2.1平方根 导学案-2026--2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦平方根与算术平方根，通过正方形面积问题情境导入，从已知面积25求边长回顾平方运算，再以面积2引发认知冲突，引出开平方运算，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料设计分层巩固练习与典例变式训练，突出双重非负性等核心性质，助力学生理解概念差异与联系，培养抽象能力和运算能力，提升用数学语言表达数量关系的意识，适合学生自主学习与教师教学评估。

2.1平方根导学案 （新教材・平方根与算术平方根专项） 【学习目标】 1、理解平方根和算术平方根的概念，掌握二者的符号表示方法； 2、能正确求出非负数的平方根和算术平方根，准确区分二者的区别与联系； 3、掌握平方根的核心性质，理解算术平方根的双重非负性，能运用相关性质解决简单的代数综合问题。 【学习重难点】 重点：平方根与算术平方根的概念、符号表示，平方根的基本性质； 难点：准确区分平方根与算术平方根，理解并运用算术平方根的双重非负性解决综合类问题。 【学习过程】 一、情境引入 我们已经学习过平方运算，知道正方形的面积等于边长的平方： 如果一个正方形的面积是 25，我们很容易得到它的边长是 5，因为 ； 那如果这个正方形的面积是 2 呢？我们找不到一个有理数的平方恰好等于 2，这时候就需要我们学习一种新的运算 ——开平方，来解决这类 “已知平方结果，求原数” 的问题，这就是我们今天要学习的内容：平方根。 二、知识点梳理 1. 算术平方根 一般地，如果一个正数的平方等于，即 ，那么这个正数就叫做的算术平方根。 表示方法：的算术平方根记为 ，读作 “根号”； 特殊规定：的算术平方根是，即 ； 双重非负性：算术平方根本身具有两个非负特性： ① 被开方数非负：（负数没有算术平方根）； ② 算术平方根的结果非负：。 2. 平方根 一般地，如果一个数的平方等于，即 ，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）。 表示方法：正数的平方根记为 ，读作 “正、负根号”。 3. 平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数； 的平方根是； 负数没有平方根。 4. 核心运算公式 （1）（）：对非负数先开平方再平方，结果等于原数； （2）：对任意数先平方再开平方，结果等于这个数的绝对值。 三、典例精讲（含变式训练） 例 1：求算术平方根与平方根 121 的算术平方根是 ；3 的平方根是 。 解析： 根据算术平方根的定义，因为 ，且 11 是正数，所以 121 的算术平方根是 11； 根据平方根的定义，因为 ，所以 3 的平方根是。 答案：； 变式训练 （2025・江苏苏州・八年级期末）4 的算术平方根为（ ） A. 2 B. -2 C. ±2 D. 解析：算术平方根是正数的非负平方根，因为 ，所以 4 的算术平方根是 2。 答案：A 例 2：平方根的性质应用 已知，。 (1) 若的算术平方根为 3，求的值； (2) 如果一个正数的平方根分别为，，求这个正数。 解析： (1) 因为的算术平方根为 3，所以，代入得：，解得； (2) 正数的两个平方根互为相反数，因此，代入得：，解得。 此时，因此这个正数为。 答案：(1) ；(2) 变式训练 若一个正数的平方根是和，则的值是 。 解析：正数的两个平方根互为相反数，因此两数之和为 0：，解得，即。 答案： 例 3：算术平方根的非负性综合 已知实数，，满足：，求的值。 解析： 算术平方根、绝对值、平方运算的结果都是非负数，若几个非负数的和为 0，则每一个非负数都必须为 0。 因此可得： ，，， 解得：，，。 因此。 答案： 变式训练 （2022 秋・海南・八年级统考期中）若，则的值为（ ） A. 5 B. 1 C. -1 D. -5 解析：同理，非负数和为 0，则，，解得，，因此。 答案：B 四、分层巩固练习 基础过关 1、4 的算术平方根是 ( ) A.2 B.±2 C. D.16 2、64 的算术平方根是 。 3、3 的平方根是 ( ) A.9 B. C.- D.± 4、下列说法正确的是（ ） A.64 的立方根是 ±4 B.0.04 的平方根是 0.2 C.一定有平方根 D.表示 2 的算术平方根 5、在函数中，自变量的取值范围是 。 6、一个正数的平方根是与，则的值为 。 能力提升 7、36 的算术平方根的平方根是 。 8、已知，则的值为 。 9、已知：和是正数的两个平方根，则的值是 。 10、已知与互为相反数，则 。 11、若、满足，则的算术平方根是 。 12、若，为实数，且满足，则的值是 。 拓展提优 13、若与互为相反数，则的值为 ( ) A.3 B. 9 C.12 D.27 14、已知正实数的平方根分别是和，若，求的平方根。 15、我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为 “完美组合数”。例如：，，这三个数，，，，其结果 2，3，6 都是整数，所以这三个数称为 “完美组合数”。 (1) ，，这三个数是 “完美组合数” 吗？请说明理由。 (2) 若三个数，，是 “完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为 12，求的值。 16、我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零。由此可得：如果，其中、为有理数，那么且。运用上述知识，解决下列问题： (1) 如果，其中、为有理数，那么，； (2) 如果，其中、为有理数，求的算术平方根。 五、答案与解析 基础过关 1、答案：A 解析：根据算术平方根定义，。 2、答案：8 解析：，因此 64 的算术平方根是 8。 3、答案：D 解析：正数的平方根有两个，互为相反数，因此 3 的平方根是。 4、答案：D 解析：A 选项 64 的立方根是 4；B 选项 0.04 的平方根是；C 选项当时，，没有平方根；D 选项正确。 5、答案： 解析：二次根式被开方数非负，因此，即。 6、答案： 解析：正数的两个平方根互为相反数，因此，解得。 能力提升 7、答案： 解析：36 的算术平方根是 6，6 的平方根是。 8、答案：2022 或 2023 解析：设，则，解得或，因此或 2023。 9、答案： 解析：平方根互为相反数，因此，解得，则，因此。 10、答案：16 解析：互为相反数则和为 0，因此，，解得，，则。 11、答案：2 解析：原式可化为，解得，，则，4 的算术平方根是 2。 12、答案：1 解析：非负数和为 0，解得，，因此。 拓展提优 13、答案：D 解析：和为 0，解得方程组，解得，，因此。 14、答案： 解析：平方根互为相反数，因此，则，，2 的平方根是。 15、答案： (1) 是，理由：，，，均为整数，因此是完美组合数； (2) 分情况：若，则；若，则（三数互不相等，舍去），因此。 16、答案： (1) ，； (2) 整理等式得：，根据结论得：，解得，，因此，算术平方根是 2。 学科网（北京）股份有限公司 $