初中函数的基础，是中考函数题的核心，常与图象、交点、实际应用综合命题。 【学习目标】①理解常量、变量与函数的概念，会确定自变量取值范围；②掌握一次函数、正比例函数的概念；③会用待定系数法求解析式，掌握图象与性质；④会用一次函数解决简单实际问题；⑤了解一次函数与二元一次方程的关系。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下图按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第5章　一次函数 5.1　变量与函数 常量、变量；函数定义：一个自变量唯一对应一个函数值 自变量取值范围；函数值；函数的三种表示法 5.2　一次函数的概念 一次函数 y=kx+b（k≠0）；正比例函数 y=kx（b=0） 正比例函数是特殊的一次函数 5.3　一次函数的图象与性质 图象是一条直线；k>0递增，k<0递减；与坐标轴交点 5.4　用一次函数解决问题 待定系数法求解析式；实际问题建模与自变量范围 5.5　一次函数与二元一次方程 两直线交点坐标即对应二元一次方程组的解 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念与规律集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 概念·规律 说明与易错提示 函数 在一个变化过程中，两个变量x,y，对x每一个确定值，y都有唯一确定值与之对应 强调“唯一确定”；一个x只对应一个y 一次函数 形如 y=kx+b（k,b为常数，k≠0） k不能为0；b可为任意常数 正比例函数 形如 y=kx（k为常数，k≠0），是b=0的一次函数 正比例函数是特殊的一次函数，反之不成立 待定系数法 设y=kx+b，代入已知点坐标列方程求k,b 求解析式最常用方法，至少两个点 图象性质 k>0时y随x增大而增大；k<0时y随x增大而减小 b决定与y轴交点(0,b)的位置 与坐标轴交点 与y轴交于(0,b)；与x轴交于(,0) 令y=0求x轴交点，令x=0求y轴交点 与方程关系 两直线交点坐标即对应二元一次方程组的解 交点即方程组的公共解 三、考点知识梳理 （一）5.1　变量与函数 【常量与变量】在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。 【函数的概念】在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，x是自变量。 【自变量取值范围】使函数关系式有意义的自变量取值全体；实际问题还要使实际意义成立。常见：分母不为0，偶次根号下非负（本册不涉及根式化简）。 【函数值】当x取某一确定值时，对应的y的值叫做函数值；函数的表示法有解析式法、列表法、图象法。 （二）5.2　一次函数的概念 【一次函数】形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数。 【正比例函数】形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，它是b=0时的特殊一次函数。 图1 正比例函数y=kx的图象经过原点 【二者关系】正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数；判断时先看自变量次数为1，再看一次项系数k≠0。 （三）5.3　一次函数的图象与性质 【图象】一次函数y=kx+b的图象是一条经过(0,b)的直线；正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。 图2 一次函数图象由正比例图象平移得到（互相平行） 【增减性】当k>0时，y随x的增大而增大，图象从左向右上升；当k<0时，y随x的增大而减小，图象从左向右下降。 图3 k>0时上升、k<0时下降 【与坐标轴交点】令x=0得y=b，图象与y轴交于(0,b)；令y=0解出x，即得图象与x轴的交点。 图4 一次函数图象与坐标轴的交点 （四）5.4　用一次函数解决问题 【待定系数法】先设出函数解析式y=kx+b，再把已知点坐标代入，列方程（组）求出k,b，从而确定解析式。 【实际建模】把实际问题中的数量关系抽象为一次函数，注意自变量取值既要使关系式有意义，又要符合实际意义（如路程、件数非负）。 （五）5.5　一次函数与二元一次方程 【交点即解】两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；方程组无解对应两直线平行，方程组有无数解对应两直线重合。 图5 图象上点的坐标即对应方程的解 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】一次函数y＝kx+b，k≠0是前提；k>0递增、k<0递减；正比例y＝kx，是b＝0的特殊一次函数。 【对比记忆】相关概念对比如下表。 项目 一次函数 正比例函数 解析式 y＝kx+b（k≠0） y＝kx（k≠0） 二者关系 b＝0时退化为正比例函数 是特殊的一次函数 图象 经过(0,b)的一条直线 经过原点的一条直线 【易混对比】正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数；判断先看自变量次数为1，再验一次项系数k≠0。 五、解题方法总结 题型1　辨别函数、一次函数与正比例函数 【解题方法】①函数概念看“对x每一个确定值，y都有唯一确定值对应”；②一次函数看形如y＝kx+b且k≠0；③b＝0时为正比例函数。 【数学思想】抽象概括思想：从变化过程中抽象出函数关系。 题型2　待定系数法求一次函数解析式 【解题方法】①设y＝kx+b；②代入至少两个已知点坐标列方程（组）；③求出k,b，写出解析式，并注明自变量取值范围。 【数学思想】方程思想：由点的坐标列方程求系数。 题型3　由k,b判断图象性质、求交点及实际建模 【解题方法】①k>0递增、k<0递减，b决定与y轴交点(0,b)；②令x＝0求y轴交点，令y＝0求x轴交点；③实际问题抽象为一次函数，自变量取值既要使关系式有意义又要符合实际意义。 【数学思想】建模思想：把实际数量关系抽象为一次函数。 题型4　一次函数与二元一次方程（组） 【解题方法】①两直线交点坐标就是对应二元一次方程组的解；②方程组无解对应两直线平行，无数解对应两直线重合。 【数学思想】数形结合思想：图象交点与方程组解相互转化。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 把正比例函数与一次函数的关系颠倒 正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数 忽略k≠0，把k＝0也当作一次函数 一次函数要求一次项系数k不为0，b可以为0，判断时先验k 增减性看反，与b混淆 k>0递增、k<0递减，由k的符号决定，不要与b混淆 待定系数法只代一个点 求y＝kx+b至少需要两个点，一个点只能定一个关系 实际问题漏写自变量取值范围 除关系式有意义外，还要满足实际意义（非负、整数等） 七、高频考点速记 ①函数：对x每一个确定值，y都有唯一确定值与之对应。 ②一次函数y＝kx+b（k≠0）；正比例函数y＝kx（k≠0）是b＝0的特殊一次函数。 ③k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小。 ④图象是经过(0,b)的直线；与y轴交于(0,b)，令y＝0求与x轴交点。 ⑤待定系数法设y＝kx+b，代入至少两个点求k,b。 ⑥两直线交点坐标即对应二元一次方程组的解。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共12题） 1．某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶100 km时耗油约五分之一。若加满后行驶路程为x km，油箱剩油量为y L，则y与x的关系式和自变量取值范围是（ ） A．y=0.12x（x>0） B．y=60−0.12x（x>0） C．y=0.12x（0≤x≤500） D．y=60−0.12x（0≤x≤500） 2．下列函数中，是正比例函数的是（ ） A．y=2x+1 B．y=2x C．y=−x+3 D．y=2x² 3．下列说法正确的是（ ） A．正比例函数是一次函数 B．一次函数是正比例函数 C．正比例函数不是一次函数 D．不是正比例函数就不是一次函数 4．已知函数y=−x+m与y=mx−4的图象交点在x轴的负半轴上，那么m的值为（ ） A．±2 B．±4 C．2 D．−2 5．过点A(2,−3)且垂直于y轴的直线交y轴于点B，那么点B的坐标为（ ） A．(0,2) B．(2,0) C．(0,−3) D．(−3,0) 6．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，有结论：①k<0；②a>0；③当x<3时，y1<y2。其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(−2,0)和点(2,2)，则k、b的值分别为（ ） A．k=0.5，b=1 B．k=0.5，b=−1 C．k=−0.5，b=1 D．k=2，b=1 8．如图，正比例函数y=k1x的图象经过第一、三象限，一次函数y=k2x+b的图象经过第二、三、四象限，则（ ） A．k1>0，k2>0 B．k1>0，k2<0 C．k1<0，k2>0 D．k1<0，k2<0 9．小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图，相交于点P的两条线段l1、l2分别表示两人离B地的距离y km与已用时间x h的关系，则小敏、小聪的速度分别是（ ） A．3 km/h和4 km/h B．3 km/h和3 km/h C．4 km/h和4 km/h D．4 km/h和3 km/h 10．甲、乙两弹簧长度y cm与所挂物体质量x kg的函数分别为y=k1x+b1、y=k2x+b2，如图，所挂物体质量均为2 kg时，甲长y1、乙长y2，则（ ） A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1<y2 D．无法比较 11．一支蜡烛长20 cm，每小时燃烧4 cm，设剩下蜡烛长度为y cm，燃烧x h，则y关于x的函数表达式及自变量范围是（ ） A．y=20−4x（0≤x≤5） B．y=4x−20（x≥0） C．y=20−4x（x≥0） D．y=4x（0≤x≤5） 12．已知一次函数y=kx+b，y随x的增大而减小，且kb<0，则它的大致图象是（ ） （二）填空题（每空2分，共2题） 1．如图，一次函数y=kx+b（k<0）的图象经过点A(2,3)，当y<3时，x的取值范围是________。 2．已知一次函数y=−3x+1的图象经过点(a,1)和点(−2,b)，则a=______，b=______。 （三）解答题（共2题） 1．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，根据图象求这个一次函数的解析式。 2．某商店某种商品每件进价8元，售价12元。当日销量为x件时，利润为y元。（1）写出y关于x的函数表达式；（2）当日销量为30件时，利润是多少元？ 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】D 解题步骤： ①100 km耗油60×五分之一=12 L，每千米耗油0.12 L； ②剩油量y=60−0.12x，满油可行驶500 km，故0≤x≤500，选D。 【知识点睛】实际问题函数：先求单位耗油量，剩油=总量−耗油，范围兼顾意义。 2．【答案】B 解题步骤： ①正比例函数形如y=kx（k≠0），即不含常数项； ②y=2x符合，其余含常数项、反比例或二次项，选B。 【知识点睛】正比例函数：形如y=kx，k≠0，不含常数项。 3．【答案】A 解题步骤： ①正比例函数y=kx是b=0的一次函数； ②故正比例函数是一次函数，反之不成立，选A。 【知识点睛】概念辨析：正比例函数是特殊的一次函数。 4．【答案】D 解题步骤： ①交点在x轴上令y=0，由−x+m=0得x=m； ②把x=m代入mx−4=0得m²=4，又交点在负半轴故m<0，得m=−2，选D。 【知识点睛】交点在x轴即两式令y=0联立，由交点在负半轴舍去正值解。 5．【答案】C 解题步骤： ①垂直于y轴的直线平行于x轴，其上点纵坐标相同； ②过A(2,−3)交y轴于B，B(0,−3)，选C。 【知识点睛】垂直于y轴即平行于x轴，直线上各点纵坐标相同，横坐标可不同。 6．【答案】B 解题步骤： ①y1下降故k<0，①正确；y2交y轴负半轴故a<0，②错误； ②x<3时y1在y2上方即y1>y2，③错误，仅1个正确，选B。 【知识点睛】由升降判k符号、由与y轴交点判a符号，交点左侧比较两线上下位置。 7．【答案】A 解题步骤： ①代入(−2,0)：−2k+b=0；代入(2,2)：2k+b=2； ②两式相减得4k=2，k=0.5，回代得b=1，故选A。 【知识点睛】待定系数法：把图象经过的两点代入y=kx+b，联立方程组求k、b。 8．【答案】B 解题步骤： ①正比例函数过第一、三象限，直线上升，故k1>0； ②一次函数过第二、三、四象限，直线下降，故k2<0，选B。 【知识点睛】由直线走向定k符号：从左下到右上k>0，从左上到右下k<0。 9．【答案】D 解题步骤： ①交点P(1.6,4.8)，l2从O到P：4.8÷1.6=3 km/h； ②l1从P到(2.8,0)：4.8÷(2.8−1.6)=4 km/h，即小敏4、小聪3，选D。 【知识点睛】s-t图象的斜率表示速度：上升段为靠近起点，下降段为远离，用路程除以时间求速度。 10．【答案】A 解题步骤： ①两直线在x=1处交于y=12，x>1后较陡的k1线在上方； ②x=2>1时k1线更高，故y1>y2，选A。 【知识点睛】两直线交点右侧，斜率较大的图象在上方，对应函数值更大。 11．【答案】A 解题步骤： ①剩余长度y=20−4x；②蜡烛燃完即x=5，故0≤x≤5，选A。 【知识点睛】剩余量=原长−燃烧量，范围由燃完时刻界定。 12．【答案】A 解题步骤： ①y随x增大而减小，故k<0，直线从左到右下降； ②kb<0且k<0，故b>0，直线与y轴交于正半轴，符合的是A。 【知识点睛】由k、b符号判断图象位置：k定升降方向，b定与y轴交点的正负。 【填空题】 1．【答案】x>2 解题步骤： ①k<0函数递减，A(2,3)是y=3对应的点； ②y<3对应A点下方，递减时即x>2。 【知识点睛】k<0时函数递减，函数值小于某值对应自变量大于该点横坐标，结合图象判断。 2．【答案】a=0，b=7 解题步骤： ①把(a,1)代入y=−3x+1：1=−3a+1，得a=0； ②把(−2,b)代入：b=−3×(−2)+1=7。 【知识点睛】图象上的点满足解析式，分别代入求横、纵坐标。 【解答题】 1．【答案】y=0.5x+1 解题步骤： ①由图象读出直线l经过点(−2,0)和点(2,2)，设解析式为y=kx+b； ②两点代入：0=−2k+b，2=2k+b，解得k=0.5，b=1，故解析式为y=0.5x+1。 【知识点睛】由图象求解析式：先从图上读出直线经过的两个点，再用待定系数法列方程组求出k,b。 2．【答案】（1）y=4x；（2）利润为120元 解题步骤： （1）每件利润12−8=4元，销量x件，故利润y=4x； （2）x=30时，y=4×30=120元。 【知识点睛】实际建模：先求单件利润，利润=单件利润×销量，再代值计算。 学科网（北京）股份有限公司 $